Лекция 10. Изолированные особые точки. Ряды Лорана для функций, аналитических в кольце

Сначала введём следующее понятие.

Определение 1.Ряд вида

называется двухсторонним степенным рядом или рядом Лорана.

Ряд вида (1) сходится в области, в которой сходятся одновременно ряды

Ряд (2) сходится в области , т.е. вне замкнутого круга с центром в точке и радиуса, а ряд (3) – в круге. Поэтому: если 1), то ряд (1) расходится всюду; 2) если, то ряд (1) сходится в кольце.

Пример 1. Определить область сходимости ряда

Решение.Для первого из рядов имеем, Следовательно,. Значит, первый ряд сходится в области. Для второго ряда имеем. Радиус его сходимостиЗначит, второй ряд сходится в области. Таким образом, исходный двухсторонний ряд ряд сходится в кольце.

На предыдущей лекции была доказана теорема 2, из которой следует, что если функция аналитична вто в окрестности любой точкиона не может быть представлена в виде двухстороннего степенного ряда (1). Какие же функции представляются такими рядами? Ясно, что такие функции должны терять аналитичность в точкет.е. эта точка должна быть особой дляДадим более точное понятие особой точки.

Определение 2. Говорят, что точкаявляетсяизолированной особой точкой для функции если сушествует проколотая окрестностьэтой точки такая, что функцияаналитична вно в самой точкеона либо не определена, либо на аналитична.

Определение 3. Изолированная особая точкафункцииназываетсяустранимой особой точкой, если существует конечный пределЕслито точканазываетсяполюсом. Полюсназываетсяполюсом го порядка, если существует конечный пределИ, наконец, точканазываетсясущественно особой точкой дляесли не существует ни конечный, ни бесконечный предел

Нетрудно видеть, что если функция аналитична в точкето она разлагается в степенной рядабсолютно сходящийся в круге с центром в точкеи с радиусом, равным расстоянию отдо ближайшей особой точкифункции.

1. Разложение функции в ряд Лорана

Следующее утверждение устанавливает условия разложимости функции в двусторонние степенные ряды.

Теорема Лорана. Если функция аналитична в кольце

то в любой точке этого кольца она разлагается в двухсторонний степенной ряд

абсолютно сходящийся к При этом коэффициенты ряда (4) вычисляются по формулам

где любой кусочно-гладкий замкнутый контур, лежащий в кольце, охватывающий точкуи обходимый против часовой стрелки.

Доказательства этого утверждения основано на применении интегральной формулы Коши и проводится по аналогии с доказательством теоремы Тейлора.

Заметим, что ряд (4) называется рядом Лорана для функции При этом его часть состоящая из отрицательных степеней двучленаназываетсяглавной частью,а частьсостоящая из неотрицательных степеней двучлена–правильной частьюряда Лорана (4) . Чуть позже будет установлена связь типа изолированной особой точки функцииc разложением в окрестности этой точки в ряд Лорана функции.

Рассмотрим примеры⁴.

Пример 2. Разложить функциюв ряд Лорана в кольце

Решение. Надо представить функцию в виде ряда Преобразуем данную функцию:

Первые два слагаемых в правой части (6) имеют нужный вид, так как представляют собой степени разности . Последние два слагаемых запишем в виде:

Применив формулу 1 таблицы 1, будем иметь

Дифференцированием по находим, что

Подставляя найденные разложения в формулу (6), получаем представление функции в кольцев виде ряда Лорана:

Пример 3. Разложить в ряд Лорана функциюв окрестности точки.

Решение. Используем разложение (см. таблицу 1). Полагая здесь, будем иметь

_{Это разложение справедливо для любой точки} . В данном случае кольцо представляет собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой

Пример 4. Разложить функцию

по степеням в ряды Лорана с учетом ее особых точек.

Решение. Функцияимеет две особые точки:и

а) Разложение в круге . Преобразуем (7) следующим образом:

Используя формулу 1 из таблицы 1, получаем, что

Подставляя эти разложения в (8), будем иметь

Это есть разложение в ряд Тейлора функции .

б) Разложение в кольце . Ряддля функцииостается сходящимся в этом кольце, так как. Ряддля функциирасходится дляПоэтому преобразуемследующим образом:

Применяя формулу 1 таблицы 1, будем иметь

Этот ряд сходится, если , т.е. при. Подставляя это разложение и разложениев (9), найдем, что

в) Разложение для . Функцию представим в виде

Тогда так какпоэтому можно применить формулу 1 таблицы 1 и получить, что

Пример 5. Разложить в ряд Лорана функциюв окрестности ее особых точек.

Решение.Особые точки функции:.

а) Чтобы записать разложение функции в окрестности точки, т.е. в кольце, представим функциюв виде суммы простейших дробей:

Правую часть (10) преобразуем следующим образом:

Применяя формулу 1 таблицы 1 (в которой заменим на), получим

б) Разложение функции в окрестности точки, т.е. в кольце, получим следующим образом:

Установим теперь связь типа особой точки функциис разложением этой функции в ряд Лорана в окрестности точки.

Теорема 1.а) Точка является устранимой особой точкой функциитогда и только тогда, когда разложение этой функции в ряд Лорана в окрестности точкине содержит главной части.

б) Точка является полюсом порядкафункциитогда и только тогда, когда в разложении функциив ряд Лорана в окрестности точкиглавная часть разложения содержит конечное число членов, причем младшим отличным от нуля коэффициентом является.

в) Точка является существенно особой точкой функциитогда и только тогда, когда главная часть разложения функции в ряд Лорана в окрестности точкисодержит бесконечное число членов.

Доказательствопроведем для утверждений а) и б). Разложим функциюв ряд Лорана в окрестности точки

Устремляя здесь видим, что конечный пределсуществует тогда и только тогда, когда всеПри этомЗначит, точкабудет устранимой особой точкой функциитогда и только тогда, когда ряд Лорана (11) не содержит главной части. Утверждение а) доказано.

Умножим теперь обе части равенства (11) на . Получим разложение

Отсюда видно, что конечный предел существует тогда и только тогда, когдадля всех. Это означает, что точкаявляется полюсом порядкафункциитогда и только тогда, когда в разложении функциив ряд Лорана в окрестности точкиглавная часть разложения содержит конечное число членов, причем младшим отличным от нуля коэффициентом является, т.е. верно утверждение б). Теорема доказана.