2. Линейная зависимость и линейная независимость системы произвольных вектор-функций и решений однородной системы уравнений

Эти понятия встречались при изучении скалярных дифференциальных уравнений. На вектор-функции они обобщаются следующим образом.

Определение 3.Система вектор-функций

называется линейно зависимой на отрезке, если существуют числа, не равные нулю одновременно, такие, что для всехимеет место тождество

Если же тождество (6), где – числа, имеет место тогда и только тогда, когда всето система вектор-функцийназываетсялинейно независимой на отрезке .

Заметим, что векторное тождество (6) эквивалентно скалярным тождествам

Определение 4.Определитель

столбцами которого являются вектор-функции называется определителем Вронского (или вронскианом) системы вектор-функций

Теорема 2 (необходимое условие линейной зависимости). Если система вектор-функций линейно зависима на отрезке, то их вронскиантождественно обращается в нуль на этом отрезке, т.е..

Доказательство.Так как вектор-функциилинейно зависимы на отрезке, то существуют числа, не равные нулю одновременно, такие, что имеет место тождество (6). Но это означает, что эквивалентная им линейная система (7) алгебраических уравнений имеет при всехнетривиальное решение. Это возможно лишь в том случае, когда определитель системы (7) обращается в нуль при всех. Остается заметить, что указанный определитель совпадает с вронскианом системы функций. Теорема доказана.

Следствие 1.Если вронскиан не обращается в нуль хотя бы в одной точке, то система вектор-функцийлинейно независима на отрезке(если, конечно, она имеет смысл на этом отрезке).

Как и в скалярном случае, из тождества еще не следует, что система вектор-функцийлинейно зависима на отрезкеНапример, вектор-функции

линейно независимы на любом отрезке (докажите это!), а их вронскиан

тождественно равен нулю на отрезке . Однако для системы решений однородной системы

с непрерывной на отрезке матрицей теорему 2 можно обратить.

Теорема 3. Пусть – система решений однородной дифференциальной системы (8) с непрерывной на отрезкематрицей. Тогда имеют место следующие утверждения:

1) решения линейно независимы на отрезкетогда и только тогда, когда их вронскианнe обращается в нуль ни в одной точке отрезка;

2) решения линейно зависимы на отрезкетогда и только тогда, когда их вронскиантождественно равен нулю на отрезке.

Докажем, например, утверждение 1). Достаточность его очевидна, так как если хотя бы в одной точкеотрезка, то из следствия 1 вытекает, что функциилинейно независимы на отрезке. Докажем необходимость.

Пусть решения системы (8) линейно независимы на отрезке. Предположим, что существует точкатакая, что. Отсюда следует, что столбцыопределителялинейно зависимы, т.е. существуют числа, не равные нулю одновременно, такие что

Рассмотрим вектор-функцию В силу линейности пространстварешений однородной системы (8) эта функция является решением указанной дифференциальной системы. Из (9) следует, что она удовлетворяет начальному условиюНо такому же начальному условию удовлетворяет и тривиальное решениесистемы (8). В силу единственности решения вектор-функцииисовпадают на отрезке, т.е.Следовательно,

Поскольку здесь числа не равны нулю одновременно, то это означает, что решениялинейно зависимы на отрезке, чего не может быть. Значит, равенстволожно, поэтомупри всех. Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекают следующие свойства вронскиана системы решенийоднородной диффернциальной системы (8) с непрерывной на отрезкематрицей:

если вронскиан обращается в нуль хотя бы в одной точкеотрезка, то;

если вронскиан не равен нулю хотя бы в одной точкеотрезка, то он не равен нулю на всем отрезке.

Эти свойства становятся очевидными, если воспользоваться формулой Лиувилля

где – решения однородной системы (8) с непрерывной на отрезкематрицей, а– произвольная фиксированная точка этого отрезка. Черезобозначен след матрицы, т.е. сумма всех ее элементов, стоящих на главной диагонали: