1)Диф.Ур-ния 1ого порядка.Задача Коши.Теорема существования и единственности решения.

Диф.ур-ния-ур-ния связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решением диф. ур-ния называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Если ур-ние(48.1)можно разрешить отно-

и называют ДУ первого порядка, разрешенными относительно производной.

где Р(х;у) и Q(х;у)- известные функции. Уравнение (48.3) удобно тем,что переменные х и у в нем равноправны, т.е. любую из них можно рассматривать как функцию другой. Отметим,что от одного вида записи ДУ можно перейти к другому.

Геометрический смысл теоремы состоит в том , что при выполнении ее условия сущ. единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку(Хо;Уо).

2)Ур-ния 1ого порядка с разделяющимися переменным.

3)Однородные диф. ур-ния и приводящие к ним.

8)Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости функции.

4)Линейные ур-ния 1ого порядка. Ур-ния Бернулли.

5)Диф.ур-ния высших порядков. Задача Коши. Теорема сущ. и единственности решения

9)Линейный диф. оператор и его св-ва.

Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y = f(x), где y = y(x) — неизвестная функция, a₁(x), a₂(x), ..., a_n-1(x), a_n(x),  f(x) — известные функции, которые будем полагать непрерывными на промежутке (a, b).Выражение в левой части уравнения называется линейным диф. оператором n -го порядка: L(y) = y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y . Уравнения  y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y = 0 и  y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y = f(x),  f(x) № 0, называются соответственно однородным и неоднородным линейным дифференциальным уравнением n -го порядка. Будем записывать однородное и неоднородное линейные дифференциальные уравнения в виде: L(y) = 0 и L(y) = f(x).

Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных уравнений: а) Если  y₁(x) и y₂(x) — два решения однородного линейного уравнения L(y)=0, то их линейная комбинация y(x) = c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x) при любых постоянных c₁, c₂   является решением однородного уравнения. б) Если y₁(x) и  y₂(x) — два решения неоднородного линейного уравнения L(y) = f(x), то их разность y(x) = y₁(x) - y₂(x)является решением однородного уравнения L(y) = 0. в) Любое решение неоднородного линейного уравнения L(y) = f(x) есть сумма частного (фиксированного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.Принцип суперпозиции :Если y₁(x) и  y₂(x) — решения неоднородных линейных уравнений L(y) =  f₁(x) и L(y) =  f₂(x), то их сумма y(x) = y₁(x) + y₂(x) является решением уравнения L(y) =  f₁(x) +  f₂(x).  

6)Ур-ния высших порядков, допускающие понижение порядка.

7)Линейно-зависимые функции и их св-ва.

Функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x), определённые на отрезке [a;b], называются линейно зависимыми на [a;b] , если существуют постоянные α₁, α₂, ..., α_n , не равные нулю одновременно и такие, что α₁y₁(x) + α₂y₂(x) + ... + α_ny_n(x) = 0 для всех x из отрезка [a;b].

В противном случае функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) называются линейно независимыми.

Линейную зависимость и линейную независимость функций определяют также на (a;b) , (a;b] , [a;b) , на бесконечных промежутках.

Справедливо следующее утверждение.

Функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией других на этом отрезке .

Справедливо следующее утверждение.

Функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является на этом отрезке линейной комбинацией других .

Очевидны следующие утверждения.

• Если среди функций y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) есть нулевая функция, то функции линейно зависимы.

• Если функции y₁(x), y₂(x), ..., y_k(x) линейно зависимы, то при любых y_{k + 1}(x), y_{k + 2}(x), ..., y_n (x) функции y₁(x), y₂(x), ..., y_k(x), y_{k + 1}(x), ..., y_n(x) также линейно зависимы.

• Если функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] , то они линейно зависимы и на любом отрезке, лежащем внутри [a;b] .

• Если функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейно независимы на [a;b] , то они линейно независимы и на любом отрезке, содержащем отрезок [а;b] (если, они определены на этом отрезке).

Вектор–функции Y₁(x), Y₂(x), ..., Y_n(x),

называются линейно зависимыми на отрезке [a;b] , если существуют постоянные α₁, α₂, ..., α_n , не равные нулю одновременно и такие, что

α₁ Y₁(x) + α₂ Y₂(x) + ... + α_n Y_n(x) = 0

для всех x из отрезка [a; b].

В противном случае функции Y₁(x), Y₂(x), ..., Y_n(x) называются линейно независимыми.

10)Свойства решений ЛОДУ.Теорема о линейности пространства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. Множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство.  Док-во. Требуется доказать, что множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения (25) (или, что тоже самое, (21)), т.е. не менее n раз дифференцируемых функций y(x) для которых L_n(y) = 0, является линейным пространством. Для этого достаточно доказать, что если функции y, y₁(x), y₂(x) - частные решения (25), то функции Cy, y₁(x) + y₂(x) - тоже частные решения (25). Действительно, пользуясь свойствами пункта14.5.2. Линейный дифференциальный оператор и его свойства, получим если L_n(y) = 0, то L_n(Cy) = CL_n(y) = 0; если L_n(y₁) = 0 и L_n(y₂) = 0, то L_n(y₁ + y₂) = L_n(y₁) + L_n(y₂) = 0.  Следствие. Если y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) - частные решения уравнения (25), то их линейная комбинация C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) - тоже частное решение этого уравнения.Теперь мы займемся определением размерности этого пространства и нахождением его базиса. Предварительно сформулируем и докажем несколько свойств определителя Вронского системы решений уравнения (25).  Теорема 1 Пусть y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения. Если определитель Вронского этой системы функций равен нулю в некоторой точке  , то система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависима, и её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b).  Док-во. Пусть  . Тогда однородная система линейных алгебраических уравнений, для которой W(x₀) является определителем, имеет нетривиальное решение относительно C₁, C₂, …, C_n. Рассмотрим линейную комбинацию функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) с этими коэффициентами C₁, C₂, …, C_n: y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x). Эта функция удовлетворяет уравнению (25) и, как следует из приведённой выше системы, имеет нулевые начальные условия в точке x₀, т.е. является решением задачи Коши  ,    Этой же задаче Коши удовлетворяет и функция y(x) = 0, тождественно равная нулю на интервале (a, b). Вследствие единственности решения задачи Коши y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) = 0  для  . Таким образом, система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависима на (a, b), и по Теореме 14.5.4 о вронскиане линейно зависимой системы её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b).  Теорема  Если определитель Вронского W(x) системы y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения отличен от нуля в некоторой точке  , то W(x) отличен от нуля в любой точке этого интервала.Док-во легко проводится от противного. Если предположить, что в некоторой точке   определитель Вронского равен нулю, то по предыдущей теореме он тождественно равен нулю на (a, b), что противоречит условию  .  Содержание двух предыдущих теорем можно изложить так:  Теорема 14.5.4.4. Если W(x) - определитель Вронского системы y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, то либо   на интервале (a, b) (что означает линейную зависимость этих решений на (a, b)), либо   в любой точке этого интервала (что означает линейную независимость этих решений на (a, b)).