Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Стоячие и бегущие волны
x
ξ
∂ξ/∂t
x
0
λ4λ23λ4λ
x
u, uк, u
п
u
u
к
u
п
0
λ4λ23λ4λ
В моменты времени t = nT/2 скорости колебательного движения и плотность кинетической энергии обращаются в нуль, а деформации максимальны, то есть
вся механическая энергия находится в потенциальной
форме и сосредоточена в основном в области узлов
волны, где амплитуды деформаций наиболее велики.
В моменты t = (2n + 1)T /4 равны нулю деформациии максимальны скорости смещений, то есть
вся энергия переходит в кинетическую, а ее плотность будет наибольшей в области пучностей волны, совпадающих с пучностями
распределения скоростей.
Энергия колебаний в стоячей
волне, таким образом, периодически переходит из кинетической в потенциальную и обратно с периодом,
равным половине периода механических колебаний.
При этом энергия переносится между ближайшими узлами и пучностями в прямом и обратном направлениях
с тем же периодом.
Полная плотность механической энергии равна сумме (10.97) и (10.98):
u = 2ρ ξ
2
ω
0
2π
2
2
sin
x cos2ωt + cos
λ
2π
2
λ
Рис. 10.18
x sin2ωt!. (10.99)
Среднее значение этойфункции за период колебаний с учетом того, что < cos2ωt > = 1/2
и <sin2ωt > = 1/2, равно
2
¯u = ρ ξ
то есть удвоенному значению
ω2, (10.100)
0
Рис. 10.19
(10.77) ---- среднейплотности энергии гармонической волны с амплитудой ξ0и частотой ω.
На рисунке 10.19 изображены графики зависимостей uк(x) (сплошная кривая) и uп(x) (штриховая кривая) для моментов времени, при которых
cos2ωt = sin
2
ωt = 1/2, 411
Г л а в а X
то есть для t = (2n+ 1)T /8. В эти моменты плотность кинетической энергии uк(x) = ρ ξ
потенциальной энергии uп(x) = ρ ξ
2
ω2cos22πx/λ, плотность
0
2
ω2sin22πx/λ, полная
0
энергия одинакова при всех x и равна среднему значению (10.100).
На практике состояние механических колебаний
среды, стремящееся в идеале к стоячей волне, может возникнуть при отражении плоской гармонической волны от препятствия при условии, что потерь
энергии при отражении не происходит. В этом случае суперпозиция падающей и отраженной волн будет
иметь вид (10.89).
Рассмотрим наглядный и интересный с практической точки зренияпример стоячей волны ---- поперечные
колебания натянутой и закрепленной на концах струны.
Ось x выберем в направлении недеформированной
струны. Начало отсчета совместим с одним из концов
струны, тогда другой конец будет иметь координату
x = l, где l ---- длина струны.
Возмущение, вызванное поперечным смещением,
при прекращении воздействиядолжно распространяться вдоль струны с некоторой скоростью v и иметь
волновой характер, то есть удовлетворять уравнению
(10.56). Скорость v определяется соотношением (10.72):
p
v =
G/ρ. Она будет зависеть не только от материала
и размеров струны, но и от силы ее натяжения. Действительно, чем сильнее натянута струна, тем больше
должно быть тангенциальное напряжение τ, обеспечивающее заданную деформацию сдвига. В соответствии
с (10.70) это означает, что по мере увеличения натяжения должен увеличиваться модуль сдвига G и, следовательно, скорость волны v.
Решение волнового уравнения для струны представляет собой суперпозицию стоячих волн вида
ξ = ξ0[cos(ωt −k x) + cos(ωt + kx + ϕ0)],
так как прямое и обратное распространение возмущения равноправны. Начальную фазу одной из волн
встречных направлений можно положить равной нулю
за счет выбора начала отсчета времени. Учитывая то,412
Стоячие и бегущие волны
что k = ω/v, а скорость v ---- фиксированная величина,
из частных решений исключаем волновое число
При закрепленных концах струны должны быть вы-
полнены условия: ξ(0, t) = 0 и ξ(l, t) = 0 для любых
значений времени (граничные условия). Первое условие при подстановке в (10.101) дает
откуда ϕ0= π. С учетом этого преобразуем (10.101)
к виду
Второе граничное условие удовлетворяется при
sin ωl/v = 0. Данное равенство накладывает ограничения на возможные значения частот колебаний струны.
Допустимыми являются лишь частоты
Им соответствуют длины волн
Частоты ωnназываются собственными частотами
колебаний струны. Набор собственных частот (10.103)
или длин волн (10.104) называют спектром колебаний.
Собственную частоту ω1= πv/l принято называть ос-
новной частотой (основным тоном). При увеличении
натяжения струны, как было показано выше, возрастает скорость распространения возмущения v, следовательно, частота ω1становится больше. Собственные
частоты ωn= nω1при n = 2, 3, . . . носят название обер-
тонов (n = 2 ---- первый обертон, n = 3 ---- второй обертон
и так далее). Распределение амплитуд и энергий между
основным тоном и обертонами зависит от распределения по длине струны начальных смещений, вызванных
внешним воздействием. Если внешнеевоздействие сводится к поперечному смещению вблизи середины струны, то практически вся энергия в спектре колебаний
приходится на основной тон. 413
ξ = ξ
ξ = ξ
cosωt −
0
x
+ cosωt +
v
+ ϕ
0
. (10.101)
x
v
cos ωt + cos(ωt + ϕ0) = 0,
cosωt −
0
= 2ξ0sin
ωx
v
x
v
sin ωt.
− cosωt +
x
=
v
ωn= πvn/l (n = 1, 2, 3, . . .). (10.103)
λn= 2πv/ωn= 2l/n. (10.104)
(10.102)
Г л а в а X
Выражения (10.102)---(10.104) можно получить из более простых соображений. Поскольку колебания струны представляют собой суперпозицию стоячих волн,
из условий ξ(0, t) = 0 и ξ(l, t) = 0 следует, что концы
струны должны располагаться в узлах этих волн. Тогда
из первого условия получаем, что амплитуда колебаний
ξm(x) будет иметь вид ξm(x) = 2ξ0|sin ωx/v|, а из второго условия следует равенство sin ωl/v = 0, означающее,
что длина струны должна быть равна целому числу полуволн. Отсюда сразу вытекают выражения для собственных частот (10.103) и длин волн (10.104), а также
вид зависящего от координаты множителя в (10.102).
Множитель, зависящий от времени, должен быть периодической функциейс возможными значениями частот
(10.103). Начальная фаза определяется произвольно путем выбора начала отсчета времени. Если отсчитывать
t от момента прекращения внешнего воздействия, то
при t = 0 смещения должны быть максимальными. При
таком выборе начала отсчета sin ωmt в (10.102) следует
заменить на cos ωmt.
10.9. Эффект Доплера
Рассмотрим механическуюволну, источник которой
может двигаться относительно среды. Пусть скорость
источника в системе отсчета среды постоянна и равна
v1. Частоту механических колебаний, создаваемых ис-
точником, обозначим ω0, период колебаний T =2π/ω0.
За время 4t = NT (N ---- целое число) источник пройдет в направлении своего движения расстояние l = v14t,
а волноваяповерхность, соответствующаяфазе колебаний ϕ0в начале промежутка времени 4t ---- расстояние
v4t, где v ---- фазовая скорость волны в среде. Волновая
поверхность, соответствующая фазе ϕ1в конце промежутка времени 4t, окажется, таким образом, на расстоянии v4t −l = (v −v1)4t от волновой поверхности с фазой
ϕ0(скорость источника будем считать меньше фазо-
вой скорости волны). Между этими волновыми поверх-
ностями находится участок волны, соответствующий414
Эффект Доплера
N полным циклам колебаний, то есть N длинам волн.
Из равенства Nλ = (v − v1)4t = 2πN(v − v1)/ω0получаем
2π(v − v1)
λ =
ω
0
где λ0= 2πv/ω0---- длина волны, испускаемой неподвижным источником.
Частота механических колебаний в среде, создавае-
мых движущимся источником, определяетсяиз (10.105):
Аналогичные рассуждения для волны, распространяющейся в направлении, противоположном движению источника, отличаются заменой v1на −v1и приводят к выражениям
Если на линии вектора скорости v1находится неподвижное относительно среды устройство, которое способно измерять частоту и длину волны в собственной
системе отсчета (приемник), то оно зарегистрирует
λ (10.105) и ω (10.106) в случае, когда источник приближается к приемнику (приемник находится в направлении движения источника), и величины (10.107), (10.108),
когда источник удаляется от приемника. В первом случае измеренная длина волны окажется меньше λ0, а частота больше собственной частоты ω0, во втором случае
наоборот: λ > λ0и ω < ω0.
Зависимость частоты и длины волны от скорости
источника или приемника относительно среды называется эффектом Доплера или доплеровским смещением.
Обычно для описания эффекта Доплера используются
формулы (10.105) и (10.106), в которых скорость источника v1считается положительной, когда он движется
в направлении приемника, и отрицательной, когда источник удаляется от приемника.
Рассмотрим источник, движущийся по окружности,
в центре которой находится приемник (рис. 10.20).
Волновая поверхность, соответствующая фазе колебаний источника в момент времени t1(положение И (t
=
2πv
ω
ω =
0
2πv
λ = λ
ω =
1 −
=
λ
0
1 + v1/v
= λ
ω
0
0
v
1
v
1 −v1/v
v
1
1 +
, (10.107)
v
ω
0
. (10.108)
v
1
1 −
v
. (10.106)
, (10.105)
) 415
1
П
И (t1)
v
1
И (t2)
l
1
l
2
4l
416
Г л а в а X
на рис. 10.20), к моменту t пройдет в направлении приемника расстояние l1= v(t − t1). Волновая поверхность с
фазой колебаний источника в момент t2> t1(положение И (t2) на рис. 10.20) к тому же моменту пройдет расстояние l2= v(t−t2). Разность расстояний этих волновых
поверхностей до приемника (точка П на рис. 10.20)
в любой момент времени вплоть до того, как волна, испущенная в момент t1, достигнет приемника, будет равна 4l = v(t2−t1). На таком же расстоянии находились бы
волновые поверхности с фазами колебаний в моменты
t1и t2при неподвижном источнике. Если промежуток
времени 4t = (t2−t1) составляет целое число периодов
колебаний: 4t = NT , то отрезок длины 4l будет равен
такому же числу длин волн: 4l = Nλ. Следовательно,
длина волны, принимаемой приемником, будет такой
же, как длина волны, испускаемой неподвижным источником, то есть изменения длины волны и частоты
при поперечном (по отношению к направлению на приемник) движении источника не происходит.
К тому же выводу приходим,
рассуждая несколько иначе. Пусть
волна, испущенная в момент t1, достигает приемника вмомент t
на, испущенная в момент t2, принимается в момент t
моментами приема очевидно рав-
0
на t
0
−t
= 4l/v, где 4l ---- разность
2
1
0
. Разность между
2
расстояний от приемника до соответствующих волновых поверхно-
Рис. 10.20
Если t2−t1= NT , то и t
стей. Принимая во внимание, что
4l = v(t2−t1), получаем t
0
0
−t
= NT , что означает равенство
2
1
периодов колебаний в испускаемой и принимаемой волнах, и следовательно, равенство частот и длин волн.
В общем случае, когда скорость источника v1име-
ет продольную и поперечную составляющие по отношению к направлению на приемник, эффект Доплера
описывается формулами (10.105) и (10.106), в которых
скорость v1должна быть заменена на продольную составляющую с положительным знаком, соответствующим приближению источника к приемнику.
0
2
−t
0
, вол-
1
0
= t2−t1.
1
Эффект Доплера
Рассмотрим теперь измерение частоты и длины волны движущимся относительно среды приемником.
Пусть в среде в направлении оси x со скоростью v распространяется волна частоты ω, а приемник движется навстречу волне со скоростью v2. За время t = NT ,
равное целому числу N периодов колебаний T, через
неподвижную точку на оси x пройдет участок волны
l = vt. Скорость волновых поверхностей относительно
приемника равна v + v2, поэтому участок l, соответствующий N колебаниям, минует приемник за время
l
t0=
v + v
Отношения периода колебаний T0, частоты ωпи длины волны λпв системе отсчета движущегося приемника
к соответствующим величинам для неподвижного приемника, таким образом, равны
0
T
T
=
v
v + v
,
2
Для длины волны и частоты, измеряемых приемником, в соответствии с этими равенствами получаем
Полученные выражения описывают доплеровское
смещение для случая движущегося приемника. Эффект имеет тот же знак, что и при движущемся источнике: длина волны уменьшается, а частота увеличивается при сближении приемника и источника (v2> 0),
наоборот, при удалении приемника от источника
(v2< 0) длина волны увеличивается, а частота уменьшается. Соотношения (10.109) и (10.110) для движущегося
приемника отличаются от соответствующих соотношений (10.105) и (10.106) для движущегося источника, однако в приближении v1 v и v2 v зависимости
доплеровского смещения от скорости при движении
источника или приемника будут одинаковыми:
λ = λ
1 −
0
ω ≈ ω
1 +
0
v
=
2
v + v
ω
п
ω
λп=
t =
2
v + v
=
1 + v2/v
ωп= ω1 +
v
1
, λп≈ λ1 −
v
v
1
, ωп= ω1 +
v
v
NT = NT0.
v + v
2
2
v
λ
v
v
λ
п
,
=
λ
v + v
, (10.109)
2
. (10.110)
v
2
, (10.111)
v
v
2
. (10.112)
v
v
.
2
417
Г л а в а X
Обозначения соответствуют (10.105), (10.106), (10.109)
и (10.110).
Нетрудно убедиться, что при движении приемника
по окружности, в центре которой находится точечный
источник механической волны, доплеровского смещения небудет, то есть поперечный эффект, как и вслучае
движущегося источника, отсутствует.
При произвольном направлении скорости приемника по отношению к скорости распространения волны
в (10.109) и (10.110) под v2нужно понимать продольную составляющую скорости приемника (проекцию
вектора v2на линию вектора v с положительным знаком, соответствующим движению приемника навстречу волне).
В случае,когда источник и приемник движутсяотносительно среды с произвольными скоростями v1и v2,
λ и ω для волны в среде, распространяющейся в направлении на приемник, определяются формулами вида (10.105) и (10.106) с использованием в качестве v
продольной составляющей скорости источника:
Длина волны и частота в системе отсчета приемника выражаются через длину волны и частоту в среде
с помощью (10.109) и (10.110) при замене v2на v2k:
λп=
Доплеровское смещение измеренных приемником
λпи ωппо отношению к длине волны λ0и частоте ω
неподвижного источника, таким образом,определяется
соотношениями
Представляет интерес частный случай, когда источник и приемник движутся в одном направлении
с одинаковыми скоростями (v1= v2) или когда проекции скоростей на прямую, соединяющую источник
и приемник, в любой момент одинаковы. В этом случае418
λ = λ
1 −
0
λ
1 + v2k/v
λп=
ωп=
v
1k
, ω =
v
, ωп= ω1 +
v − v
1k
λ0, (10.113)
v + v
2k
v + v
2k
ω0. (10.114)
v − v
1k
ω
0
1 −v1k/v
v
.
2k
.
v
1
0
Эффект Доплера
x, x
0
y
K
y
0
K
0
v
0
∗
И П
при подстановке продольных составляющих в (10.113)
и (10.114) нужно считать v2k= −v1k, так как за положительные принимаются направления v1kи v2k, при
которых источник и приемник сближаются, то есть
при движении источника в сторону приемника v1k> 0,
а v2k< 0, при движении приемника в сторону источни-
ка, наоборот, v1k< 0, а v2k> 0. В результате для данного
случая получаем λп= λ0и ωп= ω0, то есть доплеровское
смещение отсутствует, хотя фазовая скорость волны
будет отличаться от v.
Эффект Доплеранаблюдается не только для механических, но и для электромагнитных волн. При сближении источника и приемника измеряемая длина волны
меньше излученной (синее смещение), при удалении,
наоборот, λп> λ0(красное смещение). По красному
смещению спектральных линий в излучении далеких галактик по отношению к тем же линиям в лаборатор-
ных спектрах установлено, что Вселенная расширяется, причем скорость расширения возрастает пропорционально расстоянию до соответствующих галактик.
Для количественного описания эффекта Доплера в случае
электромагнитных волн необходимо использовать кинематические соотношения специальной
теории относительности, так как
скорость светаодинакова во всех
системах отсчета и, следовательно, рассуждения, основанные на
принципе сложения фазовой скорости волны и скоростей источника или приемника, не могут применяться
к электромагнитным волнам.
Пусть система отсчета K0движется относительно
системы отсчета K со скоростью v0в направлениисовмещенных осей x и x0(рис. 10.21). Если световой
сигнал излучается источником, находящимся в начале
координат системы отсчета K, в момент t = 0, то в соответствии с преобразованиямиЛоренца (9.4)координата
источника и время излучения t0в системе отсчета K
также равны нулю:
x0=
x −v0t
p
1 −β
= 0 , t0=
2
t −v0x/c
p
1 −β
Рис. 10.21
2
= 0 ,
2
0
419
Г л а в а X
где β = v0/c, c ---- скорость света. Для сигнала, излучен-
ного источником (x = 0) в момент t = T , координата
и время момента излучения в системе отсчета K0равны
−v0T
0
x
=
p
1
1 −β
, t
2
0
1
Если приемник находится в точке x0= 0 системы
отсчета K0, то первый сигнал будет принят в момент
t0= 0 по часам приемника, а второй ---- в момент
0
T0= t
---- время, необходимое свету для того, чтобы после излучения в момент t
ника. Суммируя t
0
+ t
, где
1
2
t
0
1
0
x
v0T/c
1
0
= −
=
2
0
пройти путь от точки x
1
0
и t
, находим промежуток времени
2
p
c
между приемом первого и второго сигналов:
s
T0= T
1 + β
p
1 −β
= T
2
Если в качестве интервала времени T между моментами излучения первого и второго сигналов в системе отсчета источника взять период электромагнитных
колебаний, то время T0, проходящее между моментами приема тех же сигналов будет периодом колебаний
в системе отсчета приемника. Из равенства (10.115),
таким образом, можно получить отношение периодов
колебаний, частот и длин волн в системах отсчета источника и приемника.
При выводе (10.115) мы для удобства использовали традиционную геометрию описания относительного
движения системотсчета, при которой получаются преобразования Лоренца (9.4). Но для этой геометрии, как
видно из рис. 10.21, при t > 0 положительному направлению v0будет соответствовать удаление приемника
от источника. Для сравнения релятивистского эффекта
Доплера и рассмотренного ранееклассического эффекта в случае механической волны в среде нужно изменить направление скорости относительного движения
на противоположное, то есть провести замену β ↔ −β
в (10.115).420
T
=
1 −β
1 + β
1 −β
p
.
2
1 −β
2
. (10.115)
0
до прием-
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]