Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
"!$# %'&)(
!
%
&
*
Задача Кеплера
2. Радиус-вектор, соединяющий Солнце и обращающееся вокруг него небесное тело, за равные промежутки времени поворачивается в пределах равных
по площади секторов эллипса (закон площадей или
закон постоянства секторной скорости).
3. Квадраты периодов обращения небесных тел вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей
их орбит.
Теоретическое объяснение законов Кеплера было
дано Ньютоном в 1686 году. В настоящее время под
задачей Кеплера в классической механике понимается
общая задача о движении двух тел, взаимодействующих посредством поля кулоновского типа (3.45), (3.48),
которое может быть какполем притяжения, так и полем
отталкивания.
Постановку задачи Кеплера
существенно упрощают дваобстоятельства, которые нам уже известны. Во-первых, задача двух
тел сводится к задаче об относительном движении одного тела
с приведенной массой в центральном поле, что позволяет без ограничения общности рассматривать в задаче Кеплера
движение тела относительно неподвижного силового
центра. Во-вторых, из постоянства момента импульса
тела относительно центра поля следует в частности, что
траектория движения является плоской кривой, причем силовой центр находится в плоскости траектории.
Действительно, как можно видеть из рис. 5.3, постоянное направление момента импульса L = m[r v] означает,
что радиус-вектор r материальной точки относительно
силового центра O и вектор ее скорости v все время
должны находиться в одной и той же плоскости, перпендикулярной L.
Рассмотрим вначале движение материальной точки в произвольном центральном поле. Для описания
движения по плоской траектории удобно использовать
полярную систему координат (рис.5.4). Положениеточки задается радиальной координатой r ---- расстоянием
от силового центра иполярным угломϕ ---- углом поворо-
Рис. 5.3
171
Г л а в а V
ϕ
dϕ
r
dr
v
v
r
v
ϕ
r
O
та радиус-вектора вокруг силового центра в плоскости
траектории. В векторном виде положение тела задается
радиус-вектором r = r er.
Скорость в полярной системе координат имеет радиальную vrи угловую vϕсоставляющие. Дифференцируя по времени радиус-вектор, получим
˙
r = v = ˙r er+ r˙er.
Приращение единичного век-
тора erза счет поворота на малый угол dϕ равно der= dϕ eϕ, где
eϕ---- единичный вектор в плоско-
сти орбиты, перпендикулярный
erи направленныйв сторону увеличения угла ϕ, поэтому˙er=˙ϕ eϕ,
Рис. 5.4
Составляющие скорости в полярной системе координат, таким образом, равны vr= ˙r, vϕ= r˙ϕ.
Найдем вектор момента импульса тела массы m относительно силового центра O
L = m[r v] = mr˙r [erer] + r
Поскольку [erer]= 0, а [ereϕ] ---- единичный вектор ez,
перпендикулярный плоскости орбиты, получаем
Для направления движения, показанного на рис. 5.4,
векторы L и ezнаправлены в сторону читателя.
В течение времени dt радиус-вектор поворачивается в пределах орбитального сектора, площадь которого с точностью до бесконечно малых более высокого
порядка равна площади треугольника, образованного
векторами r, dr и r + dr: dS = r2dϕ/2 (треугольник, вы-
деленный на рис. 5.4, с основанием r и высотой r dϕ).
Таким образом, секторная скорость
однозначно определяется отношением модуля момента
импульса (5.15) к массе тела (точнее ---- к приведенной
массе), то есть остается постоянной и не зависит при172
что дает для скорости
v = ˙r er+ r˙ϕ eϕ.
2
˙
ϕ ez. (5.15)
1
2
=
˙
r
ϕ =
2
σ =
L = mr
dS
dt
2
˙
ϕ [ereϕ].
L
2m
(5.16)
Задача Кеплера
заданных r и˙ϕ от массы тела. Неизменность секторной скорости (второй закон Кеплера) непосредственно
вытекает из сохранения величины момента импульса
относительно силового центра. Этот закон, следовательно, справедлив в любом центральном поле, а не
только в поле кулоновских сил.
Выражение для кинетической энергии тела в поляр-
ной системе координат имеет вид
2
2
2
2
2
Eк=
mv
m˙r
=
2
2
˙
mr
ϕ
+
m˙r
=
2
2
Радиальная часть m˙r2/2 обусловлена изменением
расстояния от силовогоцентра (радиальной скоростью),
угловая часть L2/2mr2при движении в центральном поле в силу постоянства момента импульса L однозначно определяется значением радиальной координаты r.
Угловую часть кинетической энергии тела в центральном поле называют центробежной энергией, поскольку в системе отсчета, вращающейся вокруг силового центра вместе с радиус-вектором тела, эту функцию можно формально интерпретировать как потенциальную энергию, соответствующую центробежной
силе инерции (силе отталкивания). В сумме с потенциальной энергией поля центробежная энергия дает
так называемую эффективную потенциальную энер-
гию ---- функцию радиальной координаты:
Uэф(r) = Eп(r) +
L
2mr
Полная энергия тела равна сумме кинетической
энергии (5.17) и потенциальной энергии в центральном
поле Eп(r):
2
E =
m˙r
2
L
+
2
2mr
+ Eп(r) =
2
m˙r
2
2
С учетом законов сохранения энергии (E = const
в потенциальном поле) и момента импульса (L = const
относительно силового центра в центральном поле) задача разделяется на две части: радиальную
r
dr
dt
=
h
2
E − Uэф(r)
m
2
L
+
2
2
. (5.17)
2
2mr
. (5.18)
+ Uэф(r). (5.19)
i
(5.20)
173
Г л а в а V
и угловую
dϕ
dt
=
L
, (5.21)
mr2(t)
где r(t) находится из решения (5.20) для радиального
движения.
Постоянные E и L определяются из начальных условий. Энергия E = mv
ной скорости и начальным расстоянием тела от центра,
2
/2+Eп(r0) задается модулемначаль-
0
момент импульса L = mr0v0ϕ---- начальными значениями
r и угловой составляющей скорости. Направление век-
тора L, определяющее плоскость орбиты, задается начальными направлениями радиус-вектора и скорости.
Величины E и L независимы друг от друга в том смысле,
что при заданном значении одной из них вторая может
изменяться в некоторых пределах.
Интегрирование (5.20)дает зависимость радиальной
координаты от времени
t =
Z
q
dr
, (5.22)
2hE − Uэф(r)i/m
из (5.21) определяется зависимость от времени полярного угла
ϕ =
Z
L
dt
m
. (5.23)
r2(t)
Деление (5.21) на (5.20) дает равенство, интегрирование которого позволяет получить уравнение траектории в полярных координатах:
ϕ = L
Z
2
r
dr
q
2mhE − Uэф(r)
. (5.24)
i
Таким образом, задача о движении тела (материальной точки) в центральном поле сводится к вычислению
интегралов (5.22)---(5.24) и подстановке в полученные
решения одного начального условия, например, начального значения полярного угла ϕ0, что эквивалентно заданию начала отсчета времени. Тем самым будут определены функции r = r(t), ϕ = ϕ(t) и r = r(ϕ), однозначно
заданные значениями постоянных m, L и E (в допустимых пределах),а также видомзависимости Eп(r) в (5.18).
Данное решение является общим для центральных полей любого вида, так как основывается на законах со-
хранения полной энергии и момента импульса.174
r
0
r
1
r
2
r
0
E, Uэф(r)
α < 0
α > 0
E
0
E
1
E
2
Задача Кеплера
При подстановке в (5.18) потенциальной энергии
кулоновского поля (3.48)
Eп(r) =
общая задача о движении в центральном поле переходит в задачу Кеплера. При α > 0 на тело будет действовать сила отталкивания, при α < 0 ---- сила притяжения.
Проведем качественный графический анализ движения в кулоновском поле, подобный проделанному выше
для одномерного радиального движения.
На рисунке 5.5 представлены примерные зависимости эффективной потенциальной энергии (5.18) от радиальной координаты в задаче Кеплера:
Uэф(r) =
Сплошная кривая соответствует силам притяжения,
пунктирная ---- силам отталкивания.
Согласно (5.19), (5.20),(5.22)
и (5.24) движение в центральном поле возможно только
при Uэф(r) ≤ E. Как видно
из рисунка, в случае отталкивания это условие выполняется лишь для положительных
значений полной энергии,причем движение всегда будет
инфинитным. Дляпритяжения при E >0 движение так-
же инфинитное, а при значениях полной энергии в интервале E0< E < 0 оно становится финитным.
Например, при E = E1, как следует из рисунка, движение возможно в интервале значений радиальной координаты r1< r < r2.
Функция Uэф(r) (5.25)при α < 0 имеет минимум в точке, определяемой из условия равенства нулю первой
производной
dUэф(r)
dr
= −
Решая данноеуравнение получимзначение радиальной координаты
r0= −L2/mα (5.26)
α
r
α
r
α
r
2
L
+
−
2
. (5.25)
2
2mr
Рис. 5.5
2
L
= 0 .
3
mr
175
(r0> 0, так как α < 0), соответствующее минимальной
механической энергии тела
2
E0= −
mα
. (5.27)
2
2L
Движение с E = E0возможно только при r= r0, то есть
это движение по окружности радиуса r0.
Точка орбиты, в которой расстояние тела от силового центра становится минимальным, называется пе-
рицентр, точка наибольшего удаления при финитном
движении ---- апоцентр1. При E = E1на рис. 5.5 перицентру соответствует r = r1, апоцентру r = r2. Перицентр и апоцентр называют также точками поворота.
В отличие от точек остановки при радиальном движении в точках поворота, согласно (5.19), обращается
в нуль (меняет знак) только радиальная составляющая
скорости тела, а не полная скорость.
Условием падения на центр называют условие, при
котором возможно выполнение равенства r = 0. Как
видно из рис. 5.5, для кулоновских сил отталкивания
данное условие не выполняется никогда, а для сил притяжения ---- лишь при L = 0, то есть при радиальном
движении, когда (5.19) переходит в (5.11).
Более слабое условие ---- условие падения на поверх-
ность выполняется в случае, если сумма радиусов взаимодействующих тел (расстояние между их центрами
при столкновении) превышает расстояние от силового центра до перицентра орбиты. Это условие может
быть выполнено при больших значениях полной энергии и малых значениях момента импульса как для сил
притяжения, так и для сил отталкивания.
Из трех интегралов (5.22)---(5.24) независимыми являются два. Получение, например, зависимостей r = r(t)
из (5.22) и ϕ= ϕ(t) из (5.23) означает параметрическое
определение уравнения траектории: r = r(ϕ). Обычно
в задаче Кеплера вычисляются интегралы (5.22) и (5.24).
В обоих случаях получается точное аналитическое решение: для радиальной координаты и времени ---в виде параметрической зависимости r = r(ψ), t = t(ψ)
1
Для спутников Солнца ---- перигелий и апогелий (афелий), для спутников Земли ---- перигей и апогей.
176
Г л а в а V
Задача Кеплера
(ψ ---- безразмерная переменная),для траектории---- в виде уравнения r = r(ϕ). Мы ограничимся нахождением
уравнения траектории.
Подставим в (5.24) функцию Uэф(r) (5.25)
Z
2mE −
L
m|α|
dr
α
−
r
2
L
2mr
2
2
, (5.28)
, (5.29)
p
dr.
2
r
ϕ = L
r
2
r
введем параметр p с размерностью длины (параметр
орбиты или фокальный параметр)
p =
и безразмерную переменную
p
ξ =
, dξ = −
r
Замена переменной интегрирования r на ξ в (5.28)
после преобразований дает
Z
2EL
mα
2EL
mα
2
ξ ∓ 1
dξ
2
± 2ξ − ξ
2
dξ
2
− (ξ ∓ 1)
2
= − arccos
=
2
2
x
,
A
p
r
.
.
2
∓ 1e ,
ϕ = −
r
Знак++,во втором слагаемом под радикалом соответствует случаю α < 0 (притяжение), знак+−,---- случаю
α > 0 (отталкивание). Выделение полного квадрата поз-
воляет привести данный интеграл к табличному виду
ϕ = −
Z
r
1 +
Учитывая, что
Z
dx
√
A2− x
в результате интегрирования получим
ϕ = arccos
p
1 + 2EL2/mα
177
Г л а в а V
где постоянная интегрированияположена равной нулю,
что соответствует выбору начала отсчета ϕ, e ---- экс-
центриситет орбиты
2
e =r1 +
Полученное решение представим в виде зависимости радиальной координаты от полярного угла
r =
где знак-+.соответствует притяжению (α < 0), знак
-−.
---- отталкиванию (α > 0). Данное уравнение явля-
ется уравнением класса кривых, называемых в аналитической геометрии коническими сечениями (кривая,
образуемая пересечением поверхности кругового конуса и плоскости). Началуотсчета в (5.31) соответствует
фокус кривой, поэтому форма уравнения конического
сечения (5.31) называется фокальной.
Радиальная координата не может быть отрицательной. В случае притяжения
r =
этому условию удовлетворяют все возможныезначения
эксцентриситета (5.30). При e < 1, то есть при отрицательной полной энергии, r изменяется в пределах
от r
до r
min
max
=
=
p
при ϕ = 2πn (n = 0, 1, 2, . . .)
1 + e
p
при ϕ = (2n + 1)π.
1 −e
Это соответствует инфинитной замкнутой орбите.
Уравнение (5.32) при e < 1 является уравнением эллипса. В предельном случае для e = 0 значение полной
энергии в (5.30) должно быть наименьшим из возможных: E = −mα2/2L2, что совпадает с (5.27), а радиальная
координата в (5.32) принимает единственное значение
r = p, которое, согласно (5.26) и (5.29), соответствует
радиусу круговой орбиты. При e = 1 (E = 0) уравнение (5.32) будет уравнением параболы. Полярный угол
в этом случае может принимать все значения в интер-
вале от −π до π, но при ϕ → ±π радиальная координата178
2EL
mα
p
±1 + e cos ϕ
p
1 + e cos ϕ
. (5.30)
2
, (5.31)
(5.32)
(5.33)
Задача Кеплера
O
0
C
p
b
a
c
r
ϕ
O
б
O
0
C
O
r
1
r
2
ϕ
c
a
p
b
α < 0 α > 0
а
стремится к бесконечности. При e > 1 (E > 0) область
изменения полярного угла становится ограниченной
условием cos ϕ > −1/e. В этом случае (5.32) задает ветвь
гиперболы.
Для поля отталкивания уравнение траектории
r =
дает значения r > 0 только при e > 1 (E > 0)
и cos ϕ > 1/e, то есть возможна только гиперболическая
орбита.
Отметим, что анализ уравнения траектории (5.31)
полностью соответствует результатампроведенного выше графического анализа движения материальной точки в кулоновском поле.
p
e cos ϕ − 1
(5.34)
На рисунке 5.6 представлены гипербола (а) и эллипс
(б). Ветвь гиперболы, охватывающая фокус O (начало
отсчета r), соответствует уравнению (5.32) при e > 1,
то есть полю притяжения, вторая ветвь соответствует полю отталкивания ---- уравнению (5.34) при том же
значении эксцентриситета.
Выбор начала отсчета ϕ (константы интегрирования
в уравнениитраектории), как видноиз рисунка, означает отсчет полярного угла от направления на перицентр
орбиты.
Фокальный параметр p согласно (5.32) как для эллипса, так и для гиперболы равен r(ϕ = ±π/2), то есть
расстоянию от фокуса O до точки орбиты в направлении, перпендикулярномоси, проходящей через фокусы
O и O
0
(большой оси). 179
Рис. 5.6
Большой полуосью эллипса (гиперболы) a называет-
ся расстояние от центра симметрии кривой C (в случае
гиперболы это центр симметрии двух ветвей) до перицентра.
Фокальным расстоянием c называется расстояние
между фокусом и центром симметрии (половина расстояния между фокусами Oи O0). Большая полуось ифокальное расстояние связаны соотношением c = ea. Для
эллипса e < 1 и c < a, для гиперболы e > 1 и c > a.
Малая полуось b для эллипса ---- расстояние от цен-
тра симметрии до ближайшей к нему точки кривой, для
гиперболы b ---- расстояние от вершины до асимптоты
(прямой, соответствующей предельному значению полярного угла) в направлении, перпендикулярном большой оси.
Рассмотрим более подробно эллиптические орбиты.
Для этого приведем уравнение эллипса относительно
фокуса в полярных координатах (5.32) к канонической
форме. Представим уравнение в виде
r + er cos ϕ = p
и введем декартову систему координат с началом отсчета в фокусе O. Ось Ox направим вдоль большой оси
в сторону перицентра, тогда r cos ϕ = x и r =px2+ y2.
С учетом этого перепишем уравнение в декартовых
координатах относительно фокуса
q
x2+ y2= p − ex.
Возведя обе части уравнения в квадрат, преобразуем
его к виду
x2+
2ep
1 −e
2
x +
y
1 −e
2
2
=
p
1 −e
2
.
2
Выделим полный квадрат переменной
x0= x +
ep
1 −e
,
2
в результате чего уравнение траектории приводится
к канонической форме
180
02
x
p2/(1 −e2)
+
2
2
y
p2/(1 −e2)
02
2
x
=
y
+
2
a
= 1. (5.35)
2
b
Г л а в а V
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]