2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной

Пусть функция дифференцируема в точкеиПри отображениивекторисходящий из точкипереходит в

Рис. 8

бесконечно малый вектор исходящий из точкиа гладкая криваяпереходит в гладкую кривую(см. рис. 8). Посколькуто выполняются одновременно следующие соотношения:

Отсюда следует, что с точностью до выполняются равенства

Эти равенства позволяют сделать следующие выводы (геометрический смысл модуля и аргумента производной ):

а) модуль равен коэффициенту растяжения (сжатия) бесконечно малого вектораисходящего из точкипри отображении

б) аргумент равен углу поворотабесконечно малого вектораисходящего из точкипри отображении

Эти утверждения верны для произвольного бесконечно малого вектора исходящего из точкипричем утверждение б) будет верно для любых гладких кривыхисходящих из точки(в этом случае векторкасается кривойв точке). Еслиидве гладкие кривые, исходящие из точкито из утверждения б) следует, что при отображенииони развернутся на один и тот же угол, т.е. угол между кривымиипри отображениисохраняется. Более того, сохраняется и направление этого угла. Исходя из сказанного, вводят следующее понятие.

Определение 4. Отображение окрестноститочкина окрестностьточкиназываетсяконформным, если оно обладает постоянством растяжения (сжатия) бесконечно малых элементов и сохранением углов и их направлением между любыми двумя гладкими кривымиОтображение называется конформным в области , если оно конформно в каждой точке области и если функцияявляется аналитической и однолистной в области.

Теорема 2. Пусть функция – однолистная и аналитическая в областиив каждой точке области. Тогда отображениебудет конформным в области.

Доказательство этого утверждения вытекает из геометрического смысла производной и ее аргумента. Например, главная ветвь логарифма является конформным отображением области на областьКонформные отображения играют важную роль в прикладных науках. Однако подробное их изучение в нашем курсе не позволяет дефицит времени. Читателю, заинтересованному в более детальном ознакомлении с теорией конформных отображений, рекомендуем книгу Б.А. Фукса и Б.В. Шабата ``Функции комплексного переменного и некоторые их приложения'' (ГИФМЛ, Москва, 1959) .

======================================================

Лекция 8 . Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши и для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование всех производных для аналитической функции

Везде ниже, если не оговорено противное, функция предполагается однозначной в своей области определения. Пусть в плоскостизадана некоторая ориентированная кривая(начало,конец). Каждой точкеплоскостисоответствует единственное комплексное число(и обратно), поэтому будем отождествлять точкуи соответствующее комплексное числои будем писатьПусть функцияопределена на кривой. Разобъём кривуюна частичные дугиточкамив направлении ориентации кривой:

Возьмём произвольно точку и составим интегральную суммуОбозначимдиаметр разбиения.

Определение 5. Если существует конечный предел интегральных сумм:

и он не зависит от вида разбиения и выбора точек, то его называют интегралом от функциивдоль кривой (дуги)и обозначаютПри этом функциюназываетсяинтегрируемой на кривой.

Сразу же отметим свойство ориентированности этого интеграла:

которое вытекает из того, что при ориентации кривой от довекторзаменяется на векторКроме того, интеграл от комплексной функции, очевидно, обладает свойствами линейности и аддитивности, которые мы не выписываем. Следующее утверждение позволяет свести комплексный интеграл к двум действительным криволинейным интегралам.

Теорема 3.Пусть ограниченная дуга кусочно-гладка и лежит вобласти определения функии. Пусть, кроме того,непрерывна на дуге.Тогда имеет место равенство

Доказательство.Преобразуем в интегральной сумме (5) слагаемое:

Тогда интегральная сумма в равенсте (5) примет вид

Здесь действительная часть является интегральной суммой для криволинейного интеграла , а мнимая часть – интегральной суммой для криволинейного интеграла. Так как функциянепрерывна на дугето на этой дуге непрерывны ее действительная частьи мнимая частьпоэтому указанные криволинейные действительные интегралы существуют. Переходя к пределу в равенстве (7) приполучаем равенство (6). Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекают свойства линейности, аддитивности и другие свойства комплексного интеграла. В частности, справедлива теорема об оценке интеграла.

Теорема 4. Если функция непрерывна на кусочно-гладкой ограниченной кривой то имеет место неравенство

где – длина дуги.

Из теоремы 3 вытекает также следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть дуга задана параметрически уравнением

причем функция непрерывна на отрезкеи дуга ориентирована по возрастанию параметра (т.е.– начало,конец дуги). Пусть, кроме того, функциянепрерывна на дуге.Тогда имеет место равенство

В качестве примера вычислим имеющий широкое применение в дальнейшей теории интеграл Покажем, что

Имеем

Если тоЕслито

Равенство доказано.