Лекция 4. Общее решение неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Построение фундаментальной системы решений

Займёмся теперь неоднородным уравнением и установим свойства его решений.

1. Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа

Пусть дано неоднородное дифференциальное уравнение

Докажем следующее утверждение.

Теорема 1 (о структуре общего решения неоднородного уравнения). Если в уравнении (1) все коэффициенты и правая частьнепрерывны на отрезке, то общее решение уравнения (1) (на этом отрезке) имеет вид

где – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравненияа– частное решение неоднородного уравнения (1),произвольные постоянные.

Доказательство.Применяя операторк функции (2), будем иметь

Это означает, что функция (2) является решением уравнения (1) при произвольных значениях постоянных . Пусть теперь–- произвольная точка в(). Покажем, что решениезадачи Коши

можно получить из (2) выбором определенных значений постоянных. Подчиняя (2) условиям (3), будем иметь

Определитель этой системы совпадает с вронскианом в точкеи поскольку фундаментальная система решенийлинейно независима на отрезке, то указанный определитель системы (4) не равен нулю. Следовательно, система (4) имеет единственное решениеа значит функцияявляется решением задачи Коши (3). Тем самым показано, что функция (2) является общим решением неоднородного уравнения (1). Теорема доказана.

2.Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа

Согласно теореме 1 поиск общего решения неоднородного дифференциального уравнения (1) сводится к двум процедурам:

1) построение фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения;

2) вычисление частного решения неоднородного уравнения (1).

Самым трудным является осуществление первой процедуры. Однако для уравнений с постоянными коэффициентами (см. следующий раздел) ее можно всегда реализовать. Если же найдена фундаментальная система решений однородного уравнениято реализовать вторую процедуру не составляет особого труда.

Теорема 2. Пусть –- фундаментальная система решений однородного уравненияс непрерывными на отрезкекоэффициентамиЕсли правая частьсоответствующего неоднородного уравнения (1) непрерывна на отрезкето его частное решение можно вычислить в виде

где функции (представляющие собой варьированные постоянные общего решения однородного уравнения) находятся из системы

Доказательство.Проведем доказательство для уравнения второго порядка:

В этом случае система (6) имеет вид

Проверим, что функция

где иудовлетворяют уравнениям (8), является частным решением уравнения (7). Вычислим производныеифункции (9) с учетом равенств (8):

Отсюда получаем, что

Группируя здесь коэффициенты отдельно перед каждой функций иполучаем

Поскольку и– решения соответствующего однородного уравнениятои значитТаким образом, функцияявляется частным решением неоднородного уравнения (7). Теорема доказана.

Пример 1.Проверить, что функцииобразуют фундаментальную систему решения уравненияи найти общее решение неоднородного уравнения

Решение. Посколькуито функцияудовлетворяет уравнениюТочно так же убеждаемся, что функциятакже удовлетворяет уравнениюВычисляем вронскиан

Видим, что он не обращается в нуль на промежутке значит функцииобразуют фундаментальную систему решений уравнения

Найдем теперь частное решение неоднородного уравненияв формеПри этом функцииидолжны удовлетворять системе

Поскольку нас интересует частное решение неоднородного уравнения тоиможно взять в видеПодставляя их в функцию, получаем частное решение в виде

а значит, общее решение неоднородного уравнения запишется в форме