Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
матан.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
26.09.2019
Размер:
14.28 Mб
Скачать

1)Диф.Ур-ния 1ого порядка.Задача Коши.Теорема существования и единственности решения.

Диф.ур-ния-ур-ния связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решением диф. ур-ния называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Если ур-ние(48.1)можно разрешить отно-

и называют ДУ первого порядка, разрешенными относительно производной.

где Р(х;у) и Q(х;у)- известные функции. Уравнение (48.3) удобно тем,что переменные х и у в нем равноправны, т.е. любую из них можно рассматривать как функцию другой. Отметим,что от одного вида записи ДУ можно перейти к другому.

Геометрический смысл теоремы состоит в том , что при выполнении ее условия сущ. единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку(Хо;Уо).

2)Ур-ния 1ого порядка с разделяющимися переменным.

3)Однородные диф. ур-ния и приводящие к ним.

8)Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости функции.

4)Линейные ур-ния 1ого порядка. Ур-ния Бернулли.

5)Диф.ур-ния высших порядков. Задача Коши. Теорема сущ. и единственности решения

9)Линейный диф. оператор и его св-ва.

Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (xy' + an(x) y = f(x), где y = y(x) — неизвестная функция, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x),  f(x) — известные функции, которые будем полагать непрерывными на промежутке (a, b).Выражение в левой части уравнения называется линейным диф. оператором n -го порядкаL(y) = y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (xy' + an(x) y . Уравнения  y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (xy' + an(x) y = 0 и  y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (xy' + an(x) y = f(x),  f(x) № 0, называются соответственно однородным и неоднородным линейным дифференциальным уравнением n -го порядка. Будем записывать однородное и неоднородное линейные дифференциальные уравнения в виде: L(y) = 0 и L(y) = f(x).

Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных уравнений: а) Если  y1(x) и y2(x) — два решения однородного линейного уравнения L(y)=0, то их линейная комбинация y(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x) при любых постоянных c1c2   является решением однородного уравнения. б) Если y1(x) и  y2(x) — два решения неоднородного линейного уравнения L(y) = f(x), то их разность y(x) = y1(x) - y2(x)является решением однородного уравнения L(y) = 0. в) Любое решение неоднородного линейного уравнения L(y) = f(x) есть сумма частного (фиксированного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.Принцип суперпозиции :Если y1(x) и  y2(x) — решения неоднородных линейных уравнений L(y) =  f1(x) и L(y) =  f2(x), то их сумма y(x) = y1(x) + y2(x) является решением уравнения L(y) =  f1(x) +  f2(x).  

6)Ур-ния высших порядков, допускающие понижение порядка.

7)Линейно-зависимые функции и их св-ва.

Функции y1(x), y2(x), ..., yn(x), определённые на отрезке [a;b], называются линейно зависимыми на [a;b] , если существуют постоянные α1, α2, ..., αn , не равные нулю одновременно и такие, что α1y1(x) + α2y2(x) + ... + αnyn(x) = 0 для всех x из отрезка [a;b].

В противном случае функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) называются линейно независимыми.

Линейную зависимость и линейную независимость функций определяют также на (a;b) , (a;b] , [a;b) , на бесконечных промежутках.

Справедливо следующее утверждение.

Функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией других на этом отрезке .

Справедливо следующее утверждение.

Функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является на этом отрезке линейной комбинацией других .

Очевидны следующие утверждения.

• Если среди функций y1(x), y2(x), ..., yn(x) есть нулевая функция, то функции линейно зависимы.

• Если функции y1(x), y2(x), ..., yk(xлинейно зависимы, то при любых yk + 1(x), yk + 2(x), ..., yn (x) функции y1(x), y2(x), ..., yk(x), yk + 1(x), ..., yn(x) также линейно зависимы.

• Если функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] , то они линейно зависимы и на любом отрезке, лежащем внутри [a;b] .

• Если функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейно независимы на [a;b] , то они линейно независимы и на любом отрезке, содержащем отрезок [а;b] (если, они определены на этом отрезке).

Вектор–функции Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x),

называются линейно зависимыми на отрезке [a;b] , если существуют постоянные α1, α2, ..., αn , не равные нулю одновременно и такие, что

α1 Y1(x) + α2 Y2(x) + ... + αn Yn(x) = 0

для всех x из отрезка [a; b].

В противном случае функции Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) называются линейно независимыми.

10)Свойства решений ЛОДУ.Теорема о линейности пространства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. Множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство.  Док-во. Требуется доказать, что множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения (25) (или, что тоже самое, (21)), т.е. не менее n раз дифференцируемых функций y(x) для которых Ln(y) = 0, является линейным пространством. Для этого достаточно доказать, что если функции yy1(x), y2(x) - частные решения (25), то функции Cyy1(x) + y2(x) - тоже частные решения (25). Действительно, пользуясь свойствами пункта14.5.2. Линейный дифференциальный оператор и его свойства, получим если Ln(y) = 0, то Ln(Cy) = CLn(y) = 0; если Ln(y1) = 0 и Ln(y2) = 0, то Ln(y1 + y2) = Ln(y1) + Ln(y2) = 0.  Следствие. Если y1(x), y2(x), …, yn(x) - частные решения уравнения (25), то их линейная комбинация C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) - тоже частное решение этого уравнения.Теперь мы займемся определением размерности этого пространства и нахождением его базиса. Предварительно сформулируем и докажем несколько свойств определителя Вронского системы решений уравнения (25).  Теорема 1 Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения. Если определитель Вронского этой системы функций равен нулю в некоторой точке  , то система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима, и её определитель Вронского тождественно равен нулю на (ab).  Док-во. Пусть  . Тогда однородная система линейных алгебраических уравнений, для которой W(x0) является определителем, имеет нетривиальное решение относительно C1C2, …, Cn. Рассмотрим линейную комбинацию функций y1(x), y2(x), …, yn(x) с этими коэффициентами C1C2, …, Cny(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x). Эта функция удовлетворяет уравнению (25) и, как следует из приведённой выше системы, имеет нулевые начальные условия в точке x0, т.е. является решением задачи Коши    Этой же задаче Коши удовлетворяет и функция y(x) = 0, тождественно равная нулю на интервале (ab). Вследствие единственности решения задачи Коши y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) = 0  для  . Таким образом, система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима на (ab), и по Теореме 14.5.4 о вронскиане линейно зависимой системы её определитель Вронского тождественно равен нулю на (ab).  Теорема  Если определитель Вронского W(x) системы y1(x), y2(x), …, yn(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения отличен от нуля в некоторой точке  , то W(x) отличен от нуля в любой точке этого интервала.Док-во легко проводится от противного. Если предположить, что в некоторой точке   определитель Вронского равен нулю, то по предыдущей теореме он тождественно равен нулю на (ab), что противоречит условию  .  Содержание двух предыдущих теорем можно изложить так:  Теорема 14.5.4.4. Если W(x) - определитель Вронского системы y1(x), y2(x), …, yn(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, то либо   на интервале (ab) (что означает линейную зависимость этих решений на (ab)), либо   в любой точке этого интервала (что означает линейную независимость этих решений на (ab)).