3. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Линейная независимость комплексных решений

Напомним, что комплексными числаминазывают числа видагдеи– действительные числа,–– мнимая единица (). При этомназывается действительной частью, а– мнимой частьюкомплексного числа. Числоназывается сопряженнымчислуа неотрицательное числоназывается модулемчисла. Множество всех комплексных чисел обозначают буквой. Каждому комплексному числусоответствует единственная точкана плоскостиили радиус-векторэтой точки. При этом осьназывается действительной осью, с ось– мнимой осью. Сама плоскостьназывается комплексной плоскостью; ее тоже обозначают буквой. Уголназывается аргументомкомплексного числа. Ясно, что аргумент определяется неоднозначно. Главным значениемаргумента называется уголлежащий в пределах(или в пределах). Главное значение аргумента обозначается так:. Из рис. 1 видно, чтоЗначит, комплексное число можно записать еще в видеЭта форма называется тригонометрической формойчисла, а его первоначальная форма–алгебраической формой комплексного числа. Если воспользоваться формулой Эйлера

то можно получить еще одну форму комплексного числаназываемую показательной формойчисла.

Два комплексных числа называются равными, если равны одновременно порознь действительные и мнимые части этих чисел, т.е.

Действия над комплексными числами определяются равенствами:

Умножение комплексных чисел (и их деление) лучше производить в тригонометрической форме:

Отсюда вытекает известная фoрмула

называемая формулой Муавра. С помощью нее можно определить операцию извлечения корня-й степени из комплексных чисел.

Определение 2.Отображение, ставящее в соответствие каждому действительному числуединственное комплексное числоназывается комплексной функцией действительной переменнойс областью определения

Над такими функциями можно производить обычные арифметические действия. Например,

Комплексная экспонента вычисляется по формуле Эйлера

Отсюда легко получить формулы для синуса и косинуса комплексного аргумента:

Производные комплексной функции действительного аргумента определим равенствами:

а интеграл – равенством

Например,

Пусть теперь дано дифференциальное уравнение

в котором участвуют только функции действительного аргумента (в том числе и комплексные функции действительной переменной ). Комплексное решение этого уравнения определяется так же, как и действительное решение: функцияназывается решением уравнения (11) на отрезкеесли она, будучи подставлена в уравнение (11), обращает его в тождество на отрезкеЗадача Коши для уравнения (11) ставится аналогично (только здесь начальная точка может быть комплексной). Нас будет интересовать линейное дифференциальное уравнение

с действительными коэффициентами и с комплексной неоднородностью(и– действительные функции). Ясно, что операторостается линейным и в пространствекомплекснозначных функций. Докажем следующее утверждение.

Есликомплексное решение уравнения (12) с действительными коэффициентамито его действительнаяи мнимаячасти являются решениями уравнений

В самом деле, в силу линейности оператора имеем

Приравнивая здесь отдельно действительную и мнимую части, получаем тождества

ч.т.д.

Полагая здесь получаем следующий результат.

Действительная и мнимая части комплексного решенияоднородного дифференциального уравненияс действительными коэффициентамитакже являются решениями этого уравнения (т.е.).

Линейная зависимость и линейная независимость на отрезке системы комплекснозначных функцийопределяется так же, как и для системы действительных функций. Только здесь коэффициентылинейной комбинации могут быть комплексными числами. Все теоремы 1–8 предыдущей лекции остаются в силе и для комплексных решений.

В дальнейшем потребуется факт линейной независимости некоторых систем комплекснозначных и действительных функций, описанных ниже.

Система функций

где все числа (комплексные или действительные) попарно различны (т.е.) линейно независима на произвольном отрезке

Доказательство.Запишем вронскиан

(здесь из каждого столбца вынесли общий множитель – соответствующую экспоненту). Стоящий здесь определитель (его называют определителем Вандермонда) равен произведению двучленовдля всехтаких, что, т.е.Этот факт можно показать по индукции, но мы не будем этого делать. Проверим его только для определителя Вандермонда

третьего порядка. Прибавляя ко второй строке определителя его первую строку, умноженную на (), а к третьей строке – вторую, умноженную на (), будем иметь

Итак, определитель Вронcкого имеет вид

Поскольку у нас при() и экспонента в нуль не обращается, тона любом отрезкеСвойстводоказано.

Пусть дана система действительных функций

Если числа попарно различны, то указанная система функций линейно независима на любом отрезке

Доказательство.Проведем его для системы функций

Составим их линейную комбинацию и приравняем ее нулю:

Используя формулы

перепишем предыдущее тождество (15) в виде

где обозначено: По условию числапопарно не равны друг другу, но тогда попарно не равны друг другу и числа(учесть, чтои– действительные числа). По свойствусистема функцийлинейно независима на любом отрезке. Значит, тождество (16) имеет место тогда и только тогда, когда одновременно

Из равенств

получаем, что тогда и числа Итак, в тождестве (15) все числаa значит система функцийлинейно независима на любом отрезкеСвойстводоказано.

Аналогичными рассуждениями может быть доказано следующее утверждение.

Если числапопарно не равны друг другу, то система функций

где – натуральные числа (), линейно независимы на произвольном отрезкеЛинейно независимой будет также система, образованная действительными и мнимыми частями функций (17).