Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Сила тяги реактивного двигателя
Для реактивных ракет и самолетов, движущихся
в земной атмосфереи околоземном пространстве, внешняя сила F в уравнении Мещерского (8.3) является равнодействующей силы земной гравитации и сил взаимодействия с обтекающим тело воздухом ---- лобового
сопротивления и подъемной силы.
Отметим, что сила тяжести, действующая на ракету,
является переменной. Представим ее в виде, применимом для земной поверхности: Fт= mg. Отсюда видно,
что Fтубывает по мере уменьшения массы ракеты
(выгорания топлива), а также изменяется за счет зависимости ускорения свободного падения от высоты:
g = g(h) ---- уменьшается при подъеме и увеличивается
при спуске. На стартовом участке траектории, когда
ускорение свободного падения можно считать постоянным, изменение силы тяжести обусловлено только
выгоранием топлива. Зависимость массыракеты отвремени вычисляется по формуле
t
Z
m = m0−
где m0---- начальная масса. При постоянном во времени
расходе топлива масса и сила тяжести уменьшаются со
временем линейно
dm
dt0,
0
dt
0
m = m0−
dm
t, Fт= m0−
dt
dm
t!g. (8.6)
dt
8.2. Сила тяги реактивного двигателя
Силой тяги реактивного двигателя называется осевая равнодействующая сил давления, распределенных
по поверхности летательного аппарата (рис. 8.1). Она
складывается из сил статического давления газов Fг,
действующих на внутреннюю поверхность камеры сгорания, и сил статического атмосферного давления F0,
действующих на внешнюю поверхность:
T = Fг+ F0. (8.7)
291
Г л а в а VIII
S
P
г
P
0
P
0
F
г
F
0
C
n
2
α
2
4F
2
4S
2
4S
4F
1
4S
1
n
1
α
1
Пусть на тело произвольной формы действуют силы
внешнего атмосферного давления. Выделим пространственную трубку в форме цилиндра или призмы поперечного сечения 4S, пересекающую тело (рис. 8.2).
Рис. 8.2
Сечение трубки должно быть достаточно малым, чтобы площадки
на пересечении трубки и поверхности тела можно было считать
Рис. 8.1
составляют с осью трубки углы α1и α2, то величины площадок соответственно равны: 4S1= 4S/ cos α
и 4S2= 4S/ cos α2. Силы атмосферного давления, действующие на площадки 4S1и 4S2, по величине равны
4F1= P04S1и 4F2= P04S2(P0---- атмосферное давле-
ние) и направлены противоположно внешним нормалям. Осевые составляющие этих сил
(4F1)k= 4F1cos α1= P04S и
плоскими. Если внешние нормали к этим площадкам n1и n
2
1
(4F2)k= 4F2cos α2= P04S
равны по величине и противоположны по направлению для любых α1и α2. Пересекая весь объем тела
множеством тонких трубок, параллельных оси x, получим в сумме Fx= 0. Аналогично для осей y и z Fy= 0
и Fz= 0. Таким образом, сила внешнего атмосферно-
го давления, действующая на замкнутую поверхность
тела произвольной формы, равна нулю. Точно так же
можно доказать, что сила внутреннего давления газов,
находящихся в замкнутой полости произвольной фор-292
Сила тяги реактивного двигателя
мы внутритела, равнанулю. Отличиезаключается лишь
в том, что направления векторов 4F1и 4F2на рис. 8.2
изменятся на противоположные.
Применим полученный результат и рассмотренный
метод к вычислению силы тяги реактивного двигателя ракеты. Статические силы внешнего атмосферного давления скомпенсированы по всей поверхности,
за исключением сечения сопла, где давление отличается от атмосферного. Поэтому, как видно из рис. 8.1,
независимо от формы корпуса
F0= −P0S n, (8.8)
где S ---- площадь сечения выходного отверстия сопла,
n ---- единичный вектор в направлении движения ракеты. Эта сила направлена против движения ракеты, линия ее действия проходит через геометрический центр
отверстия сопла перпендикулярно сечению. Аналогично силы давления газов, действующие на внутреннюю
поверхность камеры сгорания, в поперечных направлениях скомпенсированы, а в осевом направлении их равнодействующая равна
Fг= PгS n. (8.9)
Сила тяги (8.7)с учетом (8.8) и(8.9) получается равной
T = (Pг− P0)S n. (8.10)
Далее будем считать, что линии действия сил F0, F
и T проходят через центр масс ракеты C, то есть эти
силы не создают вращающего момента относительно
центра масс. При выполнении данного условия движение ракеты будет поступательным, то есть его можно
рассматривать как движение материальной точки. Режим полета, при котором вращающий момент отличен
от нуля, используется для маневрирования и корректировки курса ракеты.
Сила тяги (8.10) может быть выражена через секундный расход топлива и, как следствие, через реактивную силу(8.4). Пусть dm ---- масса газов, выбрасываемых
из сопла за время dt. Скорость этой порции газов в начале промежутка времени dt равна скорости ракеты v,
а в конце ---- скорости газовой струи vгв неподвижной
системе отсчета. Изменение скоростиза время dt равно
скорости струи относительно ракеты: v
−v =u. 293
г
г
Г л а в а VIII
Используемые здесь обозначения скоростей по
смыслу полностью соответствуютобозначениям предыдущего параграфа. Изменение импульса массы газа
dm за время dt равно dp = u dm. Согласно второму закону Ньютона это изменение импульса создается силой,
обусловленной разностью давления Pгв объеме камеры сгорания и давления Pвна выходе из сопла:
dp = u dm = −(Pг− Pв)S n dt.
Здесь учтено, что относительная скорость струи u
и сила, действующая на выбрасываемую порцию газа,
направлены противоположно движению ракеты (вектору n). Статическое давление газов на выходе из сопла
Pвзначительно меньше давления Pгв объеме камеры
сгорания. В некоторых случаях оно может быть даже
меньше атмосферного давления P0. Из полученного равенства находим
PгS n = PвS n − u
Производная dm/dt в данномслучае по смыслу представляет собой скорость истечения массы реактивных
газов из сопла, однако при стационарной работе двигателя, когда давление, температура и плотность газов
в камере сгорания постоянны, эта величина в соответствии с законом сохранения массы равна секундному
расходу топлива. Подставив (8.11) в (8.10), получим
T = −u
где Fр---- реактивная сила (8.4). Принципиальное значение полученного выражения состоит в том, что уско-
ренное движение ракеты возможно в безвоздушном пространстве (при P0= 0). В отличие от самолетов с вин-
товыми двигателями, сила тяги которых обусловлена
отталкиванием от окружающего воздуха, для реактивных ракетатмосферное давление является тормозящим
фактором ---- увеличение P0при заданных Fри Pвприводит к уменьшению силы T (8.12).
Учет отличия статического давления газов в реактивной струе Pвот внешнего атмосферного давления
P0указывает на то, что в уравнении Мещерского (8.3),
(8.5) реактивная сила (8.4) должна быть заменена на
силу тяги (8.12).294
dm
+ (Pв− P0)S n = Fр+ (Pв− P0)S n, (8.12)
dt
dm
. (8.11)
dt
Формула Циолковского
Отметим, что осевая сила тяги, как видно из (8.12),
является характеристикой реактивного двигателя
и не зависит от параметров летательного аппарата,
на котором установлен двигатель. При движении в атмосфере наряду с силой тяги на ракету действуют аэродинамические силы ---- лобовое сопротивление и подъемная сила. Баллистические ракеты обычно имеют осевую симметрию, так как подъемная сила в их движении
не используется. Крылатые ракеты, применяемые для
перемещения по низким горизонтальным траекториям,
имеют форму, подобную форме самолета, в их аэродинамических характеристиках подъемная сила играет
существенную роль.
Одной из технических характеристик реактивного двигателя является удельная тяга или эффективная
скорость истечения газа
T = uэф=
T
. (8.13)
dm/dt
Эта величина с размерностью скорости численно равна
отношению силы тяги двигателя к массе секундного
расхода топлива.
8.3. Формула Циолковского
Представим силу тяги через эффективную скорость
истечения газа
T = −u
dm
. (8.14)
эф
dt
Данное равенство имеетвид аналогичный (8.4). Сравнивая его с (8.12), получим
uэф= u −
uэф= u +
(Pв− P0)S
dm/dt
(Pв− P0)S
dm/dt
n или
(8.15)
,
так как векторы u и −n имеют одно направление.
При малом значении разности давлений Pв−P0и большом расходе топлива uэфблизка к относительной скорости реактивной струи u. Отметим, что на стартовом
участке даже при стационарной работе двигателя, когда u, P
и dm/dt ---- постоянные величины,эффективная 295
в
Г л а в а VIII
скорость истечения будет переменной, поскольку атмосферное давление P0уменьшается с высотой подъема,
а uэфпри этом растет.
Возьмем максимальную эффективную скорость ис-
течения газов при заданном режиме работы двигателя
dM
dt
PвS
dm/dt
= M
эф
. (8.16)
dv
.
dt
dM
M
M
0
. (8.17)
M
uэф= u +
Она соответствует движению ракеты за пределами
земной атмосферы (P0= 0). Скорость изменения мас-
сы ракеты M, очевидно, равна dM/dt = −dm/dt ---- масса
уменьшается за счет выгорания топлива. Уравнение
движения без учета сил гравитации и аэродинамического сопротивления имеет вид
u
эф
Вектор приращения скорости ракеты dv и вектор
эффективной скорости истечения газов uэфнаправлены в противоположные стороны, так как d M/dt < 0.
Преобразуем последнее равенство к виду
dv = u
и проинтегрируемлевую и правую части, считая вектор
uэфпостоянным и равным по величине (8.16):
v = uэфln M + C.
Постоянная интегрирования C определится из на-
чального условия: если в начальный момент времени
v = 0, а масса ракеты равна M0, то C = −ln M0. В резуль-
тате получаем
v = uэфln
M
или v = uэфln
M
0
Скорости v и uэфнаправлены в противоположные
стороны, M < M0, в скалярной форме v и uэф---- абсолютные величины соответствующих скоростей. Равенство (8.17) называется формулой Циолковского. Она выражает закон изменения скорости реактивной ракеты
как функции ее массы в простейшем случае отсутствия
внешних сил.296
Формула Циолковского
При старте с поверхности Земли скорость ракеты при заданном отношении M0/M будет существенно
меньше величины, получаемой из (8.17) для uэф(8.16),
потому что, во-первых, часть кинетической энергии
расходуется на преодоление земного тяготения и аэродинамического сопротивления атмосферы, во-вторых,
эффективная скорость истечения газов (8.15) за счет
действия статического атмосферного давления P0будет меньше теоретического предела (8.16).
Начальная масса ракеты M0складывается из массы конструкции Mки массы топлива Mт: M0= Mк+ Mт.
Максимальная скорость, вычисленная по формуле
Циолковского при M = Mк= M0−Mт, то есть при полном сгорании топлива:
M
v
max
= uэфln
0
= uэфln 1 +
M
к
называется характеристической скоростью ракеты.
Она имеет смысл предельной скорости, развиваемой
ракетой при старте из удаленной от гравитирующих
тел точки при заданном соотношении Mт/Mки заданных параметрахработы двигателя(uэф). Дляповышения
характеристической скорости и, следовательно, реальной скорости ракеты в соответствии с (8.18) нужно
увеличивать эффективную скорость истечения газов
и отношение массы топлива к массе конструкции. При
этом нужно иметь ввиду, чтоувеличение массытоплива
влечет за собой и увеличение массы конструкции, поскольку увеличиваются размеры топливных емкостей.
Расчет по формуле Циолковского дает, что при
uэф= 2 км/с и отношении M0/Mк= 3, 5 v
что недостаточно для достижения первой космической
скорости v1≈ 7, 91 км/с. При том же соотношении
M0/Mкдля v
= v1требуется эффективная скорость
max
истечения газов uэф≈ 6, 3 км/с. Максимальное зна-
чение uэфдля реактивных двигателей, работающих
на жидких топливах, ограничивается свойствами этих
топлив и в настоящее время не превосходит 5 км/с.
При такой эффективной скорости истечения для
v
= v1отношение M0/Mкдолжно быть равно при-
max
мерно 4, 9 , а при u
= 2 км/с ---- более 50. 297
эф
!
M
т
, (8.18)
M
к
= 2, 5 км/с,
max
Г л а в а VIII
C D E
Напомним, что речь идет о характеристической скорости, а не о реальной скорости, развиваемой ракетой, которая при тех же технических параметрах будет
заметно меньше из-за тормозящего действия земной
гравитации и лобового сопротивления в атмосфере.
Расчеты, проведенные с учетом тяготения и аэродинамического сопротивления для космического корабля
A
ВостокB, масса которого составляла 5 тонн, показали,
что для вывода на орбиту с помощью одноступенчатой
ракеты потребовалось бы соотношение M0/Mк≈ 45,
то есть начальная масса должна быть не менее 225 тонн.
Идея решения этой проблемы была высказана еще
К.Э. Циолковским. Он предложил использовать составную (многоступенчатую) ракету. Многоступенчатая ракета (рис. 8.3) состоит из нескольких соединенных между собой ракет, каждая из которых имеет свой
двигатель и свой запас топлива. После выгорания всего
топлива в очередной ступени происходит ее отделение
и автоматическоевключение двигателя следующей ступени. При этом масса конструкции уменьшаетсяза счет
массы отделенной ступени, что в соответствии с (8.18)
приводит к увеличению отношения характеристической скорости к скорости истечения газов.
Рис. 8.3
Пусть M1---- масса первой ступени ракеты с топливом, M1т---- масса топлива в первой ступени. После
полного выгораниятоплива в первой ступени и до ее отделения характеристическая скорость ракеты, вычисленная по формуле (8.18), будет равна
v
max1
= uэфln
M
0
M0− M
= uэфln 1 +
1т
M
M
!
1т
1к
где M1к= M0−M1т---- масса ракеты, включающая конструкцию первой ступени без топлива. После отделения
первой ступени масса ракеты составит M0−M1. Выгорание всей массы M2ттоплива второй ступени приведет
298
, (8.19)
Формула Циолковского
к увеличению характеристической скорости, вычисляемому аналогично:
4v
max2
= uэфln
M0− M
M0− M1− M
1
= uэфln 1 +
2т
где M2к= M0− M1− M2т---- масса после выгорания топлива второй ступени, но до ее отделения. Эффективную
скорость истечения газов для простоты считаем одинаковой в двигателях всех ступеней. Приобретенная скорость добавится к скорости (8.19), развиваемой за счет
первой ступени, в результате характеристическая скорость в момент отделения второй ступени составит
v
max2
= u
= v
эф
ln
+ 4v
max1
M
M0− M
=
max2
0
+ ln
1т
M0− M
M0− M1− M
!
1
2т
Введем числа
ki=
M0− M1− . . . − M
M0− M1− . . . − M
i−1
i−1
− M
= 1 +
iт
(M
M
i−1)к
выражающие отношения массы ракеты после отделения (i − 1) ---й ступени к массе после выгорания топлива и до отделения i--- й ступени. Здесь Mi---- масса i---й
ступени с топливом, Miт---- масса топлива i--- й ступени, (M
= M0− M1− . . . − M
i−1)к
− Miт---- масса ракеты
i−1
в момент, предшествующий отделению i---й ступени.
Выражение для характеристической скорости двухступенчатой ракеты (8.20) примет вид
v
= uэф(ln k1+ ln k2) = uэфln(k1· k2),
max2
для n---ступенчатой ракеты при одинаковой эффективной скорости истечения газов для всех двигателей ----
v
= uэфln(k1· k2· . . . · kn). (8.22)
max
Полученное выражение называют формулой Циол-
ковского для многоступенчатой ракеты. Она позволяет
оценить теоретический пределскорости n---ступенчатой
ракеты при одинаковых uэфвсех двигателей без учета
земного тяготения и аэродинамического сопротивления. Для каждой последующей ступени знаменатель
в (8.21) становится все меньше за счет отделения отработанных ступеней. Это дает принципиальную возможность решения отмеченной выше проблемы утя-
желения конструкции ракеты при увеличении массы 299
M
2т
M
2к
.
iт
, (8.21)
!
,
(8.20)
Г л а в а VIII
топлива ---- последовательное отделение ступеней существенно уменьшает ускоряемую массу на очередном
этапе разгона.
Более точные расчеты позволяют сделать вывод
о том, что при uэфв пределах 3---4 км/с для вывода
на орбиту искусственного спутника Земли достаточно трех ступеней, для запуска межпланетных кораблей ---- четырех. Межконтинентальные баллистические
ракеты имеют две ступени.
В работах К.Э. Циолковского была также предложена конструкция жидкостного реактивного двигателя,
рассматривались проблемы создания высококалорийных видов топлива, позволяющих получать большие относительные скорости истечения частиц, разработаны
основы теории межпланетных сообщений и иследованы некоторые вопросы конструирования реактивных
двигателей для межпланетных полетов.
8.4. Типы реактивных двигателей
Наиболее распространенным типом реактивного
двигателя является химический реактивный двигатель,
использующий энергию химической реакции окисления. Топливо в таком двигателе состоит из двух реагентов: горючего и окислителя.
В жидкостном химическом двигателе оба реагента до вступления в реакцию находятся в жидком состоянии. Их подача в камеру сгорания может регулироваться, поэтому жидкостные двигатели имеют регулируемую тягу, допускают неоднократное включение
и выключение. Удельная тяга жидкостных двигателей
достигает 4, 5 км/с, они используются как в качестве
маршевых двигателей ракет---носителей, так и в качестве маневровых двигателей космических аппаратов.
В твердотопливных химических двигателях смесь
реагентов находится в твердом состоянии и помещается непосредственно в камере сгорания. Это упрощает
конструкцию и делает двигатель более экономичным.
Однако в данном случае отсутствует возможность регулирования скорости протекания реакции ---- окисление
происходит в заданном стационарном режиме до пол-
ного выгораниятоплива. Твердотельные двигатели име-300
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]