Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Ламинарное и турбулентное течение
и трубок тока происходит регулярно, то есть в соответствии с динамическими уравнениями движения, решения которых являются однозначными функциями
переменных внешних условий.
Ламинарный характер течения можнонаглядно продемонстрировать в следующем опыте. Из тонкой трубочки в поток выпускается струйка окрашенной жидкости со скоростью, близкой к скорости течения в данном
месте. Двигаясь в ламинарном потоке, струйка не перемешивается с остальной жидкостью и отчетливо выделяется из потока на всей его длине.
Если в том же опыте увеличивать скорость течения
или поперечные размеры потока, то, как показывают
наблюдения, окрашенная струйка будет все заметнее
размываться. Это свидетельствует о перемешивании
жидкости, текущей внутри выделенной трубки тока,
с жидкостью из соседних слоев. Данное явление не может быть объяснено сточки зрениядинамических уравнений течения и представлений о непрерывном поле
скоростей, оно обусловлено случайными изменениями скорости, приводящими к нарушению регулярности потока. Такое течение называется турбулентным.
Его описание возможно только с помощью статистических методов.
Турбулентное течение неустойчиво, то есть явля-
ется нестационарным даже при неизменных внешних
условиях. Скорость течения в заданной точке хаотиче-
ски меняется по величинеи направлениюв окрестности
некоторого среднего значения. В турбулентном потоке
возникают и трансформируются вихри (области, в которых линия тока имеет форму спирали), движущиеся
как целое с различными скоростями. Фактически турбулентное течение можно охарактеризовать как поток
постоянно возникающих, распадающихся и затухающих вихрей различных размеров.
На рисунке 7.17 показаны картины линий тока при
обтекании плоским потоком препятствия, имеющего
форму цилиндра с осью, перпендикулярной потоку
для двух случаев. В первом случае (рис. 7.17,а) течение ламинарное во всем потоке, во втором случае
(рис. 7.17,б) ламинарное течение после обтекания цилиндра преобразуется в турбулентное.
271
Г л а в а VII
а б
Экспериментальные исследования показывают, что
проявления турбулентности возрастают с увеличением
плотности жидкости, скорости и поперечных размеров потока, а при заданных ρ, v и размерах ---- убывают
с ростом вязкости. Составим безразмерную величину
ρvl
η
Рис. 7.17
0
, (7.24)
Re =
где ρ и η ---- соответственно плотность и вязкость жидкости, v ---- характерная скорость, l0---- характерный поперечный размер. Данная величина называется числом
Рейнольдса. В качестве характерной скорости может
быть взята средняя скорость в потоке, максимальная
скорость, вообще ---- скорость в любой точке потока,
где она имеет определенное значение. В качестве характерного размера может использоваться радиус или
диаметр трубы, поперечный размер препятствия, например, радиус или диаметр цилиндра на рис. 7.17.
Из определения видно, что количественное значение числа Рейнольдса задано с точностью до порядка величины, но оно и не предназначено для использования в точных равенствах. Число Re играет роль
количественного критерия перехода между ламинарным и турбулентным характером течения в заданных
геометрических условиях. Для каждого геометрически
определенного потока существует некоторое критическое значение числа Рейнольдса, такое что при величинах Re, меньших критического, течение будет ламинарным, а при величинах, значительно превышающих
критическое значение, течение будет турбулентным.
Например, если для цилиндрической трубы в качестве характерного размера взять радиус, критическое
значение числа Рейнольдса оказывается ∼ 1100. Стало
быть при Re < 1100 течение в трубе ламинарное, а при
Re 1100 ---- турбулентное.272
Ламинарное и турбулентное течение
Отметим, что поскольку число Рейнольдса является безразмерным, его величина не зависит от выбора
системы единиц, важно лишь, чтобы все размерные величины в правой части (7.24) были заданы в одной и той
же системе. В качестве величины, характеризующей
среду, вместо ρ и η можно использовать их отношение
η
ν =
, (7.25)
ρ
называемое кинематической вязкостью. В случаях, когда необходимо обратить внимание на отличие ν и η,
коэффициент η называют динамической вязкостью.
Используя в качестве единственной характеристики
среды кинематическую вязкость, можно переписать
(7.24) в виде
Пусть жидкость в объеме куба с ребром l0движется с характерной скоростью v. Сила динамического
давления, действующая на этот объем, имеет порядок величины F ∼ρv2l
∼ ρv2l
3
/2, сила вязкого Fтр∼ η(v/l0)l
0
E
кин
2
/2, кинетическая энергия объема
0
бота на характерной длине Aтр∼ηvl
давления к силе вязкого трения или энергии движения
к работе сил трения на характерной длине по порядку
величины совпадает с числом Рейнольдса
F
E
кин
∼
F
A
тр
тр
Таким образом, физический смысл числа Рейнольдса ---- отношение силы, поддерживающей течение, к силе вязкого трения либо отношение энергии движения
к ее потерям за счет вязкого трения на характерной
длине.
Формула Пуазейля (7.23), как видно из ее вывода,
справедлива только для ламинарного течения. Она хорошо согласуется с экспериментом для достаточно тонких трубок при небольших скоростях течения. Пуазейль вывелсвой закон, исследуя протекание жидкости
через капиллирные трубки, и применил его к течению
крови по кровеносным сосудам. Для труб большого
Re =
∼
vl
0
. (7.26)
ν
2
= ηvl0, ее ра-
0
2
. Отношение силы
0
ρvl
vl
0
0
=
ν
= Re .
η
273
Г л а в а VII
R
x
<v>
δ
диаметра либо при больших скоростях течения в соответствии с (7.24), (7.26) число Рейнольдса может оказаться большим и превысить критическое значение.
Течение в этом случае будет турбулентным, и формула
Пуазейля станет неприменимой.
При турбулентном течении
средняя скорость будет практически постоянной по сечению трубы за исключением
тонкого слоя, непосредствен-
Рис. 7.18
к этому результату, довольно сложен, однако на качественном уровне его можно пояснить следующим образом. При больших значениях Re роль динамического
давления по сравнению с влиянием вязкости становится определяющей. Это позволяет вернуться к модели
идеальной жидкости и применить уравнение Бернулли, понимая под скоростью течения ее среднее значение. Из постоянства статического давления в пределах
сечения горизонтальной трубы и уравнения Бернулли
следует равенство скорости по сечению, а из несжимаемости жидкости ---- постоянство скорости во всей
трубе. Толщина пограничного слоя δ, в котором средняя скорость спадает до нуля, зависит от радиуса трубы
и числа Рейнольдса. С увеличением Re отношение δ/R
уменьшается.
Подчеркнем, что речь здесь идет о средней, а не
о мгновенной скорости течения. Мгновенная скорость
при турбулентном течении быстроменяется случайным
образом. Она может иметь поперечную по отношению
к направлению потока составляющую и даже противоположное направление. Это приводит к перемешиванию жидкости в турбулентном потоке, что является дополнительным аргументом в пользу постоянства
средней скорости по сечению трубы за исключением
пограничного слоя,в котором преобладает влияние вязкости.
Особая роль числа Рейнольдса (7.24), (7.26) заключается в том, что этот параметр является критерием
гидродинамического подобия.
274
но примыкающего к стенкам
(рис. 7.18). Расчет,приводящий
Ламинарное и турбулентное течение
Рассмотрим два геометрически подобных потока,
то есть таких, что при домножении размеров одного
из них на определенное число α он геометрически переходит в другой. Это могут быть, например, две цилиндрические трубы разных радиусов: R1/R2= α, два
широких потока с препятствиями одинаковой формы,
но разных размеров. Пусть характерные поперечные
размеры в одном из потоков l01, в другом l02, характерные скорости, определенные одинаковым образом ---- v
и v2, значения кинематических вязкостей ν1и ν2. Числа
Рейнольдса для рассматриваемых потоков
Re1=
v1l
01
ν
1
Re2=
v2l
02
.
ν
2
При l01/l02= α соответствующим подбором скоро-
стей и кинематических вязкостей можно добиться, чтобы отношение v2/ν2: v1/ν1также было равно α, то есть
чтобы числа Рейнольдса Re1и Re2были равны. Тогда
характер течения в двух потоках при разных размерах,
скоростях и свойствах сред будет одинаковым. Такие
потоки называются гидродинамически подобными.
На принципе гидродинамического подобия построены экспериментальные исследования, в которых изучается обтекание жидкостями или газами уменьшенных моделей проектируемых движущихся объектов.
Используя геометрически подобную модель летательного аппарата, водного судна, автомобиля, можно на
опыте исследовать его взаимодействие с обтекающей
средой, варьируя значения числа Рейнольдса, и предсказать поведение реального объекта в соответствующих гидродинамически подобных условиях.
Для цилиндрической трубы, как уже упоминалось,
критическое значение числа Рейнольдса ∼ 1100. Исходя
из этого значения можно указать, с какой скоростью
должна транспортироваться жидкость с известной кинематической вязкостью в трубе заданного радиуса,
чтобы ее число Рейнольдса не превышало критическое,
то есть, чтобы течение было ламинарным. Турбулентность вызывает вибрацию трубопровода и, следовательно, более быстрый его износ, поэтому желательно
обеспечить ламинарный характер течения. Превыше-
ние критического значения Re является необходимым, 275
1
Г л а в а VII
A B
C
D
но не достаточным условиемвозникновения турбулентности. При отсутствии начальных возмущений ламинарное течение может иметь место и для Re > Reкр.
На практике в водопроводах за счет использования
распределительных емкостей большого объема, труб
с гладкими внутренними поверхностями и закругленными входными отверстиями, уменьшающими начальные возмущения, удается добиться ламинарного течения при значениях Re ∼ 25000, то есть более чем в 20 раз
превышающих критическое.
Турбулентное течение ---- наиболее распространенный в природе вид движения жидкостей и газов. Турбулентный характер имеет движение воды в трубах
и каналах, в реках и в морях, течение вблизи движущихся в жидкости или газе твердых тел, движение воздуха в земной атмосфере. Значительная часть материи,
заполняющей Вселенную, газ в межзвездных туманностях и в атмосферах звезд находятся в турбулентном движении. С неустойчивостями, обусловленными
турбулентностью, сталкиваются в физике атмосферы
и астрофизике, в океанологии, физике планет.
7.7. Движение тел в жидкостях и газах
В соответствии с принципом относительности Галилея движение тела относительно среды эквивалентно
движению среды относительно тела в противоположном направлении. Данные задачи отличаются лишь переходом от одной инерциальной системы отсчета к дру-
гой. В связи с этим далее мы
будем чаще всего пользоваться системой отсчета, связанной с телом, то есть рассматривать обтекание неподвиж-
Рис. 7.19
Вначале рассмотрим обтекание симметричного
по отношению к направлению потока тела идеальной
жидкостью. На рисунке 7.19 таким телом является цилиндр большой длины с осью, перпендикулярной потоку. Вследствие симметрии цилиндра относительно пря-
276
ного тела потоком жидкости
или газа.
Движение тел в жидкостях и газах
мой, проходящей через точки A и B, линии тока будут
симметричны относительноэтой прямой. На продолжении отрезка CD скорость больше, чем в невозмущенном потоке, так как частице жидкости для того, чтобы
обогнуть цилиндр, двигаясь вдоль искривленной линии
тока, по сравнению с частицей, движущейся по прямой траектории, за одно и то же время нужно пройти
б´ольшее расстояние. Статическое давление P в этой
области в соответствии с уравнением Бернулли становится меньше, чем давление P0вдали от цилиндра.
Вблизи точек A и B течение останавливается, а давление увеличивается по сравнению с невозмущенным
потоком.
Из симметрии тела относительно прямой AB непосредственно следует равенство нулю равнодействующей сил давления в поперечном направлении. Для симметричного относительно поперечной оси C D тела при
полном обтекании и отсутствии касательных сил вязкого трения картина линий тока и распределение давлений такжебудут симметричны относительно CD, следовательно, и продольная составляющая сил давления равна нулю. Таким образом, в потоке идеальной жидкости
на тело,имеющее симметрию относительно продольного и поперечного направлений, не действуют никакие
силы.
При нарушении симметрии относительно поперечной оси появится продольная сила, обусловленная разностью давлений с двух сторон тела в направлении
потока. На рисунке 7.20,а показана картина обтекания
полуцилиндра с плоской частью боковой поверхности,
ориентированной навстречу потоку. Линии тока симметричны относительно оси OB, поэтому поперечная
составляющая сил давления отсутствует. Давление P
в точках остановки потока O и B одинаково и превосходит давление P0вдали от тела. Вблизи плоской
поверхности скорость течения направленаперпендикулярно скорости невозмущенного потока и по величине
близка к нулю, поэтому давление на всей этой поверхности такое же, как в точке O, за исключением узкой
краевой области, где скорость резко возрастает, адавление падает до значения P2< P0. На задней поверхности
давление от точки B к краям уменьшается до P2бо-
1
277
лее плавно. Кроме того, продольные составляющие сил,
F
л
B
O
а
F
п
б
направленных по нормали к цилиндрической поверхности, меньше абсолютных величин этих сил. В результате равнодействующая сил давления Fлоказывается
направленной вдоль скорости невозмущенного потока.
Рис. 7.20
Если никакие другие силы на тело не действуют,
то оно ускоряется, его импульс растет, а импульс потока в соответствии с законом сохранения уменьшается.
Густота линий тока (скорость течения) после обтекания
тела становится меньше, особенно в области плоскости, проходящей через точки O и B перпендикулярно
плоскости рисунка. По мере удаления от этой плоскости возмущение, вносимое телом,постепенно убывает1.
Так будет происходить до тех пор, пока скорость тела
не сравняется со скоростью невозмущенного потока,
то есть пока поток в системе отсчета тела не остановится.
Если тело удерживается на месте внешней силой,
компенсирующей Fл, то его импульс остается неизменным, значит не меняется и импульс текущей жидкости ---- после обтекания поток на некотором расстоянии
от тела восстанавливает свой первоначальный вид.
На рисунке 7.20,б тот же полуцилиндр ориентирован
так, что его плоская поверхность параллельна потоку.
Картина линий тока вданном случаесимметрична относительно поперечной оси, поэтому продольная составляющая сил давления равна нулю. Со стороны плоской
части поверхности течение остается невозмущенным,
давление здесь такое же, как вдали от тела: P1= P0.
С противоположной стороны в результате обтекания
скорость будет больше, а давление меньше: P2< P0.
Равнодействующая сил Fп, следовательно, направлена
перпендикулярно потоку в сторону закругленной по-
1
Поперечное распределение скоростей в потоке идеальной жид-
кости может быть произвольным.
278
Г л а в а VII
Движение тел в жидкостях и газах
A B
C
D
а
A B
C
D
б
верхности. Если эта сила ничем не скомпенсирована,
то тело получает ускорение в ее направлении, а поток в противоположном, то есть направление скорости
потока изменяется. Если же Fпскомпенсирована, например весом тела, то поток после обтекания восстанавливается.
Продольная составляющая силы, действующей
на тело со стороны обтекающей его среды, называется силой лобового сопротивления или просто лобовым
сопротивлением. Поперечная составляющая называется подъемной силой, так как на практике обычно направлена в сторону, противоположную силе тяжести.
В общем случае, когда нет ни продольной ни поперечной симметрии, действующая на тело сила имеет обе
составляющие: F = Fл+ Fп.
Еще раз подчеркнем, что в потоке идеальной жидкости все силы являются силами нормального стати-
ческого давления. Они направлены перпендикулярно
поверхности тела в каждой ее точке.
Рис. 7.21
При учете вязкого трения к силам нормального давления добавляются касательные диссипативные силы,
замедляющие течение относительно тела и увлекающие тело в направлении потока. Для симметричного
тела (рис. 7.21) трение нарушает симметрию потока
относительно оси CD, вследствие чего возникает лобовое сопротивление. При малых скоростях (Re
рис. 7.21,а) течение будет ламинарным, при больших
(Re Reкр, рис. 7.21,б) за телом возникнет область турбулентности (на рисунке выделена светлым).
Производная скорости по координате, отсчитываемой вдоль нормали кповерхности телав любойее точке,
пропорциональна скорости v0невозмущенного потока. В нашем случае это производная dv/dr, где r ---- радиальная координата, отсчитываемая от оси цилиндра
в плоскости рисунка либо, если обтекаемое тело явля-
<
∼
Reкр,
279
Г л а в а VII
ется шаром, от его центра в любом направлении. На поверхности тела скорость равна нулю, на расстоянии
dr от поверхности она будет тем больше, чем больше
скорость v0: dv/dr ∼ v0.
Согласно (7.21) поверхностная плотность сил трения
(сила, отнесенная к единичной площади приложения)
равна
или, в соответствии с нашими рассуждениями,
Полная сила вязкого трения, таким образом, пропорциональна вязкости и скорости потока:
Коэффициент пропорциональности a с размерностью длины зависит от размеров и формы обтекаемого
тела. Точное выражение силы (7.27) для шара радиуса R
получено Стоксом (закон Стокса):
При ламинарном течении вязкое трение является
единственным механизмом сопротивления среды, поэтому сила лобового сопротивления определяется формулой (7.27), то есть линейно возрастает с увеличением
скорости.
Возмущение, вносимое телом, вообще говоря, распространяется на весь поток, однако спадает по мере
удаления от тела. Для идеальной жидкости размер области, в которой возмущение заметно, сравним с размером тела (см. рис. 7.19, 7.20). То же справедливо для
ламинарного потока (рис. 7.19,а) при малых значениях числа Рейнольдса (см. также формулу Пуазейля).
Однако при Re ∼ Reкрвместе с силой трения возрастает и производная скорости в направлении нормали
к поверхности, поэтому скорость по мере удаления от
тела меняется быстрее, а область возмущения сужается ---- слои жидкости, проходящие мимо тела все более
интенсивно увлекают за собой более близкие к телу
слои. При Re Reкр(для шара Reкр∼ 10
dF
dS
dv
тр
= η
dr
Fтр∼ ηv0.
Fтр= aηv0. (7.27)
Fтр= 6πRηv0. (7.28)
2
) возмущение280
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]