Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Момент инерции
dm
r
z
y
x
O
r
0
O
0
εεε
ωωω
в котором
J =
N
X
i=1
Ji=
N
X
i=1
2
mir
, M =
i
N
X
i=1
M
i
(2.42)
---- суммарный момент инерции и суммарный момент
сил, действующих на систему.
С помощью описанной модели можно определить
момент инерции абсолютно твердого тела и получить
динамическое уравнение вращения тела вокругфиксированной оси.
Пусть твердое тело вращается вокруг оси Oz (рис. 2.8).
Разобьем тело на бесконечно
малые объемы dV, содержащие
бесконечно малые массы
m
dm =
dV = ρ dV,
V
где m и V ---- масса и объем тела,
ρ = m/V ---- плотность. В случае,
Рис. 2.8
если тело неоднородно, плотность может быть функцией координат: ρ = ρ(x, y, z).
Бесконечно малые частички тела можно считать материальными точками, а все тело ---- системой материальных точек, обладающей свойствами рассмотренной
выше модели: материальные точки вращаются вокруг
заданной оси по окружностям различных радиусов, но
с одинаковыми угловыми скоростями.
Момент инерции частицы тела, выделенной на рисунке 2.8, равен d Jz= r2dm = ρ r2dV, где r ---- расстояние
элементарной массы dm от оси вращения (оси z). Полный момент инерции тела относительно данной оси,
согласно (2.42), определяется интегралом
Jz=
Z
V
dJz=
Z
ρ r2dV, (2.43)
V
где плотность ρ в случае однородного тела может быть
вынесена за знак интеграла.
Сумма моментовсил (2.42) для твердого тела переходит в интеграл
M =
Z
dM. (2.44)
V
71
Г л а в а II
В соответствии свышеизложенным, каждый элементарный вклад dM в этот интеграл должен быть определен как момент сил, действующих на элемент объема
твердого тела dV, относительно центра траектории
этого объема, что представляется несколько неудобным, поскольку общий центр траекторий будет лишь
у точек, расположенных в одной плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Обойти эту трудность можно следующим образом.
Определим моменты силы для выделенного на рис. 2.8
элемента объема относительно точки O, являющейся
центром его траектории, (dM) и относительно произвольной точки O0на оси вращения(dM0). Текущее значение радиус-вектораэлемента объема относительно точки O в выбранной системе координат равно r = r j, относительно точки O0r0= r j + z k, где z ---- расстояние между
точками O и O0(i, j, k, как обычно ---- орты, соответствующие декартовым осям x, y, z). Сила dF, действующая на
элемент объема, лежит в плоскости, перпендикулярной
оси вращения, в нашем случае ---- в плоскости (x, y), так
как в этой плоскости находится вектор линейного ускорения (см. рис. 2.7). Она, таким образом, может быть
представлена выражением dF = dFxi + dFyj. Напомним,
что векторное произведение векторов A = Axi+ Ayj+ Azk
и B = Bxi+Byj+Bzk можно вычислить с помощью символического определителя
[A B] =
Применим это правило для вычисления моментов
dM и dM
dM = [r dF] =
dM0= [r0dF] =
i j k
AxAyA
BxByB
=
z
z
= (AyBz− AzBy) i + (AzBx− AxBz) j + (AxBy− AyBx) k.
0
i j k
0 r 0
dFxdFy0
i j k
0 r z
dFxdFy0
= −rdFxk,
=
= −zdFyi + zdFxj −rdF
k.72
x
Момент инерции
Обратим внимание, что момент dM относительно
точки O направлен по оси вращения, а момент dM
относительно точки O0имеет составляющие в плоскости
(x, y), однако его проекция на ось вращения имеет то же
значение, что и у момента dM
0
dM
= d Mz.
z
Пусть теперьdM ---- момент действующих на элемент
объема dV сил, определенный относительно произвольной точки на оси вращения ---- начала отсчета, общего
для всех элементов объема твердого тела. Составляющая d Mzэтого вектора, как было показано, не зависит
от выбора начала отсчета. Ее интегрирование по всему объему тела даст z---составляющую полного момента
Mz=
Z
dMz, (2.45)
V
сил
которая, очевидно, также не будет зависеть от выбора начала отсчета на оси z. С другой стороны, если,
как ранее, для каждого элемента объема dV момент сил
определить относительно центра его траектории, то он
будет направлен по оси вращения, а его величина dM
будет такой же, как z--- составляющая момента относительно общего начала отсчета на оси. Это означает, что
проекция Mzинтегрального моментаотносительно произвольной точки на оси вращения совпадает с модулем
вектора M, определяемого равенствами (2.42) и (2.44).
Проекции dMxи dMyвектора dM на оси x и y напротив, зависят от выбора начала отсчета на оси z. Их объемные интегралы
Mx=
Z
dMx, My=
V
Z
dM
y
V
---- составляющие вектора полного момента сил в плоскости (x, y) ---- также будут изменяться при смещении
начала отсчетапо оси z (Mxи Myравны нулюотносительно любой точки на оси z в случае, если эта ось является
осью симметрии тела).
Для произвольного вектора X = Xxi + Xyj + Xzс координатами точки приложения x, y, z момент Y относительно начала координат равен
Y = [r X] = (yXz− zXy)i + (zXx− xXz)j + (xXy− yX
)k. 73
x
0
z
Г л а в а II
Проекции Yx, Yy, Yzна оси декартовой системы ко-
ординат
Yx= yXz−zXy, Yy= zXx−xXz, Yz= xXy−yX
называются моментами относительно соответствующих осей. Заметим, что момент относительно данной
оси не зависит ниот проекцииX наэту ось, ни от выбора
точки начала отсчета на оси (координаты точки приложения вектора X вдоль оси). Например, Yz---- момент относительно оси z определяется составляющими вектора
X и координатами точки его приложения в плоскости
(x, y), то есть сдвиг начала отсчета вдольоси z не изменит
значения Yz.
Составляющая Mz(2.45) полного момента действую-
щих на тело сил M, определенного относительно произвольной точки на оси вращения, является, таким образом, моментом сил относительно оси вращения или
вращающим моментом. Используя Mz, динамическое
уравнение вращательного движения твердого тела вокруг фиксированной оси можно представить в виде
˙
J
ω = Jzε = Mz, (2.46)
z
где Jz---- момент инерции тела относительно оси вращения (2.43).
Уравнение (2.46), так же как и уравнение (2.41) для
материальной точки, имеет аналогию с уравнением поступательного движения
m˙vz= maz= Fz,
однако эта аналогия не является полной. Она распространяется только на случай одномерного движения (поступательного ---- по прямой, вращательного ---- вокруг
заданной оси). Как будет показано ниже, для вращательного движения (в отличие от поступательного) при
произвольных направлениях векторов ωωω и εεε уравнение
(2.46) в общем случае не является координатнойформой
векторного уравнения движения (см. главу 6).
Для нахождения момента инерции тела в каждом
конкретном случае нужно вычислить интеграл (2.43).
Современные средства вычислительной техники позволяют сделать это с помощью методов численного ин-
тегрирования для тела любой формыс любойтребуемой74
x
Момент инерции
точностью. Однако в некоторыхслучаях длятел, обладающих той или иной симметрией, интеграл (2.43) может
быть вычислен аналитически. В приведенной ниже таблице указаны значения моментов инерции некоторых
твердых тел.
Моменты инерции однородных твердых тел
относительно заданных осей
(масса тела всюду равна m)
Значение
момента
инерции
Материальная точка, движущаяся по окружности
r
m
r
r
r
r
1
r
2
r
r
радиуса r
Тонкое кольцо (обруч) радиуса r. Ось проходит через центр перпендикулярно плоскости кольца
Тонкое кольцо (обруч) радиуса r. Ось проходит
через центр в плоскости
кольца
Полый тонкостенный цилиндр радиуса r. Ось соответствует оси симметрии
цилиндра
Полый цилиндрс внешним
радиусом r1и внутренним
радиусом r2. Ось соответствует оси симметрии цилиндра
Сплошной цилиндр радиуса r. Ось соответствует оси
симметрии цилиндра
Сплошной диск радиуса r .
Ось проходит через центр
перпендикулярно плоскости диска
m(r
mr
mr
mr
mr
2
1
mr
mr
2
2
2
2
2
2
+r
)
2
2
2
2
2
2
75
Г л а в а II
Сплошной диск радиуса r.
r
r
l
l
a
b
a
b
Ось проходит через центр
в плоскости диска
Сплошной шар радиуса r.
Ось проходит через центр
шара
Полая тонкостенная сфера радиуса r. Ось проходит через центр сферы
Тонкий стержень длины l. Ось перпендикулярна стержню и проходит
через его середину
Тонкий стержень длины l. Ось перпендикулярна стержню и проходит
через его край
Прямоугольная пластина
со сторонами a и b (брусок). Ось проходит через
центр пластины перпендикулярно ее плоскости
Тонкая прямоугольная
пластина со сторонами a
и b. Ось проходит через
центр пластины в ее
плоскости
2
mr
4
2
2mr
5
2
2mr
3
2
ml
12
2
ml
3
m(a2+b2)
12
2
ma
12
Возможности аналитического вычисления момента
инерции относительно оси значительно расширяет тео-
рема Гюйгенса-Штейнера. Она утверждает, что момент
инерции твердого тела J относительно произвольной
оси может быть представлен в виде суммы
J = J0+ mb2, (2.47)
где J0---- момент инерции этого тела относительно оси,
проходящей через его центр масс и параллельной оси,
относительно которой определяетсямомент J, m ---- масса
тела, b ---- расстояние между осями.
На рисунке 2.9 представлено сечение твердого тела плоскостью, перпендикулярной двум параллельным
осям: z, проходящей через центр масс тела, и z0. Ось x
выбрана в направлении от оси z к оси z
0
. Расстояние от76
Момент инерции
z
z
0
y
y
0
x, x
0
b
r
r
0
оси z до произвольной точки тела равно
r =qx2+ y2,
расстояние от оси z0до той же точки
r0=qx02+ y02.
Координаты x и x0, y и y0, как видно из рисунка,
связаны соотношениями
x0= x −b, y0= y,
где b ---- расстояние между осями z и z0. Это позволяет выразить квадрат
расстояния точки от оси
z0через координаты x и y
r02= x2+ y2+ b2− 2xb.
Для тонкого слоя dz,
прилегающего к рассматриваемому сечению, моменты инерции выражаются
интегралами: относительно оси z
dJ0=Z(x2+ y2) dm,
относительно оси z
0
Рис. 2.9
dJ =Z(x2+ y2+ b2− 2xb) dm =
(2.48)
= dJ0+ b
Z
2
dm − 2bZx dm,
где интегрирование ведется по площади сечения. ИнтегралRdm равен dmсл---- суммарной массе слоя dz .
Проведем теперь интегрирование по координате z
Z
dJ0= J0,
Z
Здесь, очевидно,
интеграл в правой части равен нулю. 77
dJ = J = J0+ b
z
z
Z
2
dmсл− 2b
R
z
ZzZ
x dm.
S
dmсл= m ---- масса тела, а последний
z
(2.49)
Г л а в а II
Действительно, по определению центра масс
Z
r dm = mrc. (2.50)
V
Это выражение отличается от (2.22) заменой суммирования по частицам системы на интегрирование по
объему тела V. Представив (2.50) в координатной форме, получим аналогичные равенства для каждой из ко-
ординат центра масс, в частности,
R
x dm = mxc. Данный
V
интеграл равен последнему интегралув (2.49),а в нашем
случае xc= 0, так как ось z проходит через центр масс.
Таким образом, выражение для J (2.49) приводится
к виду (2.47), то есть теорема Гюйгенса-Штейнера доказана. Заметим, что интегралRxdm для слоя dz в (2.48)
в общем случае не равен нулю, так как центр масс слоя
не обязательно находится на оси z, проходящей через
центр масс тела.
В большинстве случаев симметрия тела значительно упрощает вычисление его момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс. Теорема
Гюйгенса-Штейнера дает возможность легко преобразовать полученный при этом результат в множество
вариантов значений момента инерции относительно
параллельных осей, как пересекающих тело, так и находящихся вне его.
Сравнить результаты вычисления момента инерции
с помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера и путем непосредственного интегрирования (2.43) можно, например, для тонкого стержня относительно перпендикулярной оси, проходящей через его край (см. приведенную выше таблицу). В этом случае момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс
стержня, J0= ml2/12, расстояние между осями b = l/2.
Вычисление момента инерции относительно оси, проходящей через край стержня, по формуле (2.47) дает
J = ml2/12 + m(l/2)2= ml2/3. Интеграл (2.43) для рассмат-
риваемого случая приводится к виду
78
J =
l
Z
x2dm(x) =
0
l
Z
m
x2dx,
l
0
Теорема об изменении и закон сохранения момента импульса
где dm(x) = (m/l) dx. Результат вычисления данного интеграла совпадает с результатом, который дает теорема
Гюйгенса-Штейнера: J = ml2/3.
2.11. Теорема об изменении и закон сохранения
момента импульса
Уравнение движения материальной точки в виде
(2.40)
получается непосредственно из второго закона Ньютона. В инерциальной системе отсчета оно справедливо не только для движения по окружности, но и для
произвольного движения, если под r и M понимать соответственно радиус-вектор материальной точки относительно выбранного начала отсчета и момент силы
относительно того же начала отсчета. Учитывая, что
mv = p ---- импульс частицы, а [r p] = L ---- момент импуль-
са, (2.40) можно представить в виде
Действительно,
так как [˙r p] = 0 (векторы˙r = v и p = mv параллельны).
Уравнение (2.51) является математическим выраже-
нием теоремы об изменении момента импульса мате-
риальной точки:
скорость изменения момента импульса точечной частицы относительно произвольного начала отсчета
равна моменту действующих на частицу сил относительно того же начала отсчета.
Эта теорема непосредственно следует из второго
закона Ньютона.
Легко видеть аналогию между динамическим урав-
нением поступательного движения (2.7)
которое иногда называют теоремой об изменении им-
пульса материальнойточки, и (2.51)для вращательного
движения. 79
m [r˙v] = [r F] = M
dL
= M. (2.51)
dt
˙
L = [˙r p] + [r˙p] = [r˙p] = m [r˙v],
dp
= F,
dt
В случае, когда момент действующих на частицу
сил равен нулю, ее момент импульса, согласно (2.51),
сохраняется, то есть
dL
= 0. (2.52)
dt
Это ---- закон сохранения момента импульса для материальной точки. Отметим, что для его выполнения
суммарная сила, действующая на частицу, не обязательно должна быть равна нулю. Достаточно условия
[r F] = M = 0.
В центральном поле вида (2.34)
F = F(r) er,
где er---- единичный вектор в направлении на частицу от
силового центра, радиус-вектор r относительно центра
поля и вектор силы F лежат на одной прямой, поэтому
момент силы относительно центра всегда равен нулю.
Это означает, что в центральном поле выполняется
закон сохранения момента импульса частицы относительно силового центра (при F = 0 он выполнен отно-
сительно любой точки инерциальной системы отсчета).
В параграфе 2.9 мы уже отмечали, что момент импульса
замкнутой системы, состоящей из двух взаимодействующих тел, сохраняется вследствие того, что описание
движения такой системы сводится к задаче о движении
одного тела в центральном силовом поле.
Перейдем к рассмотрению системы N частиц. На
i---ю частицу системы действует сила Fi, которую можно
представить выражением (2.24)
Fi=
X
k,i
Fki+ F
e
.
i
Эта сила складывается из сил взаимодействия с другими частицами той же системы Fki(k , i) (внутренние
силы) и внешней силы F
сительно произвольного начала отсчета
Mi= [riFi] =
e
. Найдем момент силы Fiотно-
i
X
[riFki] + [riF
k,i
e
].
i
Теорема об изменении момента импульса (2.51) для
частицы системы с учетом этого примет вид
X
[riFki] + [riF
k,i
e
]. (2.53)
i
80
dL
dt
i
= Mi=
Г л а в а II
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]