Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Теорема об изменении и закон сохранения момента импульса
O
i
k
r
i
r
k
r
ik
F
ik
F
ki
В изменение момента импульса частицы дают вклад как
момент внешней силы F
e
, так и моменты внутренних
i
сил Fki.
При суммировании по всем частицам системы полу-
чим
N
X
i=1
dL
dt
N
X
d
i
=
dt
i=1
Li=
dL
dt
,
где L ---- суммарный момент импульса системы относительно выбранного начала отсчета,
N
X
i=1
Mi= M,
N
X
i=1
[riF
e
] = Me,
i
где M ---- суммарный момент сил, действующих в системе, Me---- суммарный момент внешних сил относительно того же начала отсчета (главный момент внешних
сил).
Для суммарного (главного)мо-
мента внутренних сил
N
X
[riFki]
i=1Xk,i
каждому слагаемому с заданными индексами i, k можно поставить в соответствие слагаемое,
Рис. 2.10
отличающееся перестановкой индексов. Это позволяет представить момент внутренних сил в виде суммы
пар слагаемых вида
[riFki] + [rkFik].
Используя третий закон Ньютона (Fki= −Fik), сумму
каждой из таких пар можно преобразовать следующим
образом:
[riFki] + [rkFik] = [(rk− ri) Fik] = [rikFik]. (2.54)
На рисунке 2.10 можно видеть, что векторы rikи F
ik
лежат на одной прямой, следовательно, их векторное
произведение равно нулю. Таким образом, равны нулю
суммарный момент пары сил Fikи Fki(2.54) для любых
i и k и, соответственно, главный момент внутренних сил
системы относительно любого начала отсчета.
81
С учетом этого суммарный момент действующих
в системе сил равен главному моменту внешних сил:
M = Me, и сложение уравнений движения (2.53) по всем
частицам системы приводит к теореме об изменении
момента импульса системы материальных точек
dL
= Me. (2.55)
dt
Эта теорема утверждает, что
скорость изменения момента импульса системы материальных точек относительно произвольной точки в инерциальной системе отсчета равна главному
моменту внешних сил относительно той же точки.
Сравнивая (2.55) и теорему об изменении импульса
материальной системы (2.25)
dp
= Fe,
dt
можно отметить аналогию этих уравнений, отличающихся заменой динамических величин, характеризующих поступательное (p, Fe) и вращательное (L, Me)
движения системы.
Для замкнутой системы (Fe= 0 ⇒ Me= 0) согласно
(2.55) момент импульса относительно любого начала
отсчета сохраняется
dL
= 0. (2.56)
dt
В случае, если система материальных точек находится в центрально симметричном внешнем поле
e
e
F
= F
e
,
r
i
все моменты внешних сил M
i
i
e
i
= [riF
e
] относительно
i
силового центра равны нулю, и момент импульса системы также остается неизменным. Это позволяет сформулировать закон сохранения момента импульса для
системы материальных точек:
момент импульса замкнутой механической системы
относительно произвольной точки в инерциальной
системе отсчета сохраняется;
момент импульса системы, движущейся в центральном внешнем поле, сохраняется относительно силового центра.
82
Г л а в а II
Момент импульса твердого тела
z
y
x
r
dm
v(r)
Закон сохранения момента импульса материальной
точки (2.52) является, очевидно, частным случаем закона сохранения момента импульса системы.
2.12. Момент импульса твердого тела
Динамика вращения твердого тела вокруг неподвижной оси была рассмотрена нами в параграфе 2.10
(с. 71--- 74). Здесь мы обобщим полученные ранее результаты и представим их с помощью вектора момента
импульса твердого тела.
Динамическое уравнение вращательного движения
твердого тела вокруг фиксированной оси имеет вид
(2.46)
˙
J
ω = Jzε = Mz=
z
Здесь Mz---- момент действующих
на тело сил относительно оси
вращения z (2.45), ω и ε ---модули векторов угловой скорости ωωω и углового ускорения εεε,
лежащих на оси z, Jz---- момент
инерции тела относительно той
же оси, определяемый выражением (2.43)
где r ---- расстояние элемента объема dV от оси вращения, ρ ---- плотность тела в прилегающей к объему dV
точке (для однородного тела ---- постоянная величина).
Теперь мы можем уточнить, что Mz---- момент внешних
сил относительнооси z, так какглавный вектор момента
внутренних сил и, следовательно, любая его составляющая равны нулю (Mz= M
На рисунке 2.11 показано сечение твердого тела
плоскостью (x, y), перпендикулярной оси вращения z.
Любой бесконечно малый объем тела dV, содержащий
массу dm = ρ dV, движется по окружности в плоскости
(x, y) с центром на оси вращения. В этой же плоскости
Jz=
Z
V
dMz.
Z
V
dJz=
e
).
z
Рис. 2.11
Z
ρ r2dV,
V
83
Г л а в а II
находится вектор линейной скорости элемента объема
dV. Вектор угловой скорости в нашем случае ориенти-
рован в положительном направлении оси z. Линейная
скорость определяется выражением
v = [ωωω r] =
где r = x i + y j + z k ---- радиус-вектор элемента объема dV
относительно любого начала отсчета на оси вращения.
Найдем момент импульса dL элемента объема dV
относительно того же начала отсчета
dL = dm[r v] = dm
Составляющая вектора элементарного момента dL
вдоль оси z равна
dLz= ω(x2+ y2)dm = ωr2dm = ω dJz,
где r =px2+ y2---- расстояние от элемента объема dV
до оси z, dJz= r2dm ---- его момент инерции относительно данной оси. Как и должно быть, dLzне зависит от
выбора начала отсчета на оси вращения (от координаты z). Поперечная по отношению к оси составляющая
dL: dLxy= −ωz(x i + y j) dm направлена к оси вращения
при z > 0 или от нее при z < 0.
Для полного момента импульса тела L =
образом, z---составляющая
не зависит от выбора начала отсчета на оси вращения
(момент импульса относительно оси z), а величина поперечной составляющей
напротив, зависит от выбора начала отсчета.84
i j k
0 0 ω
x y z
−ωy ωx 0
= −ωy i + ωx j,
i j k
x y z
=
= dmh−ωz(x i + y j) + ω(x2+ y2) ki.
Lz=
Z
dLz= ω
V
Z
dJz= Jzω (2.57)
V
Z
Lxy= −ω
z(x i + y j) dm (2.58)
V
R
dL, таким
V
Момент импульса твердого тела
z
dV
O
r
F
n
F
τ
F
Согласно (2.57)момент импульса тела относительно
оси вращения равен произведению момента инерции
относительно тойже оси наугловую скорость. Момент
инерции Jzопределяется размерами, формой, распределением массы в теле и положением оси z относительно него. Если тело при вращении не деформируется
(абсолютно твердое тело), то его момент инерции с течением времени не изменяется, поэтому производная
по времени момента импульса относительно оси равна
˙
Lz= J
С учетомэтого равенствадинамическое уравнение вращательного движения твердоготела вокруг оси z (2.46) примет
вид
dL
z
e
= M
. (2.59)
dt
z
Подобный вид, очевидно, будут
иметь уравнения для осей вращения x или y
dL
x
e
= M
,
dt
x
В отличие от (2.46) уравнения (2.59)---(2.60) можно рассматривать как проекции векторного уравнения
(2.55) на оси декартовой системы координат, аналогичные соответствующим уравнениям поступательного
движения тела
e
˙px= F
, ˙py= F
x
Подробнее мы остановимся на этом в главе 6, (параграф 6.6).
При вращении тела вокруг оси z, как нам уже известно, сила dF, действующая на элементарный объем dV, параллельна плоскости (x, y), так как наличие
z---составляющей силы означало бы ускоренное движение вдоль оси z. Представим dF как сумму пары сил
в той же плоскости: нормальной dFn, направленной к
оси вращения, и тангенциальной (касательной) dFτ, направленной вдоль линии скорости элементарного объ-
ема (рис. 2.12). 85
˙
ω.
z
dL
y
= M
dt
e
, ˙pz= F
y
Рис. 2.12
e
. (2.60)
y
e
.
z
Г л а в а II
Нормальные составляющие сил, действующих на
частицы твердого тела, не могут быть равны нулю, поскольку они связаны с центростремительным ускорением частиц: dFn= andm, но их моменты перпендикулярны оси вращения, то есть не дают вкладов во вращающий момент M
выделенного на рис. 2.12, момент силы dFnотносительно точки O ортогонален плоскости, проходящей через
ось z и элемент объема dV, следовательно, он перпендикулярен оси z. Таким образом, вклады вовращающий
момент дают только тангенциальные составляющие
внешних сил. При их отсутствии или взаимной ком-
пенсации их моментов относительно оси z вращающий
момент M
e
z
В этом случае уравнение движения (2.59) принимает
вид закона сохранения момента импульса для тела,
вращающегося вокруг оси:
Закон сохранения момента импульса относительно оси можно продемонстрировать с помощью скамьи
Жуковского. Человека, стоящего на горизонтальной,
крутящейся вокруг вертикальной оси платформе (скамье Жуковского) и держащего гантели в разведенных
в стороны руках, раскручивают с небольшой скоростью. После того, как он прижимает руки к груди, угловая скорость его вращения заметно увеличивается. Это
происходит потому, что момент импульса относительно
оси вращения сохраняется (отсутствуют касательные
силы), следовательно,в соответствии с (2.57) при уменьшении момента инерции (приближение гантелей к оси
вращения) должна увеличиться угловая скорость.
Такой же эффект наблюдается в фигурном катании,
когда фигурист начинает вращение с широко разведенными руками, а затем скрещивает их на груди, значительно увеличивая при этом скорость вращения.
e
. Действительно, для элемента объема,
z
равен нулю.
dL
z
= 0. (2.61)
dt
86
Глава III
Работа и мощность. Механическая
энергия
3.1. Работа и мощность при поступательном
движении
Если на тело массы m в однородном поле тяжести
вертикально вверх действует сила F, равная по величине силе тяжести mg, то относительно неподвижной
поверхности Земли или, как принято говорить, в лабо-
раторной системе отсчета (инерциальной) тело либо
покоится, либо движется прямолинейно и равномерно в любом направлении (в зависимости от начальных
условий).
Рассмотрим в описанной ситуации
вертикальное движение вверх, например, подъем груза на нити, перекинутой через блок и наматываемой
на ворот по другую сторону блока
(см. рис. 3.1). Для выполнения подъема с практическойточки зрения важна не только сила, с которой необходимо действовать на рычаг ворота
(при равномерном движении она зависит от массы груза, отношения радиуса ворота к плечу рычага и сил трения в осях ворота
и блока), но и высота h , на которую поднимают груз.
Для подъема груза на разные высоты при прочих равных условиях человек, вращающий ворот, совершает
разную работу. 87
F
m
mg
h
Рис. 3.1
Г л а в а III
Использованное нами понятие работы в механике
имеет строгое количественное определение. При одномерном движении и постоянной величине силы меха-
нической работой или кратко ---- работой A называется
произведение силы F на перемещение тела l
A = Fl. (3.1)
Перемещению вдоль направления силы приписывается положительный знак, перемещению в противоположную сторону ---- отрицательный. В нашем примере при подъеме тела на высоту h подъемная сила F
совершает положительную работу Fh, а сила тяжести ---- отрицательную работу −mgh. При равномерном
подъеме Fh = mgh, при падении тела с высоты h сила
тяжести совершает положительную работу mgh.
Единицей измерения работы в системе СИ является
Джоуль: 1 Дж = 1 H ·м = 1 кг ·м2/c2. Для совершения
работы в 1 Дж сила в один Ньютон должна действовать
на протяжении одного метра пути.
В случае, если сила, действующая вдоль прямолинейной траекториидвижения, изменяется по величине,
вводится понятие элементарной работы на участке dl
dA = Fdl, (3.2)
где F = F(l) ---- значение силы в момент прохода участка
dl. Полная работа на участке конечной длины от l1до l
при этом определяется интегралом
F(l)
Связь между силой, пе-
ремещением и работой при
dl
l
1
Рис. 3.2
l
прямолинейном движении
можно проиллюстрировать
l
с помощью графика зависи-
2
мости силы от перемещения
(рис. 3.2). Выделенная на рисунке площадка, опирающаяся на перемещение dl, равна элементарной работе (3.2), площадь под графиком
функции F(l) между значениями l = l1и l = l2равна
работе (3.3) на этом участке.88
l
2
Z
A =
F(l) dl. (3.3)
l
1
2
Работа и мощность при поступательном движении
Для силы, направление которой не совпадает с направлением перемещения, в элементарную работу (3.2)
дает вклад только проекция силы на перемещение.
Например, при перемещении тела по оси x работа dA на
участке dx определяется составляющей силы F
dA = Fxdx. (3.4)
От поперечной по отношению к перемещению составляющей F работа не зависит. Данное выражениеможно
представить также в виде
dA = F cos α dx, (3.5)
где F ---- абсолютная величина силы,α ---- угол между вектором силыи осью x. При α = 0 и α = 180o(3.5) переходит
в (3.2), если во втором случае приписать перемещению
отрицательное значение.
Дадим теперь общее определение работы при движении тела по произвольной траектории и произвольной, изменяющейся по величине и направлению, силе.
Работой силы F на бесконечно малом перемещении dr
называется скалярное произведение векторов силы и пе-
ремещения или произведение проекции на направление
dr вектора силы и величины перемещения
dA = Fdr = F cos α dl. (3.6)
Здесь α ---- угол между векторами F и dr, dl ---- абсолютная
величина вектора dr. При F⊥dr работа не совершается
(cos α = 0).
x
и B можно представить как скаляр, равный произведению модулей векторов на косинус угла между ними
(проекция A на направление B умножается на модуль
B или наоборот), а также в виде следующей комбинации составляющих этих векторов в декартовой системе
координат
AB = AxBx+ AyBy+ AzBz.
Работа, таким образом, является скалярной величиной.
Учитывая последнее равенство получаем еще одно
выражение для элементарной работы, эквивалентное
(3.6):
dA = Fxdx + Fydy + Fzdz, (3.7)
где Fx, Fy, Fz---- составляющие вектора F, dx, dy, dz ----
составляющие вектора dr. 89
Г л а в а III
Работа на конечном участке траектории l вычисляется суммированием (интегрированием) элементарных
вкладов (3.6), (3.7) бесконечно малых участков
Такие интегралы называются криволинейными. Они
сводятся к интегралам функции одной переменной,
если проекцию силы на касательную к траектории
(перемещение dr = vdt и скорость v направлены по касательной к траектории) ---- тангенциальную составля-
ющую силы: Fτ= F cos α ---- представить как функцию
пройденного пути
Графическая интерпретация работы (рис. 3.2) применима и к выражению (3.9), если под функцией F (l)
понимать тангенциальную составляющую силы.
Другой способ вычисления криволинейного интеграла (3.8) ---- представление его в виде суммы трех интегралов по координатам x, y, z
Z
A =
x
1
где пределы интегрирования x1, y1, z1и x2, y2, z2являются координатами начальной и конечной точек участка
траектории, для которого вычисляется работа. В зависимости от условий задачи более удобной может
оказаться формула (3.9), если известна (или легко может быть выражена) тангенциальная составляющая силы как функция пути: Fτ= Fτ(l), либо формула (3.10),
если более доступными будут выражения составляющих силы как функций соответствующих координат:
Fx= Fx(x), Fy= Fy(y), Fz= F
Z
A =
Z
=
x
2
Fx(x) dx +
Z
Fdr =
l
F cos α dl =
l
Fxdx + Fydy + Fzdz.
l
l
2
Z
A =
Fτ(l) dl. (3.9)
l
1
y
2
Z
Z
Fy(y) dy +
y
1
z
z
1
(z).90
(3.8)
z
2
Fz(z) dz, (3.10)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]