Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Динамические величины в системе отсчета центра масс
где L, L0и p соответственно ---- суммарные моменты импульса относительно точек O, O0и суммарный импульс
системы. В Ц-системе p = 0, поэтому
L = L0.
Это означает, что для механической системы суммарный момент импульса в системе отсчета центра
масс не зависит от выбора начала отсчета.
Пусть теперь точка O0на рис. 3.12 является центром масс системы и движется относительно точки O
со скоростью v0=˙r0(не обязательно постоянной). Свяжем с этими точками системы отсчета K0(Ц-система)
и K. Если K0движется относительно K поступательно,
то дифференцированиеравенства ri= r
даст
vi= v
0
+ v0.
i
Возведем правую и левую части данного равенства
в квадрат
2
02
v
= v
i
2
+ v
+ 2v
i
0
затем домножим справа и слева на mi/2 и проведем
суммирование по всем частицам системы
N
X
i=1
miv
N
2
i
=
2
X
i=1
miv
02
i
2
2
mΣv
0
+
2
Сумма в левой части равна кинетической энергии
системы частиц Eкв системе отсчета K, первое слагаемое в правой части ---- суммарная кинетическая энергия
0
E
в Ц-системе,сумма в последнем слагаемом ---- полный
к
импульс p0в Ц-системе. Поскольку p0= 0, окончательно
получим
где E0к= mΣv
марной массы системы, помещенной в ее центр масс,
2
/2 ---- кинетическая энергия движения сум-
0
Eк= E
0
+ E0к, (3.57)
к
или энергия поступательного движения системы как
целого.
Таким образом, кинетическая энергия механической системы в произвольной системе отсчета равна
сумме ее кинетической энергии в системе центра масс
и энергии поступательного движения системы как целого (теорема К¨енига). Отметим, что данная теорема
не требует инерциальности ни одной из двух систем
отсчета. 121
0
i
v0,
+ v
0
+ r0по времени
i
N
X
0
i=1
miv
0
.
i
Теорема К¨енига имеет еще одну эквивалентную
формулировку: при произвольном движении кинети-
ческая энергия механической системы, в частности
твердого тела, складывается из энергии поступатель-
ного движения центра масси вращательного движения
относительно центра масс.
3.8. Механическая энергия системы частиц.
Внутренняя энергия
Рассмотрим вначале понятие полной механической
энергии системы частиц на примере двух взаимодей-
ствующих материальных точек (задача двух тел, см. параграф 2.9). Массы частиц ---- m1и m2, радиус-векторы ---- r1и r2, сила F21, действующая на первую частицу со стороны второй, равна по величине и противоположна по направлению силе F12, действующей
на вторую частицу со стороны первой (рис. 3.13). При
отсутствии внешних сил общее динамическое решение
сводится к задаче о движении одной частицы с приведенной массой µ = m1m2/(m1+ m2) в силовом поле второй
частицы (2.31)---(2.33):
µ¨r12= F12, µ¨r21= F21.
В соответствии с теоремой об изменении кинетиче-
ской энергии для частицы массы µ в инерциальной системе отсчета приращение кинетической энергии равно работе силы, действующей на частицу:
dEµк= d
(v12= −v21, F12= −F21, dr12= −dr21). С другой стороны, применяя ту же теорему к перемещениям каждой
из частиц за интервал времени dt, получим
dE1к= d
122
dE2к= d
2
µv
12
2
= d
= F12dr12= F21dr
2
m1v
1
= F21dr1= −F12dr1,
2
2
m2v
2
= F12dr
2
2
µv
2
21
=
2
21
Г л а в а III
(3.58)
Механическая энергия системы частиц. Внутренняя энергия
r
1
r
2
F
21
F
12
r
12
m
1
m
2
O
или для суммарной кинетической энергии пары ----
dEк= dE1к+ dE2к=
= F12(dr2− dr1) = F12dr12= F21dr21.
Энергия Eµк= µv
2
/2 = µv
12
2
/2 равна суммарной ки-
21
нетической энергиичастиц в системе отсчета их центра
масс. Действительно, в Ц-системе согласно (2.37)
r1= −
v1= −
m
2
m1+ m
m
2
m1+ m
r12, r2=
2
v12, v2=
2
m
1
m1+ m
m
1
m1+ m
r12,
2
v12,
2
поэтому
m1v
2
2
1
2
m2v
2
+
=
2
(m1m
2 (m1+m2)
2
2
+m
2
m2) v
1
2
12
=
2
2 (m1+m2)
m1m2v
2
12
(3.59)
= Eµк.
Кинетическая энергия E
к
в (3.59) определена для произвольной инерциальной системы
отсчета, так как в неинерциальной системе отсчета не будет
иметь место равенство работы
и приращения кинетической
Рис. 3.13
энергии, вытекающее из второго законы Ньютона. Ц-системапри отсутствиивнешних
воздействий также является инерциальной. Это означает, что разность кинетических энергий Eки Eµк, которая в соответствии с теоремой К¨енига равна энергии
поступательного движения центра масс, будет постоянной величиной, что объясняет совпадение результатов
(3.58) и (3.59) для приращений: dEк= dEµк.
Теперь обратимвнимание на то, что приращенияки-
нетических энергий Eки Eµк, с одной стороны, равны
сумме работ сил взаимодействия F12и F21на абсолютных перемещениях частиц dr2и dr1, с другой стороны ---- работе одной из сил на относительном перемещении: F12dr12или F21dr21. Это позволяет представить
дифференциал потенциальной энергии пары взаимодействующих частиц в виде
dEп= dE
12п
= dE
= −F12dr12= −F21dr21. (3.60)
21п
123
Таким образом, потенциальная энергия пары взаимодействующих частиц равна энергии взаимодействия
одной из частиц с полем другой частицы:
Eп= E
12п
= E
21п
Согласно (3.59) и (3.60) полная механическая энергия
изолированной пары частиц E = Eк+ Eпв инерциальной
системе отсчета сохраняется:
dE = d(Eк+ Eп) = 0. (3.61)
Важно отметить, что закон сохранения действует
для системы в целом, но не для каждой из частиц
в отдельности. Например, если в начальном состоя-
нии частицы достаточно удалены друг от друга, так
что их взаимодействием можно пренебречь и положить
Eп= 0, то полная энергия будет равна сумме кинетиче-
ских энергий
E =
m1v
2
2
1
2
m2v
2
+
.
2
При сближении частиц их кинетические энергии
(каждая в отдельности и суммарная) будут изменяться,
но полная механическая энергия пары останется неизменной засчет появления потенциальной энергии. Если
после сближения частицы вновь разлетятся на большое
расстояние, то потенциальная энергия обратится в нуль,
а суммарная кинетическая энергия примет начальное
значение
E =
m1v
02
1
2
02
m2v
2
+
2
2
m1v
1
=
2
2
m2v
2
+
,
2
однако скорости частиц после сближения v
дут отличаться от скоростей в начальном состоянии v
и v2по величине и направлению. Это означает, что
в процессе сближения между частицами может происходить обмен энергией, при котором полная энергия
изолированной пары сохраняется.
Потенциальная энергия взаимодействия двух частиц может быть представлена как функция их координат, точнее, она будет функцией одной переменной ---- расстояния между частицами, которое в свою
очередь зависит от координат каждой из частиц
E
= E
124
12п
(|r2− r1|) = E
12п
r12=q(x2− x1)2+ (y2− y1)2+ (z2− z1)2.
12п(r12
),
Г л а в а III
0
0
и v
1
2
(3.62)
бу-
1
Механическая энергия системы частиц. Внутренняя энергия
Силы взаимодействия можно выразить через гради-
ент потенциальной энергии пары следующим образом:
dE
F12= −∇2E
12п
Индекс у знака градиента указывает, по координатам какой из частиц проводится дифференцирование.
Например,
∇2r12=
∂r
∂x
12
i +
2
Частная производная r12по переменной x2равна
∂r
∂x
12
=
p
2
(x2− x1)2+ (y2− y1)2+ (z2− z1)
x2− x
аналогично вычисляются производные по y2и z2. С учетом этого получаем
∇2r12=
(x2−x1) i + (y2−y1) j + (z2−z1) k
r
12
Это единичный вектор в направлении от первой частицы ко второй. Аналогично: ∇1r12= −r12/r12= r21/r12.
Обратим внимание, что r12= r21, но ∇2r12= −∇2r21, так как
длина отрезка r12возрастает в направлении от первой
частицы ко второй, а длина отрезка r21---- в противоположном направлении.Подставив (3.64) в (3.63), получим
F12= −
dE
Если при удалении частиц потенциальная энергия
убывает, то dE
/dr12< 0 и сила F12будет направлена
12п
вдоль вектора r12, то есть это будет сила отталкивания,
наоборот ---- если при увеличении расстояния энергия
взаимодействия растет, то между частицами действует
сила притяжения. Выражение для силы F21будет отличаться от (3.65) лишь перестановкой индексов.
Для пары взаимодействующих частиц, находящейся во внешнем потенциальном поле, к силам взаимодействия F12и F21добавляются силы, действующие
на каждую из частиц со стороны внешнего поля F
e
и F
. Эти силы зависят от координат каждой из частиц
2
в отдельности
e
F
= F
i
= −
∂r
∂y
1
dr
e
i
12п
∇2r12. (3.63)
dr
12
∂r
12
2
j +
∂z
12
k.
2
2
=
r
12п
12
. (3.65)
r
12
12
(ri).
x2− x
=
r
12
r
12
. (3.64)
r
12
1
,
e
1
125
Г л а в а III
Их вклады в работу, совершаемую над частицами
на малых перемещениях dr1и dr2, являются независи-
мыми друг от друга и от работы сил взаимодействия.
Поэтому изменение кинетической энергии системы
в инерциальной (лабораторной) системе отсчета находится простым суммированием вкладов работ сил
взаимодействия (3.59) и внешних сил
dEк= dE1к+ dE1к= F12dr12+ F
e
dr1+ F
1
Элементарная работа сил взаимодействия может
быть выражена через дифференциал функции E
(3.60):
F12dr12= −dE
12п
работы внешних сил ---- через дифференциалы потенциальных энергий каждой из частиц во внешнем поле:
e
F
dr1= −dE
1
e
, F
1п
e
dr2= −dE
2
Это позволяет представить (3.66) в виде
где
dEк= −dE
Eп= E
12п
− dE
12п
e
1п
+ E
− dE
e
+ E
1п
e
2п
---- потенциальная энергия пары частиц, складывающаяся из энергии их взаимодействия E
ных энергий каждой из частиц во внешнем поле E
e
и E
(r2).
2п
Закон сохранения энергии для пары взаимодействующих частиц (3.61)
dE = d(Eк+ Eп) = 0,
таким образом,справедлив и при наличии внешнего потенциального поля, если в полную механическую энергию системы включить потенциальную энергию взаимодействия частиц с внешним полем. Заметим, что при
наличии внешнего поля система отсчета центра масс
пары частиц в общем случае не будет инерциальной,
так как внешние силы могут изменять полный импульс,
а следовательно,и кинетическую энергиюпоступательного движения, и скорость системы как целого.
Для механической системы, состоящей из произвольного количества частиц, внутренняя консервативная сила, действующая на i--- ю частицу, представляет
собой векторную сумму сил взаимодействия со всеми126
e
dr2. (3.66)
2
,
e
2п
= −dEп,
e
2п
) и потенциаль-
12п(r12
12п
.
e
(r1)
1п
Механическая энергия системы частиц. Внутренняя энергия
остальными частицами системы (2.17)
X
c
F
=
i
k,i
c
F
.
ki
Работа этой силы на малом перемещении driравна
сумме работ, совершенных остальными частицами над
i---й частицей
c
dA
= F
i
При сложении работ dA
за малый промежуток времени dt сумму любой пары
работ dA
c
ki
и dA
c
ik
c
dri=
i
X
c
F
ki
k,i
c
по всем частицам системы
i
dri=
X
k,i
dA
c
.
ki
с учетом третьего закона Ньютона
можно привести к виду, аналогичному (3.59):
c
c
dA
ki
+ dA
c
= F
ik
ki
dri+ F
c
drk= F
ik
c
ki
drki.
Каждая из таких сумм даст независимый вклад в изменение потенциальной энергии взаимодействия внутри системы
c
dE
= −(dA
ki п
Потенциальная энергия поля внутренних (консервативных) сил E
модействия E
c
равна сумме энергий парного взаи-
п
, причем вклад каждой пары частиц ki
ki п
ki
+ dA
c
ik
) = −F
c
drki. (3.67)
ki
в этой сумме должен быть учтен один раз ---- в сочетании индексов ki или ik. Обычно это достигается путем
суммирования по i от 2 до N (число частиц в системе) и
суммирования при каждом i по k от 1 до i − 1:
N
i−1
X
c
E
п
X
=
i=2
k=1
X
E
=
ki п
k<i
E
ki п
(3.68)
Такой способ упорядочивания суммы по двум переменным индексам принято кратко обозначать записью
условия k < i под одним знаком суммы.
В соответствии с (3.67) и (3.68) изменение внутренней потенциальной энергии системы при перемещениях driвсех частиц за время dt равно суммарной работе
внутренних консервативных сил с обратным знаком:
N
X
dE
c
= −
п
i=1Xk,i
c
dA
. (3.69)
ki
127
Г л а в а III
В этой сумме индексы i и k принимают все возможные
значения (кроме i = k), так как, согласно (3.67), каждому
слагаемому всумме (3.68) соответствует пара слагаемых
в сумме (3.69), отличающихся перестановкой индексов.
Для системы, находящейся во внешнем потенциальном поле, к энергии взаимодействия между частицами
(3.68) добавится энергия взаимодействия каждой из частиц с внешним полем
где F
Отдельные частицы дают в эту энергию независимые
вклады, каждый из которыхявляется функциейкоординат только одной частицы. Суммарная потенциальная
энергия механической системы, таким образом, равна
Пусть внутренние силы, действующие на i---ю частицу системы, наряду с консервативной F
сипативную F
Суммарная сила для i---й частицы с учетом внешней силы
равна
Работа этой силы на элементарном перемещении dr
складывается из работы внешней силы dA
боты внутренней консервативной силы dA
работы внутренней диссипативной силы dA
гироскопическая сила работу не совершает.
По теореме об изменении кинетической энергии
материальной точки (3.24) работа (3.72) равна приращению кинетическойэнергии i---й частицы dE
работы, совершенные над всеми частицами системы
за время dt, и изменения их кинетических энергий,
1
Учет внутренних диссипативных и гироскопических сил актуален, например, для системы заряженных частиц, которые при ускоренном движении излучают электромагнитные волны (диссипативные потери энергии), а также испытывают воздействие магнитной
силы Лоренца.128
N
X
e
E
=
п
e
---- внешняя сила, действующая на i---ю частицу.
i
Eп= E
e
E
(ri),dE
i п
i=1
c
+ E
п
d
и гироскопическую F
i
dAi= Fidri= dA
X
e
=
п
k<i
Fi= F
e
i
e
i п
E
ki п(rki
+ F
= −F
c
+ F
i
e
i
e
i
) +
+ dA
(ri)dri= −dA
N
X
E
i=1
g
i
g
d
+ F
.
i
i
c
+ dA
i
e
, (3.70)
i
e
(ri). (3.71)
i п
c
имеют дис-
i
составляющие1.
d
i
e
e
= F
i
i
c
= F
i
d
= F
i
. Суммируя
i к
(3.72)
dri, ра-
c
driи
i
d
dri,
i
i
Механическая энергия системы частиц. Внутренняя энергия
получим приращение кинетической энергии системы
за время dt
dEк= dAe+ dAc+ dAd. (3.73)
Или для скорости изменения кинетической энергии
e
c
dE
dt
dA
dt
dA
+
dt
к
=
Данные выражения позволяют сформулироватьтеорему об изменении кинетической энергии механической системы:
изменение кинетической энергии системы частиц
складывается из работ внешних сил, внутренних
консервативных и внутренних диссипативных сил,
иначе ---- скорость изменения кинетической энергии
механической системы равна суммарной мощности
внешних сил, внутренних консервативных и внутренних диссипативных сил.
Суммарная работа внутренних и внешних консервативных сил согласно (3.67)---(3.71) равна уменьшению
потенциальной энергии системы
N
X
i=1
e
F
(ri)dri+
i
e
+ dE
п
dAe+ dAc=
= −(dE
С учетом этого (3.73) можно представить в виде
e
п
+ E
где E = Eк+ E
dE = d(Eк+ E
e
c
+ E
п
= Eк+ Eп---- полная механическая
п
энергия системы ---- сумма ее кинетической и потенциальной энергии (с учетом взаимодействий внутри
системы и с внешним полем). Таким образом, полная
механическая энергия системы, находящейся во внешнем потенциальном поле, изменяется (уменьшается)
только за счет работы внутренних диссипативных
сил. Отсюда следует, что
при отсутствии внутренних диссипативныхсил полная механическая энергия системы, находящейся во
внешнем потенциальном поле, сохраняется:
d
dA
+
. (3.74)
dt
X
c
F
drki=
ki
k<i
c
) = −dEп.
п
c
) = dAd, (3.75)
п
dE = d(Eк+ E
e
c
+ E
) = 0. (3.76) 129
п
п
Г л а в а III
Данное утверждение называется законом сохранения механической энергии консервативной системы. Консервативной называется система, для которой
внутренние силы не имеют диссипативных составляющих, а внешнее поле является потенциальным.
Отметим, что, в отличие от законов сохранения
импульса и момента импульса, выполняющихся для
замкнутых систем, закон сохранения механической
энергии выполняется для консервативных систем.
Замкнутая система не является консервативной, если
в ней действуют диссипативные силы. В такой системе справедливы законы сохранения импульса и момента импульса, но не выполняется закон сохранения
механической энергии. Между тем система, в которой
нет внутренних диссипативных сил, может не быть замкнутой, но при этом она будет консервативной, если
внешнее поле является потенциальным. В этом случае
выполняется закон сохранения механической энергии,
но могут быть нарушены законы сохранения импульса
и момента импульса.
Например, для движущейся в поле тяготения Солнца планеты (консервативная незамкнутая система) выполняются законы сохранения механической энергии
и момента импульса (поскольку внешнее поле центральное), но нарушается закон сохранения импульса.
Если же планету вместе с Солнцем рассматривать как
единую систему (консервативную и близкую к замкнутой), то для такой системы будут справедливы все три
закона сохранения динамических величин (импульса,
момента импульса и механической энергии).
Понятие потенциального поля часто обобщают, допуская явную зависимость потенциальной энергии от
времени:
Eп= Eп(r1, r2, . . . rN, t). (3.77)
В этом случае выражение для силы, действующей со
стороны поля на i---ю частицу системы, через градиент
потенциальной энергии остается справедливым
130
Fi= −∇iEп= −
∂E
∂x
∂E
п
i +
∂y
i
∂E
п
i
j +
п
k!, (3.78)
∂z
i
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]