Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Закон сохранения импульса. Центр масс
Используя второй закон Ньютона, проводя суммирование по всем N частицам и учитывая, что сумма всех
сил, действующих между частицами данной системы
(внутренних сил), согласно третьему закону Ньютона
равна нулю, по аналогии с (2.18)--- (2.20) получим
N
X
dp
=
dt
где Fe---- суммарная внешняя сила, действующая на механическую систему или главный вектор внешних сил.
Таким образом, в соответствии с полученным результатом
для незамкнутой системы скорость изменения суммарного импульса равна главному вектору внешних
сил.
Это утверждение называется теоремой об изменении импульса механической системы. Закон сохране-
ния импульса (2.21) является ее частным случаем для
замкнутой системы (Fe= 0).
Пусть внешняясила, действующаяна каждую частицу системы, во всех точках пространства одинакова по
величине и направлению:
F
В данном выражении с фиксированным направлением
силы совмещена ось z декартовой системы координат,
а величина проекции силы F
различных частиц системы (на что указывает индекс i),
но для данной частицы она не зависит от координат
x, y, z, то есть имеет одинаковое значение во всех точках
пространства (по крайней мере---- в пределахнекоторой
области). Такое силовое поле называется однородным.
К однородным (рис. 2.4) относятся поле силы тяжести вблизи поверхности Земли (сила тяжести, действующая на материальную точку массы m, равна mg, где
g ---- вектор ускорения свободного падения, направленный по вертикали вниз и всюду одинаковый) и электрическое поле внутри плоского конденсатора (сила,
действующая на частицу с зарядом q, равна qE, где
e
F
= Fe, (2.25)
i
i=1
e
e
= F
i
k. (2.26)
zi
e
может быть разной для
zi
61
Г л а в а II
x
z
mg
m
mg
m
mg
m
x
z
−
+
EE
+q
F = qE
−q
F
E ---- напряженность электрического поля, направлен-
ная перпендикулярно плоскости пластин конденсатора
и одинаковая по величине во всей внутренней области,
за исключением краевых зон).
В однородномполе вида (2.26) теоремаоб изменении
импульса системы частиц (2.25) дает для производных
декартовых составляющих суммарного импульса
˙px= 0, ˙py= 0,
N
X
e
˙pz= F
Слева ---- однородное поле силы тяжести вблизи поверхности Земли. Справа ---- однородное электрическое поле
вдали откраев плоского конденсатора. Для положительного заряда сила направлена вдоль вектора напряженности
электрического поля, для отрицательного ---- в противоположную сторону
=
z
Рис. 2.4
i=1
e
F
.
zi
(2.27)
Это означает, что в однородном поле проекция им-
пульса системы на плоскость, перпендикулярную направлению поля, в нашем случае ---- на плоскость (x, y),
сохраняется. Например, в однородном поле силы тяже-
сти при столкновениях тел или при разрыве свободно
летящих снарядов движение системы в проекции на
горизонтальную плоскость будет таким же, каким было
бы для замкнутой системы (если не учитывать сопротивление воздуха).
Сохранение составляющих импульса, перпендикулярных однородному силовому полю, при отсутствии
других полей имеет место, очевидно, и для отдельной
материальной точки. Это непосредственно следует из
второго закона Ньютона (2.7), представленного в коор-
динатной форме.62
Задача двух тел
2.9. Задача двух тел
Одним из наиболее изящных результатов классиче-
ской механики Ньютона являетсярешение задачи двух
тел ---- задачи о движении замкнутой системы, состоящей из двух взаимодействующих друг с другом тел, при
условии, что сила взаимодействия зависит только от
расстояния между телами. Оказывается, что такая задача (в отличие от задачи трех и более тел) имеет общее
решение, применимое для любых начальных условий
и любых видов зависимости силы взаимодействия от
расстояния.
Общее решение задачи двух тел может быть использовано при описании движения пары небесных тел
без ограничения соотношения их масс ---- как для пар
с существенно различными массами (звезда---планета,
планета---спутник), так и для пар с близкими массами
(двойная звезда, двойная планетная система, например
Плутон---Харон).
Результаты решения задачи двух тел применяются
также в молекулярной физике, в теории столкновений, в задачах, описывающих образование связанных
состояний пары микрочастиц, когда становится необходимым учет квантовых законов. В общей теорииотносительности при больших величинах гравитационных
полей (например, вблизи черных дыр) пространствовремя существенно искривлены и задача двух тел в общем случае уже не имеет общего точного аналитического решения.
Для пары материальных точек условие зависимости силы взаимодействия только от расстояния между
частицами выполнено автоматически, так как зависимость от положения системы как целого противоречила
бы однородности пространства, а зависимость от направления вектора, соединяющего точки, несовместима с изотропностью пространства. Для тел конечных
размеров сила взаимодействия, вообще говоря, зависит
не только от расстояния, но и от взаимной ориентации,
однако для тел со сферически симметричным распределением физических свойств (массы, заряда и т.д.)
взаимная ориентация, очевидно, не влияет на взаимодействие.
63
Г л а в а II
В постановке задачи, таким образом, должно подразумеваться, что взаимодействующие тела обладают
сферической симметрией или их размерами можно
пренебречь.
Пусть r1и r2---- радиус-векторы центров масс двух
взаимодействующих только друг с другом тел относительно начала координат произвольной инерциальной
системы отсчета (рис. 2.5), m1и m2---- их массы.Положение второго тела относительно первого задается радиусвектором r12= r2−r1, положение первого относительно
второго ---- радиус-вектором r21= −r12, расстояние между
телами r = |r12|= |r21|. Сила F12действует на второе тело
со стороны первого, сила F21---- на первое тело со стороны второго. В соответствии с третьим законом Ньютона
силы взаимодействия равны по величине и противоположны по направлению, кроме того, по условию задачи
они зависят только от расстояния между телами (для
тел конечных размеров ---- от расстояния между их центрами масс): F12(r) = −F21(r). Это могут быть как силы
притяжения, так и силы отталкивания.
m
1
F
21
r
1
F
m
2
r
12
12
r
2
O
Рис. 2.5
Ньютона приводит к равенству
m
¨
r1+ m
1
¨
r2= F21+ F12= 0. (2.29)
2
По определению центра масс (2.22) m1r1+ m2r2=
= (m1+ m2)rc, где rc---- радиус-вектор центра масс, следо-
вательно, из (2.29) получаем
¨
m
1
¨
r1+ m
r2= (m1+ m2)¨rc= 0,
2
то есть центр масс пары взаимодействующих телв инерциальной системе отсчета движется без ускорения,
и связаннаяс ним система отсчета такжеявляется инерциальной. Впрочем, как было показано выше, данный
результат является следствием закона сохранения импульса и справедлив для замкнутой механической си-
стемы, состоящей из любого количества тел.64
Уравнения движения
тел в выбранной системе
отсчета имеют вид
¨
m
r1= F21,
1
¨
m
r2= F12.
2
(2.28)
Сложение этих уравнений
с учетом третьего закона
Задача двух тел
Поделим правые и левые части уравнений (2.28) соответственно на m1и m2и вычтем первое уравнение из
второго. В результате получим
¨
r2−¨r1=¨r12=
где вновь учтен третий закон Ньютона: F21= −F12.
Введем для рассматриваемой пары тел так называемую приведенную массу
С ее помощью (2.30) можно представить в виде
или, изменив знаки в левой и правой частях равенства,
Полученные уравнения являются уравнениями движения второго тела относительно первого (2.32) или
первого относительно второго (2.33). Формально они
имеют вид уравнения второго закона Ньютона в инерциальной системе отсчета для тела с приведенной массой. Пространственное положение этого тела задается
радиус-вектором относительного положения пары тел
(r12или r21), а действующая на него сила равна силе
взаимодействия пары (F12или F21).
Задача двух тел сводится, таким образом, к задаче
о движении одного тела массы µ в заданном силовом
поле. Силы взаимодействия направлены вдоль прямой,
проходящей через центры масс, и по условию зависят
только от расстояния между ними
где e
---- единичный вектор в направлении rik. Отметим,
r
ik
что при заданном расстоянии между телами силы взаимодействия не могут зависеть от времени, так как это
противоречило бы однородности времени (последнее
справедливо не только для пары сферически симметричных тел, но и для любого количества взаимодействующих тел произвольной формы). Поле вида (2.34)
называется центрально симметричным или централь-
ным (см. параграф 2.11 и параграф 3.4). 65
F
12
m
2
1
1
=
µ
+
m
1
F
21
−
m
1
1
, µ =
m
2
µ¨r12= F
!=
1
m
1
12
!
1
+
F12, (2.30)
m
2
m1m
2
m1+ m
2
. (2.31)
(2.32)
µ¨r21= F21. (2.33)
Fik= Fik(rik) e
, (2.34)
r
ik
Решение уравнения (2.32) или (2.33) с учетом началь-
ных условий даст зависимость радиус-векторов r12и
r21= −r12от времени:
r12= r12(t), r21= r21(t).
Используя связь между r1и r
2
r2= r1−r21, r1= r2−r12,
и определение радиус-вектора центра масс
rc=
m1r1+ m2r
m1+ m
2
,
2
можно получить зависимости от времени положений
каждого из тел по отдельности:
m
r1(t) = rc(t) +
r2(t) = rc(t) +
2
m1+ m
m
1
m1+ m
r21(t),
2
r12(t).
2
Зависимость rc(t) определяется начальными усло-
виями и выбором системы отсчета, в частности,
в Ц-системе rc(t) = 0. Следовательно, если решена задача одвижении тела с приведенной массой в центральном силовом поле (найдена функция r21(t) = −r12(t) ),
то полностью решена и задача двух тел.
В случае, когда масса одного из тел намного больше
массы другого, например m1 m2, центр масс системы
практически совпадает с центром масс более тяжелого
из тел
rc=
m1r1+ m2r
m1+ m
2
≈ r1,
2
а приведенная масса (2.31) близка к массе более легкого
тела
1
1
1
=
µ
+
m
1
1
≈
m
2
, µ =
m
2
m1m
m1+ m
2
≈ m2.
2
В этом приближении движение в Ц-системе практически не отличается от движения легкого тела относительно неподвижного тяжелого. Примерами могут служить движение искусственного спутника вокруг Земли
или движение Земли вокруг Солнца.
66
Г л а в а II
(2.35)
Задача двух тел
При близких величинах масс тел приведенная масса
заметно отличается от каждой из них. В частности для
тел равной массы (m1= m2= m)
µ = m2/2m = m/2.
Движение пары взаимодействующих тел обладает
существенной особенностью, значительно упрощающей решение уравнения (2.32). Умножая векторно правую и левую части этого уравнения на r12, получим
¨
µ [r
r12] = [r12F12] = 0,
12
так как векторы r12и F12согласно (2.34) лежат на
одной прямой. Производная по времени векторного
произведения [r˙r] равна
d
[r˙r] = [˙r˙r] + [r¨r] = [r¨r],
dt
поскольку [˙r˙r] = 0. С учетом этого интегрирование
предыдущего равенства дает
µZ[r
¨
r12]dt = µ [r
12
˙
r12] = L, (2.36)
12
где L ---- постоянный вектор. Таким образом, если построить плоскость,содержащую радиус-вектор относительного положения r12и вектор относительной скорости˙r12, то эта плоскость все время должна быть перпендикулярна фиксированному вектору L. Это означает,
что движение двух взаимодействующих тел происхо-
дит в одной плоскости.
Покажем, что L ---- суммарный момент импульса рассматриваемой пары тел относительно их центра масс1.
При rc= 0 выражения (2.35) для радиус-векторов r
и r2принимают вид (рис. 2.6)
m
r1=
r2=
откуда
1
Ниже (см. с. 121) будет показано, что момент импульса в системе
отсчета центра масс не зависит от выбора начала отсчета.
2
m1+ m
m
1
m1+ m
r21= −
2
r12,
2
r1= −
m
m
m
2
m1+ m
2
r2. (2.38)
1
r12,
2
(2.37)
1
67
Г л а в а II
m
1
m
2
O
c
r
2
r
1
r
12
˙
r
1
˙
r
2
Моменты импульса тел равны
L1= m1[r
˙
r1], L2= m2[r
1
Найдем их сумму в этой системе отсчета:
L1+ L2= m1[r
m
= m
2
+ 1![r
2
m
1
˙
r1] + m2[r
1
˙
r2] =
2
˙
r2] =
2
m1m
m1+ m
Здесь учтено, что в соответствии с (2.38) и (2.37)
[r
1
˙
r1] = m
2
[r
2
˙
r2]/m
2
2
, [r
1
˙
r2] = m
2
Сравнивая (2.39) с определением вектора L (2.36), получаем
L1+ L2= µ [r
что и требовалось доказать.
Рис. 2.6
Таким образом, момент им-
пульса двух взаимодействующих тел в системе отсчета их центра масс при отсутствии других сил сохраняется. Отметим также, что,
согласно (2.39), моменты L1и L2имеют одинаковое направление и находятся в соотношении
m1L1= m2L2,
то есть меньшее по массе тело имеет б´ольший по величине момент импульса. В частности, при m1 m
L = L1+ L2≈ L2.
˙
r2].
2
2
˙
[r
r12].
12
2
2
˙
[r
r12]/(m1+ m2)2.
12
1
˙
r12] = L,
12
(2.39)
2
2.10. Момент инерции
Перейдем к рассмотрениюдинамики вращательного
движения. В этом разделе механики наряду с кинематическими и динамическими величинами, характеризующими поступательное движение (радиус-вектор, скорость, ускорение, сила, импульс, масса), фигурируют
величины, описывающие вращение (угловая скорость,
угловое ускорение, момент силы, момент импульса, момент инерции). Аналитическое представление законов
динамики вращательного движения в значительнойстепени подобно виду аналогичных законов поступательного движения, но их наглядное восприятие и истолкование, как правило, вызывают несколько б´ольшие
затруднения.68
Момент инерции
r
r
m
v
a
τ
a
n
a
εεε
ωωω
Динамика вращательного движения имеет множество приложений в технике. Она широко используется
в теории машин и механизмов для расчетов параметров
и описания движения вращающихся частей. В летательных аппаратах, ракетной и космической технике
законы динамики вращения применяются для расчета поворотов и управления ими. Во многих современных воздушных и космических летательных аппаратах,
снарядах, ракетах, в наземных и водных транспортных
средствах используются гироскопы (быстро вращающиеся массивные волчки), которые могут выполнять роль
стабилизаторов ориентации в пространстве или измерительных средств ее контроля. Например, для увеличения стабильности и устойчивости траектории полета
пули или артиллерийского снаряда за счет винтовой нарезки внутри ствола им сообщается вращение вокруг
своей оси. В этом случае роль гироскопа выполняет сам
вращающийся снаряд.
Пусть материальная точка массы m движется по окружности радиуса r (см.
рис. 2.7). Радиус-векторточки обозначим r, скорость v,
ускорение a =˙v = aτ+ an,
где aτи an---- тангенциальное и нормальное ускорения. Угловая скорость точки ωωω и угловое ускорение εεε =˙ωωω направлены по оси
вращения. На материальную точку действует сила F,
направленная вдоль вектора ускорения a, то есть все
время находящаяся в плоскости траектории.
Уравнение движения (второй закон Ньютона) представим в виде
m˙v = F
и домножим это равенство векторно на r
m [r˙v] = [r F] = M, (2.40)
где M = [r F] ---- момент силы F относительно центра траектории частицы. При движении по окружностилинейная и угловая скорости связаны соотношением v = [ωωω r].
Дифференцируя это равенство по времени, получим
˙
v = [˙ωωω r] + [ωωω˙r],
Рис. 2.7
69
Г л а в а II
где, согласно (1.46) и (1.47), первое слагаемое в правой части равно тангенциальному ускорению, а второе ---- нормальному
[˙ωωω r] = [εεε r] = aτ,
[ωωω˙r] = [ωωω v] = an.
При подстановке˙v в (2.40) учтем, что векторное произведение [r an] равно нулю, так как векторы r и a
лежат на одной прямой, а произведение [r aτ] можно
преобразовать следующим образом:
2
[r aτ] = [r [˙ωωω r]] = r
˙
ωωω − r(r˙ωωω) = r
так как векторы r и˙ωωω = εεε перпендикулярны (их скалярное произведение равно нулю). В результате (2.40)
примет вид
J˙ωωω = Jεεε = M, (2.41)
где J ≡ mr2---- момент инерции материальной точки
относительно оси вращения (r ---- расстояние от оси
вращения). Единицей измерения момента инерции в
системе СИ является кг ·м2.
Для уравнения (2.41) можно провести аналогию с
уравнением второго закона Ньютона ma = F: в качестве меры инертности вместо массы m выступает момент инерции J, линейное ускорение a заменяется на
угловое εεε, а сила F ---- на момент силы M относитель-
но центра круговой траектории. Это ---- динамическое
уравнение движения материальной точки по фиксированной окружности.
Пусть теперь имеется N материальных точек, дви-
жущихся по окружностям различных радиусов riво-
круг одной и той же оси с одинаковыми угловыми скоростями ωωωi= ωωω(t). Массы материальных точек равны
mi, их моменты инерции Ji= mir
2
. Для каждой из точек
i
можно написать уравнение движения (2.41)
˙
J
ωωω = Mi, i = 1, 2 . . . N,
i
где моменты сил Miдля каждой из точек должны определяться относительно центра ее траектории . При
сложении всех этих уравненийполучим равенство вида
(2.41):
˙
J
ωωω = M,70
2
˙
ωωω,
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]