Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Гироскопы
одинаковый знак.При учете трения тангенциальнаясила Fтр, действующая на волчок, направлена в сторону
движения точки касания. Это объясняется тем, что при
скольжении вращающейся опорной ножки линейная
скорость точкикасания имеет направление, противоположное направлению скольжения1. Сила трения, таким
образом, стремится ускорить прецессию, а ее момент
Mтр, показанныйна рис. 6.19, направлентаким образом,
что создает приращение момента импульса в сторону
уменьшения угла θ, то есть ось волчка вследствие тре-
ния в опоре стремится принять вертикальное положение. Если, например, волчок, вращающийся вокруг
вертикальной оси, вывести из этого положения кратковременным воздействием, то после прекращения воздействия ось вновь установится вертикально.
Здесь можно усмотреть кажущееся противоречие:
за счет чего совершается работа по подъему центра
масс волчка при повороте оси в вертикальное положение? Как соотнести ускорение прецессии с тем, что при
наличии трения кинетическая энергия должна уменьшаться? Исчерпывающие ответы на эти вопросы дает
точная теория гироскопа, в которой учитывается вклад
прецессии в полную угловуюскорость иполный момент
импульса. Однако и в рамках приближенной теории
можно привести некоторые качественные соображения, значительно проясняющие суть дела.
Действие момента силы трения приводит к увеличению давления волчка на опору, то есть к увеличению
силы нормальной реакции N, которая во время перехода в вертикальное положение оказывается несколько
больше силы тяжести. Таким образом, возникает направленная вверх результирующая сила, котораяи производит работу по подъему центра масс. Согласно первому из равенств (6.55) (второе при подъеме нарушается) увеличение силы реакции опоры сопровождается
увеличением Ω. После перехода в вертикальное положение N вновь становится равным mg, однако причин
1
Точно так же при движении автомобиля с пробуксовкой на
скользкой дороге сила трения скольжения, действующая на дорогу со стороны колеса, направлена против движения, а к колесу со
стороны дорожного покрытия приложена такая же по величине сила
в направлении движения. 241
Г л а в а VI
для заметного уменьшения скорости прецессии нет,
то есть значение Ω в конечном состоянии будетбольше,
чем в начальном. В соответствии с (6.55) это возможно
только за счет уменьшения момента импульса и, как
следствие, кинетической энергии. Отсюда можно заключить, что увеличение потенциальной энергии при
подъеме центра масс происходит за счет уменьшения
кинетической энергиивращательного движения. В вертикальном положении векторы ωωω0и Ω направлены
одинаково, поэтому полная угловая скорость выражается простой суммой ω = ω0+ Ω. Уменьшение момента
импульса означает уменьшение ω, то есть при установлении вертикального положения рост угловой скорости прецессии должен сопровождаться более значительным уменьшением угловой скорости собственного
вращения, что при Ω ω0будет практически незаметно, однако именно это уменьшение делает возможным
с энергетической точки зрения описанное выше поведение волчка.
В заключение рассмотрим еще одну впечатляющую
демонстрацию гироскопического эффекта. Гироскоп
в данном случае представляет собой диск (колесо), закрепленное на стержне через подшипник (рис. 6.20).
Диск раскручивается до большой угловой скорости ω
при горизонтальном положении стержня (вала). Один
конец вала (O) подвешен на прочной длинной нити или
стержне, причем подвесу должна быть обеспечена возможность свободно вращаться вокруг своей оси, чтобы
моменты сил упругости, возникающие при скручивании, не препятствовали прецессии гироскопа. Второй
конец после раскручивания освобождают.
Сила тяжести mg создает относительно точки подве-
са момент M =m[r0g] (здесь r0---- радиус-вектор центра
масс C, проведенный из точки подвеса O). Этот момент
вызывает прецессию гироскопа вокруг вертикальной
оси с угловой скоростью Ω, определяемой выражением, аналогичным (6.55):
r
0
Ω =
Fн= −
L
где Fн---- сила натяжения, являющаяся в данном случае
силой реакции подвеса. Знак Ω в (6.56) соответству-242
mr
0
g , (6.56)
L
0
Гироскопы
ωωω
0
L
M
mg
Ω
F
н
θ
O
A
C
ет направлению собственного вращения на рис. 6.20,
при противоположном направлении ωωω0вектор угловой
скорости прецессии также повернется на 180o.
Гироскоп прецессирует, сохраняя горизонтальное положение вала, что на первый взгляд
кажется совершенно неожиданным. Если подтолкнуть конец
вала A в сторону его движения,
то есть ускорить прецессию
кратковременным внешним воздействием, то во время действия
дополнительной внешней силы
возникнет дополнительный момент, направленный вверх.
За счет этого вектор L получит приращение, также направленное вверх, и центр масс гироскопа поднимется. Ускорение прецессии, согласно первому равенству
(6.56), вначале приведет к увеличению Fн(появится дополнительная сила, совершающая работу по подъему
центра масс), а затем, после установления равновесия
внешних сил ---- к уменьшению момента импульса (замедлению собственного вращения), в результате чего
часть вращательной кинетической энергии перейдет
в потенциальную. Если, наоборот, подтолкнуть конец
A в сторону, противоположную прецессии, то дополнительный момент силы и вызванное им приращение
момента импульса будут направлены вниз, центр масс
опустится, прецессия замедлится, а собственное вращение усилится ---- уменьшение потенциальной энергии
приведет к увеличению энергии вращения.
Если на свободный конец вала воздействовать снизу
вверх, то обусловленный этим дополнительный момент
силы будет направлен против момента M, что замедлит
прецессию. Центр масс вначале поднимется, а затем
вновь опустится, поскольку уменьшение Ω приведет
к уменьшению силы натяжения подвеса. После установления равновесия увеличатся момент импульса L
и скорость собственного вращения. Наоборот, при действии на A сверху вниз дополнительный момент силы ускорит прецессию, кратковременно увеличит Fн,
Рис. 6.20
243
в результате чего ось вернется в горизонтальное поло-
жение, а собственной вращение замедлится. Гироскоп
при вертикальном воздействии как-бы сопротивляется
изменению угла нутации, реагируя на действие внеш-
ней силы изменениями скоростей прецессии и соб-
ственного вращения, причем этиизменения имеютпро-
тивоположные знаки, а скорость собственного враще-
ния относительно своей величины меняется незначи-
тельно.
При горизонтальном воздействии, как мы видели,
угол нутации будет изменяться, однако движение гироскопа, подвешенного на нити, в этом случае будет
более сложным, поскольку появится составляющая силы тяжести на ось гироскопа. Это приведет к отклонению подвеса от вертикального положения, вследствие
чего точка O уже не будет неподвижной. Данный эффект можно устранить, используя в качестве подвеса
жесткий стержень, закрепленный вертикально в подшипниках. В этом случае при θ < 90o(центр масс выше
точки подвеса) движение гироскопа будет аналогично
движению волчка с фиксированной точкой опоры, рассмотренному в начале параграфа, при θ > 90o(центр
масс ниже точки подвеса) отличие сводится лишь к тому, что направление Ω и вертикальной составляющей
ωωω0становятся противоположными. Гироскопы сточкой
подвеса, расположенной выше центра масс, называют
гироскопическими маятниками.
При длительном движении гироскопа станет заметным действие диссипативных сил, прежде всего, сил
трения в подшипниках ротора. Скорость собственного
вращения и момент импульса будут постепенно уменьшаться, а прецессия ---- ускоряться. Когда угловая скорость прецессии станет сопоставимой с ω0, уже нельзя
будет использовать приближение, в котором не учитывается вклад прецессии в момент импульса. Различие направлений L и ωωω0будет все более ощутимым,
появится дополнительная прецессия оси гироскопа вокруг вектора L ---- ось будет раскачиваться относительно
горизонтальной плоскости с нарастающей амплитудой.
Движение гироскопаперед остановкой, таким образом,
будет значительно отличаться отрассмотренного выше.
244
Г л а в а VI
Глава VII
Механика жидкостей и газов
7.1. Механические свойства жидкостей и газов
Для описания движения жидкостей и газов вмеханике используется модель сплошной среды. Однако, в отличие от абсолютно твердых тел, представляющих собой частный случай недеформируемой сплошной среды, жидкости и газы могут подвергаться деформациям.
Основной особенностью деформаций в таких средах
является пренебрежимо малые величины касательных
сил упругой деформации в состоянии равновесия. Это
означает, что если мысленно разделить среду произвольным образом на части, то при деформации упругие
силы, действующие с двух сторон на границы соседних частей, могут быть направлены только по нормали
к этим границам. Силы упругости в жидкостях и газах, таким образом, возникают только при деформа-
циях сжатия, в результате которых изменяется объем,
и не возникают при деформациях сдвига, изменяющих
форму. Благодаря данному свойству жидкости и газы
принимают форму сосуда, в котором находятся.
Разделы механики, изучающие условия равновесия
и распределение сил в покоящейся жидкости (газе)
называется гидростатикой (аэростатикой). Разделы,
в которых изучаются законы движения жидких и газовых сред, называют соответственно гидродинамикой
и аэродинамикой.
Для жидкостей и газов в состоянии покоя нормальные силы упругости, действующие с обеих сторон
на небольшую площадку, равны по величине и не зависят от пространственной ориентации площадки, при-
245
легающей к заданной точке в объеме среды (закон
Паскаля). Это позволяет ввести скалярную величину,
количественно определяющую упругие силы в среде:
давление P, равное отношению силы к площади, на которую она действует. Закон Паскаля с учетом этого
можно представить в виде
S
S F
Рис. 7.1
сматривать бесконечно малую площадку dS и бесконечно малую силу dF.
Механические свойства жидкостей и газов имеют
единственное принципиальное отличие друг от друга.
При всестороннемсжатии у жидкостей, в отличиеот газов, возникают настолько большие силы упругости, что
жидкости можно считать практически несжимаемы-
ми, то есть объем, занимаемыйфиксированной массой,
и, следовательно, плотность при заданной температуре
практически не зависят от давления. У газов в соответствии суравнением Менделеева-Клапейрона плотность
прямо пропорциональна давлению и обратно пропорциональна абсолютной температуре T
(V ---- объем, µ ---- молярная масса, R ---- универсальная
газовая постоянная). В остальном механические свойства газов отличаются от свойств жидкостей лишь количественно. Далее для краткости мы будем в основном использовать термины8жидкость9или8среда9,
имея в виду, что получаемые результаты,если это особо
не оговаривается, применимы и к газам.
Вспомним изучаемыев школе элементарные законы
гидростатики в поле земного тяготения. Это уже упоминавшийся закон Паскаля и закон Архимеда. Точная
формулировка закона Паскаля гласит:
давление, создаваемое внешними силами, переда-
246
ется в покоящейся средеодинаково повсем направлениям.
где S ---- вектор, численно равный площади, на которую действует сила F,
и направленный по нормали к площадке в сторону силы (рис. 7.1). Давление может быть функцией координат:
P = P(x, y, z), в этом случае нужно рас-
m
PV =
RT, откуда ρ =
µ
F = PS, (7.1)
m
µP
=
V
RT
Г л а в а VII
(7.2)
Механические свойства жидкостей и газов
S
P
1
P
2
P1S
−P2S
ρgV
h
h
1
P
0
Для демонстрации этого закона используется сосуд
произвольной симметричной формы (сфера, бочка, цилиндр) с небольшими отверстиями, расположенными
в разных частях поверхности. Сосуд наполняется водой, которая медленно вытекает из отверстий. Затем
с помощью внешнего поршневого устройства, соединенного с объемом сосуда и наполненного водой, резко увеличивается давление внутри сосуда. По напору
бьющих во все стороны тонких струек можно наглядно убедиться в равенстве действия давления во всех
направлениях. Для движущихся сред закон Паскаля
остается справедливым по отношению к статическому
давлению, определение которого мы дадим ниже.
При изменяющихся во времени
внешних воздействияхзакон Паскаля выполняется приближенно, если можно пренебречь распространением волны нормальной деформации: длина волны намного больше характерных размеров в данной
задаче и скорость деформации намного меньше скорости звука.
Из закона Паскаля можно получить распределение давлений в среде с учетом действия силы тяжести.
Выделим в покоящейся среде вертикальный цилиндр
высоты h с площадью основания S (рис. 7.2). Силы
давления, действующие на боковую поверхность цилиндра, уравновешены. Давления в верхнем и нижнем
основаниях обозначим соответственно P1и P2. Сверху
и снизу на основания цилиндра со стороны остальной
среды действуют силы P1S и −P2S (за положительное
направление примем направление сверху вниз). Условием равновесия является компенсация равнодействующей этих сил весом цилиндра:
где ρ ---- плотность среды, V = S h ---- объем выделенной
части среды. Учитывая, что все силы направлены вдоль
одной прямой, перепишем условие равновесия в скалярном виде
−(P1− P2)S = mg = ρVg,
(P2− P
)S = ρgV = ρghS 247
1
Рис. 7.2
Г л а в а VII
или окончательно
P2= P1+ ρgh. (7.3)
Полученное равенство означает, что давление с увеличением глубины растет линейно. Если внешнее давление на поверхности P0, а расстояние между верхним
основанием иповерхностью h1, тов соответствии с (7.3)
P1= P0+ ρgh1и P2= P0+ ρg(h + h1).
При изменении внешнего давления на ∆P на такую
же величину изменится давление на любой глубине
(следствие закона Паскаля).
При выводе (7.3) предполагалось, что плотность среды постоянна во всем объеме и не зависит от давления (несжимаемость). Выясним теперь, как будет изменяться с высотой в поле тяготения давление газов, для
которых характерна линейная зависимость ρ и P (7.2).
В этом случае соотношение(7.3) будетиметь местолишь
при бесконечно малой высоте слоя dh:
dP = −ρg dh,
где dP = P1− P
получим
dP = −(µgP/RT )dh или dP/P = −(µg/RT)dh.
В последнем равенстве слева присутствует только
переменная P, а справа ---- только переменная h, что
позволяет вычислить неопределенные интегралы:
где −ln P0в левой части является постоянной интегрирования. Смысл величины P0выясняется, если обратить
внимание на то, что при h = 0 должно быть P = P0,
то есть P0---- давление на высоте, соответствующей началу отсчета h. Обратим внимание на то, что при интегрировании мы считали температуру T постоянной
(не зависящей от высоты). Представим полученный результат в виде зависимости давления от высоты
1
В случае газов высоту удобнее отсчитывать снизу вверх,
а не сверху вниз (в глубину), как для несжимаемых сред в (7.3),
чем и объясняется выбор знака в предыдущем выражении.248
1
. Подставив ρ(P) в виде (7.2), для dP
2
ln P − ln P0= ln(P/P
P = P0e
)
= −µgh/RT ,
0
µgh
−
RT
. (7.4)
Механические свойства жидкостей и газов
Данное выражение носит название барометриче-
ской формулы. С учетом (7.2) аналогичный вид имеет
зависимость плотности газа от высоты
µgh
−
µgP
RT
RT
. (7.5)
µP
0
RT
0
(h1− h2).
1
ρ = ρ0e
где
ρ0=
---- плотность при h = 0. Для атмосферного воздуха
(µ ≈ 29 г/моль) при T = 300 К барометрическая формула
дает снижение давления и плотности воздуха вдвое на
высоте примерно6, 074 км. Ясно, что в реальных условиях в пределах такой высоты температура не может быть
постоянной, кроме того, изменяться будет также средняя молярная масса воздуха, так как в соответствии с
(7.5) плотность тяжелых газов будет уменьшаться с высотой быстрее, чем плотность легких газов. Поэтому
в применении к земной атмосфере барометрическая
формула является приближенной. На малых высотах
экспоненту можно приближенно представить рядом
с точностью до линейного члена: e−x≈ 1 −x. Разность
между давлениями P2на высоте h2и P1на высоте h
в этом приближении будет равна
P2− P1=
Пренебрегая зависимостью плотности от высоты
и полагая согласно (7.2) ρ ≈ µP0/RT , а также принимая
h = h1−h2, как на рис. 7.2, вновь приходим к равенству
(7.3), которое, таким образом, для газов является линейным приближением барометрической формулы.
Закон Архимеда утверждает, что
на тело, находящееся в жидкости или газе, в поле земного тяготения действует противоположная
силе тяжести выталкивающая сила (сила Архимеда), численно равная весу вытесненной жидкости
(газа).
Данное утверждение легко доказать с помощью соотношения (7.3). Для этого тело произвольной формы,
помещенное в среду, нужно мысленно разбить на тон-
кие вертикальные цилиндры с площадями оснований 249
Г л а в а VII
a
F
A гор
F
ин
∆Siи высотами hi. В соответствии с (7.3) на каждый та-
кой цилиндр со стороны среды будет действовать сила
∆Fi= (P2i− P1i)∆Si= ρghi∆Si,
направленная снизу вверх. Учитывая, что hi∆Si= ∆Vi---объем элементарного цилиндра, а ρ плотность окружающей среды, для суммарной выталкивающей силы
получим
FA=X∆Fi= ρgX∆Vi= ρgV = mжg,
где mж= ρV ---- масса вытесненной жидкости (газа).
Точками приложения сил ∆Fiявляются центры масс
соответствующих цилиндров, точкой приложения суммарной силы FA---- центр масс тела. При произвольном
положении тела, несимметричного относительно центра масс (например конуса), силы ∆Fiмогут создавать
вращающий момент. Устойчивой равновесной ориентацией в среде для такого тела с плотностью ρт> ρ
будет положение, при котором центр масс имеет наименьшую вертикальную координату (тяжелый конус
будет погружатьсявершиной вверх), при ρт<ρ устойчи-
вая ориентациясоответствует наивысшему положению
центра масс (легкий конус будет всплывать вершиной
вниз).
Сила Архимеда возникает
не только в поле тяжести, но
и в любом другом внешнем поле, действие которого пропорционально массе тела. Например, в неинерциальной систе-
Рис. 7.3
ная массе тела и ускорению системы отсчета (см. параграф 2.6). Если тело помещено в жидкость или газ,
то вместе с силой инерции появится сила Архимеда,
направленная в противоположную сторону и численно
равная силе инерции в пересчете намассу вытесненной
телом среды. Действительно, в соответствии с принципом эквивалентности инертной и гравитационной масс
ускоренное движение системы отсчета эквивалентно
наличию гравитационного поля соответствующей симметрии, а в гравитационном поле справедлив закон Ар-
химеда.250
ме отсчета на тело действует
сила инерции, пропорциональ-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]