Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Общее описание движения твердого тела
Эти выражения совпадают с полученными ранее
и вновь приводят к (6.2) и (6.3).
Скорость (6.2) и ускорение (6.3) точки твердого тела
в лабораторной системе отсчета по смыслу совпадают соответственно с переносной скоростью в теореме
о сложении скоростей (1.50) и переносным ускорени-
ем в теореме о сложении ускорений (1.53) (см. параграф 1.11) ---- это скорость и ускорение в системе отсчета K точки, которая в движущейся (в данном случае ---- в скрепленной) системе отсчета покоится. Твердое тело при этом является телом отсчета для системы
отсчета K00.
Из (6.2) в частности следует, что в скрепленной системе отсчета при ωωω , 0 всегда найдется точка, непо-
движная в лабораторнойсистеме отсчета. Радиус-вектор
этой точки относительно начала отсчета скрепленной
системы определяется из условия
v0+ [ωωω r0] = 0 (v = 0),
которое позволяет выразить r0через известные v0и ωωω.
Решение данного уравнения не будет единственным,
так как [ωωω (r0+ 4r0)] = [ωωω r0] при 4r0, параллельном ωωω.
Иными словами, если точка C0скрепленной системы
отсчета с радиус-вектором r0в лабораторной системе
отсчета покоится, то неподвижными будут все точки
с радиус-векторами r0+4r0при 4r0kωωω, то есть лежащие
на мгновенной оси вращения, проходящей через C0.
Если о мгновенной оси вращения говорят без указания
точки, через которую она проходит, то, как правило,
речь идет об оси, точки которой неподвижны в лабораторной системе отсчета. Такая ось может пересекать
или не пересекать тело, кроме того, она в общем случае
не скреплена ни с одной из его точек.
Рассмотрим в качестве примера диск (обруч, колесо, цилиндр), катящийся по плоскости без скольжения
(рис. 6.5). Качение без скольжения означает, что мгновенная скорость точки касания (точка A на рис. 6.5)
равна нулю. Через эту точку проходит мгновенная ось
вращения в лабораторной системе отсчета, на которой все точки скрепленной системы отсчета в данный
момент времени неподвижны (назовем ее для кратко-
сти осью A). Точками касания в разные моменты вре- 191
Г л а в а VI
C
R
P
v
0
v
0
v
v
вр
A
r
0
j
0
i
0
мени являются разные точки диска, поэтому ось A не
скреплена ни с одной из них. Осью C назовем ось, проходящую через центр диска перпендикулярно его плоскости (точкаC на рис. 6.5). Эта ось является мгновенной
осью вращения в сопутствующей системе отсчета K0,
движущейся вместе с телом со скоростью v0(начало
координат удобно поместить в точку C). В отличие от
оси A, она связана с точкой C и другими точками на оси
диска (цилиндра) в том смысле, что эти точки находятся
на оси C во все моменты времени.
На рисунке показано распределение скоростей на
поверхности диска при качении. Найдем скорость v
точки P, используя в качествемгновенной оси вращения
ось A. Поскольку мгновенная скорость точки касания
равна нулю, выражение (6.2) принимает вид
v = [ωωω r0], (6.4)
где r0---- радиус-вектор, соединяющий точки A и P. Орты i0и j0сопутствующей системы отсчета отложим соответственно в горизонтальном и вертикальном направле-
Рис. 6.5
читателя. Векторr0представим ввиде суммы:r0= R j0+R,
где R ---- радиус-вектор точки P относительно центра,
R ---- радиус диска. Подставив эту сумму в выражение
для скорости, получим
v = [ωωω (R j0+ R)] = [ωωω j0]R + [ωωω R].
Вектор [ωωω j0], очевидно, равен ω i0, а произведение
где v0---- скорость точки C (линейная скорость вращательного движения точек поверхности vврравна [ωωω R]
и направлена по касательной; для точки A она компенсируется скоростью поступательного движения v0,
откуда и следует, что v0= vвр= ωR). В результате для
скорости точки P имеем
что соответствует формуле (6.2) для мгновенной оси C.192
ниях, вектор ωωω направлен перпен-
дикулярно плоскости рисунка от
[ωωω j0]R = ωR i0= v0,
v = v0+ [ωωω R],
Общее описание движения твердого тела
Таким образом, результаты описания распределения скоростей в твердомтеле, получаемые для мгновенной оси вращения A, на которой точки тела в данный
момент неподвижны, и для оси C, проходящей через
точку, скрепленную с телом, совпадают.
На самом деле полученный вывод нуждается в уточнении. Будем далее под точкой A понимать точкусопут-
ствующей системы отсчета K0, которая соответствует
точке касания и движется вместе с K0со скоростью
v0. Вместе с A движется и мгновенная ось вращения.
Точку, совпадающую с A в данный момент времени,
но скрепленную с диском, будем обозначать A0. Эта точка в момент касания покоится. В (6.4) r0имеет смысл
радиус-вектора, отложенного от неподвижной точки
скрепленной с твердым телом, то есть от точки A0. Как
мы увидим далее, особенно важным данное уточнение
окажется при анализе распределения ускорений.
Как нам ужеизвестно, в случае равномерноговращения вокруг фиксированной оси с угловой скоростью ω,
векторы мгновенного ускорения точек тела направлены к оси (геометрическому месту неподвижных точек)
и равны по величине ω2r (r ---- расстояние от точки до
оси). Для диска, катящегося с постоянной скоростью v0,
вектор угловой скорости, направленныйпо оси A, будет
постоянным по величине: ω = v0/R, а точки, лежащие на
оси, неподвижны. Однако векторы мгновенных ускорений точек диска не будут направлены к мгновенной
оси A и по величине не равны ω2r0. Убедимся в этом.
В сопутствующей системе отсчета K0движение диска являетсяравномерным вращением вокруг покоящей-
ся оси C, скрепленной с диском. Векторы ускорения
точек поверхности диска a0в этой системе отсчета
направлены к оси C и равны по величине ω2R = v
(см. рис. 6.6,а). Такими же будут векторы ускорения
в любой другой инерциальной системе отсчета (абсолютность ускорения), в частности, в лабораторной:
a = a0, то есть векторы a в лабораторной системе от-
счета при равномерном качении направлены к оси C,
а не к оси A и по величине отличаются от ω2r0. Иными
словами, формула (6.3) при выборе начала отсчета на
оси A дает неверный результат.
2
/R
0
193
Для устранения противоречия нужно учесть, что
C
A
R
v
0
a
0
P
а
C
A, A
0
P
r
0
j
i
a= a
0
a
A
0
a
A
0
a
0
A
0
ϕ
ϕ
2ϕ
б
мгновенная ось вращения в лабораторной системе отсчета связана не с точкой A (геометрической точкой
сопутствующей системы отсчета), а с точкой A0тела
(скрепленной системы отсчета). В отличие от оси C системы отсчета K0, которая связана (скреплена) всегда
с одной и той же точкой тела, связь мгновенной оси
вращения в системе отсчета K с точкой A0имеет мгновенный характер ---- в различные моменты времени эта
ось проходит через разные точки тела.
Рис. 6.6
Точка A0в лабораторной системе отсчета имеет
нулевую скорость, но отличное от нуля ускорение:
0
a
= ω2R j. Такое же ускорение будет иметь связан-
A
ная с ней мгновенная ось вращения (далее для краткости ---- ось A0). Ускорение точки P твердого тела в лабораторной системе отсчета (a) связано с ускорением
относительно оси A0(a
0
) теоремой о сложении ускоре-
0
A
ний для поступательного движения:
a = a
+ a
,
0
A
A
0
0
так как A0в лабораторной системе отсчета движется
поступательно. Отсюда
0
a
0
A
= a − a
0
. (6.5)
A
Ускорение a равно ускорению a0в сопутствующей
системе отсчета
a = a0= ω2R(−i sin 2ϕ + j cos 2ϕ),
где ϕ ---- угол между радиус-вектором r0точки P относительно A0и горизонталью (см. рис. 6.6,б), орты i,
j отличаются от ортов i0, j0параллельным переносом.
Подставив a и a
194
0
в (6.5), получим
A
0
a
= ω2R[−i sin 2ϕ + j(cos 2ϕ − 1)] =
0
A
= −2ω2R sin ϕ(icos ϕ + j sin ϕ),
Г л а в а VI
Общее описание движения твердого тела
так как sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ и cos 2ϕ −1 = −2 sin2ϕ. Учитывая, что r0= 2R sin ϕ(icos ϕ + j sin ϕ) (CA = CP = R,
см. рис. 6.6,б), окончательно имеем
0
a
= −ω2r0= [ωωω [ωωω r0]],
0
A
что соответствует (6.3) (при равномерном качении
a0= 0 и εεε = 0).
Теперь, опираясь на рассмотренный пример, сформулируем общее условие применимости формул (6.2)
и (6.3). Эти формулы получены в предположении, что
длина вектора r0(расстояние между точкой, через которую проходит ось вращения, и точкой, для которой
определяются скорость и ускорение) остается постоянной, следовательно, они применимы только для мгновенных осей вращения, связанных с твердым телом.
В нашем примере это оси C и A0. Для мгновенной
оси вращения A, перемещающейся в теле, (6.2) и (6.3)
несправедливы: при переходе от (6.2) к (6.4) нужно отбросить скорость v0оси A в лабораторной системе отсчета, что означает замену A на мгновенно совмещенную с ней ось A0, при использовании (6.3) нужно учесть
ускорение начала отсчета, которое отсутствует у точки
A и имеется у совпадающей с ней точки A0, скрепленной
с телом.
Отметим, что с помощью выражения (6.4) распределение скоростей в лабораторной системе отсчета
непосредственно определяется через угловую скорость
и радиус-вектор r0, отложенный от мгновенной оси вращения A0, скорость которой в данный момент равна
нулю
однако дифференцирование этоговыражения даст ускорение a
0
в системе отсчета оси A0, а не ускорение a
0
A
в лабораторной системе.
Приведем еще один пример, в котором представление о мгновенной осивращения существенноупрощает
анализ движения тела. Пусть круговой конус 2 (радиус
основания R2, угол раствора 2α2) катится без скольжения по поверхности круговогоконуса 1 (радиус основания R1, угол раствора 2α1) так, что вершины конусов все
время совпадаютв точке O (рис. 6.7). Движениеконуса 2
представляет собой наложение двух движений: вращения вокруг собственной оси OC
v = [ωωω r0],
с некоторой угловой 195
2
Г л а в а VI
O
C
2
A
α
1
α
2
ωωω
1
ωωω
2
ωωω
R
1
R
2
C
1
ω
⊥
0
1
скоростью ωωω2и вращения точек оси OC2вокруг оси конуса 1 с угловой скоростью ωωω1. Векторы ωωω1и ωωω2направлены соответственно вдоль осей OC1и OC2, их сумма
дает вектор ωωω, являющийся угловой скоростью кону-
са 2 в лабораторной системе отсчета, а также в любой
другой системе отсчета, движущейся поступательно относительно лабораторной.
Геометрия конусов (величины углов раствора) определяет направления векторов ωωω1и ωωω2(вектор ωωω2при
этом перемещается по конической поверхности с углом
полураствора α1+ α2), а условие отсутствия скольжения устанавливает связь
между их величинами. Скорость нижней точкикасания,
совпадающей с точкой A,
складывается из скорости
Рис. 6.7
вращения вокруг оси OC
с угловой скоростьюω1по ок-
ружности радиуса R1и скорости вращения вокруг оси
OC2с угловой скоростью ω2по окружности радиуса R2.
Эти скорости направлены перпендикулярно плоскости
OC1C2в противоположные стороны и должны быть рав-
ны по величине, так как точка касания при качении
без скольжения неподвижна. Отсюда получаем связь
между величинами угловых скоростей
ω1R1= ω2R
или ω1sin α1= ω2sin α2,
2
так как sin α1= R1/OA, sin α2= R2/OA.
Неподвижными в данный момент времени будут все
точки касания, поэтому ось OA является мгновенной
осью вращения, вдоль которой направлен вектор ωωω. Па-
раллелограмм, построенный на векторах ωωω1и ωωω2, с диагональю, лежащей на продолжении линии касания конусов, вращается вокруг оси OC1с угловой скоростью
ωωω1. Если скорость вращения переменная, то размерыпа-
раллелограмма увеличиваются или уменьшаются, при
этом он остается подобным самому себе. Вектор ωωω при
перемещении описывает коническую поверхность с углом полураствора α
.196
1
1
Общее описание движения твердого тела
Мгновенная ось вращения OA все время проходит
через точку O, скрепленную с конусом 2, и неподвижную в лабораторной системе отсчета. Мгновенные оси
вращения, скрепленные с другими точками конуса 2,
при движении остаются параллельными OA. Например,
мгновенной осью вращения, проходящей через точку
C2, будет прямая, параллельная линии касания, а не
ось конуса 2, мгновенные оси вращения, скрепленные
с точками боковой поверхности, в момент касания совпадают с OA, а при дальнейшем движении смещаются
вместе с точкой и поворачиваются, оставаясь параллельными OA.
Величина угловой скорости может быть выражена
через ω1или ω2:
ω = ω1cos α1+ ω2cos α2= ω1(cos α1+ sin α1ctg α2)
или
ω = ω1(cos α1+ R1cos α2/R2) = ω2(R2cos α1/R1+ cos α2).
Скорость произвольнойточки конуса 2 можно определить относительно неподвижной точки O: v = [ωωω r],
где r ---- радиус-вектор рассматриваемой точки относительно O. Например, для точки C2v
тор, направленный перпендикулярно плоскости OC1C2,
равный по величине v
r
= R2ctg α2(высота конуса 2). Выразив ω через ω1,
C
2
найдем
v
= ω1[R2cos α1cos α2+ R1(1 −sin α1sin α2)].
C
2
C
= ω r
2
sin α2= ωR2cos α2, так как
C
2
С другой стороны, движение точки C2---- это вращение вокруг оси OC1по окружности радиуса
R1+R2cos(α1+α2) с угловой скоростью ω1. Раскрыв коси-
нус суммы и учтя, что R2= R1sin α2/ sin α1, придем к тому
же выражению для v
Угловое ускорение движущегося конуса εεε =˙ωωω при
.
C
2
равномерном вращении направлено по касательной к
окружности, описываемой концом вектора ωωω вокруг
оси OC1. Вектор εεε аналогичен скорости материальной
точки, движущейся поокружности радиуса ω⊥= ω sin α
с угловой скоростью ω1, поэтому
ε = ω1ω
или εεε = [ωωω1ωωω].
⊥
В случае неравномерного вращения к этому вектору добавляется составляющая, направленная вдоль ωωω и
равная по величине
˙
ω. 197
C
2
= [ωωω r
]. Это век-
C
2
1
6.2. Частные случаи движения твердого тела
Простейшими частными случаями движения абсо-
лютно твердого тела являются поступательное движение (ωωω = 0) и вращение вокруг заданной оси (вектор
ωωω имеет фиксированное направление, линейные скорости точек, лежащих на оси вращения, равны нулю).
При поступательном движении тело имеет три степени свободы, его положение в пространстве, скорость
и ускорение однозначно определены радиус-вектором
r0, скоростью v0и ускорением a0одной из точек тела,
например центра масс. При вращении вокругфиксированной оси положение тела задается единственной координатой ---- углом поворота ϕ, для нахождения скорости и ускорения произвольной точки достаточно знать
мгновенные значения скалярных величин угловой скорости ω и углового ускорения ε. В этом случае тело
имеет одну степень свободы.
Движение тела, при котором вращение вокруг за-
данной оси сопровождается поступательным перемещением вдоль этой оси (v0kωωω, векторы v0и ωωω сохра-
няют свое направление), называется винтовым движе-
нием. Примером винтового движения может служить
движение пули, выпущенной из нарезного стрелкового
оружия, если пренебречь изменением направления полета пули за счет действия силы тяжести. Количество
степеней свободы тела при винтовом движении равно
двум ---- положение задается двумя координатами: прямолинейным поступательным перемещением l и углом
поворота ϕ вокруг направления поступательного движения, скорости и ускорения точек тела однозначно
определяются производными этих координат: v0=˙l,
a0=¨l, ω =˙ϕ, ε =¨ϕ.
В случае, если угловая скорость тела постояннапо на-
правлению, а скорость поступательного движения все
время перпендикулярна ей (v0⊥ωωω, направление ωωω фик-
сировано), перемещение каждой точки тела осуществляется в плоскости, перпендикулярной оси вращения:
198
4r =
t
2
Z
t
1
v(t)dt =
t
2
Z
v0(t)dt +
t
1
t
2
Z
[ωωω r0(t)]dt,
t
1
Г л а в а VI
Частные случаи движения твердого тела
где r0(t) ---- радиус-вектор, отложенный от точки, для
которой задана скорость поступательного движения
v0, до точки, для которой определяется перемещение
4r. Выражения под интегралом в каждом из слагае-
мых ---- векторы, перпендикулярные ωωω, следовательно,
и результат интегрирования 4r ⊥ωωω для любых t1и t2.
Такое движение тела называется плоским. При плоском движении у твердого тела три степени свободы ---положение определяется двумерным вектором r0и углом ϕ, линейные скорость и ускорение имеют по две
составляющие в плоскости движения, угловые скорость и ускорение по одной ---- вдоль оси вращения.
Плоское движение часто встречается в технических
приложениях механики, поскольку именно таким является движение узлов машин и механизмов, преобразующих поступательное движение во вращательное
и наоборот. Например, в автомобильных двигателях
возвратно-поступательное движение поршня преобразуется во вращениеколенчатого валас помощьюкривошипно-шатунного механизма, детали которого совершают плоское движение. Другим примером плоского движения может служить качение твердого тела
по плоской или криволинейной поверхности, сохраняющей постоянную ориентацию оси вращения катящегося тела, в частности ---- качение цилиндра по внутренней или внешней поверхности другого цилиндра.
Плоским будет движение небесного тела в случае, если
его собственная ось вращения перпендикулярна плоскости орбиты.
Сферическим движением называетсядвижение твердого тела с одной неподвижной точкой (v0= 0, ωωω изме-
няется по величине и направлению). В этом случае точки тела движутся по поверхностям концентрических
сфер с центрами в неподвижной точке (полюсе) и радиусами, равными неизменным расстояниям от полюса
до соответствующих точек. При сферическом движении положение тела однозначно определяется тремя
углами, задающими ориентацию скрепленной системы
координат с неподвижным началом отсчета в полюсе
(три степени свободы). В качестве этих углов можно использовать, например, два угла сферической системы
координат, задающие направление оси z00скрепленной
199
Г л а в а VI
системы отсчета, и угол поворота вокруг оси z00. Другим
способом определения ориентации тела в пространстве
может бытьзадание углов Эйлера, которые будут введены в следующем параграфе. Примером сферического
движения является рассмотренное выше качение конуса по конической поверхности.
Отметим, что произвольное движение твердого тела
является сферическимв сопутствующей системе отсчета, связанной с одной из точек тела. Иными словами,
в общем случае при шести степенях свободы движение
тела представляет собой наложение поступательного
движения сопутствующей системы отсчета и сферического движениявокруг начала координат этой системы отсчета.
6.3. Углы Эйлера
Для задания положения твердого тела в пространстве при сферическом движении вводятся углы Эйле-
ра, определяющие ориентацию скрепленной системы
отсчета K00относительно лабораторной системы отсчета K . При произвольном движении вместо лабораторной должна рассматриваться сопутствующая система
отсчета K00с началом координат в полюсе сферического движения.
Поместим начало координат систем отсчета K и K
в неподвижную точку O (рис. 6.8). Плоскость xOy
системы отсчета K (выделенная плоскость на рисунке)
пересекается с плоскостью x00Oy00скрепленной системы отсчета K00по оси ON, называемой линией узлов. Линия узлов, следовательно, перпендикулярна осям z и z00.
Ее положительное направление связываетсяс вектором
[k k00] (орты i, j, k, как обычно, направлены вдоль осей x,
y, z, орты i00, j00, k00---- вдоль осей x00, y00, z00). Единичный
вектор eNв направлении ON задается равенством
[k k00]
[k k00]
.
eN=
00
Углом нутации θ называется угол между осями z
и z00, отсчитываемый в направлении от z к z00. Угловая
скорость, соответствующая изменению угла θ, всегда
200
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]