Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Перемещение, путь, скорость и ускорение
r
1
r
2
v
1
4r
s
O
Как видно из рис. 1.4, абсолютная величина перемещения (модуль вектора 4r) при криволинейном движении не совпадает с величиной пройденного пути.
В случае прямолинейного движения s и |4r| равны друг
другу при условии, что материальная точка движется по
траектории в одном направлении.
Если из положения r1в положение r2материальная точка переместилась за время 4t, то вектор
<v > =
называется средней скоростью
движения материальной точки за
промежуток времени 4t. Единицей измерения скорости является отношение единицы длины к единице времени. В системе СИ это метр в секунду (м/с).
Если зафиксировать момент времени t1, соответствующий положению r1= r1(t1), и уменьшать промежуток
времени 4t, то положение r2= r2(t2) будет приближаться к r1. При этом (см. рис. 1.4) направление вектора
4r будет приближаться к направлению касательной к
траектории в точке r1. Предельное значение средней
скорости (1.15) при 4t → 0 называется мгновенной ско-
ростью материальной точки в момент времени t1. Далее
скоростью мы будем называть мгновенную скорость в
данный момент времени
v(t) = lim
Вектор скорости имеет вполне определенную величину и направление в каждый момент времени, тогда
как средняя скорость за промежуток времени от момента t до момента t + 4t зависит в общем случае как
от t, так и от 4t (см. (1.15) и рис. 1.4). Скорость всегда
направлена по касательной к траектории. С математической точки зрения скорость является производной
радиус-вектора по времени.
Поскольку при 4t → 0 исчезает разница между величиной перемещения и величиной пути (|4r| → 4s), из
(1.16) для модуля скорости следует
4r
4t
r(t + 4t) − r(t)
4t→0
v =
dr
dt
(1.15)
dr(t)
=
dt
ds
. (1.17)
dt
4t
=
Рис. 1.4
. (1.16)
21
Направление скорости остается постоянным только
в случае прямолинейного движения. Движение с постоянной по величине скоростью называют равномер-
ным. Таким образом, для того чтобы вектор скорости
оставался неизменным по величине и по направлению,
движение должно быть равномерными прямолинейным.
Если вектор скорости изменяется по величине или
по направлению, или переменными являются и величина, и направление скорости,движение характеризуется
также ускорением. Ускорение по отношению к скорости определяется так же, как скорость по отношению
к радиус-вектору: ускорением материальной точки называется предел отношения приращения вектора ско-
рости 4v за промежуток времени от момента t до
момента t + 4t к величине промежутка 4t (производная
скорости по времени)
dv
a =
Подчеркнем, что ускорение отлично от нуля даже
при равномерном движении по криволинейной траектории, так как в этом случае скорость постоянна по
величине, но изменяется ее направление. Из (1.18) и
(1.16) следует, что ускорение является также второй
производной радиус-вектора по времени
a =
В системе СИ ускорение измеряется в м/с2.
Далее, казалось бы, следует ввести в рассмотрение
производные по времени более высоких порядков, однако, как будет видно ниже, в законах ньютоновской
механики фигурируют только производные по времени до второго порядкавключительно, поэтомуописание
механического движения с помощью векторов скорости и ускорения является исчерпывающим.
В декартовой системе координат согласно (1.3)
r = x i + y j + z k. Орты i, j, k фиксированы, то есть их
производные по времени равны нулю, поэтому
dr
dt
dx
=
dt
v =
22
. (1.18)
dt
d2r
. (1.19)
2
dt
dy
dt
dz
j +
k. (1.20)
dt
i +
Г л а в а I
Перемещение, путь, скорость и ускорение
Отсюда следует, что декартовыми составляющими
вектора скорости являются производные по времени
соответствующих декартовых координат
v = vxi + vyj + vzk,
dx
vx=
, vy=
dt
Аналогично для ускорения
dv
a =
a =
dt
d2r
dt
=
=
2
a = axi + ayj + azk,
dv
dt
d2x
dt
dy
, vz=
dt
dv
x
y
i +
j +
dt
d2y
i +
2
dt
2
j +
dv
dt
d2z
dt
dz
.
dt
z
k,
(1.21)
(1.22)
k.
2
ax=
dv
dt
d2x
x
=
, ay=
2
dt
dv
az=
z
dt
dv
d2y
y
=
,
dt
2
dt
d2z
=
.
2
dt
(1.23)
Производные по времени в выражениях для скорости, ускорения и их составляющих (1.16)--- (1.23) называются полными. Это означает, что если у дифференцируемой функции имеется не только непосредственная (явная) зависимость от времени, но и зависимость
через какие-либо переменные во времени величины
(неявная), то при дифференцировании неявная зависимость также должна быть учтена. Например, пусть
движение материальной точки в плоскости (x, y) задано
уравнениями
x = αt, y =
x(t) t
τ
,
где α ---- постоянная с размерностью скорости, τ ---- постоянная с размерностью времени, тогда
vx=
dx
= α, vy=
dt
dy
dt
x
tτdx
=
+
τ
dt
x
αt
=
+
τ
2αt
=
τ
.
τ
Действительно, если сразу подставить в y выражение
для x(t) и взять производную, получим
2
y =
αt
, vy=
τ
2αt
τ
.
23
Полные производные по времени в физике приня-
то обозначать точками над символом дифференцируемой функции (первую производную одной точкой, вторую ---- двумя):
v =
vx=
dr
≡˙r, a =
dt
dx
≡ ˙x, ax=
dt
dv
dt
dv
dt
≡˙v =
x
≡ ˙vx=
d2r
dt
2
d2x
dt
≡¨r,
2
≡ ¨x
и так далее.
Способ кинематического описания движения, в ко-
тором используются векторные величины: радиус-вектор, векторыскорости и ускорения, называется вектор-
ным. Векторная форма кинематических соотношений
представлена здесь формулами (1.9), (1.15), (1.16), (1.18)
и (1.19). Задание движения с помощью координат и составляющих векторов скорости и ускорения называется координатным. К кинематическим соотношениям в
координатной форме относятся формулы (1.10)--- (1.12),
(1.21) и (1.23).
Для того чтобы определить радиус-векторпо извест-
ной скорости или скорость по известному ускорению,
нужно использовать выражения,обратные (1.16) и (1.18)
dr
v=
a=
⇒ r(t) =Zv(t) dt,
dt
dv
⇒ v(t) =Za(t) dt.
dt
При вычислении неопределенных интегралов для
получения однозначного результата должны быть заданы значения искомых величин в один из моментов
времени, обычно в момент, принятый за начало отсчета
(начальные условия). Интегральные выражения (1.25)
с учетом начальных условий могут быть представлены
также в виде
r(t) = r(t0) +
v(t) = v(t0) +
24
t
Z
v(t0) dt0,
t
0
t
Z
a(t0) dt0.
t
0
Г л а в а I
(1.24)
(1.25)
(1.26)
Естественный способ задания движения
O
R
P
0
P
v
e
τ
e
n
Аналогичный вид имеют интегральные связи координаты с составляющей скорости и составляющей скорости с соответствующей проекцией ускорения
t
Z
x(t) = x(t0) +
vx(t) = vx(t0) +
vx(t0) dt0,
t
0
t
Z
ax(t0) dt0,.
t
0
(1.27)
так же для координат y и z.Пройденный путьможет быть
вычислен по известной зависимости модуля скорости
от времени
t
2
Z
v(t) dt. (1.28)
t
1
s(t) =
t
Z
v(t0) dt0, 4s(t1, t2) =
0
1.7. Естественный способ задания движения
Существует еще один способ
кинематического задания движения материальной точки, называемый естественным или траек-
торным. В этом способе кинематические характеристики движения связываются с его траекторией, которая считается известной. Пусть материальная точка P
движется вдоль заданной траектории. Тогда ее положение в данный момент времени
может быть задано значением одной скалярной переменной
l = l(t), (1.29)
Рис. 1.5
выражающей расстояние вдоль траектории от некоторой точки, принятой за начало отсчета. На рисунке 1.5
положение точки P задается длиной дуги P0P, если за
начало отсчета принята точка P0. Криволинейная координата l материальной точки совпадает с величиной
пройденного пути sтолько придвижении по траектории
в одном направлении, принятом за положительное.
25
Г л а в а I
Уравнение (1.29) является кинематическим уравне-
нием движения материальной точки для траекторного
способа описания движения.
В теоретической механике строго доказывается, что
малый участок любой (не обязательно плоской) гладкой
траектории при стремлении его длины к нулю приближается к участку окружности (см. рис. 1.5). Радиус R
данной окружности называется радиусом кривизны,
а ее центр O центром кривизны траектории в данной
точке. Если траектория является окружностью, то радиус и центр кривизны фиксированы. В общем случае
каждой точке траектории соответствуют свой центр
и свой радиус кривизны. При движении по плоской
траектории в этой же плоскости находятся центры кривизны всех ее точек.
Для задания векторов скорости и ускорения вво-
дятся два орта: тангенциальный eτ, направленный по
касательной к траектории в точке, соответствующей
текущему положению P, и нормальный en, направленный к центру кривизны. Скорость всегда направлена
по касательной к траектории, поэтому
v = v eτ. (1.30)
Если определить в этом выражении v как dl/dt, то
такая величина будет положительной при движении
в положительном направлении и отрицательной при
встречном движении. Обычно поступают иначе: определяют v как производную пройденного пути
|dl|
dt
eτ+ v
ds
=
, (1.31)
dt
de
τ
. (1.32)
dt
можно считать дугой26
1
v =
тогда она принимает смысл модуля скорости (1.17).
В этом случае направление eτпривязано к направлению движения.
Ускорение получается дифференцированием (1.30),
при котором необходимо учесть изменения во времени
направления орта e
τ
a =
dv
dt
Смысл второго слагаемого в этом выражении разъ-
ясним с помощью рисунка 1.6. Пусть за время 4t материальная точка смещается из положения P в положение P1. При 4t → 0 дугу PP
Естественный способ задания движения
O
P
P
1
4α
R
e
n
eτ(t)
e
τ
(t
+
4t)
4e
τ
O
R
P
a
a
τ
a
n
e
n
e
τ
v
окружности 4s = R4α, где 4α ---- угол поворота радиусвектора точки P и ортов eτ, enза время 4t. Перенесем параллельно вектор eτ(t + 4t), поместив его начало
в точку P. Теперь из рисунка становится видно, что
длина вектора 4eτ= eτ(t + 4t) − eτ(t) при 4t → 0 стремится к |eτ|4α = 4α = 4s/R (напомним, что |eτ| = 1), а его
направление приближается к направлению en, то есть
4eτ→ (4s/R) en.
Отсюда для производной орта e
получаем
4e
4t
1R4s
τ
=
4t
en→
de
dt
v
τ
=
R
С учетом этого выражение (1.32)
принимает вид
a =
dv
dt
eτ+
2
v
en=
R
= aτeτ+ anen,
где
aτ=
dv
, an=
dt
---- проекции вектора a на орты eτи en, так называемые
тангенциальная (касательная) и нормальная (центростремительная) составляющие ускорения материаль-
ной точки.
Тангенциальная составляющая
ускорения, как видно из (1.34),
равна изменению модуля скорости
частицы в единицу времени. Эта
величина может иметь различные
знаки: при увеличении модуля
скорости она положительна, при
уменьшении ---- отрицательна.
Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту
изменения направления скорости.
Она всегда положительна (направлена кцентру кривизны). Полное ускорениепри криволинейном движении, таким образом, всегда отклонено
от направления скорости в сторону центра кривизны
(рис. 1.7). 27
en.
(1.33)
τ
2
v
R
Рис. 1.6
(1.34)
Рис. 1.7
Г л а в а I
В частном случае прямолинейного движения радиус
кривизны траектории R → ∞, при этом нормальная
составляющая ускорения an→ 0, а полное ускорение
совпадает с тангенциальным.
Выражение an= v2/R в точности совпадает с извест-
ным выражением для центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности. Скрытое отличие здесь заключается в том, что в общем
случае криволинейного движения как скорость v, так
и радиус кривизны траектории R являются переменными величинами.
В следующей таблице сведены формулы кинемати-
ческого описания движения материальной точки
в векторной, координатной (для декартовой системы
координат) и естественной (траекторной) формах представления.
Кинематические Определение Определение
уравнения скорости ускорения
движения
Векторная форма представления
r= r(t) =Rv(t) dt v=˙r=Ra(t) dt a=˙v=¨r
28
Координатная форма представления
x = x(t) =Rvx(t) dt, vx= ˙x =Rax(t) dt, ax= ˙vx= ¨x,
y= y(t) =Rvy(t) dt, vy= ˙y =Ray(t) dt, ay= ˙vy= ¨y,
z= z(t) =Rvz(t) dt vz= ˙z =Raz(t) dt az= ˙vz= ¨z
Естественная форма представления
l= l(t), v= ˙s=Raτ(t) dt, aτ= ˙v = ¨s,
2
s(t) =Rv(t) dt v= v e
τ
an=
v
R
a= aτeτ+ane
,
n
Сложение скоростей и ускорений (поступательное движение)
O
x
z
y
r
0
r
r
0
P
i
j
k
i
0
j
0
k
0
O
0
1.8. Сложение скоростей и ускорений
(поступательное движение)
Выясним связь междузначениями координат, скоро-
стей и ускорений материальной точки в разных системах отсчета, движущихся относительно друг друга по-
ступательно. Напомним (см. с. 5), что поступательным
называется такое движение твердого тела, при котором
скорости всех его точек i в каждый момент времени
одинаковы по величине и направлению: vi(t) = v(t). Это
означает, что векторы перемещения всех точек тела
при таком движении равны как за бесконечно малый
промежуток времени dt, так и за конечный промежуток
времени 4t = t2− t
1
dri= v(t) dt = r, 4ri=
то есть любой отрезок прямой,
жестко связанныйс телом, перемещается параллельно самому
себе. Одинаковыми при поступательном движении будут также ускорения всех точек тела
в каждый момент времени
ai=˙vi=˙v = a.
Система отсчета K0(начало отсчета ---- точка O0, ор-
ты ---- i0, j0, k0), таким образом, движется относительно
системы отсчета K (O, i, j, k) поступательно, если орты
i0, j0, k0не меняют своего направления, то есть пере-
мещаются параллельно самим себе (при этом удобно
положить i0= i, j0= j, k0= k).
Рассмотрим движение точки P в системе отсчета K и
в поступательно движущейся относительно K системе
отсчета K0(рис. 1.8). Положениеточки O0, начала отсчета
системы K0, задается в K-системе радиус-вектором r0,
который изменяетсяво времени. Скорость и ускорение
точки O0в системе отсчета K обозначим v0и a0:
Скорость и ускорение точки P в системе отсчета
K могут быть выражены как производные по времени
векторной суммыr = r0+r0, где r0= x0i0+y0j0+z0k0---- радиусвектор точки P в системе отсчета K
v0=˙r0, a0=˙v0.
t
2
Z
v(t) dt = 4r,
t
1
Рис. 1.8
0
. Дифференцируя 29
Г л а в а I
вектор r0нужно учесть, что при поступательном движении орты i0, j0, k0не изменяются, тоесть их производные
по времени равны нулю, поэтому
d
˙
r0=
(x0i0+y0j0+z0k0)= ˙x0i0+ ˙y0j0+ ˙z0k0= v0,
dt
d
¨
r0=
( ˙x0i0+ ˙y0j0+ ˙z0k0)= ¨x0i0+ ¨y0j0+ ¨z0k0= a0,
dt
где v0и a0---- скорость и ускорение точки P в системе
отсчета K0. Принимая во вниманиепоследние равенства
для производных суммы r0+ r0получим
v =˙r =
a =¨r =
d
(r0+ r0) =˙r0+˙r0= v0+ v0,
dt
2
d
(r0+ r0) =¨r0+¨r0=˙v0+˙v0= a0+ a0.
2
dt
Таким образом, при поступательном относительном
движении системотсчета скорость материальной точки
в системеотсчета K представляетсобой векторную сумму ее скорости в системе отсчета K0и относительной
скорости систем отсчета
v = v0+ v0, (1.36)
а ускорение в системе отсчета K равно векторной сумме ускорения в системе отсчета K0и относительного
ускорения
a = a0+ a0. (1.37)
Полученные результаты являются частными случаями теорем о сложении скоростей (1.36) и ускорений
(1.37) для поступательного относительного движения.
Обобщение равенств (1.36) и (1.37) на случай, когда система отсчета K0движется в системе отсчета K не только
поступательно, но и вращательно, будет рассмотрен в
параграфе 1.11.
(1.35)
1.9. Преобразования Галилея
В случае, когда скорость относительного движения
систем постоянна по величине и направлению (относительное ускорение равно нулю), в классической механике действуют так называемые преобразования Гали-
лея ---- преобразования координат и времени при переходе из одной системы отсчета в другую. Геометриче-
ские условия,в которых традиционно рассматриваются30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]