Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Углы Эйлера
K
00
y
x
z
O
K
ψ
˙
ψψ
x
00
y
00
z
00
θ
ϕ
N
˙
θθθ
2
˙
ϕϕϕ
направлена вдоль линии узлов
˙
θθθ-=˙θ eN.
Угол прецессии ϕ определяется как угол между осью
x системы отсчета K и линией узлов в направлении от x
к линии узлов. Соответствующая ему угловая скорость
направлена вдоль оси z
˙
ϕϕϕ =˙ϕ k.
Угол ψ между линией узлов
и осью x00скрепленной системы отсчета в направлении от
линии узлов к x00называется
углом собственного вращения.
Вектор связанной с ним угловой скорости направлен вдоль
00
оси z
˙
ψψ =˙ψ k00.
Тройка углов θ, ϕ и ψ называется углами Эйлера.
Их задание означает однозначное определение ориентации скрепленной системы отсчета относительно
лабораторной (сопутствующей). Область изменения
углов Эйлера: θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π] ψ ∈ [0, 2π].
Напомним, что для конечных углов правило векторного сложения не действует (см. параграф 1.10), поэтому результат поворотов скрепленной системы отсчета
на конечные углы θ, ϕ и ψ без дополнительных условий,
вообще говоря, будет зависеть от их последовательности. Однако для бесконечно малых поворотов векторная
интерпретация углов допустима. Вектор dχχχ, соответ-
ствующий бесконечно малому повороту тела (скрепленной системы отсчета) на угол dχ вокруг мгновенной
оси вращения, можно представить векторной суммой
бесконечно малых изменений углов Эйлера
dχχχ = dθθθ-+ dϕϕϕ + dψψ . (6.6)
Это означает, что такой поворот переводит тело
из положения, задаваемого углами θ, ϕ, ψ, в положение
с ориентацией θ + dθ, ϕ + dϕ, ψ + dψ, причем результат с точностью до бесконечно малых величин высших
порядков не будет зависеть от последовательности изменения углов.
Рис. 6.8
201
Г л а в а VI
Считая, что приращения d χχχ, dθθθ-, dϕϕϕ и dψψ, связанные
равенством (6.6), происходят в процессе движения за
промежуток времени dt, получим для мгновенного значения угловой скорости тела
dχχχ
ωωω =
Радиус-вектор произвольной точки тела, отложенный от неподвижной точки O, можно представить в виде разложения по координатам в системах отсчета K
00
или K
r = xi + yj + zk = x00i00+ y00j00+ z00k00.
=˙θθθ-+˙ϕϕϕ +˙ψψ. (6.7)
dt
00
y
˙
ϕϕϕ
00
˙
ϕ
y
x00y
00
Для нахождения скороститоч-
ки v= [ωωω r] в неподвижной систе-
ме отсчета можно воспользоваться любым из этих представлений,
˙
00
˙
ϕ
00
θ
x
x
ψ
˙
00
θ
y
Рис. 6.9
˙
θθθ
3
если в каждом из случаев вектор
ωωω выразить через проекции на
00
x
соответствующие оси координат.
Найдем составляющие ωωω в скреп-
ленной системе отсчета.
Вектор˙θθθ-, как видноиз рис. 6.8,
лежит в плоскости x00Oy00, причем
угол между˙θθθ-и осью x00равен углуψ с обратным знаком.
Проекции˙θθθ-на оси координат системы отсчета K00,
таким образом, равны
˙
00
θ
=˙θ cos ψ,˙θ
x
00
= −˙θ sin ψ,˙θ
y
00
z
(см. также рис. 6.9). Проекция вектора˙ϕϕϕ на плоскость
x00Oy00должна быть перпендикулярна линии узлов, то
есть направлена под углом ψ к оси y00, как показано на
рис. 6.9, и равна по величине |˙ϕϕϕ
| =˙ϕ sin θ, что дает для
00
x00y
составляющих˙ϕϕϕ в K00следующие выражения:
˙
ϕ
=˙ϕ sin θsin ψ,
00
x
˙
ϕ
=˙ϕ sin θcos ψ,
00
y
˙
ϕ
=˙ϕ cos θ.
00
z
Вектор˙ψψ направлен всегда по оси z00, поэтому в K
˙
ψ
202
= 0,˙ψ
00
x
= 0,˙ψ
00
y
=˙ψ. (6.10)
00
z
= 0 (6.8)
(6.9)
00
Углы Эйлера
Суммируя (6.8)---(6.10) в соответствии с(6.7), находим
составляющие угловой скорости в скрепленной системе отсчета
Аналогично могут быть представлены проекции ωωω
на координатные оси системы отсчета K
Полученные выражения для составляющих вектора
угловой скорости в скрепленнойи неподвижной(сопутствующей) системах отсчета через углы θ, ϕ, ψ и их производные по времени называются кинематическими
уравнениями Эйлера. С помощью этих соотношений
линейная скорость точки твердого тела
v = [ωωω r] = (z ωy− y ωz) i+
может быть определена через значения углов Эйлера
и их производных˙θ,˙ϕ,˙ψ в данный момент времени
в проекциях на оси координат системы отсчета K
00
v
= z
x
00
v
= x
y
00
v
= y
z
00
ω
=˙ϕ sin θsin ψ +˙θ cos ψ,
x
00
ω
=˙ϕ sin θcos ψ −˙θ sin ψ,
y
00
ω
=˙ϕ cos θ +˙ψ.
z
ωx=˙θ cos ϕ +˙ψ sin θsin ϕ,
ωy=˙θ sin ϕ −˙ψ sin θcos ϕ,
ωz=˙ϕ +˙ψ cos θ.
+(x ωz− z ωx) j + (y ωx− x ωy) k =
= (z00ω
+(x00ω
00
˙
ϕ sin θcos ψ−˙θ sin ψ−y
00
˙
ϕ cos θ+˙ψ−z
00
˙
ϕ sin θsin ψ+˙θ cos ψ−x
00
y
00
z
00
− y00ω
z
00
− z00ω
x
00
˙
ϕ sin θsin ψ+
) i00+
) j00+ (y00ω
00
− x00ω
x
00
˙
ϕ cos θ+˙ψ,
˙
θ
cos ψ, (6.13)
00
˙
ϕ sin θcos ψ−˙θ sin ψ
(6.11)
(6.12)
00
00
) k
y
00
или системы отсчета K
˙
vx= z
θ sin ϕ−˙ψ sin θcos ϕ−y
˙
vy= x
ϕ+˙ψ cos θ−z
˙
vz= y
θ cos ϕ+˙ψ sin θ sin ϕ−x
˙
ϕ+˙ψ cos θ,
˙
θ
cos ϕ+˙ψ sin θsin ϕ, (6.14)
˙
θ sin ϕ−˙ψ sin θ cos ϕ
. 203
В представлении (6.13) координаты точки x00, y00, z
постоянны, а составляющие скорости определены как
проекции на оси скрепленной системы отсчета, вращающейся вместе с телом. В (6.14) определяются составляющие скорости на фиксированные оси координат,
но при этом они выражаются через переменные координаты точки x, y, z.
Если в лабораторной системе отсчета полюс (точка O) движется, то составляющие ее скорости v0суммируются с составляющими скорости сферического
движения v = [ωωω r] точки тела в соответствующей сис-
00
00
теме отсчета: к проекциям v
ются соответственно v
00
, v
0x
, v
x
00
, v
0y
00
, v
в (6.13) добавля-
y
z
00
, к проекциям vx, vy,
0z
vzв (6.14) ---- составляющие v0в лабораторной системе
отсчета: v0x, v0y, v0z.
Для летательных аппаратов и водных судов углы
Эйлера имеют специальные названия, традиционно
используемые в литературе. Угол θ соответствует углу
тангажа (для летательных аппаратов) или дифферента
(для водных судов). Угол тангажа отсчитывается обычно от горизонтальной плоскости, а не от вертикальной оси, как изображено на рис. 6.8. Это угол между
горизонтом и продольной осью движущегося аппарата
(судна), за положительное принимается направление,
при котором ось аппарата в направлении его движения
поднимается над горизонтом.
Угол ϕ ---- угол поворота вокруг вертикальной оси называется углом рыскания. За начало отсчета этого угла
обычно принимается направление на север. В авиации углом рыскания называют угол поворота вокруг
вертикальной оси скрепленной системы отсчета, что
соответствует углу прецессии Эйлера только при горизонтальном полете, когда оси z и z00совпадают.
Углом крена (для ракеты ---- углом вращения) назы-
вают угол поворота вокруг продольной оси. Началом
отсчета в этом случае является горизонтальное положение поперечной оси (оси, перпендикулярной продольной и собственной вертикальной осям, для самолета ---- ось, соединяющая концы крыльев). Крен, тангаж и рыскание, так же как соответствующие им углы
Эйлера, однозначно определяют ориентацию аппарата
(судна) в пространстве.
204
Г л а в а VI
00
Динамические уравнения движения твердого тела
6.4. Динамические уравнения движения твердого тела
Полная система динамических уравнений движения абсолютно твердого тела в общем случае должна состоять из шести независимых дифференциальных
уравнений второго порядка (по количеству степеней
свободы). В качестве такой системы уравнений можно
использовать теорему об изменении импульса системы
материальных точек (2.25)
e
˙
p = F
и теорему об изменении момента импульса системы
материальных точек (2.55)
˙
L = Me. (6.16)
Векторы p и L в этих уравнениях соответственно
импульс и момент импульса тела, Feи Me---- главные
векторы внешних сил и внешних моментов, то есть
векторные суммы всех действующих на тело внешних
сил (Fe) и моментов этих сил (Me) относительно той же
точки, для которой определен момент импульса.
Для систем материальных точек, которые могут перемещаться относительно друг друга, как было показано в параграфах 2.8 и 2.11, внутренние силы оказывают влияние только на относительное движение частиц
и не влияют на движение системы как целого. В случае
твердого тела в скрепленной системе отсчета внутреннее движение отсутствует, поэтому внутренние силы
вообще не влияют на движение системы и их можно
не учитывать. С физической точки зрения это является
следствием идеализации в модели недеформируемого
тела. Точку приложения главного вектора внешних сил
можно произвольно смещать вдоль линии этого вектора, так как при этом Feи Meне изменяются.
При отсутствии внешних сил
Fe= 0,˙p = 0 и Me= 0,˙L = 0. (6.17)
Тело в этом случае может покоиться либо двигаться поступательно с постоянной по величине и направлению скоростью, а также равномерно вращаться вокруг фиксированной оси, проходящей через центр масс
(6.15)
205
Г л а в а VI
вдоль постоянного вектора L (ось вращения должна
проходить через центр масс тела, так как в противном
случае центр масс будет двигаться по окружности вокруг оси вращения, то есть импульс тела p = mvcбудет
переменным по направлению).
Если действующие на тело внешние силы скомпен-
сированы, то из равенства Fe= 0 еще не следует равен-
ство нулю главного внешнего момента. Однако вданном
случае Meне зависит от выбора начала отсчета. Действительно, пусть F
малые частицы тела, ri---- радиус-векторы этих частиц
относительно начала отсчета O, r
векторы тех же частиц относительно другого начала
отсчета O0(r0---- постоянный вектор от точки O0до точки O), тогда главный внешний момент Meотносительно
точки O определяется суммой
суммарный момент (Me)0относительно точки O0равен
(Me)0=
так как Fe=PF
Кратко остановимся на условиях равновесия абсолютно твердого тела. Условия, задаваемые равенствами
(6.17), являютсянеобходимыми, но недостаточными для
равновесия. Их нужно дополнить требованием равенства нулю импульса и момента импульса в какой-либо
момент времени (начальные условия), тогда постоянство pи L будет означатьсостояние покоя. Отметим, что
задача о равновесии в модели абсолютно твердого тела
не всегда имеет однозначное решение. В качестве примера рассмотрим твердую балку на опорах (рис. 6.10).
Пусть балка массы m расположена на двух опорах
(рис. 6.10,а). Условие равновесия сил в данном случае
приводит к равенству
где N1и N2---- силы реакции опор. Моменты сил при
Fe= 0 могут определяться относительно любого начала
отсчета. Привыборе начала отсчета в центремасс балки
условие равновесия моментов дает
X
e
i
e
---- внешние силы, действующие на
i
0
= ri+ r0---- радиус-
i
i
= Me+hr
e
],
i
X
i
e
F
i
= Me,
0
Me=X[riF
h
(ri+ r0) F
e
i
= 0.
N1+ N2= mg,
N1d1= N2d
,206
2
Динамические уравнения движения твердого тела
C
1 2
mg
N
1
N
2
l
а
C
1 23
mg
N
1
N
2
N
3
l
d
б
где d1и d2---- расстояния от центра масс до линий
действия сил реакции (плечо силы). В нашем случае
точки опоры расположены на расстоянии l друг от
друга симметрично относительно центра масс, поэтому d1= d2= l/2. В результате имеем систему двух
линейных уравнений с двумя неизвестными силами
реакции. Ее решение в нашем случае: N1= N2= mg/2.
Легко убедиться, что при равновесии на двух опорах
решение будет однозначным при любом расположении
точек опоры, если они находятся по разные стороны
от центра масс (в противном случае моменты сил реакции имеют одинаковое направление и в сумме не могут
обратиться в нуль).
Пусть теперь та же балка имеет три опорные точки
(рис. 6.10,б). Условия равновесия по-прежнему выражаются системой двух скалярных уравнений
но количество неизвестных сил реакции в данном случае три.
Задачи, в которых количество неизвестных сил реакции оказывается больше, чем количество уравнений,
получаемых из условий равновесия (6.17), в механике
твердого тела называются статически неопределенны-
ми. Рассмотрим вначале возможные решения системы
(6.18), считая балку абсолютно твердым телом. Пусть
вершина опоры 3 находится чуть ниже линии, соединяющей вершины опор 1 и 2. Тогда балка не касается третьей опоры, и задача сводится к предыдущей:
Рис. 6.10
N1+ N2+ N3= mg,
l
N
+ N3d = N
1
2
l
,
2
2
(6.18)
207
N1= N2= mg/2, N3= 0. При подъеме опоры 3 в какой-
то момент система примет положение, при котором
линия, соединяющая вершины опор 2 и 3, окажется
чуть выше вершины опоры 1. Нагрузка с опоры 1 при
этом перейдет на опору 3, и система (6.18) примет вид
N2+ N3= mg,
Решение этой системы
2mgd
N2=
Два полученных решения в модели абсолютно твердого тела, не допускающей деформаций балки, переходят друг в друга скачком. В реальности малые деформации балки приведут к тому, что при подъеме третьей
опоры перераспределение нагрузки будет происходить
непрерывно, хотя и в небольшом диапазоне изменений
высоты подъема. Ранее полученные решения при этом
приобретают смысл предельных значений соответствующих сил реакции:
0 ≤ N1≤
Если величина одной из сил в допустимой области
значений задана, то система (6.18) становится полностью определенной, и позволяет однозначно вычислить
значения двух других сил.
Вернемся к рассмотрению динамическихуравнений
движения (6.15) и (6.16). Данные уравнения были получены нами в главе 2 (параграфы 2.8 и 2.11) как следствия
второго и третьего законов Ньютона в применениик механическим системам, на которые действуют внешние
силы. Использование при выводеуравнений второгозакона Ньютона означает, что эти уравнения будут справедливы в инерциальных системах отсчета, то есть
вектор импульса p должен быть определен относительно инерциальной системы отсчета, а моменты импульса
L и внешних сил Meдолжны быть определены относи-
тельно фиксированной точки в инерциальной системе
208
mg
2
2d + l
,
, N3=
2mgd
2d + l
N3d =
≤ N2≤
N2l
2
2d + l
.
mgl
, N1= 0.
mg
, 0 ≤ N3≤
2
Г л а в а VI
mgl
.
2d + l
Динамические уравнения движения твердого тела
отсчета. Такой системой может быть неподвижная (лабораторная) система отсчета. Система центра масс при
наличии внешних сил в общем случае не является инерциальной.
Тем не менее, уравнение (6.16), описывающее вращательное движение тела, остается справедливым
и в неинерциальной Ц-системе, если главный момент
внешних сил определен относительно центра масс C.
Докажем это.
В параграфе 4.1 (см. с. 138) мы показали, что момент
импульса твердого тела, определенный относительно
точки неподвижной системы отсчета (полный момент
Lп), может быть представлен в виде суммы момента
импульса тела как целого относительно той же точки
(L0= [rcmvc] = [rcp], m ---- масса тела, rcи vc---- радиусвектор и скорость центра масс, p = mvc---- импульс тела
в лабораторной системе отсчета) и момента импульса
в системе центра масс (собственный момент L):
Lп= [rcp] + L.
Дифференцируя данное равенство по времени, находим
где учтено, что [vcp] = 0, так как векторы vc=˙rcи p
коллинеарны, а также˙p = Feсогласно (6.15).
Радиус-вектор частицы тела riотносительно неподвижной точки, для которой определены моменты импульса Lпи L0, представим в виде суммы ri= rc+ r
0
r
---- радиус-вектор данной частицы относительно цен-
i
тра масс. В выражении для главного вектора моментов
внешних сил относительно той же неподвижной точки
лабораторной системы отсчета M
щие преобразования:
e
M
л
где Me=
сил, вычисленный относительно центра масс тела.
Уравнение (6.16) справедливо в инерциальных системах отсчета, следовательно, оно должно выполняться для векторов Lпи M
неподвижной точки лабораторной системы отсчета. 209
X
=
(rc+r
h
P
˙
Lп= [vcp] + [r
0
e
) F
i
i
i
e
0
r
F
---- главный вектор моментов внешних
i
i
˙
p] +˙L = [rcFe] +˙L,
c
e
проведем следую-
л
X
0
=
r
F
i
e
, определенных относительно
л
X
e
+hr
i
i
e
F
c
= Me+rcF
i
0
, где
i
e
,
Г л а в а VI
Подставляя в (6.16) полученные выражения для˙L
e
и M
:˙Lп= [rcFe] +˙L = M
л
e
= Me+rcF
л
˙
L = Me,
e
, получаем
что совпадает с (6.16), но только теперь векторы L и M
имеют смысл собственного момента импульса и главного вектора моментов внешних сил относительно центра
масс. Тем самым сформулированное выше утверждение доказано.
Отметим, что собственный момент L может быть
вычислен относительно любой точки в Ц-системе, так
как момент импульса в системе центра масс не зависит
от выбора начала отсчета (см. параграф 3.7), а вектор
Me, как следует из нашего доказательства, обязательно
должен быть определен относительно центра масс.
Общая задача о движении твердого тела, таким образом, распадается на две независимые динамические
задачи: поступательное движение описывается уравнением (6.15), которое полностью аналогично динамическому уравнениюдвижения материальной точки массы
m, равной массе тела, помещенной в его центр масс,
вращательное движение определяется решением уравнения (6.16), в котором L и Meможно рассматривать как
собственный момент импульса и суммарный момент
внешних сил относительно центра масс, что соответствует сферическому движению с полюсом в центре
масс тела.
При сферическом движении относительно произвольной точки, неподвижной в лабораторной системе
отсчета, динамическим уравнением движения является (6.16). В этом случае момент импульса L и момент
внешних сил Meопределяются относительно полюса
сферического движения.
п
e
6.5. Кинетическая энергия твердого тела.
Тензор инерции
В соответствии с теоремой К¨енига (см. параграф 3.7)
кинетическая энергия механической системы складывается из энергии поступательного движения системы
как целого и кинетической энергии в системе отсчета
210
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]