Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Динамика гармонических колебаний. Маятники
Одним из типов маятников является пружинный ма-
ятник, рассмотренный нами ранее в параграфе 3.6. Это
тело массы m, находящееся под действием силы упругости, которая при малых деформациях подчиняется
закону Гука (3.51)
F = −kx,
где x ---- смещение тела (центра масс тела) из положения
равновесия, в котором F = 0, k ---- коэффициент упру-
гости или жесткость деформируемого тела, являющегося источником силы упругости (обычно ---- пружины).
Динамическое уравнение движения пружинного маятника имеет вид (3.53), сводящийся к виду (10.6) при
ω =pk/m . (10.9)
Собственная частота пружинного маятника, таким
образом, определяется коэффициентом упругости
и массой движущегося тела по формуле (10.9). Решения
уравнения могут быть представлены в виде (10.2), (10.3)
или (10.4), при этом неизвестные константы
в решениях определяются из двух начальных условий.
Если пружинный маятник представляет собой два
тела с массами m1и m2, скрепленные пружиной жесткости k, и если действием всех сил, кроме силы упругости, в системе можно пренебречь, то решение имеет
тот же вид, но частота колебаний в этом случае будет
равна ω =pk/µ , где µ = m1m2/(m1+ m2) ---- приведенная
масса осциллятора. Для получения этого результата достаточно воспользоваться общимрешением задачи двух
тел, изложенным в параграфе 2.9.
Полная энергия пружинного маятника в соответствии с (10.8) и (10.9) равна
2
mA2ω
E =
2
Рассмотрим так называемый физический маятник ---- тело (не обязательно симметричное), которое
может вращаться вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела, и при этом находится
в однородном поле силы тяжести (рис. 10.2).
Точка пересечения оси вращения с вертикальной
плоскостью, проходящей через центр масс тела C, называется точкой подвеса. На рисунке 10.2 точка подве-
са ---- A. При пренебрежении трением нужно учитывать 361
2
kA
=
. (10.10)
2
только две действующие на тело силы: силу тяжести
A
C
A
0
a
a
0
mg
θ
s
h
mg, приложенную к центру масс, и силу нормальной
реакции оси, линия действия которой проходит через
точку подвеса.
Момент силы реакции относительно оси вращения
равен нулю, момент силы тяжести: M = −mga sin θ, где
θ ---- угол отклонения прямой, проходящей через точки
A и C, от вертикали a ---- расстояние между точкой подвеса и центром масс. ЗнакIминусJуказывает на то,
что направление действия момента противоположно
направлению увеличения угла θ. Динамическое уравнение вращательного движения физического маятника
имеет вид аналогичный (2.46)
J¨θ = M = −mga sin θ, (10.11)
где J ---- момент инерции тела относительно оси вращения.
Полная энергия маятника равна
E =
J˙θ
2
2
+ mgh =
2
J˙θ
+ mga(1 −cos θ), (10.12)
2
где m ---- масса маятника, h = a(1 − cos θ) ---- высота подъема центра масс над его нижайшим положением. Угол
θ в (10.11) и (10.12) должен измеряться в радианах.
Уравнения (10.11) и(10.12) в об-
щем случае (при произвольных θ)
не сводятся к соответствующим
уравнениям для линейного гармонического осциллятора:к уравнению типа (10.6) и уравнению для
энергии типа
Рис. 10.2
E =
m ˙x
2
+
2
mω2x
2
2
Однако при малых колебаниях, когда можно поло-
жить sin θ ≈ θ, (10.11) принимает вид
mga
¨
θ +
θ = 0, (10.14)
J
аналогичный (10.6) с частотой колебаний
и периодом
ω =pmga/J (10.15)
p
T = 2π
J/mga . (10.16)362
Г л а в а X
. (10.13)
Динамика гармонических колебаний. Маятники
В том же приближении имеем
2
θ
θ
1 −cos θ = 2 sin
благодаря чему уравнение (10.12) с учетом (10.15) приводится к виду, аналогичному (10.13)
J˙θ
E =
Решениями уравнений (10.14) и (10.17) для малых ко-
лебаний являются функции вида θ = θ0cos(ωt + ϕ0), где
амплитуда колебаний θ0должна удовлетворять условию sin θ0≈ θ0. Для θ0= 10o≈ 0, 175 рад отличие sin θ
и θ0составляет около 0, 5 %, для θ0= 15o≈ 0, 262 рад ----
примерно 1, 1%. Отклонение от равновесного положения s произвольной точки маятника вдоль дуги, описываемой при его движении, однозначно определяется
координатами проекции точкина плоскость колебаний.
В частности, для центра масс C, как видно из рисунка 10.2, при малых колебаниях s = aθ = aθ0cos(ωt+ ϕ0).
Колебания осциллятора, при которых амплитуда не
зависит от частоты, называются изохронными. Для пружинного маятника при достаточно небольших отклонениях от равновесия, когда применим закон Гука, и для
физического маятника при малых амплитудах колебания являются изохронными. Можно показать, что движение физического маятника, описываемое точными
уравнениями (10.11) и (10.12), является периодическим,
но не изохронным, то есть амплитуда колебаний является функцией частоты.
Частный случай физического маятника, когда всю
его массу можно считать сосредоточенной в центре
масс C, называется математическим маятником. Модели математического маятника соответствует груз малого размера, подвешенный на нерастяжимой нити или
невесомом стержне длины l. Момент инерции математического маятника J = ml2, расстояние от точки
подвеса до центра масс a = l. С учетом этого частота
(10.15) и период (10.16) малых колебаний математического маятника равны
ω =pg/l, T = 2πpl/g . (10.18)
2
≈
2
2
Jω2θ
+
2
2
,
2
2
. (10.17)
0
363
Г л а в а X
Сравнение данных выражений с (10.15) и (10.16) по-
казывает, что физический маятник с моментом инер-
ции J и расстоянием от точки подвеса до центра масс
a, колеблется так же, как математический маятник
с длиной подвеса
которая называется приведенной длиной физического
маятника.
Для колебаний, которые нельзя считать малыми, под-
становка J = ml2и a = l в (10.11) и (10.12) дает
g
¨
θ +
sin θ = 0,
l
Подстановка приведенной длины (10.19) в эти уравнения возвращает их к виду (10.11) и (10.12). Это означает, что при конечных амплитудах колебания физического маятника эквивалентны колебаниям математического маятника с приведенной длиной в том смысле,
что для этих колебаний общими являются кинематические уравнения движения θ = θ(t) и соотношение
динамических величин E/J.
Точка A0, расположенная на прямой AC на расстоянии l от точки подвеса A, называется центром качания
физического маятника. Если J0---- момент инерции маятника относительнооси, проходящей через центр масс
и параллельной оси вращения, то по теореме ГюйгенсаШтейнера (2.47)момент инерции относительно оси вращения J = J0+ ma2. Выражение для приведенной длины
(10.19) можно, таким образом, привести к виду
J
l =
, (10.19)
ma
2
˙
E
θ
=
J
g
+
2
(1 −cos θ).
l
J
0
l =
где a0= J0/ma ---- расстояние от центра масс до цен-
тра качания ---- величина по определению положительная, поэтому центр качания A0и точка подвеса A всегда расположены по разные стороны от центра масс
C (см. рис. 10.2). Кроме того, поскольку J0и m име-
ют вполне определенные значения для данного тела,
из (10.20) следует также, что для всех точек подвеса,
364
+ a = a0+ a, (10.20)
ma
Затухающие колебания
одинаково удаленных от центра масс, приведенная длина физического маятника будет одинаковой, а значит,
одинаковым будет и период колебаний (в общем случае ---- при одинаковой угловой амплитуде).
Для физического маятника имеет место теорема
Гюйгенса: если центр качания A0сделать точкой подвеса, то первоначальная точка подвеса A станет центром качания. Действительно, приведенная длина ма-
ятника при точке подвеса A
Подставив в это выражение a0= J0/ma, получим
l0= a +
что и доказывает теорему Гюйгенса: приведенные длины маятника с точкой подвеса A и того же маятника
с точкой подвеса A0одинаковы, следовательно,для точки подвеса A центром качания является A0, а для точки
подвеса A0центр качания ---- точка A. В этом смысле
точку подвеса и соответствующий ей центр качания
называют взаимными или сопряженными точками физического маятника.
l0=
ma
0
J
0
+ a0.
0
J
0
= l,
ma
10.3. Затухающие колебания
В реальных колебательных процессах действие диссипативных сил приводит к убыванию механической
энергии. Это означает, что амплитуда колебаний также
будет уменьшаться. Такие колебания называют зату-
хающими. Рассмотрим затухающие колебания пружинного маятника при учете сил вязкого трения.
Пусть наряду с силой упругости F = −kx на тело
действует сила вязкого трения Fтр= −α ˙x. Уравнение
движения в этом случае имеет вид
m ¨x = −kx − α ˙x или m ¨x + α ˙x + k x = 0. (10.21)
Это уравнениезатухающих колебаний, которое в общем случае принято представлять в виде
¨x + 2γ ˙x + ω
2
x = 0, (10.22) 365
0
Г л а в а X
где ω0=√k/m ---- собственная частота пружинного маятника, то есть та частота, с которой совершались бы
гармонические колебания при отсутствии диссипативных сил, γ = α/2m ---- коэффициент затухания.
Опыт показывает, что уравнение затухающих колебаний (10.22) описывает широкий класс реальных колебательных процессов (не только механических), в которых потери энергии можно представить как результат
действия диссипативной силы, пропорциональной скорости изменения переменной x.
С учетом того, что амплитуда затухающих колебаний
должна убывать с течением времени, решение уравнения (10.22) будем искать в виде
x = A(t) cos(ωt + ϕ0), (10.23)
где A(t) ---- переменная во времени амплитуда, ω ---- частота колебаний, которая, как мы увидим далее, отличается от собственной частоты ω0, ϕ0---- начальная фаза.
Подстановка (10.23) в (10.22), как мы предполагаем, даст
возможность найти неизвестную функцию A(t) и частоту ω.
Первая и втораяпроизводные функции (10.23) повремени равны
˙x =˙A cos(ωt + ϕ0) −ωA sin(ωt + ϕ0),
¨x = (¨A −ω2A) cos(ωt + ϕ0) −2ω˙A sin(ωt + ϕ0).
Подставив эти выражения в (10.22), получим
[¨A + 2γ˙A + (ω
2
− ω2)A] cos(ωt + ϕ0)−
0
(10.24)
−2ω[˙A + γA] sin(ωt + ϕ0) = 0.
В моменты времени, когда sin(ωt + ϕ0) = 0,
cos(ωt + ϕ0) = ±1.
Для того чтобы равенство (10.24) выполнялось в эти
моменты, необходимо равенство нулю множителя при
cos(ωt + ϕ0), то есть
¨
A + 2γ˙A + (ω
2
− ω2)A = 0. (10.25)
0
Но при этом из (10.24) следует также, что при
sin(ωt + ϕ0) , 0 и cos(ωt + ϕ
) = 0366
0
Затухающие колебания
должно выполняться условие
˙
A + γA = 0. (10.26)
Это означает, что для выполнения равенства (10.24)
в любой момент времени необходимо совместное выполнение условий (10.25) и (10.26).
Проведем в (10.26) следующие преобразования:
dA/dt = −γA dA/A = −γ dt.
Вычисляя неопределенные интегралы в правой и левой частях последнего равенства, получим
ln A = −γ t + ln A0,
где ln A0выполняет роль постоянной интегрирования.
Преобразуя далее, находим
ln(A/A0) = −γ t,
откуда получаем амплитуду затухающих колебаний
A = A0e
Положительная постоянная A0в соответствии
с (10.27) имеет смысл значения амплитуды в начальный
момент времени.
Производные функции A(t)
˙
A = −γA0e
−γ t
= −γA
подставим в (10.25). В результате получим равенство
2
ω
− ω2− γ2= 0,
0
из которого найдем частоту затухающих колебаний
−γ t
. (10.27)
¨
A = γ2A0e
−γ t
= γ2A
ω =qω
2
− γ2. (10.28)
0
Частота ω всегда меньше частоты собственных ко-
лебаний ω0. Важно отметить также, что полученный
результат имеет смысл лишь при значениях коэффициента затухания γ ≤ ω0, так как в противном случае
частота ω в соответствии с (10.28) становится мнимой.
Таким образом, при γ ≤ ω0решением уравнения
затухающих колебаний (10.22) являетсяфункция (10.23)
с амплитудой A(t) (10.27) и частотой ω (10.28), то есть
x = A0e
−γ t
cos(ωt + ϕ0) при γ ≤ ω
. (10.29) 367
0
Г л а в а X
t
x(t)
A
0
γ = 0, 02ω
0
а
t
x(t)
γ = 0, 1ω
0
б
t
x(t)
γ = 0, 2ω
0
в
Данное решение является общим, поскольку содер-
жит две постоянные ---- начальную амплитуду A0и начальную фазу ϕ0, что делает задачу с двумя начальными
условиями полностью определенной. При γ →ω0ω →0,
период колебаний стремится к бесконечности, то есть
процесс возврата осциллятора к состоянию равновесия
становится непериодическим (апериодическим).
На рисунке 10.3 представлены зависимости x(t) для
затухающих колебаний вида
(10.29) с коэффициентами
затухания γ = 0, 02ω0(а),
0, 1ω0(б) и 0, 2ω0(в). Масшта-
бы осей времени, начальные
амплитуды и фазы одинаковы. Скорость затухания колебаний от функции 10.3,а
до функции 10.3,в меняется
существенно, а изменения
периода колебаний практически не наблюдается. Это объясняется тем, чтоотносительные отклонения частот колебаний, вычисляемых по фор-
Рис. 10.3
примерно 2, 0%. Штриховые огибающие соответствуют
функциям ±A(t) (10.27).
Решение уравнения (10.22) существует и при γ > ω0.
Его нужно искать в виде апериодической затухающей
функции
где β > 0 и A > 0 ---- постоянные. Дифференцирование
данной функции по времени дает
муле (10.28), от собственной
частоты составляют соответственно при γ = 0, 02ω0примерно 0, 02%, при γ = 0, 1ω
примерно 0, 5%, при γ = 0, 2ω
−β t
x = A e
, (10.30)
0
0
368
˙x = −βA e
¨x = β2A e
−β t
−β t
= −βx,
= β2x.
Затухающие колебания
t
x(t)
γ = 1, 2 ω
0
а
A1> 0, A2> 0
t
x(t)
γ = 1, 2 ω
0
A1> 0, A2< 0,
A1> |A2|
б
t
x(t)
γ = 1, 2 ω
0
A1< 0, A2> 0,
β
2
β
1
A2< |A1| < A
2
в
Подстановка производных в (10.22) приводит к квад-
ратному уравнению относительно неизвестной β
β2− 2γβ + ω
дискриминант которого при γ > ω0будет положительным. Данное уравнение имеет, таким образом, два вещественных корня:
β1= γ +qγ2− ω
β2= γ −qγ2− ω
причем оба корня положительны.
Общим решением будет суперпозиция решений ви-
да (10.30) с β = β1и β = β2:
x = A1e
−β1t
2
0
+ A2e
= 0,
2
,
0
2
,
0
−β2t
, (10.32)
(10.31)
Рис. 10.4
где A1и A2---- постоянные, определяемые из начальных
условий.
Апериодические процессы, описываемые уравне-
нием (10.32) при γ = 1, 2ω0, представлены графически
на рис. 10.4. Масштабы осей времени по сравнению
с рис. 10.3 здесь для наглядности увеличены в 5 раз
(при том же значении ω0).
Отличие зависимостей x(t) обусловлено разными
начальными условиями. Проанализируем влияние начальных условий на вид функции, описывающей возврат системы к положению равновесия при γ > ω0.
Скорость движения одномерной системы в апериодическом процессе получается дифференцированием
(10.32):
˙x = −β1A1e
−β1t
− β2A2e
−β2t
. (10.33)
369
Г л а в а X
При t = 0 смещение x0и скорость v0в соответствии
с (10.32) и (10.33) равны
x0= A1+ A2, v0= −β1A1− β2A2. (10.34)
Решая данную систему уравнений относительно не-
известных A1и A2, находим
A1= −
v0+ β2x
β1− β
0
, A2=
2
Для функции x(t), соответствующей графику
на рис. 10.4,а, константы A1и A2положительны. Это
означает, чтов течение всего временивозврата кравновесию оба слагаемых в (10.32) будут положительными,
а в (10.33) отрицательными. Скорость системы, таким
образом, все время направлена в сторону равновесия.
В соответствии с (10.35) совместное выполнение условий A1> 0 и A2> 0 возможно при −β1x0< v0< −β2x0.
При противоположных знаках A1и A2возможны
немонотонные зависимости x(t) (рис. 10.4,б,в). График
на рис. 10.4,б соответствует случаю, когда константа A
(начальное значение быстро затухающего слагаемого)
положительна, а константа A2отрицательна и меньше
по модулю величины A1(x0> 0). При этом на начальной
стадии процесса преобладает быстро затухающее положительное слагаемое, а на конечной стадии медленно
затухающее отрицательное. Условие A1> 0 выполнено
при v0< −β2x0, условие A2< 0 при v0< −β1x0, условие
|A2| < A1, как следует из (10.35) и (10.31), не зависит
от начальной скорости.
С учетом того, что β1> β2> 0, область v0< −β1x
полностью входит в область v0< −β2x0, так что зависимость x(t) вида, представленного на рис. 10.4,б, будет
иметь место при v0< −β1x0. Начальная скорость в данном случае должна быть не просто отрицательной, а достаточно большой по величине, чтобы механической
энергии системы хватило для прохода через положение
равновесия с последующим возвратом к нему с противоположной стороны.
Для случая, соответствующегографику на рис. 10.4,в,
начальная скорость должна быть направлена в сторону, противоположную положению равновесия, то есть
при x0> 0 должна быть положительной. Чтобы коор-
дината в течение всего времени движения не меняла370
v0+ β1x
β1− β
0
. (10.35)
2
1
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]