1. Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши

Мы предполагаем, что читатель знаком с понятием линейного пространства и с основными его свойствами. В дальнейшем будут использоваться следующие пространства:

1) – пространство функций, непрерывных на отрезке

2) – пространство функцийнепрерывных вместе со своими производными(до–го порядка включительно),

Эти пространства являются линейными пространствами с обычными для функций операциями сложения и умножения на числа.

Теорема 1. Если в операторе все коэффициентынепрерывны на отрезке, тодействует из пространствав пространство(т.е.) и является линейным оператором, т.е.

для произвольных постоянных ии произвольных функций

Действительно, при дифференцировании теряется гладкость функции на единицу, значит при –кратном дифференцировании функция классапереходит в функцию классаКроме того, поскольку операция дифференцирования линейна, то и линеен операторБудем рассматривать в основном уравнения (1) со старшим коэффициентомB этом случае на него можно поделить уравнение (1) и записать его в форме

где обозначено:

Наша ближайшая задача – изучить свойства решений этого уравнения. Начнем с теоремы существования и единственности решения задачи Коши

где произвольный вектор.

Теорема 2 (Коши) . Если в уравнении (2) все коэффициенты и правая частьнепрерывны на отрезке, то задача Коши (2) для этого уравнения имеет единственное решениеи это решение определено также на этом отрезке.

Таким образом, теорема существования и единственности решения начальной задачи для линейного дифференциального уравнения носит "глобальный" характер в отличие от "локального" характера общей теоремы существования единственности решения для нелинейного уравнения.

2. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Вронскиан. Исследование линейной независимости с помощью вронскиана

Пусть функции имеют смысл на отрезке

Определение 1. Говорят, что система функций линейно зависима на отрезке , если существуют постоянные, не равные нулю одновременно, такие, что имеет место тождество

Если же тождество (3), где – постоянные, выполняется тогда и только тогда, когда все числаравны нулю (то система функцийназывается линейно независимой на отрезке

Аналогично определяется линейная зависимость и линейная независимость на промежутках причем не исключается и случай бесконечного промежутка. Заметим, что выражениеназывается линейной комбинацией функцийа числа– коэффициентами линейной комбинации.

Пример 1. Доказать, что система функций

линейно независима на любом отрезке

Решение.Составим линейную комбинацию функций (4) и посмотрим, когда она тождественно обращается в нуль:

Слева стоит многочлен с коэффициентами Само тождество означает, что любое числоиз отрезкаявляется корнем этого многочлена. Если хотя бы один из коэффициентовне равен нулю, то получилось бы, что указанный многочлен имеет бесчисленное число корней, что невозможно. Значит, все числаравны нулю, поэтому функции (4) линейно независимы на отрезке

Пример 2. Будут ли линейно зависимыми на промежутке функции

?

Решение.Линейная комбинация тождественно обращается в нуль на промежутке, если взять числаТак как они не равны нулю (достаточно было бы, чтобы хотя бы одно из них не равнялось нулю), то указанные функции линейно зависимы на промежуткеОтвет: да.

Теорема 3. Если система функций линейно завиcима на отрезкето хотя бы одна из них является линейной комбинацией других (на этом отрезке). Обратно: если одна из функцийявляется на отрезкелинейной комбинацией других, то системалинейно зависима на отрезке

Доказательство. Пусть функции линейно зависимы на отрезкеТогда найдутся числане равные нулю одновременно, такие, что

Пусть, например, Тогда можно записать

т.е. функция является линейной комбинацией функцийОбратно: если выполняется тождество

то Мы видим, что тождество (3) имеет место при числахне равных нулю одновременно. Следовательно, система функцийлинейно зависима. Теорема доказана.

Очевидны следующие утверждения.

Если система функций содержит функциюто она линейно зависима (на отрезке, на котором указанные функции имеют смысл).

Если какая-нибудь подсистема системы функций линейно зависима, то и вся системалинейно зависима.

Если система функций линейно зависима на отрезке, то она линейно зависима и на любом отрезкележащем внутри отрезка

Если система функций линейно независима на отрезкето она линейно независима и на любом отрезке, содержащем отрезок(если, конечно, функцииопределены на отрезке).

Заметим, что свойство линейной зависимости функций нельзя продолжить на больший отрезок, а свойство линейной независимости – сузить на меньший отрезок.Дадим эффективный способ проверки линейной зависимости или линейной независимости системы функций с помощью определителя Вронского.

Определение 2. Определителем Вронского (или просто вронскианом) системы функций , принадлежащих пространству, называется определитель

первую строку которого образуют данные функции а последующие строки являются производными функций предыдущей строки. Матрицу этого определителя мы будем называть матрицей Вронского.

Теорема 4 (необходимое условие линейной зависимости функций). Если функции линейно зависимы на отрезке, то их вронскиан обращается тождественно в нуль на этом отрезке, т.е.

Доказательство. Поскольку функции линейно зависимы на отрезкето существуют числане равные нулю одновременно, такие, что имеет место тождество

Дифференцируя это тождество раз, получаем ещетождество. Вместе с предыдущим тождеством они образуют однородную систему алгебраических уравнений:

которая (в силу линейной зависимости функций ) имеет при каждомненулевое решениеНо тогда определитель этой системы, являющийся определителем Вронского функций, обращается в нуль при каждомт.е.Теорема доказана.

Заметим, что обратное утверждение для произвольной системы функций не имеет место.

Пример 3. Показать, что функции

линейно независимы на отрезке но

Решение. Посмотрим, при каких постоянных ивыполняется тождествоПриимеемЭто тождество имеет место прии при произвольномНа промежуткеимеемоткуда выводим, чтоИтак, тождествона всем промежуткеимеет место лишь приЗначит, функцииилинейно независимы на отрезкеС другой стороны,

_{т.е. определитель Вронского} тождественно обращается в нуль на отрезке

Ситуация, описанная в этом примере, не реализуется, если иявляются решениями однородного уравненияс непрерывными на отрезкекоэффициентами. Это будет показано ниже. Теорему 4. применяют при установлении линейной независимости функций.

Следствие 1. Если вронскиан системы функций не равен нулю хотя бы в одной точкето указанные функции линейно независимы на отрезке

Действительно, если бы были линейно зависимы на отрезке, тотождественно обращался бы в нуль на этом отрезке, а значит, в частности, он был бы равен нулю в точкечего быть не может.