Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Потенциальная энергия
Еще одна возможная формулировка ответа на по-
ставленный вопрос звучит так: работа затрачивается
на увеличение потенциальной энергии тела вполе силы
тяжести
4Eп= mgh = A0= −A. (3.28)
В механике рассматривается широкий класс сило-
вых полей, называемых потенциальными. Для материальной точки, находящейся в таком силовом поле, каждому ее положению можно поставить в соответствие
значение потенциальной энергии
Eп= Eп(r).
Изменением потенциальной энергии при переме-
щении из точки с радиус-вектором r1в точку с радиусвектором r2называется работа A
необходимая для этого перемещения, или работа A
самого поля на том же перемещении, взятая с противоположным знаком
4E
= Eп(r2) − Eп(r1) = A
п12
В этом определении задается не абсолютное значение потенциальной энергии, а разность ее значений в
двух точках пространства. Величина самой потенциальной энергии (в отличие от кинетической) определяется
с точностью до постоянного слагаемого, не влияющего
на разность (3.29).
Сравнивая (3.28) и (3.29), можно заключить, чтооднородное поле тяжести является потенциальным. Потенциальная энергия груза в этом поле является функцией
высоты и массы
Eп= mgh + E0, (3.30)
где E0---- постоянная величина с размерностью энергии, которая выбирается произвольно из соображений
удобства при решении конкретной задачи. Например,
если принять за нуль потенциальную энергию груза в
начале подъема, то нужно положить E0= 0.
Если работа совершается против сил поля (A
A12< 0), то в соответствии с (3.29) потенциальная энер-
гия материальной точки увеличивается, если работу
совершает поле (A12> 0), то потенциальная энергия
уменьшается. Поэтому потенциальную энергию часто 101
0
против сил поля,
12
0
= −A12. (3.29)
12
12
0
> 0,
12
называют энергией, которую телозапасаетпри перемещении против действия поля и которая в дальнейшем может быть затрачена на увеличение кинетической энергии при обратном перемещении. При подъеме
груза вполе тяжести на высотуh онзапасаетэнергию
mgh. Если после этого перерезать нить, то груз упадет
под действием силы тяжести, которая, совершив работу mgh, на столько же увеличит кинетическую энергию
груза.
Определение (3.29) позволяет установить необходи-
мое и достаточное условие потенциальности силового
поля: для того чтобы разность потенциальных энер-
гий материальной точки в положениях, задаваемых
радиус-векторами r1и r2, была определена однозначно, необходимо и достаточно, чтобы работа на перемещении r1→ r2не зависела от пути. Действительно,
если разность потенциальных энергий для любых двух
положений материальной точки определена однозначно, то, согласно (3.29), работа поля будет зависеть только от начального и конечного положений частицы и не
будет зависеть от траектории ее движения, и наоборот ---- если работаполя не зависит от пути, то равенство
(3.29) однозначно определяет 4Eпданной материальной
точки для любой пары ее пространственных положений.
На рисунке 3.4 показаны две траектории материальной точки между положениями 1 и 2: l1и l2. В соответствии с поставленным выше условием работа сил
потенциального поля F на любых траекториях между
точками 1 и 2 должна быть одинаковой
A12=
Z
l
1
Fdr =
Z
Fdr. (3.31)
l
2
Если по одной из двух траекторий (например, по
l2) осуществить перемещение материальной точки в
противоположном направлении, то в результате двух
перемещений 1 → 2 и 2 → 1 точка вернется в начальное
положение. При этом, согласно (3.31), суммарная работа
будет равна нулю
102
A =
Z
l
1
Fdr −
Z
l
2
Fdr =
I
Fdr = 0. (3.32)
l
Г л а в а III
Потенциальная энергия
Здесь l ---- траектория (путь), состоящая из участка l1,
пройденного в направлении 1 → 2, и участка l2, пройденного в направлении 2 → 1, обозначение
вает на то, что интеграл берется по замкнутой траектории (по замкнутому контуру). Интеграл по замкнутому контуру типа (3.32), когда интегрируется скалярное
произведение вектора-функции пространственных координат на вектор элементарного перемещения или ---в скалярной форме ---- интегрируется касательная составляющая вектора-функции по замкнутому пути, называется циркуляцией вектора (векторного поля).
Таким образом,если силовое по-
ле потенциальное, то работа его
сил по любому замкнутому контуру (циркуляция F) равна нулю,
1
и наоборот ---- поле, в котором циркуляция силы по любому замкнутому контуру равна нулю, будет
потенциальным. Силы, действующие в потенциальном
силовом поле, называются потенциальными или консервативными.
Для того чтобы продолжить рассмотрение свойств
потенциальных полей, нам потребуется ввести некоторые основные понятия математического анализа функции нескольких переменных.
Частной производной функции нескольких переменных по одной из них называется функция
∂ f (x, y, z)
∂x
= lim
f (x + 4x, y, z) − f (x, y, z)
4x→0
4x
Как видно из этого определения, частная производная по переменной x функции f (x, y, z) имеет тот же
смысл, что и производная функции одной переменной,
если значения остальных переменных (в данном случае ---- y, z) зафиксированы.
Аналогично ---- интеграл функции по одной из ее пе-
ременных имеет тот же смысл, что и интеграл функции
одной переменной при постоянных значениях остальных переменных. Например,
Z
∂ f (x, y, z)
dx = f (x, y, z) + C, (3.34)
∂x
H
указы-
l
1
l
2
r
1
O
Рис. 3.4
. (3.33)
2
r
2
103
Г л а в а III
где C ---- постоянная интегрирования, или
b
Z
∂ f (x, y, z)
a
Полным дифференциалом функции называется ее
бесконечно малое приращение, построенное на бесконечно малых приращениях всех переменных
d f (x, y, z) =
Совокупность переменных функцииможно рассматривать как ортогональныекоординаты точкив евклидовом пространстве, например, x, y, z считать декартовыми
координатами в трехмерномфизическом пространстве.
Вектор
∇f (x, y, z) ≡ grad f (x, y, z) =
составляющими которого являются частные производные f (x, y, z) по соответствующимкоординатам, называется градиентомданной функции в точке с координатами x, y, z. Используя определение градиента,выражение
для полного дифференциала (3.35) можно представить
в виде скалярного произведения:
dx = f (b, y, z) − f (a, y, z),
∂x
∂ f
∂x
dx +
∂ f
∂y
∂ f
∂x
i +
dy +
∂ f
∂y
∂ f
dz. (3.35)
∂z
∂ f
j +
k, (3.36)
∂z
d f (x, y, z) = ∇ f (x, y, z) dr, (3.37)
где dr = i dx + j dy + k dz ---- вектор бесконечно малого перемещения, построенный на приращениях координат
dx, dy и dz.
Криволинейный интеграл от полного дифференциала функции не зависит от пути интегрирования и равен разности значений функции в конечной и начальной
точках
2
Z
d f (x, y, z) = f (x2, y2, z2) − f (x1, y1, z1). (3.38)
1
Здесь x1, y1, z1---- координаты точки 1, x2, y2, z2---- координаты точки 2, интеграл понимается как криволинейный по любой кривой, соединяющей точки 1 и 2.
104
Потенциальная энергия
Действительно, на любой кривой между точками 1
и 2 f (x, y, z) можно представить как функцию одной
переменной l ---- пути, пройденного вдоль кривой. Приращение dl этой переменной будет складываться из
проекций dx, dy и dz на касательную к кривой.
Тогда приращение функции f на участке пути dl
d f (l)
d f =
будет, очевидно, равно полному дифференциалу (3.35)
для данного участка пути. С учетом этого интеграл
(3.38), подобно (3.9), сводится к обычному интегралу
функции одной переменной
2
Z
d f (x, y, z) =
1
Z
l
1
l
2
d f (l)
где l1и l2---- координаты начальной и конечной точек на
кривой, f (l1) и f (l2) ---- значения функции в этих точках.
Тем самым сделанное выше утверждение доказано.
Теперь мы можем дать еще одно определение потенциального поля: потенциальным называется такое
силовое поле, для которого элементарная работа
dA = Fdr = −dE
является полным дифференциалом.
Сравнивая (3.39) и (3.37), приходим к выводу, что
консервативная (потенциальная) сила, действующая
на материальную точку в потенциальном поле, может
быть выражена как градиент потенциальной энергии
с обратным знаком
F = −∇Eп= −
∂E
п
i +
∂x
В связи с тем, что консервативные силы выражаются через потенциальную энергию, а потенциальная
энергия (3.29), (3.39) ---- через работу сил, ее называют
также энергией взаимодействия (частицы с полем или
материальных тел между собой).
Отметим, что потенциальная энергия Eп(r) и, следовательно, консервативные силы F(r) = −∇Eп(r) не
могут явно зависеть от времени, то есть в заданной
точке пространства потенциальная энергия частицы 105
dl
dl
dl = f (l2) − f (l1),
dl
п
∂E
∂y
∂E
п
j +
п
k!. (3.40)
∂z
(3.39)
Г л а в а III
f (r) = C
dr
τ
∇f
dr
n
dr
и действующая на частицу сила одинаковы во все моменты времени
∂E
п
= 0,
∂t
∂F
= 0. (3.41)
∂t
В противном случае при движении частицы по замкнутой траектории за конечное время t к моменту
ее возвращении в начальное положение потенциальная
энергия Eп(r, t) могла бы принять значение, не совпадающее с начальным Eп(r, 0), а это, в соответствии с
(3.29), означало бы, что работа по замкнутому контуру
не равна нулю.
Если для функции f (x, y, z) построить поверхность,
на которой функция принимает постоянное значение
f (x, y, z) = C,
то в каждой точке такой поверхности (поверхности
постоянного значения) градиент (3.36) направлен пер-
пендикулярно к ней в сторону увеличения значений
функции.
Для доказательства этогопредставим произвольное бесконечно малое приращение радиусвектора dr в виде векторной
суммы drnи drτ---- приращений
Рис. 3.5
в направлении, перпендикулярном поверхности постоянного
значения f (x, y, z) = C, и в плоскости, касательной к данной поверхности (рис. 3.5). Тогда дифференциал функции f (r) на приращении dr в соответствии с (3.37)
примет вид
d f = ∇f dr = ∇f drn+ ∇f drτ.
Приращение δ fτ= ∇f drτявляется бесконечно малой
величиной более высокого порядка, так как направление, касательное к поверхности постоянного значения, является направлением наименьшего изменения
функции. Это и означает, что ∇f ⊥ drτ(∇f drτ/∇f drn→ 0).
Дифференциал на приращении dr, таким образом, равен дифференциалу на его нормальной составляющей:
d f = ∇f dr = ∇f drn= d fn(векторы dr и dr
заканчиваются106
n
Потенциальная энергия
на одной и той же прилегающей поверхности постоянного значения). Если направление градиента совпадает
с направлением drn, то d f > 0 ---- значение функции
возрастает в направлении градиента.
В применении к потенциальному полю доказанное
утверждение означает, что вектор силы в каждой точке
поля направлен в сторону уменьшения потенциальной
энергии перпендикулярно эквипотенциальной поверх-
ности ---- поверхности постоянного значения Eп(r), так
как сила, согласно (3.40), равна градиенту потенциальной энергии с обратным знаком.
Потенциальное поле может быть задано двумя эквивалентными способами: как векторное силовое поле
F = F(r) или как поле, определяемое скалярной функци-
ей координат ---- потенциальной энергией. Связь между
этими двумя способами описания аналитически выражается формулами:
F(r) = −∇Eп(r), Eп(r) =
где r0---- произвольная точка, выбранная в качестве начала отсчета потенциальной энергии, интеграл вычисляется по любому пути, соединяющему точки r и r0. Для
геометрической интерпретации потенциального поля
можно использовать семейство эквипотенциальныхповерхностей или набор перпендикулярных им силовых
линий ---- линий действия сил в соответствующих точках.
В однородном поле тяжести, которое, как уже было
отмечено, является потенциальным,
F = −mg j, Eп= mgy + E
(y ---- вертикальная координата), что соответствует (3.40):
∂E
Fx= −
п
= 0, Fy= −
∂x
Z
∂E
∂y
r
0
F(r0) dr0,
r
п
= −mg,
0
∂E
Fz= −
∂z
п
= 0.
Эквипотенциальными поверхностями в данном случае являются горизонтальные плоскости. Потенциальная энергия возрастает в направлении оси y (вверх),
сила тяжести направлена в противоположную сторону. 107
Г л а в а III
O
r
1
r
2
1
2
ϑ
l
r
dr
F
α
dr
rdϑ
dr
α
e
ϑ
e
r
Центральное силовое поле
F = F(r) e
также является потенциальным. Убедимся в этом, вычислив работу на перемещении материальной точки из
положения 1 (r1) в положение 2 (r2) по произвольной
кривой l. Для простоты вначале рассмотрим кривую,
лежащую в плоскости, которая задается точками 1, 2 и
силовым центром O (рис. 3.6). Работа на малом перемещении dr равна
dA = Fdr = F(r) cos α|dr| = F(r) dr,
так как проекция вектора перемещения dr на направление силы (направление r) равна приращению модуля
радиус-вектора r (то есть приращению расстояния от
силового центра до материальной точки dr ---- см. верхнюю часть рис. 3.6).
Иными словами, еслипредставить
dr в виде
где ϑ ---- уголмежду радиус-векторами
r1и r, er---- орт в направлении r,
eϑ---- орт в рассматриваемой плоско-
сти, перпендикулярный erи направленный в сторону увеличения угла
ϑ, то нетрудно убедиться, что работа
Рис. 3.6
будет совершаться только на радиальном перемещении (вдоль er):
Fdr = F(r)er(erdr + eϑrdϑ) = F(r) dr,
так как erer= 1, а ereϑ= 0. Для произвольной трехмер-
ной кривой l любое перемещение, перпендикулярное
erи eϑ, также не даст вклада в работу, поскольку та-
кое перемещение будет перпендикулярно силе. Таким
образом, работа центрального силового поля по любой
кривой l, соединяющей точки 1 и 2, равна
то есть не зависит от пути интегрирования (r1= |r1|,
108
r2= |r2|). Потенциальная энергия материальной точки
A12=
Z
Fdr =
l
r
2
Z
F(r) dr = Eп(r1) −Eп(r2), (3.42)
r
1
r
dr = erdr + eϑrdϑ,
Потенциальная энергия
в центральном поле определяется только расстоянием до силового центра и не зависит от направления
радиус-вектора:
Eп= Eп(r). (3.43)
В соответствии с (3.42) сила, действующая на материальную точку в центральном поле, может быть выражена через ее потенциальную энергию следующим
образом:
F(r) = −
Эквипотенциальные поверхности вслучае центрального поля в соответствии с (3.43) представляют собой
концентрические сферы, центр которыхсовпадает ссиловым центром. Если при удалении от силового центра
потенциальная энергия возрастает (dEп/dr > 0), то сила
(3.44) является силой притяжения, и наоборот, уменьшение потенциальной энергии с увеличением расстояния (dEп/dr < 0) соответствует силе отталкивания.
Наиболее актуальны так называемые кулоновские
центральные поля ---- такие, в которых сила убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра
(по закону обратного квадрата):
где α ---- постоянная, положительная для сил отталкивания и отрицательная для сил притяжения. К кулоновским относятся: поле гравитационного притяжения
где G ---- гравитационная постоянная (см.параграф 5.1),
m1и m2---- гравитационные массы взаимодействующих
тел (материальных точек), r ---- расстояние между ними (закон всемирного тяготения); поле электростатического взаимодействия
где q1и q2---- взаимодействующие точечные электрические заряды, r ---- расстояние между ними, ε0---- электрическая постоянная (закон Кулона), при одинаковых знаках зарядов электростатическая силаявляется силойот-
талкивания (α > 0), при разноименных зарядах ---- силой 109
dEп(r)
dr
F(r) =
, F(r) = −
α
, F(r) =
2
r
F(r) = −G
F(r) =
m1m
q1q
4πε0r
dEп(r)
2
er, (3.46)
2
r
2
er, (3.47)
2
er. (3.44)
dr
α
er, (3.45)
2
r
притяжения (α < 0), коэффициент 1/(4πε0) вводится
в системе СИ для согласования механических и электродинамических единиц измерения.
Интегрируя (3.45), получим дляпотенциальной энер-
гии кулоновского поля
Eп(r) = −ZF(r) dr = −α
Постоянную интегрирования принятовыбирать равной нулю, чтобы на бесконечности потенциальная энергия стремилась к нулю (кулоновская нормировка).
Z
dr
α
=
2
r
r
3.5. Закон сохранения энергии
Для материальной точки, на которую действует сила
F, работана бесконечномалом перемещении dr, содной
стороны, согласно (3.24), равна приращению кинетической энергии, с другой стороны, если F ---- консервативная сила, в соответствии с (3.39), та же работа равна
уменьшению потенциальной энергии
dA = dEк= −dEп.
Это означает, что в потенциальном поле сумма кинетической и потенциальной энергии материальной точки
сохраняется
dEк+ dEп= d(Eк+ Eп) = dE = 0. (3.49)
Величина E = Eк+ Eпназывается полной механиче-
ской энергией. В потенциальном поле полная механическая энергия материальной точки сохраняется, очевидно, не только на бесконечно малом, но и на любом
конечном перемещении, так как интегрирование (3.49)
по конечному участку траектории движения даст
4(Eк+ Eп) = 4E = 0. (3.50)
Равенства (3.49) и (3.50) являются выражениями за-
кона сохранения энергии для материальной точки, движущейся в поле консервативных сил:
при движении в потенциальном поле полная меха-
110
ническая энергия сохраняется.
Г л а в а III
. (3.48)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]