Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Абсолютно неупругое столкновение
Таким образом, при любом столкновении сферически симметричных тел в случае применимости модели
абсолютно упругогоудара (упругие свойства тел близки
к идеальным, их поверхности можно считать гладкими)
тангенциальные составляющие скоростей не изменяются, а нормальные изменяются так же, как при лобовом ударе, в частности, в Ц-системе меняют знаки
нормальные составляющие скоростей и импульсов тел,
при столкновенияхне изменяются собственные моменты импульсов, для тел одинаковой массы происходит
обмен нормальными составляющими скоростей.
Выше мы отмечали, что для молекул одноатомных
газов модель абсолютно упругого удара применима
в широком диапазоне температур, а для многоатомных молекул она применима к среднему статистическому столкновению, так как равновесное состояние
газа предполагает, что переход энергии поступательного движения в энергию вращения в среднем по большому количествустолкновений компенсируется обратным переходом. Теперь мы можем сделать вывод о том,
что столкновение молекул газов можно рассматривать
как столкновение идеально гладких абсолютно упругих
шаров. В случае многоатомных молекул такая интер-
претация возможна по отношению к среднему статистическому столкновению при равновесном состоянии
газа, несмотряна то,что реальное распределение массы
в молекуле далеко от сферически симметричного.
4.3. Абсолютно неупругое столкновение
Абсолютно неупругим столкновением называется
предельный случай, при котором энергия поступательного движения в системе отсчета общего центра масс
обращается в нуль. Это означает, что тела в результате
столкновения объединяются и движутся в дальнейшем
как единое целое со скоростью vc. В микромире при
абсолютно неупругом столкновении частицы образуют
единую квантовую систему, например, атомы образуют молекулу, положительный ион захватывает электрон. Для макроскопических тел примерами абсолютно
неупругого столкновения могут быть слипание движущихся пластилиновых шариков, стыковка космических
аппаратов, прыжок человека на движущуюся тележку.
151
Г л а в а IV
После абсолютно неупругого столкновения макроскопических тел кинетическая энергия системы будет
равна
(m1+ m2)v
0
E
=
к
Здесь E
0
---- энергия вращения системы как целого от-
вр
носительно ее центра масс, так как в результате объединения вращение каждого из тел по отдельности прекратится (собственные моменты импульса обратятся
в нуль). Механическую энергию до столкновения можно представить в виде (4.4), но в данном случае, напротив, Eврбудет соответствовать сумме энергий вращательного движения каждого из тел по отдельности:
Eвр= L
вая, что энергия поступательного движения системы
2
/2J1+ L
1
2
/2J2. Сравнивая (4.4) и (4.11) и учиты-
2
как целого сохраняется, можно написать
2
µv
12
+ Eвр= E
2
где 4E соответствует потерям механической энергии
при абсолютно неупругом столкновении. При объединении макроскопических тел 4E всегда будет положительным, то есть механическая энергия в результате
столкновения будет уменьшаться.
Наряду с (4.12) должны выполняться законы сохранения импульса (4.1) и момента импульса (4.2), которые
при абсолютно неупругом столкновении примут вид
m1v1+ m2v2= (m1+ m2)v
(объединенное тело массы m1+ m2после столкновения
движется со скоростью v0) и
L12+ L1+ L2= L
(собственные моменты импульса L
вения равны нулю).
Рассмотрим абсолютно неупругое столкновение
одинаковых шаров массы m, катящихся по желобу на-
встречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями: v1= −v2, (рис. 4.6). Энергия поступательного движения системы как целого в данном случае равна нулю до и после столкновения (центр масс неподвижен).
Импульсы шаров до столкновения равны по величине
и противоположны по направлению: p1= −p2. То же
относится к собственным моментам импульса: L1= −L
2
c
0
+ E
. (4.11)
2
вр
0
+ 4E, (4.12)
вр
0
0
12
0
0
и L
после столкно-
1
2
(4.13)
(4.14)
.152
2
Абсолютно неупругое столкновение
v1v
2
Момент импульса относительного движения L12равен
нулю (p1и p2лежат на одной прямой). Из (4.13) и (4.14)
получаем v0= 0 и L
ная и вращательная энергии шаров после столкновения
будут равны нулю, то есть они остановятся.
В соответствии с (4.12) это означает, что вся механическая энергия шаров перейдет в другие формы (звук,
тепло, неупругая деформация):
(µ = m/2, v12= 2v1). Момент инерции однородного шара равен
2mR2/5 (R ---- радиус, см. пара-
граф 2.10), угловаяскорость при
качении без проскальзывания
ω = v1/R, таким образом, потери
механической энергии составят 4E = 7mv
В качестве другого примера рассмотрим централь-
ный лобовой абсолютно неупругий удар двух тел, одно
из которых до столкновения покоится. Пусть тело мас-
сы m1, движущееся со скоростью v1, налетает на покоящееся тело массы m2. Будем считать, что до столкновения вращение отсутствует: L1= L2= 0. При централь-
ном лобовом ударе L12= 0, следовательно, вращения не
будет и после удара (L
отсчета закон сохранения импульса дает
Кинетическая энергия до столкновения равна энергии первого тела m1v
объединенного тела (m1+ m2)v
ской энергии при ударе определяются разностью
Исключая v0с помощью закона сохранения импульса,
получим
4E =
где E0---- механическая энергиядо удара. Можно видеть,
что и в данном случае будет иметь место уменьшение 153
0
= 0, следовательно, поступатель-
12
2
µv
4E =
12
2
0
12
m1v1= (m1+ m2)v0.
2
/2, после столкновения ---- энергии
1
1
4E =
m1v
m1v
2
2
1
1 −
2
2
+ Eвр= mv
+ Jω
1
2
Рис. 4.6
2
/5.
1
= 0). В лабораторной системе
2
0
/2. Потери механиче-
=
m1+ m
2
0
.
m
2
E0,
2
2
− (m1+ m2)v
1
m
1
m1+ m
2
!
Г л а в а IV
v
10
v
20
b
m
1
m
2
r
12
v
12
механической энергии системы (m2/(m1+ m2) > 0), но
относительная потеря энергии
4E
E
зависит от соотношения масс тел. При m2 m1k → 1,
то есть практически вся энергия движения затрачивается на деформацию, тепло и звук. Это соответствует
оптимальным условиям для технологий обработки ударом: при ковке, чеканке, штамповке обрабатываемая
деталь должна быть размещена на массивной наковальне. Противоположный предельный случай: m2 m
k → 0 полезен тогда, когда необходимо максимально
использовать энергию движущегося тела для перемещения второго тела в сопротивляющейся среде, например, при забивании гвоздей или свай. Кинетическая
энергия тел после удара E0= (1−k)E
в данном случае затрачивается на
работу против силы сопротивления
среды A = Fs = (1−k)E0. Перемещение s при заданных F и E0будет тем
Рис. 4.7
больше, чем меньше k.
неупругий удар, при котором L12, 0. В системе отсчета
центра масс скорости тел до столкновения v10и v20направлены навстречу друг другу, как показано нарис. 4.7.
Относительная скорость равна по величине сумме скоростей в Ц-системе: v12= v10+ v20. Расстояние b между
линиями скоростей v10и v20называется прицельным па-
раметром. Пусть тела до столкновения не вращаются,
тогда из закона сохранения момента импульса (4.14)
получаем
Момент импульса до столкновения выражается через приведенную массу, относительную скорость и прицельный параметр:
L12= µ
Такую жевеличину будет иметь моментимпульса после
слияния тел.
Энергия вращения после удара
154
0
E
вр
m
2
0
=
m1+ m
≡ k
2
Рассмотрим теперь абсолютно
[r12v12]
2
0
L
12
=
2J
0
.
12
= µbv12.
µ2b2v
2J
2
12
L12= L
=
1
0
Абсолютно неупругое столкновение
будет зависеть от момента инерции J образовавшегося
тела, то есть от его формы. Учитывая, что до удара
Eвр= 0, из (4.12) получим
2
µv
12
=
1 −
2
4E =
µv
2
12
−
2
µ2b2v
2J
2
12
Энергия поступательногодвижения системы как целого сохраняется при любом столкновении. Энергия,
связанная с поступательным движением в Ц-системе
до удара E0c= µv
2
/2, как можно видеть, в данном слу-
12
чае переходит частично в энергию вращения E
(β = µb2/J), частично ---- в другие (немеханические) фор-
мы энергии 4E = (1 −β)E0c.
При β > 1 вращательная энергия после удара превышала бы E0c, что невозможно без дополнительного источника энергии внутри системы. На самом деле
для макроскопических тел β всегда меньше единицы
(4E > 0), то есть потери механической энергии неизбежны и при возможности перехода поступательной
энергии во вращательную. Убедимся в этом на примере наиболее простого предельного случая, при котором
объединяющиеся тела практически не деформируются.
Пусть J01и J02---- моменты инерции сталкивающихся тел относительно осей, проходящих через их центры масс и параллельных оси вращения после удара,
m1и m2---- массы тел, d ---- расстояние между центрами
масс соединившихся после столкновения тел. Расстояния центров масс первого и второго тел от центра масс
после объединения l1и l2= d − l1связаны равенством
m1l1= m2l2, из которого легко получить
l1=
m2d
m1+ m
, l2=
2
m1d
m1+ m
В соответствии с теоремой Гюйгенса-Штейнера моменты инерции тел относительно общего центра масс
равны
J1= J01+ m1l
J2= J02+ m2l
2
= J01+
1
2
= J02+
2
m1m
(m1+ m2)
2
m
m2d
1
(m1+ m2)
!
2
µb
.
J
0
= βE
вр
.
2
2
2
d
2
,
2
2
.
2
0c
155
Г л а в а IV
Момент инерции объединенной системы относи-
тельно ее центра масс равен сумме моментов J1и J2:
J = J01+ J02+ µd2= µd
Прицельное расстояние b для слабо деформируемых тел не может быть больше расстояния между их
центрами масс d при объединении (касании), иначе
независимо от формы тел столкновение не произойдет
(см. рис. 4.7). Отсюда J > µb2и β < 1 (заключенный
в скобки множитель в последней формуле заведомо
больше единицы).
В случае, если деформация тел существенна, их центры масс после объединения окажутся ближе, чем при
касании. Кроме того, изменение формы тел повлечет
изменение собственных моментов инерции по сравнению с их значениями до удара. Поэтому приведенные
выше выкладки уже неприменимы, и момент инерции
может оказаться заметно меньше, чем в приближении
слабой деформации.
Однако при слиянии таких тел значительно меньшим должно быть и прицельное расстояние, поскольку
для сближения, сопровождаемого деформацией, необходима соответствующая величина нормальной составляющей относительной скорости до удара, которая при
заданных v10и v20будет тем больше, чем меньше b
(см. рис. 4.7).
Имея в виду, что часть энергии механического движения неизбежно должна быть затрачена на возбуждение волны деформации, которая впоследствии необратимо затухает (4E > 0), можно заключить, что даже если
значение β при прочих равных условиях для случая
деформируемых тел окажется больше, чем для недеформируемых, то все равно оно не может достигнуть
единицы.
J01+ J
2
1 +
µd
!
02
.
2
156
Глава V
Всемирное тяготение
5.1. Закон всемирного тяготения. Поле тяжести
на поверхности Земли
Представления о гравитационном взаимодействии
массивных тел в том или ином виде существовали начиная с античной философии (Эпикур). Кеплер, открывший эмпирические законы движения небесных тел вокруг Солнца, полагал, что силы тяготения действуют
только в плоскостях орбит и убывают обратно пропорционально расстояниям. Открытие закона всемирного
тяготения связывают с именем И. Ньютона, который
не только предсказал верную зависимость силы от расстояния (F ∼ 1/r2---- такую зависимость предполагали
многие современники Ньютона, в частности, Р. Гук),
но и дал количественное описание движения небесных
тел на основе данной зависимости, а также показал,
каким образом всеобщий закон тяготения объясняет
движение тел вблизи земной поверхности.
Закон всемирного тяготения гласит:
тела (материальные точки), обладающие гравитационными массами, притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению масс
и обратно пропорциональной квадрату расстояния
между ними
m1m
F(r) = −G
Здесь er---- единичный вектор в направлении радиусвектора r: e
= r/r, коэффициент пропорциональности 157
r
2
er. (5.1)
2
r
G ---- гравитационная постоянная:
G = 6, 67384 ·10
−11м3·с−2
·кг−1(или Н·м2·кг−2).
Значение гравитационной постоянной определено
тем, что для инертной и гравитационной массиспользуется одна и та же единица измерения---- килограмм. Если
гравитационную постоянную положить, например,равной единице,то согласно (5.1) гравитационнаямасса из-
мерялась бы в кг
1/2·м3/2·с−1
(или Н
1/2
·м). Использование
разных единиц измерения для инертной и гравитационной масс возможно в силу различия физического
смысла этих величин, но неудобно,так как при этом для
характеристики свойств тела необходимо было бы вместо одной указывать значения двух величин, которые
строго пропорциональны друг другу (принцип эквивалентности инертной и гравитационной масс).
Поле тяготения двух материальных точек уже рассматривалось намивыше (см. с. 109) в качествепримера
центрального потенциального поля кулоновского типа
(сила убывает по закону обратного квадрата). Отметим
(без доказательства), что закон в виде (5.1) имеет место
не только для материальныхточек (тел, находящихся на
расстояниях, значительно превышающих их размеры),
но и для двух абсолютно твердых тел со сферически
симметричным распределением массы (без ограничения на соотношение размеров и расстояний), например,
для однородных шаров.
Потенциальная энергия пары взаимодействующих
по закону (5.1) тел задается выражением
m1m
Eп(r) = −G
2
. (5.2)
r
Нетрудно убедиться, что градиент этой функции равен силе гравитационного притяжения (5.1) с обратным
знаком
∇Eп(r) =
dEп(r)
dr
∇r ,
dEп(r)
dr
= G
m1m
где r =px2+ y2+ z2, поэтому (см. также (3.64) и предшествующие формулы)
158
∂r
∂x
=
x
p
x2+ y2+ z
x
∂r
y
=
,
2
r
∂y
=
∂r
,
r
∂z
Г л а в а V
2
2
r
=
,
z
,
r
Закон всемирного тяготения. Поле тяжести на поверхности Земли
откуда
∂r
∂r
∇r =
∂x
i +
∂y
j +
∂r
∂z
и окончательно
∇Eп(r) =
dEп(r)
dr
С другой стороны, элементарная работа центрально
симметричной гравитационной силы (5.1)
dA = Fdr = F(r)dr = −G
(dr = d|r| = |dr|cos(dF, dr) ---- см. рис. 3.6) является полным
дифференциалом функции, отличающейся знаком от
(5.2):
dA = Fdr = −dEп(r),
то есть работа гравитационной силы на заданном перемещении тела не зависит от пути, а работа по замкнутому контуру равна нулю (потенциальное поле).
Обратим внимание на одну важную особенность сил
тяготения: в отличие от сил электромагнитного взаи-
модействия силы тяготения не зависят от свойств
среды, в которой находятся взаимодействующие тела.
Землю приближенно можно считатьтелом сосфери-
чески симметричным распределением массы
M = 5, 97 · 1024кг в пределах радиуса R = 6, 37 · 106м.
Сила гравитационного притяжения тела массы m на
земной поверхности в соответствии с (5.1) направлена
к центру Земли (вертикально вниз) и равна по модулю
F = G
где
g = G
---- ускорение свободного падения на поверхности
Земли. Ускорение свободного падения для Луны
(M = 7, 35 · 1022кг, R = 1, 74 · 106м) приблизительно равно
1, 62 м/с2, что примерно в 6 раз меньше, чем для Земли;
для Юпитера (M =1, 9 ·1027кг, R= 7, 15 ·107м) ускорение
свободного падения около 24, 8 м/с2≈2, 53 g; на поверх-
ности Солнца (M = 1, 99 · 1030кг, R = 6, 96 ·108м) расчет по
формуле (5.4) дает 274 м/с2, что составляет ≈ 27, 95 g.
k =
∇r = G
m1m
Mm
2
R
M
≈ 9, 81 м/с
2
R
x i + y j + z k
r
m1m
2
er= −F(r). (5.3)
2
r
2
dr = dG
2
r
= mg,
2
r
=
= e
r
r
m1m
2
r
(5.4)
159
Г л а в а V
Вектор ускорения свободного падения g имеет физический смысл напряженности гравитационного по-
ля ---- силы, действующей со стороны поля на тело единичной массы.
В пределах удаления h от поверхности сферического тела, намного меньшего его радиуса (h R), гравитационное поле можно считать однородным
F = mg.
Например, навысоте h = 10 км(104м) от поверхности
Земли, ускорение свободного падения согласно (5.4)
меньше, чем на земной поверхности в
2
(R + h)
В то же время приплюснутость Земли1дает отношение
ускорений свободного падения на полюсе и экваторе
1, 0067.
Таким образом, закон всемирного тяготения не противоречит приближенной модели однородного поля тяжести на поверхности достаточно большого сферически симметричного тела и позволяет вычислить по формуле (5.4) ускорение свободного падения на поверхности любого шара с заданной массой и радиусом.
R
2
≈ 1, 003 .
5.2. Движение тела в поле тяжести.
Космические скорости
Задача о движении тела в однородном поле тяжести Земли без учета сопротивления воздуха была рассмотрена нами в параграфе 2.5 как пример постановки
и решения динамической задачи.
Если в начальный момент времени тело имеет скорость v0, направленную под углом α к горизонту, то
в дальнейшем значения горизонтальной составляющей
скорости vxи вертикальной составляющей vyопределяются формулой (2.10):
vx= v0cos α, vy= −gt + v0sin α.
1
Приплюснутостью планеты называют разность R
R
и R
экв
Земли эта величина составляет примерно 0, 00335.160
соответственно экваториальный и полярный радиусы. Для
пол
экв/Rпол
− 1, где
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]