Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Задача Кеплера
Согласно этому равенству большая и малая полуоси
эллипса a и b связаны с фокальным параметром и эксцентриситетом соотношениями
p
a =
1 −e
, b =
2
Симметрия эллипсав системе координат x0, y указывает
на то, что разность x0−x есть не что иное, как фокальное
расстояние
ep
c =
1 −e
2
С помощью данных выше определений фокального
параметра p (5.29) и эксцентриситета e (5.30) выразим
полуоси эллипса через полную энергию, момент импульса и константу взаимодействия α:
|α|
a =
2|E|
, b =
(напомним, что для финитной траектории в поле притяжения α < 0 и E < 0). В случае сил тяготения
α = −GMm, поэтому выражение для большой полуоси
орбиты спутника гравитирующего тела можно также
представить в виде
GMm
a =
2|E|
Полная энергия в гравитационном поле и момент
импульса тела пропорциональны его массе m, поэтому
полуоси орбиты на самом деле не зависят от массы движущегося тела (следствие принципа эквивалентности
инертной и гравитационной масс.)
Таким образом, для финитной орбиты в поле тяготения доказано выполнение первого закона Кеплера:
орбита являетсяэллипсом, в одном из фокусов которого
расположен силовой центр (точнее ---- общий центр масс
гравитирующего тела и его спутника). Получено уравнение орбиты в полярных координатах относительно
фокуса (5.32) и в канонической форме ---- в декартовых
координатах относительно центра орбиты (5.35). Параметры орбиты: эксцентриситет, фокальный параметр,
большая и малая полуоси, расстояния до перицентра 181
√
= ea.
√
.
p
. (5.36)
2
1 −e
L
2m|E|
(5.37)
Г л а в а V
и апоцентра,фокальное расстояние1при помощи (5.29),
(5.30), (5.33) (5.36), (5.37) выражаются через константу
взаимодействия и сохраняющиеся механические величины ---- полную энергию и момент импульса.
Для обоснования третьего закона Кеплера выразим
период полногооборота спутника T как отношение площади орбиты к постоянной (согласно второму закону
Кеплера) секторной скорости σ (5.16)
T =
πab
σ
= π|α|
r
m
2|E|
3
= 2π
s
ma
|α|
3
Здесь использованы выражения для большой и малой полуосей орбиты (5.37). Результат выражен в одном
случае через полную энергию, в другом через большую
полуось a. Подстановка значения константы взаимодействия α для гравитационного поля приводит к тому, что окончательное выражение не зависит от массы
спутника. Отношение квадрата периодак кубубольшой
полуоси орбиты в соответствии с (5.38) зависит только
от массы M тела, создающего поле тяготения
2
T
3
a
2
(2π)
=
, (5.39)
GM
= 2π
r
a
GM
3
. (5.38)
то есть будет одинаковымдля всехспутников. Этои есть
третий закон Кеплера.
Отметим, что этот закон, в отличие от первого и второго законов Кеплера, является приближенным. Дело
в том, что масса спутника m, входящая в выражения
(5.37) и (5.38), по смыслу является инертной массой.
В задаче двух тел она должна быть заменена на приведенную массу (2.31)
mM
µ =
M + m
,
тогда как в выражение для константы взаимодействия α = −GMm входят гравитационные массы.
1
Коническое сечение полностью определено, если заданы два параметра: фокальный параметр и эксцентриситет (5.31), большая и
малая полуоси (5.35), большая полуось и фокальное расстояние и
т.д. Остальные параметры кривой могут быть выражены через два
заданных.182
Задача Кеплера
С учетом этого уточнения отношение (5.39) примет вид
2
T
=
3
a
Отличие этого выражения от (5.39) существенно для
относительного движения тел со сравнимыми массами, например для двойных звезд. В солнечной системе
самая большая из планет, Юпитер, имеет массу, составляющую около 0, 1 % массы Солнца. Примерно таким
же будет отклонение от третьего закона Кеплера для
орбиты Юпитера.
2
(2π)
G(M + m)
.
183
Глава VI
Основы механики твердого тела
6.1. Общее описание движения твердого тела
До сих пор мы рассматривали поступательное движение абсолютно твердого тела и его вращение вокруг
неподвижной оси.
При поступательном движении тело имеет три степени свободы. Это означает, что его положение в пространстве однозначно определяетсязаданием трех независимых координат. Действительно, поступательное
движение полностью описывается перемещением одной из точек, поскольку остальные точки тела движутся
по параллельным траекториям с одинаковыми скоростями. Для описания движенияпри этом можно выбрать
любую точку, движущуюся вместе с телом, внутри или
вне его, например центр масс.
Вращение вокруг неподвижной оси соответствует
одной степени свободы, так как положение тела при
этом характеризуется заданием одного параметра ---угла поворота, значения которого изменяются в пределах от 0 до 2π.
В общем случае произвольного движения абсолют-
но твердое тело имеет шесть степеней свободы. Действительно, пространственное положение тела однозначно определено положением любых трех его точек,
не лежащих на одной прямой. Если заданы координаты
точек A, B и C, то три координаты любой другой точки
тела P можно найти из системы трех уравнений, выражающих постоянное значение расстояния от точки P
до точек A, B, C. Положение точек A, B, C характеризуется девятью координатами, из которых независимыми
184
Общее описание движения твердого тела
являются шесть, так как координаты связаны тремя
условиями постоянства расстояний lAB, lBCи lAC:
(xA− xB)2+ (yA− yB)2+ (zA− zB)2= (lAB)2,
(xB− xC)2+ (yB− yC)2+ (zB− zC)2= (lBC)2,
(xA− xC)2+ (yA− yC)2+ (zA− zC)2= (lAC)2.
К такому же выводу можно прийти, рассуждая ина-
че. Зададим положение точки C тремя координатами:
xC, yCи zC. Положение точки A относительно C од-
нозначно определяется двумя углами, например полярным ϕ и аксиальным ϑ ---- углами сферической системы
координат (положение точки на сфере заданного радиуса lCA). Остается повернуть тело вокруг оси CA на некоторый угол ψ, чтобы любая точка B, не лежащая на этой
оси, заняла вполне определенное положение. Таким образом, положение тела полностью охарактеризовано
шестью независимыми параметрами: тремя декартовыми координатами xC, yC, zCи тремя углами ϕ, ϑ, ψ.
Произвольное перемещение тела можно представить
как последовательное изменение каждой из этих координат при сохранении значения остальных пяти (шесть
степеней свободы).
Скорость движения системы с шестью степенями
свободы определяется заданием двух независимых век-
торов в трехмерном пространстве. Это можно сделать
несколькими способами. Например, для двух материальных точек, имеющих по три степени свободы, можно задать векторы скорости каждой из них либо скорость центра масс и относительную скорость. В том
и другом случае пара независимых векторов скорости
полностью характеризует движение системы в данный
момент времени.
Для абсолютно твердого тела в качестве независимых векторов скорости удобно рассматривать линейную скорость v одной из точек и угловую скорость вращения тела относительно данной точки ωωω.
Вектор v описывает поступательное движение тела,
вектор ωωω ---- вращение. Два типа движения твердого те-
ла ---- поступательноеи вращательное---- рассматриваются, таким образом, как независимые. Это означает, что
любое бесконечно малое перемещение тела за время dt 185
Г л а в а VI
сводится к бесконечно малому перемещению одной из
его точек dr = vdt и бесконечно малому повороту на
угол dϕϕϕ = ωωωdt вокруг оси, проходящей через эту точку
параллельно вектору ωωω1.
dωωω
εεε
ωωω
ωωω + dωωω
εεε
εεε
τ
εεε
n
Рис. 6.1
жению. В общем случае вектор угловой скорости меняется не только по величине, но и по направлению
(рис. 6.1). Это означает, что угловое ускорение будет
иметь составляющую εεετ, параллельную ωωω (тангенци-
альную), характеризующую изменение величины угловой скорости, и поперечную (нормальную) составляющую εεεn, которая определяет изменение направления
ωωω, то есть при произвольном движении векторы ωωω и εεε
не параллельны.
Пусть скорость поступательного движения твердого
тела v в лабораторной системе отсчета задается скоростью его точки C
где rC---- радиус-вектор точки C относительно неподвижного начала отсчета O (рис. 6.2). Скорость произвольной точки A, принадлежащей телу (скрепленной
с телом), относительно точки C согласно (1.41) равна
[ωωω rCA], где ωωω ---- мгновенное значение угловой скоро-
сти, характеризующей вращение тела вокруг точки C,
rCA---- вектор, проведенный из точки C в точку A (посто-
янный по величине). В лабораторной системе отсчета
скорость точки A будет равна
При вращении вокруг фиксиро-
ванной оси вектор ωωω и вектор угло-
вого ускорения εεε =˙ωωω параллельны.
Их направление задается ориентацией оси вращения и не изменяется с течением времени (точнее, может изменяться только на противоположное, оставаясь параллельным
оси). Такое вращениеаналогично прямолинейному поступательному дви-
v = vC=˙rC,
vA= v + [ωωω rCA].
1
В теоретической механике данное утверждение строго доказывается, однако мы ограничимся интуитивным представлением о независимости поступательного и вращательного движений, которое яв-
ляется достаточно наглядным и соответствует действительности.186
Общее описание движения твердого тела
C
r
C
C
0
r
C
0
r
CC
0
r
CA
A
r
C0A
O
Если длязадания поступательногодвижения использовать другую точку C0, то значение той же скорости v
получается аналогично
(v0= v
0
=˙r
C
точки C0, r
vA= v0+ [ωωω0r
0
, ωωω0---- угловая скорость вращения вокруг
C
---- радиус-вектор, соединяющий точки C
C0A
]
C0A
и A). Приравняв эти выражения, получим
0
CA
0
C0A
С другой стороны, скорость точки C0в данном равенстве может быть
выражена через v и ωωω, так же, как
скорость vA:
v0= v
0
= v + [ωωω r
C
0
].
CC
С учетом этого получаем
[ωωω rCA] = [ωωω r
0
] + [ωωω0r
CC
]
C0A
Рис. 6.2
или
[ωωω (rCA− r
0
)] = [ωωω r
CC
] = [ωωω0r
C0A
].
C0A
Полученное равенство ввиду произвольности положения точек C0и A (вектора r
) означает
C0A
ωωω = ωωω0.
Вектор угловойскорости, таким образом,не зависит
от выбора точки, скоторой связываетсяпоступательное
движение тела.
Пусть теперь точка O является началом координат
системы отсчета, движущейся поступательно относительно лабораторной со скоростью v0. Все предшествующие рассуждения для этой системы отсчета остаются
в силе. Если vAи v ---- скорости точек A и C относительно движущейся системы отсчета, то в лабораторной
системе отсчета скорость точки A будет равна
(vA)
= vA+ v0= v + v0+ [ωωω rCA] = (vC)
лаб
+ [ωωω rCA].
лаб
Это означает, что угловая скорость ωωω будет одина-
ковой в лабораторной системе отсчета и в произвольной системе, движущейся относительно лабораторной
поступательно (скорость v0при этом может быть как
постоянной, так и переменной). 187
A
0
В результате мы приходим к следующему выводу:
C
ωωω
A
v
v
A
/
CA
вектор ωωω однозначно характеризует вращательное
движение твердого тела, то есть является инвариантным по отношению к выбору точки, относительно
которой рассматривается вращение, и по отношению
к переходу между системами отсчета, движущимися
между любыми инерциальными системами отсчета).
Поместим в точку C, скрепленную с твердым телом,
начало координат системы отсчета K0, которая относительно лабораторной системы отсчета K движется
поступательно. Скорость vCточки C будет, очевидно,
скоростью поступательного движения системы отсчета K0в лабораторной системе отсчета vC= vK. Если эту
скорость рассматривать в качестве скорости поступательного движения тела (v = vC= vK), то вращательное
движение будет вращением относительно точки C. Назовем K0сопутствующей системой отсчета.
Выбор сопутствующей системы
отсчета вообще говоря произволен,
поскольку вектор угловой скорости,
как былопоказано, не зависит от выбора точки C. Однако при решении
конкретной задачи удобство выбора
может быть продиктовано ее усло-
Рис. 6.3
виями. Например, если по условию
некая точка тела движется равно-
мерно и прямолинейно, то поместив начало координат
K0в эту точку мы получим инерциальную сопутствую-
щую систему отсчета.
Прямая, проходящая через точку C в направлении
вектора ωωω, называется мгновенной осью вращения в си-
стеме отсчета K0(см. также параграф 1.10, с. 34). По-
скольку величина и направление угловой скорости одинаковы во всех сопутствующих системах отсчета, мгновенные оси вращения для них в любой момент времени
параллельны.
Точки тела, лежащие на мгновенной оси вращения,
в данный момент времени покоятся относительно K0.
Действительно, скорость любой точки A на мгновенной
оси вращения в K0v
188
и rCAколлинеарны (рис. 6.3). В лабораторной систе-
0
= [ωωω rCA] = 0, так как векторы ωωω
A
Г л а в а VI
Общее описание движения твердого тела
j
k
i
O
y
z
x
j
0
k
0
i
0
C
y
0
z
0
x
0
k
00
z
00
j
00
y
00
i
00
x
00
r
0
r
r
0
P
ме отсчета скорости точек на мгновенной оси вращения, относящейся к K0, одинаковы и равны v = vC=
= vK---- скорости точки C, поскольку vA= v + [ωωω rCA] = v
([ωωω rCA] = 0, см. рис. 6.3).
Систему отсчета K00, в которой тело покоится, называют скрепленной системой отсчета. Начала отсчета
систем K0и K00можно совместить в одной точке, например в центре масс.
На рисунке 6.4 показаны координатные оси и орты
лабораторной системы отсчета K (x, y, z, i, j, k), сопутствующей системы отсчета K0(x0, y0, z0, i0, j0, k0) и скрепленной системы отсчета K00(x00, y00, z00, i00, j00, k00). Начала
отсчета сопутствующей и скрепленной систем совмещены в точке C.
Орты i0, j0, k0при движении тела перемещаются
параллельно самим себе (di0/dt = dj0/dt = dk0/dt = 0).
Их направление обычно выбирается так, как показано на рис. 6.4: орты K0параллельны соответствующим
ортам лабораторной системы отсчета: i0= i, j0= j,
k0= k.
Орты i00, j00, k00жестко связаны с твердым телом. При
движении тела они вращаются вместе с ним. Поскольку орты ---- векторы постоянной длины (единичные), их
производные по временивыражаются через угловуюскорость твердого тела ωωω:
di
dt
00
= [ωωω i00],
dj
dt
00
= [ωωω j00],
Пусть r0---- радиус-вектор начала отсчета систем K
и K00:
r0= x0i + y0j + z0k.
Радиус-вектор произвольной точки тела P в лабораторной системе отсчета
в системе отсчета K
r = x i + y j + z k,
0
r0= x0i0+ y0j0+ z0k0.
Рис. 6.4
00
dk
= [ωωω k00], (6.1)
dt
0
189
Г л а в а VI
Учитывая, что r = r0+ r0и, как мы условились, i0= i,
j0= j, k0= k, получаем
x = x0+ x0, y = y0+ y0, z = z0+ z0.
Дифференцируя равенство r = r0+ r0по времени,
придем к выражениям (1.36) и (1.37) для сложения скоростей и ускорений при поступательном движении
v = v0+ v0, a = a0+ a0.
Здесь v и a ---- скорость и ускорение точки P в лабораторной системе отсчета, v0и a0---- скорость и ускорение
начала отсчета C относительно лабораторной системы,
v0и a0---- скорость иускорение точки Pв системе отсчета
K0. Длина вектора r0постоянна, поэтому
v0=˙r0= [ωωω r0],
a0=˙v0= [˙ωωω r0] + [ωωω˙r0] = [εεε r0] + [ωωω [ωωω r0]],
где εεε ---- вектор углового ускорения тела. С учетом этого
для скорости точки P в лабораторной системе отсчета
получаем
для ускорения
Выразим теперь вектор r0через координаты и орты
скрепленной системы отсчета
В этой системе отсчета тело покоится, поэтому ско-
рость и ускорение точки P равны нулю
v00= ˙x00i00+ ˙y00j00+ ˙z00k00= 0,
a00= ¨x00i00+ ¨y00j00+ ¨z00k00= 0.
Однако в данном случае v00,˙r0и a00,¨r0, так как орты
i00, j00и k00являются переменными. Их производные по
времени выражаются формулами (6.1), что позволяет
получить для производных r
˙
r0= x
v = v0+ [ωωω r0], (6.2)
a = a0+ [εεε r0] + [ωωω [ωωω r0]]. (6.3)
r0= x00i00+ y00j00+ z00k00.
0
00
di
00
dt
+ y
00
dj
00
+ z
dt
00
dk
00
=
dt
190
= [ωωω (x00i00+y00j00+z00k00)] = [ωωω r0],
¨
r0= [˙ωωω r0] + [ωωω˙r0] = [εεε r0] + [ωωω [ωωω r0]].
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]