Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Работа и мощность при поступательном движении
Нетрудно убедиться, что общее определение работы, выраженное равенствами (3.6)---(3.10), в каждом
из рассмотренных выше частных случаев (прямолинейное движение под действием постоянной или переменной силы, направленной вдоль траектории или
под углом к ней) приводит к соответствующим равенствам (3.1)---(3.5). Более того, с учетом общего определения можно расширить область применения выражений
(3.1)---(3.3) на случай криволинейной траектории, если
заменить в этих выражениях силу F на касательную к
траектории составляющую силы Fτпостоянную в (3.1)
или переменную в (3.2)--- (3.3).
Мы ввели здесь понятие механической работы исходя из чисто практических соображений при анализе
задачи о подъеме груза в поле тяжести. Однако, как
выяснится далее, работа имеет значительно более глубокий физический смысл. Понятие работы непосредственно связано с понятием энергии, которое играет
фундаментальную роль не только в механике, но и во
всех других разделах физики, а также в технических
и военных науках и технологиях, в химии, биологии,
медицине, экологии, геофизических науках, изучающих явления в недрах Земли, ее атмосфере и водных
акваториях. В современной измерительной технике подавляющее большинство прямых измерений основано
на регистрации актов обмена энергией между изучаемым объектом и измерительным прибором.
Интересно отметить, что единица измерения Джоуль
впервые была введена в 1889 году как единица работы
и энергии электрического тока.
Одна и та же работа может совершаться в течение
различных промежутков времени. Иногда важно знать,
с какой скоростью производится работа. Величина
dA
N =
определяющая скорость совершения работы, называется мощностью. Мощность ---- работа, производимая в
единицу времени, является скалярной величиной, измеряемой в системе СИ в Ваттах: 1 Вт =1 Дж/с=1 H · м/с =
= 1 кг ·м2/c3. Мощность в 1 Вт означает, что за одну
секунду совершается работа в один Джоуль. 91
, (3.11)
dt
Г л а в а III
z
r
O
4ϕ
r
4s
2
1
F
τ
F
n
Представив в соответствии с (3.6) dA = Fdr, получим
еще одно выражение для мощности:
dr
N = F
= F v, (3.12)
dt
показывающее, что мощностьпри поступательном движении равна скалярному произведению векторов силы
и скорости.
В некоторыхслучаях рассматриваетсясредняя мощ-
ность за промежуток времени 4t
< N > = 4A/4t.
Заметим, что равенство, аналогичное(3.12), длясред-
ней мощности и средней скорости в общем случае выполнено не будет, поскольку за время 4t может изменяться не только радиус-вектор, но и сила.
3.2. Работа и мощность при вращательном
движении
При движении материальной точки по окружности
работа совершается тангенциальной составляющей силы Fτ. Нормальная составляющая Fnне дает вклада
в работу, поскольку всегда перпендикулярна перемещению (Fndr = 0). Работа на участке траектории 4s
от положения 1 до положения 2 (рис. 3.3) при постоянной величине тангенциальной силы будет равна
A = Fτ4s,
при переменной Fτ----
Рис. 3.3
С учетом того, что для окружности
радиуса r длина дуги может быть
выражена через угол поворота: 4s = r4ϕ, ds = rdϕ,
предыдущие выражения приводятся к виду
A = rFτ4ϕ при Fτ= const, (3.13)
ϕ
2
92
A = r
Z
Fτdϕ при Fτ= Fτ(ϕ). (3.14)
ϕ
1
A =
Z
Fτ(s) ds.
4s
Работа и мощность при вращательном движении
Как было показано выше, момент силы относительно
оси вращения Mzне зависит от выбора начала отсчета
на оси и равен модулю вектора момента M = [r F], определенного относительно центра траектории (точки O на
рис. 3.3):
M = [r (Fτ+ Fn)] = [r Fτ] = rFτk,
поскольку радиус-вектор r с началом в точке O лежит
на одной прямой с вектором Fn([r Fn)] = 0) и перпендикулярен вектору Fτ(
момент силы относительно оси вращения равен произведению расстояния от частицы до оси на величину
тангенциальной силы:
Обратим внимание, что вклад в Mz, как уже отмечалось,
дает только тангенциальная сила. Принимая во внимание (3.15) для работы (3.13)---(3.14) на дуге окружности,
соответствующей углу поворота 4ϕ, получим
A = Mz4ϕ Mz= const, (3.16)
Z
A =
ϕ
Эти выражения аналогичны соответственно (3.1) и
(3.3) для поступательного движения. Впрочем, для движения материальной точки по окружности пары этих
выражений не только аналогичны, но и эквивалентны,
поскольку такое движение можно рассматривать и как
поступательное, и как вращательное.
Обобщим теперь полученные результаты на случай
вращательного движения твердого тела вокруг заданной оси. Для этого вначале вернемся к определению
вращающего момента. Этот момент относительно оси z
выражается равенством (2.45)
где dMz---- z---проекции моментов сил, действующих на
элементарные объемы(частицы) твердого тела, относи-
тельно произвольной точки на оси z. С учетом того, что 93
[r Fτ)]
= rFτ). Таким образом,
Mz= rFτ. (3.15)
ϕ
2
Mzdϕ Mz= Mz(ϕ). (3.17)
1
Z
Mz=
dMz,
V
момент сил относительно оси создается только тангенциальными (внешними) силами, выражение для него
может быть представлено в виде
Mz=
Z
r dFτ, (3.18)
V
где dFτ---- тангенциальная сила, действующая на частицу, которая расположена на расстоянии r от оси z.
Если, как часто бывает в практических задачах, тангенциальные силы представлены единственной силой
данного направления Fτ, приложенной к конкретной
точке твердоготела, отстоящей от оси z на расстоянии r,
то (3.18) принимает вид (3.15). В этом случае выражения
(3.13)---(3.14) и (3.16)---(3.17) для работы при повороте на
угол 4ϕ = ϕ2−ϕ1применимы к вращению твердого тела
в неизменном виде.
В общем случае тангенциальные силы (как и нормальные) распределены по объему тела. Например, при
вращении колеса вокруг реальной оси конечного радиуса силы трения в оси распределены по ее поверхности.
Для твердого тела, вращающегося в поле тяжести вокруг горизонтальной оси, силы тяжести, действующие
на отдельные частицы тела, распределены по всему его
объему. Однако и в этом случае интеграл в (3.18) можно
привести к виду, подобному (3.15):
Mz=
Z
r dFτ= r
V
Z
dFτ= r0Fτ, (3.19)
0
V
где r0---- некоторое эффективное расстояние, определяемое данным равенством: если тангенциальные силы,
распределенные по объему тела, заменить на одну суммарную (интегральную) силу Fτ, создающую такой же
момент Mz, как реальные распределенные силы, то точка приложения Fτдолжна отстоять на расстоянии r0от
оси вращения.
Таким образом, для работы, совершаемой при вра-
щении твердого тела вокруг заданной оси, справедливы те же выражения (3.13)---(3.14) и (3.16)--- (3.17), что
и для движения материальной точки по окружности.
Отличие заключается лишь в способе вычисления вращающего момента, который в случае, когда внешние
94
Г л а в а III
Кинетическая энергия
тангенциальные силы распределены по объему тела,
может быть рассчитан либо по интегральной формуле
(3.18), либопо формуле (3.19) ---- путем замены распределенных сил на суммарную тангенциальную силу, приложенную в точке, находящейся на некотором эффективном расстоянии r0от оси вращения. Это расстояние
в конкретной задаче может быть вычислено теоретически по известному распределению сил или определено
экспериментально.
Элементарная работа при повороте твердого тела
или материальной точки на бесконечно малый угол dϕ
вокруг оси z в соответствии с (3.17) равна
dA = Mzdϕ.
Учитывая это, мощность при вращательном движении
твердого тела (частицы) вокругоси zможно представить
следующим выражением:
dA
N =
dt
Отметим аналогию данного равенства с (3.12) для мощности при поступательном движении.
= M
dϕ
= Mzω. (3.20)
z
dt
3.3. Кинетическая энергия
Представим динамическое уравнение движения
(уравнение второго закона Ньютона) для прямолинейного поступательного движения тела массы m под действием силы F, направленной вдоль той же прямой,
в виде
Преобразуем производную скорости тела dv/dt следующим образом:
где l ---- координата тела на прямой, следовательно,
dl/dt = v.
Подставив производную скорости с учетом проделанного преобразования в уравнениедвижения и умножив обе части уравнения на dl, получим
dv
m
= F.
dt
dv
dvdldl
=
dt
mv dv = Fdl. 95
dt
= v
dv
dl
,
Г л а в а III
Левую часть представим в виде дифференциала:
!
2
mv dv = d
тогда равенство примет вид
d
mv
,
2
!
2
mv
= Fdl. (3.21)
2
Величина, стоящая в правой части, равна элементарной
работе силы F на бесконечно малом участке прямой dl.
В левой части ---- приращение функции, зависящей от
массы тела и его скорости. Эта функция
2
2
p
=
, (3.22)
2m
Eк=
mv
2
где p = mv ---- импульс, называется кинетической энергией тела. Как видно из (3.21), физическая размерность
кинетической энергии такая же как у работы. Ее единицей измерения в системе СИ является Джоуль.
Проинтегрировав (3.21) по участку от l1до l2, на
котором скорость тела изменяется от v1до v2, получим
l
2
mv
2
2
mv
2
1
−
2
= Eк2− Eк1=
2
Z
Fdl = A12. (3.23)
l
1
Уравнения (3.21) и(3.23) являются выражениями тео-
ремы об изменении кинетической энергии при посту-
пательном движении тела:
изменение кинетической энергии при любом бесконечно малом или конечном смещении тела равно
работе действующей на него силы.
Далее мы покажем, что данная теорема справедлива
не только для поступательного, но и для вращательного
движения тела, но вначале обобщим ее на случай произвольного трехмерного поступательного движения.
Доказательство проведем двумя независимыми способами: сиспользованием координатной и траекторной
форм описания движения.
Заменим в предыдущих выражениях координату l,
скорость v и силу F на составляющие соответствующих
векторов в декартовой системе координат. Уравнение96
Кинетическая энергия
(3.21) для трех координатных осей даст три независимых уравнения
!
2
mv
x
d
d
d
= Fxdx,
2
2
mv
y
= Fydy,
2
!
2
mv
z
= Fzdz.
2
В результате их сложения получим
!
2
mv
где учтено, что v
d
2
+ v
x
= dEк= dA, (3.24)
2
2
2
+ v
= v2и Fxdx + Fydy + Fzdz =
y
z
= Fdr = dA . Напомним, что при поступательном движе-
нии все точки тела имеют одинаковые векторы смещения dr = i dx + j dy + k dz и одинаковые скорости, поэтому
полученный результат применим не только к материальной точке, но и к телу конечных размеров.
Равенство (3.24) доказывает сформулированную выше теорему об изменении кинетической энергии для
случая произвольного поступательного движения тела.
Интегрирование (3.24) по конечному участку траектории дает результат, совпадающий с (3.23). Заметим, что
работа A12на участке траектории между точками r1и r
2
и, следовательно, изменение кинетической энергии на
этом участке 4Eк= Eк2− Eк1в общем случае зависят не
только от начального и конечного положений, но и от
формы траектории.
При траекторном описании уравнение движения
в проекции на касательную к траектории имеет вид
dv
m
= Fτ.
dt
В данном уравнении можно произвести те же тождественные преобразования, что были проделаны выше
для прямолинейного движения. При этом l будет иметь
смысл криволинейной координаты на траектории, а F
заменится на тангенциальную составляющую силы Fτ.
В результате этих преобразований с учетом того, что 97
при движении по кривой работу совершает только тангенциальная сила, мы вновь придем к теореме об изменении кинетической энергии в виде (3.21) и (3.23). Здесь
полезно отметить одну существенную деталь: нормальная составляющая силы, как нам известно, с одной
стороны, не производит работу, с другой стороны, не
изменяет величины скорости (она изменяет лишь ее на-
правление). То и другое объясняет, почему нормальная
сила не дает вклада визменение кинетической энергии:
во-первых, сила, не совершающая работы, не изменяет и кинетическую энергию тела, во-вторых, согласно
(3.22) кинетическая энергия зависит от квадрата ско-
рости, то есть не зависит от ее направления, поэтому
сила, не влияющая невеличину скорости,не даетвклада
в Eк.
Рассмотрим теперь кинетическую энергию вращательного движения. Используем динамическое уравнение для вращения твердого тела вокруг постоянной оси
в виде (2.46)
dω
J
= Mz,
z
dt
где Jzи Mz---- соответственно момент инерции тела и момент действующих на него сил относительно оси z (оси
вращения), ω ---- угловая скорость. Сделаем следующую
замену переменной в производной угловой скорости:
dω
dωdϕdϕ
=
dt
Так как ϕ ---- угол поворота вокруг оси z, то dϕ/dt ---- угловая скорость. С учетомэтой заменыдинамическое уравнение движения приводится к виду
Jzω dω = d
Справа в этом равенстве ---- элементарная работа
dA = Mzdϕ, совершаемаяпри поворотетела на бесконеч-
но малый угол dϕ. Она оказалась равной приращению
функции Jzω2/2, которая, таким образом, имеет физи-
ческий смысл кинетической энергии вращательного
движения.
98
dt
Jzω
dω
= ω
2
2
.
dϕ
!
= Mzdϕ. (3.25)
Г л а в а III
Кинетическая энергия
Проведя интегрирование (3.25) в пределах конечно-
го угла поворота 4ϕ = ϕ2− ϕ1, получим
ϕ
2
Jzω
mv
2
Z
Mzdϕ = A12, (3.26)
ϕ
1
2
2
L
z
=
2
2
+
. (3.27)
2J
z
2
Jzω
,
2
Jzω
2
2
2
2
Jzω
1
−
= Eк2− Eк1=
2
где ω1и ω2---- значения угловой скорости соответственно при ϕ = ϕ1и ϕ = ϕ2, A12, согласно (3.17), работа,
совершенная при повороте на угол 4ϕ, которая, как
следует из уравнения, равна изменению вращательной
кинетической энергии 4Eк= Eк2− Eк1.
В соответствии с (3.25)---(3.26) теорема об изменении
кинетической энергии распространяется и на вращательное движение тела.
Кинетическую энергию вращения можно представить не только как функцию угловой скорости, но и как
функцию момента импульса относительно оси вращения:
Eк=
Здесь использована связь между моментом импульса
относительно оси и угловой скоростью (2.57): Lz= Jzω.
Вновь отметим аналогию выражений для динамических величин, относящихся к поступательному и вращательному движениям, в данном случае ---- (3.22) и (3.27):
мерой инертности при поступательном движении является масса тела, при вращательном ---- момент инерции; в качестве скорости выступает линейная скорость
при поступательном движении, угловая ---- при вращательном; вместо импульса p в (3.22) при вращательном
движении в выражение кинетической энергии (3.27)
входит момент импульса Lz.
Если тело движется поступательно и одновременно
вращается вокруг фиксированной оси z, проходящей
через центр масс, его кинетическая энергия выражается суммой
Eк=
где vc---- скорость центра масс (см. ниже ---- параграф 3.7,
теорема К¨енига). Такое движение, например, соверша-
ет Земля в гелиоцентрической системе отсчета. 99
Г л а в а III
Кинетическая энергия является энергией движения
тела. При совершении положительной работы движе-
ние тела ускоряется, при отрицательной работе ---- замедляется, что соответствует увеличению или уменьшению кинетической энергии. С учетом этого сформулируем теорему об изменении кинетической энергии
иначе:
при любом перемещении тела под действием внешней силы (внешнего момента сил) энергия его движения изменяется на величину,равную работе силы
(момента).
Если на тело действует несколько внешних сил
(F1, F2, . . .), то изменение кинетической энергии равно алгебраической сумме работ этих сил или работе
равнодействующей силы:
dEк= dA = F1dr + F2dr + . . . = (F1+ F2+ . . .) dr.
То же справедливо для нескольких внешних моментов
при вращательном движении:
dEк= dA = M1zdϕ + M2zdϕ + . . . = (M1z+ M2z+ . . .) dϕ.
Например, если потянуть за намотанную на массивную
катушку нить, то на катушку будут действовать моменты силы натяжения нити и сил трения в оси. Действие
каждого из этих моментов даст вклад в изменение кинетической энергии.
3.4. Потенциальная энергия
Вернемся к рассмотрению задачи о подъеме груза
в поле тяжести (см. рис. 3.1). Если сила натяжения нити,
поднимающей груз массы m, равна силе тяжести mg,
то подъем будет равномерным. Сила натяжения при
подъеме на высоту h совершает работу A0= mgh, сила
тяжести ---- такую же работу противоположного знака:
A = −mgh.
Суммарная работа сил и, следовательно, изменение
кинетической энергии груза равны нулю (равномерное
движение). На что же затрачивается работа подъемной
силы? Ответочевиден ---- на преодолениедействия силы
тяжести.100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]