- •3 Семестр (часть 1). Дифференциальные уравнения
- •1. Общие понятия
- •3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения
- •1. Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл
- •3. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •1. Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Вронскиан. Исследование линейной независимости с помощью вронскиана
- •3. Структура общего решения однородного дифференциального уравнения
- •Лекция 4. Общее решение неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Построение фундаментальной системы решений
- •1. Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •2.Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •3. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Линейная независимость комплексных решений
- •Лекция 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера и метод подбора вычисления частных решений неоднородных уравнений
- •1. Метод Эйлера построения общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения
- •2. Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения
- •3. Построение общего решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения
- •Лекция 6. Комплексные числа и действия над ними. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Элементарные функции комплексного переменного и действия над ними
- •1. Извлечение корня й степени из комплексного числа. Множества в комплексной плоскости
- •2. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции
- •2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- •Лекция 8 . Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши и для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование всех производных для аналитической функции
- •2.2. Теорема Коши для односвязной области и многосвязной области. Интегральная формула Коши
- •3. Первообразная функции комплексных переменных
- •Лекция 9. Ряды в комплексной области. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Лорана
- •1. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана
- •Лекция 10. Изолированные особые точки. Ряды Лорана для функций, аналитических в кольце
- •1. Разложение функции в ряд Лорана
- •2. Нули аналитической функции и их связь с полюсами
- •3. Вычеты. Теорема Коши о вычетах
- •Лекция 11. Вычисление вычетов и применение теории вычетов для вычисления контурных и несобственных интегралов
- •1. Вычисление вычетов
- •2. Вычисление интегралов
- •Лекция 12. Преобразование Лапласа и его свойства. Применение к дифференциальным уравнениям
- •Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия
- •1. Понятия общего и частного решений. Задача Коши и ее разрешимость
- •2. Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений
- •Лекция 14. Системы линейных дифференциальных уравнений
- •1. Глобальная теорема разрешимости начальной задачи для линейной системы дифференциальных уравнений
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость системы произвольных вектор-функций и решений однородной системы уравнений
- •3. Фундаментальная матрица решений и структура общего решения однородной системы
- •4. Структура общего решения неоднородной системы дифференциальных уравнений
- •Лекция 15. Построение фундаментальной матрицы решений дифференциальной системы с постоянной матрицей. Метод Эйлера.
3. Первообразная функции комплексных переменных
Функция называетсяпервообразнойфункции в областив областиеслидифференцируема ви
Из теоремы Коши для односвязной области следует, что интеграл не зависит от формы путиПоэтому можно сформулировать следующее утверждение.
Теорема 1. Если однозначная функция дифференцируема в односвязной областито она имеет первообразную в этой области. Одной из первообразных является интегралгделюбой кусочно-гладкий путь, соединяющий фиксированную точкус текущей точкой. Все остальные первообразные имеют видгдепроизвольная комплексная постоянная.
Доказательство этой теоремы проводится так же, как и в действительном анализе. Используя эту теорему, нетрудно доказать следующие утверждения.
1. Если функция аналитична в односвязной областииеё первообразная в, то справедлива формула Ньютона-Лейбница
2. Если функция аналитична в односвязной областииеё первообразная в, то справедлива формула интегрирования по частям
Замена переменных в интегралах от функции комплексного переменного аналогична случаю функции действительного переменного. Пусть аналитическая функция отображает взаимно однозначно кусочно-гладкий контурв плоскостина контурв плоскости.Тогда
Замечание 2. Интегралы от элементарных однозначных функций в односвязных областях вычисляются по тем же формулам, что и в действительном анализе. Если же областьнеодносвязна, то это правило может нарушаться. Для вычисления интеграла от многозначной функции указывается, какая именно однозначная ветвь ее берется (см. ниже пример 7). Это достигается заданием значения многозначной функции в некоторой точке контура интегрирования. Если контур интегрированиязамкнут, то начальной точкойпути интегрирования считается та, в которой задано значение подынтегральной функции. Рассмотрим примеры.
Пример 3. Вычислитьпо кривой, соединяющей точки.
Решение.Для параболыимеем,. По теореме 1 предыдущей лекции имеем
Пример 4. Вычислить, где– дуга окружности,.
Решение.Положим,. Тогда, и по формуле (49) находим:
Пример 5. Вычислить.
Решение.Так как подынтегральная функцияаналитична всюду, то по формуле (7) вычисляем:.
Пример 6. Вычислить.
Решение.Функцииианалитичны всюду. По теореме 3 предыдущей лекции получаем, что
Пример 7. Вычислить,.
Решение.Функцияявляется многозначной:,;. Условиюудовлетворяет та однозначная ветвь этой функции, для которой. Действительно, при(и так как). Полагая теперь,на кривой, находим,и, следовательно,
============================================================
Лекция 9. Ряды в комплексной области. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Лорана
Пусть дана функциональная последовательность состоящая из комплексных функций (Тогда формальная сумма бесконечного числа слагаемых:
называется рядом,построенным по указанной функциональной последовательности. В частности, если всето ряд будет числовым. При этомобщий член ряда (1), а егоя частичная сумма.Множество
называется областью определения ряда (1).
Определение 1. Говорят, что ряд (1) сходится в точкек суммеесли существует конечный пределего частичных сумм. Это эквивалентно высказываниюЕсли здесь номер не зависит от (т.е.), то говорят, что ряд (1)сходится равномерно по (или равномерно на множестве).
Это определение фактически не отличается от аналогичного определения в действительном анализе. Поэтому здесь также справедливы следующие утверждения.
1. Если ряд (1) сходится в точке , то его общий членпри
2. Если ``модульный ряд'' сходится, то сходится и сам ряд (1)(в этом случае говорят, что ряд (1)сходитсяабсолютно; если ряд (1) сходится, а его ``модульный ряд'' расходится, то говорят, что (1)сходится условно).
Для нахождения области абсолютной сходимости ряда (1) и области его равномерной сходимости надо применить известные признаки сходимости (Даламбера, Коши, интегральный признак, признак Вейерштрасса) к действительному знакоположительному ряду При этом все свойства равномерно сходящихся действительных рядов рядов переносятся и на комплексные ряды. Эти свойства следующие.
3. Если ряд (1) состоит из непрерывных на множестве слагаемыхи сходится к суммеравномерно на множестве, то его сумманепрерывна на.
4. Если ряд (1) сходится равномерно на ограниченной кусочно- гладкой кривой и все его члены непрерывны нато ряд (1) можно интегрировать нат.е.
5. Если все члены ряда (1) аналитичны в ограниченной односвязной области и ряд (1) сходится равномерно в замкнутой областито его суммааналитична впричем
а ряд из производных будет сходиться равномерно по