Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Следствия из преобразований Лоренца
Рассмотрим четырехмерный вектор s в простран-
стве Минковского, начало которого находится в мировой точке x1, y1, z1, ct1, а конец в точке x2, y2, z2, ct2.
Составляющие этого вектора: 4x = x2−x1, 4y = y2− y1,
4z = z2− z1, c4t = ct2− ct1преобразуются при переходе
из системы отсчета K в систему отсчета K0, движущуюся относительно K вдоль оси x со скоростью v = βc, по
формулам, обратным (9.23):
4x − βc4t
4x0=
p
1 −β
, c4t0=
2
4y0= 4y, 4z0= 4z.
Роль модуля вектора s в псевдоевклидовой метри-
ке выполняет интервал (9.22), являющийся релятивистским инвариантом. Данный вектор ---- аналог радиусвектора в трехмерном евклидовом пространстве представляет собой частный случай четырехмерного векто-
ра впространстве Минковского или, кратко, 4-вектора.
Дадим общееопределение псевдоевклидова 4-векто-
ра. Четырехмерным вектором впространстве Минков-
ского или 4-вектором называется совокупность четырех величин одинаковой размерности Ax, Ay, Az, At, преобразующихся при переходах между инерциальными системами отсчета так же, как составляющие вектора
s (4x, 4y, 4z, c4t), то есть в соответствии с преобразованиями Лоренца. При традиционном выборе геометрии
относительного движения (продольные по отношению
к направлению относительной скорости v = βc оси x
и x0) преобразования для вектора Ax, Ay, Az, Atимеют
вид, аналогичный (9.23), (9.24):
0
A
x
Ax=
=
0
Ax− βA
p
A
0
A
x
p
Ay= A
1 −β
0
= Ay, A
0
y
+ βA
0
1 −β
t
2
0
0
t
2
0
0
y
Величины Ax, Ay, Az, Atимеют смысл проекций
4-вектора на соответствующие оси пространства Мин-
ковского. 341
c4t − β4x
0
, A
=
0
t
0
= Az,
0
z
, At=
, Az= A
p
1 −β
At− βA
p
1 −β
0
A
+ βA
0
t
p
1 −β
0
,
0
z
,
2
x
,
2
0
0
x
,
2
(9.24)
(9.25)
(9.26)
Г л а в а IX
Для 4-вектора используется обозначение (A, At), где
A ---- трехмерный вектор в координатном пространстве
с составляющими Ax, Ay, Az. Модуль 4-вектора в псевдоевклидовой метрике
q
2
2
2
A
− A
− A
x
t
y
− A
2
z
=qA
2
− A2(A2= A
t
2
x
+ A
2
y
+ A
2
)
z
является релятивистскиминвариантом, в чем легко убедиться с помощью (9.25) или (9.26). Обычно инвариан-
том 4-вектора (A, At) называют квадрат его модуля:
2
2
2
2
InvA= A
t
− A
x
− A
y
− A
2
= A
− A2. (9.27)
z
t
Для краткости принято говорить, что 4-вектор (A, At)
обладает инвариантом (9.27).
Понятие 4-вектора широко используется в современной интерпретации электродинамики, а также, как
мы увидим далее, играет важную роль в определении
релятивистских динамическихвеличин и установлении
связи между ними.
9.6. Релятивистский импульс
Эйнштейн в 1905 г. опубликовал две статьи, посвященные релятивистской механике. Во второй статье
впервые сообщалось о применении принципа относительности и вытекающих из него новых представлений
о пространстве---времени к релятивистскому определению динамических величин механики, а также к установлению соотношениймежду ними. Полученные Эйнштейном результаты по своей значимости далеко выходят за пределы собственно механики и имеют общефизическое значение.
Рассмотрим абсолютно упругое столкновение двух
одинаковых шаров массы m. В системе отсчета центра
масс скорости шаров до столкновения v1и v2одинаковы по величине и противоположны по направлению
(рис. 9.9). Направим ось y вдоль линии центров в момент столкновения, а ось x ---- по линии пересечения
плоскости, касательной к поверхностям в точке соприкосновения, и плоскости, содержащей векторы v1, v
и ось y. Если составляющие скорости первого шара
до столкновения vxи vy, то у второго шара они соответственно равны −vxи −v
. При абсолютно упругом342
y
2
Релятивистский импульс
x
y
2
2
1
1
2
1
F
2
−v
y
−v
x
F
1
v
y
v
x
−v
x
v
y
v
x
−v
y
ударе касательные составляющие скоростей не изменяются, так как вдоль оси x не действуют никакие силы, а нормальные составляющие меняют направления
на противоположные, сохраняя свои величины (в соответствии с законом сохранения энергии). Составляющие скоростей после столкновения: для первого шара
vxи −vy, для второго шара −vxи vy, то есть скорости
шаров вновь равны по величине
и противоположны по направлению. Суммарный импульс до и после столкновения в Ц-системе равен нулю (закон сохранения импульса).
Примем Ц-систему за систему
отсчета K. Пусть система отсчета
K0движется относительно K в по-
ложительном направлении оси x
со скоростью v0= vx. Тогда в соответствии с релятивистским правилом сложения скоростей (9.18) составляющие скорости первого шара до
столкновения в системе отсчета K0равны
vx−v
0
v
=
1x
0
1−v0vx/c
= 0, v
2
после столкновения
vx−v
0
v
=
1x
0
1−v0vx/c
= 0, v
2
0
1y
0
1y
= −
v
y
=
1−v0vx/c
v
y
1−v0vx/c
q
q
1−v
1−v
2
/c
0
2
2
/c
0
2
Приращения проекцийимпульса в классическом по-
нимании для первого шара составляют
0
2y
=
= −
=
p
v
v
y
−2mv
1 −v
p
y
1 + v
p
1 + v
m4v
0
1x
= 0, m4v
0
1y
Аналогично для второго шара до столкновения
−2v
1 + v
1 + v
−2v
2
x
2
x
/c
x
2
x
/c
, v
, v
2
0
2y
0
v
=
2x
0
v
=
2x
после столкновения
2
=
2
= −
1 −v
1 −v
2
x
2
2
x
y
x
/c
/c
/c
p
2
x
Рис. 9.9
v
1−v
p
1−v
.
2
2
2
/c
x
2
2
/c
2
y
,
2
2
/c
x
v
y
.
2
2
/c
x
,
.
343
Г л а в а IX
Здесь учтено, что для второго шара x---составляющая
скорости до и после столкновения равна −vx, а y--- составляющая имеет значения −vyдо столкновения и v
после столкновения. Для проекций классического импульса второго шара получаем
m4v
0
2x
= 0, m4v
0
=
2y
Суммарные приращения проекций импульса пары
шаров равны
0
4(mv
) = 0, 4(mv
x
0
) = −
y
то есть продольная по отношению к направлению относительной скорости систем отсчета составляющая
импульса сохраняется, а поперечная не сохраняется.
Из рассмотренного примера можно заключить, что
закон сохранения ньютоновского импульса mv не инвариантен относительно преобразований Лоренца,а значит с точки зрения принципа относительности Эйнштейна не является общим законом физики.
В общем случае нарушение инвариантности закона
сохранения классического импульса можно пояснить
следующим образом. При переходе между инерциальными системами отсчета в выражении mv = mdr/dt
преобразуется не только приращение радиус-вектора
dr, но и приращение времени dt. Если вернуться к выводу релятивистских преобразований скоростей на с. 332,
то можно видеть, что именно преобразование времени
приводит к зависимости в (9.18) поперечных составляющих скорости v
0
0
и v
в системе отсчета K0от продоль-
y
z
ной составляющей скорости той же частицы vxв системе отсчета K. Между тем продольные составляющие
скорости преобразуются независимо от поперечных.
Если бы вместо приращений времени dt и dt0использовалось некое инвариантное приращение, то преобразования (9.18)---(9.19) для поперечных составляющих
имели бы вид v
0
= vy, v
y
0
= vz. Тогда в рассмотренном
z
нами примерепоперечные составляющие импульса были бы одинаковы во всех системах отсчета и закон со-
хранения не нарушался.344
2mv
4mvyv
p
y
1 + v
2
p
1 −v
2
x
p
x
c4− v
2
x
2
/c
1 −v
/c
4
x
2
.
2
2
/c
x
,
y
Релятивистский импульс
С учетом данных соображений попытаемся изменить определение импульса таким образом, чтобы, с одной стороны, добиться его инвариантности относительно преобразований Лоренца, с другой стороны, обеспечить предельный переход p →mv при малых скоростях.
Так как определение скорости мы изменить не можем, заменим в выражении для импульса скорость
v = dr/dt на вектор dr/dτ, где τ ---- собственное время,
то есть время в системе отсчета, движущейся вместе
с частицей. Приращение dτ является, очевидно, релятивистским инвариантом, поэтому определенный таким образом релятивистский импульс
p = mdr/dτ (9.28)
должен преобразовываться так же, как вектор элементарного перемещения dr = dx i + dy j + dz k
dx −βcdt
dx0=
p
1 −β
⇒ p
2
dy0= dy, dz0= dz ⇒ p
Здесь β = v0/c, v0---- относительная скорость систем
отсчета K и K0, направленная, как обычно, вдоль совмещенных осей x и x0, величины d x, dy, dz, dt, px, py,
pzотносятся к системе отсчета K, величины dx0, dy0, dz0,
0
0
p
, p
0
x
0
, p
---- к системе отсчета K0, собственное время
0
0
y
z
τ и его приращение dτ измеряются в системе отсчета, движущейся относительно K со скоростью частицы
v = dr/dt.
Согласно (9.13) приращение собственного времени
связано с приращением времени dt в системе отсчета
K соотношением
dτ = dtp1 −v2/c2, (9.30)
где v ---- скорость частицы в системе отсчета K.
Подставив (9.30) в (9.28), получим выражение релятивистского импульса через массу и скорость частицы
p =
m
p
1 −v2/c
2
Из (9.29) можно видеть, что поперечные составляющие релятивистского импульса pyи pzодинаковы
во всех системах отсчета, поэтому в рассмотренной
выше задаче об упругом столкновении шаров суммар- 345
dr
dt
0
0
x
0
y
=
= py, p
0
=
px− mβcdt/dτ
p
2
1 −β
0
= pz.
0
z
mv
p
1 −v2/c
. (9.31)
2
,
(9.29)
Г л а в а IX
ный поперечный импульс, определенный выражением (9.28), будет равен нулю в любой системе отсчета,
движущейся относительно Ц-системы с произвольной
скоростью, перпендикулярной линии центров в момент
удара.
В соответствии с (9.31) продольная составляющая
импульса равна
px=
где скорость v и ее продольная составляющая vxопределяются для той системы отсчета, к которой относятся значения p и px. Поскольку при абсолютно упругом столкновении касательные (продольные) составляющие скоростей vxкаждого из шаров сохраняются,
а нормальные (поперечные) меняют знак при любой
относительной скорости v0, то сохранятся абсолютные
величины скоростей v и продольные составляющие импульсов (9.32) каждого из шаров. Это означает сохранение продольнойсоставляющей суммарного импульса
пары шаров в любой системе отсчета как для классического (mv), так и для релятивистского (9.28), (9.31)
определений импульса.
Таким образом, мы доказали, по крайней мере для
частного случая абсолютно упругогостолкновения одинаковых шаров, что продольная и поперечная составляющие релятивистского импульса (9.28), (9.31) сохраняются во всех системах отсчета. Общее доказательство
инвариантности закона сохранения релятивистского
импульса в произвольной замкнутой системе взаимодействующих частиц существенно осложняется тем,
что при определении сил в релятивистской механике
(в отличие от ньютоновской механики) нужно учитывать конечность скорости передачи взаимодействия,
поэтому мы ограничимся ссылкой на многочисленные,
полученные в различных условиях для разных релятивистских частиц, экспериментальные подтверждения
инвариантности закона сохранения импульса (9.28),
(9.31).
Отметим, что для релятивистского импульса выполнено и второе из сформулированных выше условий:
при малых скоростях (v c) выражение (9.31) перехо-
дит в классическое p = mv, а приращение собственного346
mv
p
1 −v2/c
x
, (9.32)
2
Релятивистская энергия
времени (9.30) dτ → dt, поэтому в (9.28)
dr
p = m
dτ
Классический закон сохранения импульса, таким
образом, представляет собой приближенную форму
более общего закона сохранения релятивистского импульса.
Обратим внимание на то, что под массой тела
(частицы) m в данном параграфе мы всюду понимали его инертную массу, то есть свойство, принадлежащее материальному телу по его природе и не зависящее от выбора системы отсчета. Масса является еще одним релятивистским инвариантом. Иногда
рассматривается так называемая релятивистская масса
m(v) = m/p1 −v2/c2, при использовании которой выра-
жение для импульса (9.31) принимает обычный вид:
p = m(v)v. Массу m в таком случае называют массой
покоя: при v → 0 m(v) → m. Отметим, что в послед-
нее время в научной и учебной литературе понятие
релятивистской массы не используется, поскольку оно
не играет значительной роли в физической интерпретации теории относительности, но зато заставляет при
использовании понятияGмассаHвсе времяуточнять, какая масса ---- m или m(v) имеется в виду. Поэтому далее
под массой мы всюду будем понимать массу покоя.
→ m
dr
dt
= mv.
9.7. Релятивистская энергия
Получение выражения для релятивистской энергии
свободно движущейся частицы и представление энергии как функции скорости или релятивистского импульса привело к совершенно неожиданному выводу,
коренным образом перевернувшему взгляды на природу материи. Рассмотрим вывод этого выражения двумя
способами.
Вначале будемисходить из предположения, что в релятивистской механикедействует второй закон Ньютона в форме
dp
= F, (9.33)
dt
347
Г л а в а IX
где p ---- релятивистский импульс, F ---- сила, работа которой Fdr затрачивается на увеличение энергии частицы
E, t ---- время в системе отсчета, для которой определяются импульси энергия, а такжескорость частицы, входящая в выражение релятивистского импульса (9.31).
Здесь необходимо сделатьважное замечание. В определении релятивистского импульса используется понятие собственного времени и его связь (9.30) с временем
t системы отсчета K. Эта связь, вытекающая из соотношения (9.13), предполагает, что обе системы отсчета
являются инерциальными, то есть частица относительно K движется спостоянной скоростью. Формула(9.31),
таким образом, вообще говоря, должна иметь место для
постоянных по величине и направлению p и v. Между
тем уравнение движения (9.33) при F , 0 дает переменную во времени величину импульса, что означает
ускоренное движения частицы.
Определение релятивистского импульса обобщается на случай движения с переменной скоростью при
помощи введения понятия мгновенно сопутствующей
системы отсчета. Это такая инерциальная система отсчета, которая имеет скорость, равную скорости частицы в данный момент времени. Частице, движущейся
с переменной скоростью, в каждый момент времени
ставится в соответствие новая мгновенно сопутствующая система отсчета, в которой определяется собственное время частицы. Скорость в выражении для релятивистского импульса (9.31), таким образом, приобретает смысл скорости сопутствующей системы отсчета,
которая равна мгновенной скорости частицы. При равномерном движении сопутствующая система отсчета
неизменна и совпадает с системой отсчета частицы.
После данного замечания мы можем вернуться
к уравнению движения (9.33), понимая под p импульс
в виде (9.31). Для простоты будем рассматривать прямолинейное движение по оси x. Тогда в (9.33) можно
проделать следующее преобразование:
dp
dpdxdx
=
dt
где p, v = dx/dt и F соответственно ---- модули направ-
ленных по оси x векторов импульса и скорости ча-348
dt
= v
dp
dx
= F,
Релятивистская энергия
стицы, а также действующей на нее силы. Подставив
в последнее равенство выражение релятивистскогоимпульса и домножив на d x, получим
С этого момента мы можем отвлечься от понятия
силы и рассматриватьвместо (9.33) последнее равенство
как релятивистское определение механической работы
dA при прямолинейном движении.
Дифференциал, стоящий в левой части равенства,
преобразуем, используя правило дифференцирования
произведения
d
p
1 −v2/c
Продолжим преобразования в правой части равенства
d
p
Подставляя результат преобразований в (9.34), для
элементарной работы имеем
dA =
Интегрирование в пределах от 0 до v даст работу
по разгону частицы из состояния покоя до заданной
скорости, то есть релятивистскую кинетическую энер-
гию частицы со скоростью v
Применив приближенное равенство (1 − x)
≈ 1 + x/2, справедливое при |x| 1, получим для нере-
лятивистского приближения (vc) в (9.35)
что соответствует выражению для кинетической энер-
гии в классической механике. Релятивистская кинети- 349
v d
mv
mv
1 −v2/c
mv
p
1 −v2/c
=
p
2
=
p
2
=
(1 −v2/c2)
mvdv
(1 −v2/c2)
Eк=
p
Eк≈ mv2/2,
= Fdx = dA. (9.34)
2
mdv
1 −v2/c
mdv
1 −v2/c
mdv
= d
3/2
2
mc
1 −v2/c
2
2
3/2
2
mv2dv
+
c2(1 −v2/c2)
1 +
v2/c
1 −v2/c
2
.
p
1 −v2/c
mc
2
2
− mc2. (9.35)
.
3/2
=
2
.
−1/2
≈
Г л а в а IX
ческая энергия (9.35), таким образом, при малых скоростях перестает отличаться от кинетической энергии,
определяемой в ньютоновской механике.
Представим (9.35) в виде
E =
Величина E представляет собой сумму кинетической энергии частицы и некого релятивистского инварианта mc
. Она называется полной релятивистской
энергией частицы (тела), а предельное значение E при
v = 0 называется энергией покоя.
Формально энергию покоя можно рассматривать
как постоянную интегрирования в (9.35), но Эйнштейн
этим не ограничился. Он интерпретировал энергию покоя как собственную энергию тела, являющуюся ме-
рой его массы, причем эта мера может изменяться.
Если, например, в результате электромагнитного излучения затрачивается энергия 4E, то масса покоящегося тела уменьшается на величину 4m = 4E/c2, наоборот, при увеличении энергии тела на 4E, например,
при поглощении излучения, его масса увеличивается
на 4m = 4E/c2.
Иными словами в релятивистской физике законы
сохранения массы и механической энергии по отдельности не действуют. Они должны быть замененына единый обобщенный закон сохранения массы---энергии,
заключающийся в том, что в любых физических процес-
сах сохраняется сумма механической энергии, энергии
покоя, однозначно связанной с массой взаимодействующих тел, и электромагнитной энергии. При отсутствии
электромагнитного излучения и внешних потенциальных полей закон сохранениямассы---энергии в системах
взаимодействующих частицсводится к закону сохранения полной релятивистской энергии системы.
Связь массы и энергии впоследствии получила многочисленные и неоспоримые экспериментальные подтверждения. На принципе получения энергии за счет
уменьшения массы построено извлечение энергии при
делении тяжелыхи синтезе легкихатомных ядер. Энергия, излучаемая Солнцем и другими звездами, появля-
ется в результате протекания в них термоядерных реак-350
mc
p
1 −v2/c
2
= Eк+ mc2. (9.36)
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]