Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Динамические величины
Для инертной и гравитационной масс могли бы использоваться различные единицы измерения, однако
с учетом принципа эквивалентности удобно иметь одну
общую единицу массы. Благодаря такому выбору системы единиц прямая пропорциональность инертной
и гравитационной масс приводится к точному равенству. По этой причине в большинстве случаев инертную и гравитационную массы не различают, используя
для них общее обозначение и наименование. Единицей
массы в системе СИ является килограмм (кг) ---- одна из
трех основных единиц измерения в механике.
Силой называют количественную меру взаимодей-
ствия тел. Для характеристики взаимодействия двух
тел A и B можно использовать третье тело C, которое
известным образом компенсирует воздействие одного
из тел A и B на другое и тем самым дает возможность измерения этого воздействия. Например, Земля (тело A)
действует на гирьку (тело B) силой тяготения F; если
подвесить гирьку на пружине (тело C), то сила упругости растянутой пружины скомпенсирует силу тяжести
и позволит указать ее значение по известной зависимости силы упругости данной пружины от ее растяжения.
Единицей измерения силы в системе СИ является Нью-
тон (Н), его определение будет дано ниже.
Сила является полярным вектором. Она характеризуется абсолютной величиной (модулем), направлением
и точкой приложения. В случае, если рассматриваемое
тело взаимодействует с несколькими телами, все взаимодействия считаются независимыми, а их результат
выражается векторной суммой сил, которую называют
результирующей или равнодействующей силой.
Далее мы будем использовать понятие силового по-
ля. В механике вполне достаточно ограничиться формальным математическим представлением о силовом
поле, как векторном поле типа
F = F (r, t) (2.1)
---- векторной функции,задающей величину и направление силы, действующей на материальную точку,
в зависимости от пространственного положения точки (ее радиус-вектора r) и в общем случае от времени t.
Физическая природа поля, природа сил и способов их
41
передачи на расстояние выходят за рамки предмета
изучения классической механики и в механической задаче могут не рассматриваться. Однако в современной
физике представление о поле стало неотделимым от
его материальной сущности, поэтому соответствующая
терминология используется уже на уровне механики.
В связи с этим кратко отметим, что все макроскопические силы являются проявлением всего двух типов
взаимодействия ---- гравитационного и электромагнитного. К гравитационным силам относятся сила тяжести
и силы притяжения между небесными телами: Солнцем, планетами, спутниками, кометами, астероидами и
так далее. Электромагнитные силы действуют на электрические заряды и токи через создаваемые ими электромагнитные поля. Силы упругости, в том числе силы натяжения подвесов и силы реакции опор, имеют
электромагнитную природу ---- они обусловлены деформациями тел и возникающими при этом изменениями межмолекулярных расстояний. Силы трения также
представляют собой усредненные результаты электромагнитных взаимодействий на молекулярном уровне.
Отметим также, что кроме координат и времени
в некоторых случаях действующая на тело сила может
зависеть от его скорости, размеров и формы. Такой зависимостью обладает,в частности, сила вязкого трения,
возникающая при движении тела в жидкости или газе,
например при полете ракеты в атмосфере.
Импульсом или количеством движения p материальной точки называется произведение ее массы на
скорость
Единица измерения импульса в системе СИ ---- кг ·м/с.
В случае, если вектор характеризуется не только
величиной и направлением, но и точкой приложения,
для него может быть введено понятие момента век-
тора. Моментом вектора X относительно точки O на-
зывается вектор Y, равный векторному произведению
[r X], где r ---- радиус-вектор, проведенный из точки O в
точку приложения P вектора X (рис. 2.1). Поскольку r
и X ---- полярные векторы, Y ---- аксиальный вектор. Модуль момента Y (площадь выделенного на рис. 2.1 параллелограмма) равен произведению модуля вектора X
42
p = mv. (2.2)
Г л а в а II
Инерциальные системы отсчета и первый закон Ньютона
на его плечо: Y = X d = Xr sin α. Плечом d вектора X
относительно точки O называют расстояние от точки
O до линии вектора ---- линии, проходящей через точку
приложения параллельно вектору.
В механике используются
момент силы
M = [r F] (2.3)
и момент импульса (момент
количества движения, механический момент)
L = [r p] = m[r v]. (2.4)
В системе СИ момент силы измеряется в Н ·м мо-
мент импульса ---- в кг ·м2/с.
Динамические задачи по своей постановке делятся
на два типа:
1. Задачи, в которых требуется определить силы (охарактеризовать взаимодействия) по известным уравнениям движения. Для материальной точки ---- найти
F по известной зависимости r = r(t).
2. Задачи, в которых по известным силам нужно найти
уравнения движения.
К задачам первого типа относится, например, установление закона всемирного тяготения по известным
траекториям и временн´ым законам движения небесных тел. Постановка задачи второго типа называется
основной задачей механики. Ее решение сводится к
решению дифференциальных динамических уравне-
ний движения с начальными условиями.
Y
X
α
d
r
P
Рис. 2.1
O
2.2. Инерциальные системы отсчета и первый
закон Ньютона
В механике Ньютона ключевую роль играет понятие
инерциальной системы отсчета. Если система отсчета
K является инерциальной, то все системы отсчета K0,
движущиеся относительно K с постоянной по величине
и направлению скоростью (равномерно и прямолиней-
но), также будут инерциальными. 43
Таким образом, если про какую-то систему отсчета K известно, что она является инерциальной, то все
остальные системы отсчета можно разделить на инерциальные и неинерциальные по состоянию их движения относительно K. Но как в таком случае определить
эту самуюизначальнуюинерциальную систему отсчета? На раннем этапе развития физики фундаментальную инерциальную систему отсчета связывали с
неподвижными звездами(система отсчета непо-
движных звезд). Смысл этого термина восходит к ан-
тичным представлениям об устройстве Вселенной, согласно которым звезды жестко закреплены на небесной сфере.
Определение инерциальной системы отсчета в ньютоновской механике основано на первом законе Нью-
тона или законе инерции, гласящем, что
в инерциальной системе отсчета тело сохраняет
состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, если на него не действуют никакие
силы или если векторная сумма всех действующих
сил равна нулю.
Этот закон следует рассматривать как обобщение
большого количества наблюдений и измерений, позволяющее утверждать, что системы отсчета с такимисвойствами существуют. Для того, чтобы подчеркнуть данное обстоятельство,современная формулировка первого закона Ньютона дается несколько иначе:
существуют такие системы отсчета (инерциальные), в которых состояниепокоя или равномерного
и прямолинейного движения тела сохраняется при
отсутствии или взаимной компенсации действующих сил.
Две приведенные формулировки закона инерции
эквивалентны, однако вторая наиболее ясно показывает, что данный закон представляет собой определение
инерциальной системы отсчета и постулат о существовании таких систем.
Инерциальная система отсчета представляет собой
идеализированную модель (так же, как материальная
точка, абсолютно твердое тело и так далее). Реальная
система отсчета может лишь приближаться к инерци-
44
Г л а в а II
Инерциальные системы отсчета и первый закон Ньютона
альной. Степеньточности приближения, которую допустимо считать удовлетворительной, зависит от условий
задачи.
Например, система отсчета, связанная с точкой на
поверхности Земли, явно не будет инерциальной, поскольку Земля вращается вокруг своей оси и движется
по эллиптической орбите вокруг Солнца. Однако, если
за время движения тела можно пренебречь поворотом
Земли вокруг собственной оси и, тем более, угловым
смещением Земли вдоль орбиты, то земная (лабораторная, геоцентрическая) система отсчета может с хорошей точностью считаться инерциальной. Для пули, выпущенной из стрелкового оружия,для артиллерийского
снаряда или зенитной ракеты приближение, в котором
земная система отсчета принимается за инерциальную,
является вполне достаточным. Для баллистических ракет и искусственных спутников необходимо учитывать
вращение Земли вокруг своей оси. При запуске межпланетных исследовательскихаппаратов существенное
значение имеет движение Земли вокруг Солнца.
Наиболее близки к инерциальным системы отсчета,
связанные с телами (системами тел), свободно движущимися на значительном удалении от других крупных
космических объектов. Такой является гелиоцентриче-
ская система отсчета, связанная с центром масс Солнечной системы или, чтопочти тоже, сцентром Солнца.
Первый закон Ньютона не только дает определение
инерциальной системы отсчета, но и указывает способ
экспериментальной оценки того, насколько та или иная
система отсчета близка к инерциальной (по степени
отклонения свободного движения тела от равномерного
и прямолинейного).
Для переходов между инерциальнымисистемами отсчета, движущимися относительно друг друга с нерелятивистскими скоростями, справедливы преобразования Галилея(1.38). Теорема о сложении скоростей(1.50)
в этом случае имеет вид (1.36):
v = v0+ v0,
причем скорость относительного движения систем отсчета v
постоянна по величине и направлению. 45
0
Г л а в а II
Теорема о сложении ускорений (1.52) для инерци-
альных систем отсчета K и K0приводит к равенству
a = a0, (2.5)
так как отсутствует относительное вращательное движение систем отсчета (ωωω = 0, εεε= 0) и равно нулю относи-
тельное ускорение начал отсчета (a0= 0).
Последние равенства позволяют говорить об отно-
сительности скорости и абсолютности ускорения по
отношению к инерциальным системам отсчета. Это
означает, что в разных инерциальных системах отсчета скорость материальной точки различна, а ускорение
одинаково.
Для неинерциальной системы отсчета в пространстве появляетсявыделенное направление (направление
ускорения). Изменения во времени ускорения системы
отсчета нарушают равноправие различных точек пространства и моментов времени. Это означает, что рассмотренные в параграфе 1.1 свойства симметрии пространства и времени ---- однородность и изотропность
пространства и однородность времени имеют место
только в инерциальных системах отсчета.
2.3. Второй закон Ньютона
Многочисленные опыты свидетельствуют о том, что
изменение состояния движения тела тем значительнее,
чем больше действующая натело силаи меньшеего масса. Обобщением этих опытных данных является второй
закон Ньютона ---- основной закон нерелятивистской
динамики. В применении к материальной точке второй
закон Ньютона гласит:
в инерциальной системе отсчета ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с
ней по направлению и обратно пропорционально
массе материальной точки (тела):
d2r
46
dt
dv
=
2
dt
= a =
F
. (2.6)
m
Второй закон Ньютона
Обоснование второго закона Ньютона не сводится
только лишь к непосредственной проверке на опыте
соотношения (2.6), оно заключается также в экспериментальных подтверждениях многочисленных расчетов и выводов, полученных с помощью этого соотношения в различных конкретных задачах механики.
Второй закон Ньютона позволяет дать определение
единице измерения силы: 1 Н = 1 кг ·м/с2, или один
Ньютон ---- это сила, вызывающая у тела массы 1 кг
ускорение a = 1 м/с2в направлении своего действия.
Положив в (2.6) F = 0, получим a = 0. В связи с этим
можно придти к ошибочному выводу о том, что первый
закон Ньютона является частным случаем второго (при
отсутствии или взаимной компенсации действующих
сил тело сохраняет состояние своего движения). Для
того, чтобы избежать подобного заблуждения, нужно
помнить, что первый законНьютона являетсяопределением и утверждением о существовании инерциальных
систем отсчета, а формулировка второго закона уже
исходит из существования таких систем.
В соответствии с определением импульса (2.2) для
материальной точки, имеющей массу m, производная
импульса по времени равна произведению массы на
ускорение:˙p = m˙v = ma. Это позволяет представить
уравнение, выражающее второй закон Ньютона, в виде
dp
= F. (2.7)
dt
В применении к материальной точке данное равенство является динамическим уравнением движения,
эквивалентным (2.6). Однако, как будет показано в главе 8, (2.7) может быть применено к случаю движения
тела с переменной массой, когда часть тела отделяется и приобретает некоторую скорость относительно
остальной части. Величину dp =F dt называют импуль-
сом силы.
Интересно отметить, что сам Ньютон использовал
формулировку своего второго закона, соответствующую уравнению (2.7):Изменение количества движе-
ния пропорционально приложенной движущей силе и
происходит по направлению той прямой, по которой
эта сила действует.
47
Г л а в а II
2.4. Третий закон Ньютона
Силы взаимодействия между материальнымиточка-
ми (телами) возникают попарно. Если на тело P1действует сила F21со стороны тела P2, то и на тело P
действует сила F12со стороны тела P1(рис. 2.2)1. Третий
закон Ньютона утверждает, что
силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки (тела), имеют одинаковую природу, направлены вдоль прямой, соединяющей эти
точки, равны по модулю и противоположны по направлению:
Fik= −Fki. (2.8)
F
P
1
21
Рис. 2.2
F
12
P
2
ных системах отсчета, как будет показано далее (см. параграф 2.6), к силам взаимодействия добавляются так
называемые силы инерции, обусловленные ускоренным движением системы отсчета. При этом силы взаимодействия не зависят от ускорения системы отсчета
и соотношение (2.8) для них остается в силе, так как
способность тела участвовать во взаимодействиях одинакова для всех систем отсчета, как инерциальных, так
и неинерциальных.
Заметим, что третий закон Ньютона не требует
инерциальности системы
отсчета. В неинерциаль-
2
2.5. Постановка и решение динамической задачи
Рассмотрим пример решения динамической задачи. Пусть тело массы m движется под действием силы
тяжести вблизи земной поверхности, и при этом сопротивлением воздуха в первом приближении можно пренебречь. Таким телом может быть снаряд, выпущенный
из древнего механического метательного орудия или
1
При обозначении сил взаимодействия условимся, что первый
индекс указывает источник силы, а второй ---- тело, к которому она
приложена: обозначение Fikсоответствует, таким образом, силе, дей-
ствующей со стороны тела i на тело k.48
Постановка и решение динамической задачи
x
y
O
v
0
v
mg
α
j
i
из современной пушки. Направим ось y декартовой системы координат вертикально вверх, а горизонтальную
ось x выберем так, чтобы скорость тела находилась в
плоскости (x, y) (рис. 2.3).
Единственная действующая на тело сила ---- сила тяжести ---- при таком выборе
системы координат равна
F = −mg j,
где g ---- ускорение свободного падения. Составляющие ускорения тела: ax= ˙vx,
ay= ˙vyи az= ˙vzв соответствии со вторым законом Нью-
тона (2.6) будут равны
˙vx= 0, ˙vy= −g, ˙vz= 0.
Интегрирование этих равенств дает
vx= b1, vy= −gt + b2, vz= b3, (2.9)
где b1, b2и b3---- постоянные интегрирования. Для однозначного определения вектора v(t) должно быть известно значение скорости в один из моментов времени.
Это позволит найти значения постоянных интегрирования. Обычно задается скорость в начальный момент
времени: vx(0) = vx0, vy(0) = vy0, vz(0) = vz0. Таким образом,
условия нашей задачи должны быть дополнены началь-
ными условиями для скорости.
Пусть v0---- вектор скоростив начальныймомент времени, его составляющие: vx0= v0cos α, vy0= v0sin α, vz0= 0
(α ---- угол между вектором v0и осью x). Сравнение этих
равенств с (2.9) при t = 0 определяет значения
b1= v0cos α, b2= v0sin α, b3= 0
Рис. 2.3
и приводит выражения дляскоростей кокончательному
виду
vx= v0cos α, vy= −gt + v0sin α, vz= 0. (2.10)
Заметим, что в соответствии с (2.9) при любых b1и b
скорость тела во все моменты времени будет лежать в
одной и той же плоскости. Эту плоскостьмы совместили
с плоскостью (x,y) выбором направления оси x.
3
49
Теперь представим скорости (2.10) как производные
координат:
vx= ˙x = v0cos α, vy= ˙y = −gt + v0sin α, vz= ˙z = 0
и еще раз проинтегрируем по времени
2
x = v0t cosα + c1, y = −
При этом появляются еще три постоянные интегри-
рования ---- c1, c2и c3, значения которых определяются
начальными условиями для координат ---- заданием начального положения тела. В большинстве случаев удобно совместить начало координат с положением тела в
момент t = 0 (как это сделано на рис. 2.3), тогда в нашем
случае c1= c2= c3= 0 и кинематические уравнения
движения принимают вид
x = v0t cosα, y = −
Таким образом, основная задача механики ---- задача
нахождения кинематических уравнений движения по
заданным силам ---- в нашем случае решена. С математической точки зрения ее решение свелось к двукратному интегрированиюдинамических (дифференциальных) уравнений движения. Для материальной точки,
пространственное положение которой задается тремя
координатами, в общем случае количество взятых интегралов равно шести ---- по два на каждую из декартовых координат. При каждом интегрировании возникает константа ---- всего шесть констант, для определения которых должны быть заданы шесть независимых
условий, например, значения трех составляющих скорости и трех составляющих радиус-вектора материальной точки в начальный момент времени ---- начальные
условия.
Если пространственное положение механической
системы полностью определено заданием n независимых параметров (координат), то говорят, что система
имеет n степеней свободы. Материальная точка имеет
три степени свободы, пара материальных точек ---- шесть
степеней свободы, система из N материальных точек
имеет n = 3N степеней свободы.
50
gt
+ v0t sinα + c2, z = c3.
2
2
gt
+ v0t sin α, z = 0. (2.11)
2
Г л а в а II
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]