Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Релятивистская энергия
ций (синтез легких ядер, сопровождающийся уменьшением суммарной массы). Экспериментальные исследования радиоактивности и реакций распада нестабильных микрочастиц также дают результаты, необъяснимые без учета закона сохранения массы---энергии. Наконец, существуют процессы, в которых масса исчезает полностью, переходя в электромагнитную энергию ---- так называемые процессы аннигиляции частиц
и античастиц. Наблюдаются и обратные процессы, в которых электромагнитная энергия или энергия, освобождающаяся при торможении частиц, разогнанных
до больших скоростей (в ускорителях заряженных частиц), преобразуется в массу возникающих пар частиц
и античастиц.
Эйнштейновская интерпретация энергии покоя основывалась не только на формуле (9.36). Значимым для
нее оказалась также связь полной релятивистской энергии и релятивистского импульса. Рассмотрим проявление этой связи в следующем примере.
При v = c в соответствии с (9.31) и (9.36) частица
должна либо иметь бесконечные импульс и энергию,
что невозможно, либо обладать нулевой массой. При
m = 0, однако, выражения импульса и энергии через
скорость дают неопределенность: числитель и знаменатель принимают нулевые значения. Эту неопределенность можно раскрыть, поделив абсолютное значение
импульса (9.31)
p =
на энергию (9.36)
Данное равенство позволяетустановить вполне определенную связь энергии и импульса частицы при скорости, равной скорости света:
Такая зависимость E( p), как было известно на тот
момент, имеет место для электромагнитных волн и вытекает из уравнений электродинамики. Вместе с тем,
выражение (9.37) получено для релятивистской ча-
стицы с m = 0 и v = c. Это обстоятельство позволяет 351
mv
p
1 −v2/c
p
=
E
2
v
.
2
c
E = c p. (9.37)
предположить, что электромагнитная волна не является непрерывной, а представляет собой поток частиц
(фотонов), энергия и импульс которых связаны соотношением (9.37) ---- таким же, как для непрерывной волны.
Гипотеза фотонов была высказана Эйнштейном
из совершенно иных соображений в статье, посвященной теории фотоэлектрического эффекта (фотоэффекта) и опубликованной практически одновременно
со статьямипо теории относительности. Каждая из этих
работ по отдельности не дает достаточных оснований
для гипотезы о фотонной структуре электромагнитного излучения, но согласующиеся результаты двух теорий, полученные независимыми методами, значительно
укрепляют основания сделанного предположения. Отметим, что эксперимент, в котором напрямую наблюдалось проявление импульса фотона (эффект Комптона
при рассеянии рентгеновских лучей в веществе), был
поставлен в 1923 г., то есть почти через два десятилетия
после формулировки фотонной гипотезы Эйнштейна.
Теперь, возвращаясь к анализу физического смысла
релятивистской энергии, отметим, что для получения
зависимости (9.37) в случае так называемой ультра-
релятивистской частицы (m = 0 и v = c) под механи-
ческой энергией при отличной от нуля массе нужно
понимать величину (9.36), а не кинетическую энергию
(9.35), то есть рассматривать mc2не как формальную постоянную интегрирования, а как неотъемлемую часть
полной механической энергии. Данное соображение
по-видимому и стало решающим для формулировки
эйнштейновской интерпретации энергии покоя.
Для получения связи полной релятивистской энергии и релятивистского импульса в общем случае нужно
исключить скорость из (9.31) и (9.36). С этой целью рассмотрим выражения квадратов полной энергии и им-
352
пульса:
Из (9.38) находим
1 −
E2=
p2=
2
v
2
c
4
m2c
=
, v2= c
2
E
4
m2c
1 −v2/c
2
m2v
1 −v2/c
, (9.38)
2
. (9.39)
2
2
1 −
m2c
E
4
2
Г л а в а IX
!
.
Релятивистская энергия
Исключая с помощью этих равенств v из (9.39), по-
лучим
Это общая связь энергии и импульса в релятивистской механике. При m = 0 из нее получается соотношение (9.37) для фотона, при p = 0 ---- выражение для
энергии покоя частицы (тела) массы m: E0= mc2.
Из выражения (9.40) можно непосредственно видеть, что часть релятивистской энергии связана с массой тела, а другая часть ---- с импульсом, то есть с движением. Полная энергия получается суммированием
квадратов этих частей и последующим извлечением
квадратного корня. Рассмотрим выражение
E =qp2c2+ m2c4= mc
при pmc. Для квадратного корня в этом приближении
можно написатьp1 + p2/m2c2≈ 1 + p2/2m2c2, что дает
для энергии
Это нерелятивистское приближениеформулы (9.40):
при малых скоростях (импульсах) механическая энергия теласкладывается из энергии покоя икинетической
энергии Eк= p2/2m = mv2/2.
Приведем также полезные соотношения между релятивистским импульсом и релятивистской кинетической энергией, получаемые из (9.40) с учетом того, что
E = Eк+ mc2:
Eк=qp2c2+ m2c4− mc
p
Eк(Eк+ 2mc2)
p =
c
Иногда при решении задач удобно использовать также соотношение, связывающее полную энергию, релятивистский импульс и скорость частицы:
Данное соотношение получается непосредственно
из (9.31) (9.36). 353
E2= p2c2+ m2c4. (9.40)
E ≈ mc2+
2
при p mc Eк≈ p2/2m,
p
2m
r
2
2
.
1 +
p
m2c
2
2
,
при Eк mc2p ≈p2mE
2
c
p.
E
p =
E
v, v =
2
c
.
к
Г л а в а IX
Рассмотрим второй способ определениярелятивистской энергии.В предыдущем параграфе было отмечено,
что составляющие релятивистского импульса при переходе между инерциальными системами отсчета преобразуются так же, как компоненты вектора бесконечно
малого перемещения dr. Это является необходимым
условием инвариантности закона сохранения импульса. С другой стороны, данное обстоятельство означает,
что релятивистский импульс p может рассматриваться
как пространственная часть 4-вектора (p, pt). Найдем
четвертую составляющую этого вектора.
Из сравнения преобразований (9.29) для компонент
p и (9.25) для пространственных составляющих произвольного 4-вектора (A, At) получаем
1
p
1 −v2/c
mc
1 −v2/c
dt
2
=
dτ
dt
. (9.41)
dτ
,
2
E
=
,
2
c
2
mc
p
1 −v2/c
. (9.42)
2
pt= mc
Производная dt/dτ в соответствии с (9.30) определяется как
dt
dτ
=
где v ---- скорость частицы(тела) в системе отсчета, по часам которой определяется время t. Для четвертой составляющей 4-вектора (p, pt), таким образом, имеем
pt=
p
где E ---- величина с размерностью энергии, которая, как
можно видеть, совпадает с (9.36).
Мы можем, следовательно, определить релятивистскую энергию через составляющую pt4-вектора (p, pt):
E = cpt= mc
Рассмотренный нами 4-вектор
(p, pt) = (p, E/c) (9.43)
называется 4-вектором энергии---импульса. Его состав-
ляющие в соответствии с (9.28), (9.31), (9.41) и (9.42)
равны354
Релятивистская энергия
px= m
py= m
pz= m
pt= mc
dx
dτ
dy
dτ
dz
dτ
dt
dτ
=
=
=
=
mv
p
1 −v2/c
mv
p
1 −v2/c
mv
p
1 −v2/c
p
1 −v2/c
mc
x
,
2
y
,
2
(9.44)
z
,
2
= E/c.
2
Преобразования Лоренца для компонент 4-вектора
энергии импульса вытекают из (9.17) с учетом инвариантности собственного времени:
px− βE/c
0
p
=
0
p
x
0
p
y
E0/c =
Величины px, py, pz, E относятся к системе отсчета
K, величины p
0
0
, p
, p
0
0
x
y
1 −β
= py, p
0
E/c − βp
p
0
, E0---- к системе отсчета K0, ко-
0
z
1 −β
2
0
0
z
,
= pz,
x
.
2
(9.45)
торая движется относительно K со скоростью v0= βc
в положительном направлении оси x.
Легко убедиться, что величина
(E/c)2− p
− p
y
2
= (E/c)2− p
z
− p
x
2
2
2
инвариантна относительно преобразований (9.45), то
есть
(E0/c)2− p02= (E/c)2− p2.
Вычисление инварианта 4-вектора (9.43) с помощью
(9.44) дает
Inv
(p, E/c)
= (E/c)2− p2=
2
m2c
1 −v2/c
−
2
2
m2v
1 −v2/c
= m2c
2
2
или
E2− p2c2= m2c4,
что совпадает с (9.40).
355
Глава X
Механические колебания и волны
10.1. Кинематика колебательного движения
В природе чрезвычайно важную роль играют периодические во времени процессы, то есть такие, при
которых состояния системы повторяются через равные промежутки времени T . Эти процессы называются
колебательными или просто ---- колебаниями, а времен-
ной интервал T называют периодом колебаний.
В механической системе колебательным будет процесс, при котором
ri(t + nT ) = ri(t) и vi(t + nT ) = vi(t) (n = 1, 2, . . .),
где riи vi---- радиус-векторы и скорости всех частиц
системы, причем период колебаний T должен быть
минимальным промежутком времени, для которого выполняется данное условие. Системы с периодической
зависимостью ri(t) и vi(t) называются осцилляторами.
Мы ограничимся рассмотрением механических осцилляторов с одной степенью свободы. В этом случае
для координаты x и скорости v осциллятора спериодом
колебаний T должны быть выполнены условия
x(t + nT ) = x(t), v(t + nT ) = v(t) (n = 1, 2, . . .). (10.1)
Рассмотрим следующую модель. Материальная точка P движется по окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью ω (рис. 10.1). Угол ϕ между
радиус-вектором точки и осью x изменяется по закону
ϕ = ωt + ϕ0, ϕ0---- начальное значение угла. Проекция
N точки P на ось x движется следующим образом
356
x = R cos ϕ = R cos(ωt + ϕ0), (10.2)
Кинематика колебательного движения
x
y
AB
R
P
ϕ
N
перемещаясь периодически из крайнего правого положения A в крайнее левое положение B и обратно. Такое движение, очевидно, будет удовлетворять условию
(10.1) с периодом T = 2π/ω, поскольку скорость точки N vx= ˙x = −Rω sin(ωt + ϕ0) является периодической
функцией с тем же периодом.
Проекция точки P на ось y
движется по закону
y = R sinϕ = R sin(ωt + ϕ0). (10.3)
Данная функция отличается
от (10.2) лишь сдвигом аргумента под знаком синуса на π/2, то
есть это та же функция с другим
начальным значением аргумента.
Колебания, описываемые вы-
ражениями (10.2), (10.3), называются простыми или
гармоническими. Величину ω = 2π/T называют цик-
лической частотой колебаний, а величину, обратную
периоду, ν = 1/T = ω/2π ---- линейной частотой колебаний (сравните с формулами (1.42) для периода, частоты
вращения и угловой скорости при равномерном вращательном движении). Величина R, соответствующая
максимальному абсолютному значению переменных x
и y в (10.2), (10.3), называется амплитудой колебаний.
Линейную функцию времени ϕ = ωt + ϕ0называют
фазой колебаний.
Гармонические колебания имеют очень большое
значение в анализе произвольных колебательных процессов, поскольку, как строго доказывается в математике, любая периодическая функция с периодом T
( f (t + nT ) = f (t) при n = 1, 2, . . .) может быть представлена
в виде суммы (суперпозиции, линейной комбинации)
гармонических колебаний с периодами T /k (k = 1, 2 . . .):
akcos
2πk
T
t + ϕ
∞
X
f (t) = a0+
где ak, 2πk/T = ωk, ϕ0k---- амплитуды, частоты и начальные фазы гармонических составляющих периодической функции f (t) (ряд Фурье).Поэтому далее мы будем
рассматривать только гармонические колебания. 357
k=1
Рис. 10.1
!
,
0k
Г л а в а X
Механическая система, в которой колебания описываются уравнениями (10.2) или (10.3), называется ли-
нейным гармоническим осциллятором (классическим).
Равномерное движение материальной точки по окружности можно, таким образом, представить как совокупность (суперпозицию)двух синхронных гармонических колебаний одинаковой частоты и амплитуды по
двум взаимно перпендикулярным осямсо сдвигомфазы
π/2. При других значениях сдвига фазы или при произ-
вольном соотношении амплитуд двух перпендикулярных колебаний координат x и y траекторией точки P
будет эллипс. Например, при 4ϕ0= π/2 и
x = a cos(ωt + ϕ0), y = b sin(ωt + ϕ0)
точка будет описывать эллипс
2
2
x
y
+
= 1.
2
2
a
b
Гармоническим будет также колебание, задаваемое
уравнением
x = A1cos ωt + A2sin ωt. (10.4)
При A1=R cos ϕ0и A2=−R sin ϕ0(10.4) сводится к (10.2),
при A1= R sin ϕ0и A2= R cos ϕ0---- к (10.3).
10.2. Динамика гармонических колебаний. Маятники
Продифференцируем кинематическое уравнение
гармонических колебаний в виде1x = A cos(ωt+ ϕ0) дважды по времени. Полученное в результате равенство
¨x = −Aω2cos(ωt + ϕ0) = −ω2x будет соответствовать ди-
намическому уравнению движения частицы массы m:
m ¨x = Fxесли сила, действующая на частицу, равна
F = Fx= −mω2x. (10.5)
В этом случае решением уравнения движения
m ¨x = F = −mω2x ¨x + ω2x = 0 (10.6)
будет гармоническое колебание с частотой ω.
1
358
Амплитуду колебаний далее будем обозначать A.
Динамика гармонических колебаний. Маятники
Это и есть динамическое уравнение гармонических
колебаний. Для того чтобы оно имело место, сила, дей-
ствующая в одномерной механической системе, должна
иметь вид (10.5). Частота колебаний ω в (10.5) и (10.6)
называется собственной частотой осциллятора.
Отметим, что с уравнением гармонических колебаний мы уже дважды сталкивались в нашем курсе: уравнение (3.53) в параграфе 3.6 и уравнения (6.50), (6.52)
в параграфе 6.8.
Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что решениями (10.6) наряду с функцией вида (10.2)
являются также функции (10.3) и (10.4). Это и неудивительно, поскольку (10.2), (10.3) и (10.4), как было показано в предыдущем параграфе, различные представления
одной и той же функции.
Покажем, что решения вида (10.2)---(10.4) являются для уравнения (10.6) общими. Рассмотрим линейный
гармонический осцилляторс собственной циклической
частотой ω. Пусть в начальный момент времени координата x имеет значение x0, а скорость v ---- значение
v0. В соответствии с законами классической механи-
ки для системы с одной степенью свободы при известном уравнении движения задание двух начальных
условий должно привести к единственному решению.
Решение будем искать в виде (10.3): x = A sin(ωt + ϕ0).
Подстановка данной функции в (10.6) приводит к тождеству. Неизвестными остаются амплитуда A и начальная фаза ϕ0. Дифференцированием находим скорость
v = ˙x = Aω cos(ωt + ϕ0). При t = 0 получаем два уравнения
Это два уравнения с двумя неизвестными: A и ϕ0.
Исключая A, находим tg ϕ0= x0ω/v0. Для амплитуды по-
лучаем A =qx
измеряться в рад/c, а начальная фаза ϕ0---- в рад.
Полученное решение является единственным,
то есть единственно возможным образом задает зависимость x = x(t) для уравнения движения (10.6)и конкретных начальных условий, количество которых совпадает
с порядком уравнения движения.
x0= A sin ϕ0,
v0= Aω cos ϕ0.
2
2
+ v
/ω2. Заметим, что частота ω должна
0
0
359
Г л а в а X
Решения (10.2), (10.3) или (10.4) в каждом из случаев содержат по две независимые константы, поэтому
подстановка в них начальных условий даст два уравнения с двумя неизвестными. Таким образом задача
о нахождении решения (10.6) при полном наборе начальных условий становится полностью определенной.
Это и означает, что решения (10.2)---(10.4) для уравнения
(10.6) являются общими ---- любое решение при заданных начальных условиях можно представить в виде
(10.2), (10.3) или (10.4).
Кинетическая энергия Eки потенциальная энергия
Eплинейного гармонического осциллятора при
x = A sin(ωt + ϕ0), ˙x = Aω cos(ωt +ϕ0) соответственно рав-
ны
Eк=
Eп= −
=
Можно видеть, что в процессе колебаний увеличение кинетической энергии сопровождается уменьшением потенциальной и, наоборот, уменьшению кинетической энергии соответствует увеличение потенциальной. Полная энергия осциллятора сохраняется
Нетрудно убедиться, что аналогичный результат получится для колебаний вида (10.2) и (10.4) (для случая (10.4) A2= A
что сила (10.5), обеспечивающаягармоническое колебательное движение, является, очевидно, потенциальной.
Из (10.8) следует, что механическая энергия линейного
гармонического осциллятора пропорциональна массе,
квадрату амплитуды и квадрату частоты колебаний.
Примерами линейных гармонических осцилляторов
являются маятники. Собственная частота осциллятора
определяется динамическими характеристиками системы, в частности массой (приведенной массой) движу-
щегося тела.360
2
m ˙x
=
2
x
Z
F(x0)dx0= mω
0
2
mω2x
=
2
E = Eк+ Eп=
2
2
+ A
). Это является следствием того,
1
2
mA2ω
2
mA2ω
2
2
cos2(ωt + ϕ0),
x
Z
2
x0dx0=
0
2
sin2(ωt + ϕ0).
2
mA2ω
. (10.8)
2
(10.7)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]