Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Собственный момент импульса
нужно учитывать, что направления ортов скрепленной
системы отсчета изменяются во времени, а их производные определяются равенствами (1.48)).
В уравнении (2.46), содержащем производную угловой скорости и момент инерции относительно оси,
подразумевается, что величина Jzпостоянна. Этоусловие заведомо выполнено, если ось z является фиксированной осью вращения: ωωω = ω k, ωz= ω. Если же век-
тор ωωω имеет составляющую, перпендикулярную оси z
лабораторной системы отсчета, то момент инерции J
в общем случае уже не будет постоянным, так как переменными будут расстояния между осью и точками тела,
движущимися по окружностям в плоскости, нормаль
к которой не совпадает с z.
Компоненты тензора инерции (6.23)---(6.24) и осевой
момент инерции (6.30) определены для скрепленной си-
стемы отсчета, в которой они являются постоянными
величинами. При вращении тела вокруг фиксированной оси эта ось является единственной прямой, которая
может рассматриваться как неподвижная ось одновременно и в лабораторной и в скрепленной системах отсчета. Уравнение J
z
во только для вращения вокруг фиксированной оси (z).
Аналогичное уравнение в векторной форме: J˙ωωω = M
будет иметь место лишь в частном случае, когда все
главные моменты инерции тела равны (Jx= Jy= Jz= J), то
есть эллипсоид инерции превращается в сферу.
В соответствии с (6.37) векторы угловой скорости
и собственного момента импульса не параллельны друг
другу, если хотя бы один из осевых моментов инерции
отличается от двух других.
Направления ωωω и L совпадают только в случаях, ко-
гда вращение происходит вокруг какой-либо главной
оси инерции. Отсюда непосредственно следует очень
важный с практической точки зрения вывод: при сво-
бодном движении (Fe= 0, Me= 0) тело может вращаться
лишь вокруг одной из главных центральных осей инерции. Действительно, в этом случае центр масс должен
двигаться без ускорения, то есть вращение возможно
только вокруг фиксированной центральной оси, ориентация которой определяется постоянным по величине
˙
ωz= M
e
, таким образом, справедли-
z
z
e
221
Г л а в а VI
и направлениювектором ωωω. С другойстороны, согласно
уравнению моментов, при свободном движении сохраняется собственный момент импульса. Если ось вращения совместить с осью z скрепленной системы отсчета
(ωωω = ω k), то в соответствии с (6.36) составляющие мо-
мента импульса будут равны
Lx= Jxzω, Ly= Jyzω, Lz= Jzzω.
Оси x и y скрепленной системы отсчета в данном
случае вращаются вокруг оси z с угловой скоростью ω,
поэтому поперечная по отношению к оси z составляющая собственного момента
Lxy= ω(Jxzi + Jyzj)
должна вращаться вместе с ними. Сохранение собственного момента, следовательно, возможно лишь при
Lxy= 0, то есть при L = L k. Векторы L и ωωω , таким обра-
зом, оказываются параллельными, что возможно лишь
при вращении вокруг главной оси инерции. Отметим,
что для тел, у которых эллипсоид инерции является
сферой, то есть Jx= Jy= Jz(шар, сфера, куб), векторы ωωω и L параллельны всегда, поэтому при свободном
движении такие тела могут вращаться вокруг любой
центральной оси.
1
6.7. Динамика сферического движения
твердого тела
При сферическом движении начала координат лабораторной и скрепленной систем отсчета удобно совместить в неподвижной точке O. Тогда радиус-вектор
i---й частицы тела riбудет одним и тем же в лабо-
раторной и скрепленной системах отсчета. Скорость
i---й частицы в лабораторной системе отсчета vi= [ωωω ri].
Импульс тела массы m в лабораторной системе отсчета p = mvc= m[ωωω rc]. В случае, если полюс совпадает
с центром масс, rc= 0 и импульс тела равен нулю.
1
Это равенство с учетом (6.24) фактически было получено нами
ранее ---- см. (2.58) в главе 3.222
Динамика сферического движения твердого тела
Кинетическая энергия и момент импульса при сферическом движении выражаются формулами (6.25)
и (6.36):
Eк=
в которых тензор инерции должен быть определен относительно полюса O. Если в качестве координатных
осей скрепленной системы отсчета выбрать главные
оси инерции, выражения для кинетической энергии
и момента импульса примут вид соответственно (6.35)
и (6.37):
Уравнением движения телав данном случае является
уравнение моментов (6.16)
Данного уравнения достаточно для того, чтобы полностью определить движение тела при заданных начальных условиях, поскольку сферическое движение
характеризуется тремя степенями свободы.
В главный момент внешних сил Meне дает вклада
сила реакции N в точке O, поскольку линия действия
этой силы проходит через полюс, относительно которого определяются моменты. На практике иногда нужно
знать величину силы реакции, например, для оценки
предельной скорости, при которой прочность сцепления в закрепленной точке будет достаточной. В этом
случае можно использовать уравнение (6.15), переписав его в виде
N =
где Fe---- сумма всех действующих на тело внешних сил,
кроме силы реакции в неподвижной точке. Как можно видеть из этого равенства, при заданной Feсила
реакции возрастает с увеличением угловой скорости
квадратично, а в случае, если неподвижная точка совпадает с центром масс (rc= 0), N просто компенсирует
остальные внешние силы и не зависит от скорости вра-
щения. 223
X
1
Jαβωαωβ, Lα=
2
αβ
Eк=
1
2
Jxω
2
+ Jyω
x
X
Jαβωβ, α, β = x, y, z,
β
2
+ Jzω
y
Lx= Jxωx, Ly= Jyωy, Lz= Jzωz.
˙
L = Me.
dp
− Fe= m
dt
d
[ωωω rc] −Fe= m[˙ωωω rc] + [ωωω[ωωω rc]]− Fe,
dt
2
,
z
Г л а в а VI
Уравнение моментов можно представить в проекциях на оси лабораторной или скрепленной систем
отсчета. В большинстве случаев более удобным является второй способ. Рассмотрим уравнение моментов
в скрепленной системе отсчета, считая координатные
оси x00, y00и z00в этой системе отсчета главными осями
инерции тела относительно полюса.
При вычислении производной момента импульса
нужно учесть, что орты скрепленной системы отсчета являются переменными по направлению
00
+ J
00
i00+ J
00
00
z
00
z
dj
dt
00
y
00
y
ω
z
dω
00
y
dt
00
ω
y
y
00
= [ωωω j00],
00
˙
ω
j00+ J
y
00
y
00
ω
y
=
00
y
dj
00
ω
y
j00+ J
j00+ J
00
dt
00
j00+ J
+ J
00
z
00
z
00
z
00
z
00
˙
ω
z
00
z
00
ω
z
00
dω
z
k00+
dt
00
dk
00
ω
dk
dt
z
dt
00
.
= [ωωω k00],
k00+
00
ω
k00)i.
z
k00)i= [ωωω L],
(6.38)
(6.39)
dL
dt
= J
+ J
00
dω
x
00
x
00
x
i00+ J
dt
00
di
00
ω
x
dt
В соответствии с (1.48)
00
di
= [ωωω i00],
dt
что позволяет преобразовать (6.38) к виду
˙
00
00
L = J
˙
ω
x
+hωωω (J
x
x
i00+ J
00
ω
x
Раскрывая векторное произведение
h
00
ωωω (J
00
ω
i00+ J
x
x
получим
00
i
00
ω
x
00
J
x
00
j
ω
y
00
ω
00
J
x
y
k
00
ω
00
ω
J
y
00
00
00
= (J
)ω
00
ω
y
z
−J
z
y
i00+(J
00
00
00
)ω
00
ω
x
z
−J
x
z
j00+(J
00
−J
y
Составляющие производной момента импульса на
главные оси инерции (6.38)---(6.39), такимобразом, будут
равны
˙
00
00
00
00
00
00
)ω
)ω
)ω
00
ω
,
y
z
00
00
ω
,
x
z
00
00
ω
.
x
y
224
= J
= J
= J
˙
ω
+ (J
+ (J
+ (J
− J
z
y
00
00
− J
x
z
00
00
− J
y
x
x
x
00
00
˙
ω
y
y
00
00
˙
ω
z
z
L
x
˙
00
L
y
˙
00
L
z
00
00
00
)ω
ω
x
k00.
x
y
Гироскопы
Подстановка этих производных в уравнение момен-
тов приводит к так называемым динамическим уравне-
ниям Эйлера:
00
00
00
00
˙
J
ω
+ (J
+ (J
+ (J
− J
z
00
− J
x
00
− J
y
x
x
00
00
˙
J
ω
y
y
00
00
˙
J
ω
z
z
00
)ω
ω
y
y
00
00
)ω
ω
z
x
00
00
)ω
ω
x
x
e
00
= M
,
00
00
= M
= M
00
x
e
,
00
y
e
.
00
z
(6.40)
z
z
y
С помощью кинематическихуравнений Эйлера (6.11)
можно исключить составляющие угловой скорости
в скрепленной системе отсчета и представить динамические уравнения сферического движения в виде
системы дифференциальных уравнений для углов
Эйлера θ, ϕ, ψ.
00
00
Отметим, что при J
= J
x
00
= J
y
= J динамические
z
уравнения (6.40) принимают вид
J˙ω
e
00
= M
, J˙ω
x
00
x
e
00
= M
, J˙ω
y
00
y
e
00
= M
или J˙ωωω = Me.
z
00
z
6.8. Гироскопы
Гироскопы ---- устройства различных конструкций,
главным элементом которых является быстровращающееся твердое тело. Они известны в механике с начала
XIX в. Название6гироскоп7в дословном переводе означает6наблюдатель вращения7. Это название стало общепринятым благодаря Фуко, который использовал гироскоп в кардановом подвесе для прямого наблюдения
вращения Земли (1852 г., см. ниже). Явления, обусловленные быстрым вращением гироскопа и основанные
на сохранении его момента импульса при равенстве нулю внешних моментов сил либо на изменении момента
импульса при наличии внешних моментов сил, называются гироскопическими. В русскоязычной литературе
для гироскопа часто используется эквивалентное название волчок.
Наиболее актуальны гироскопы, в которых вращающийся элемент (ротор) является телом вращения,
то есть телом, совмещающимся с самим собой при
произвольном повороте вокруг некоторой оси симмет-
рии (оси вращения, называемой также геометрической 225
осью или осью фигуры гироскопа). Гироскопы с осью
Ω
z
z
00
ψ
ϕ
θ
mg
L
ωωω
0
O
вращения называют симметричными (симметричными
волчками). В дальнейшем прирассмотрении гироскопов
мы всюду будем подразумевать, что гироскоп является
симметричным.
В качестве примера гироскопического явления рассмотрим
движение детской игрушки ---юлы (рис. 6.13). При отсутствии
вращения практически невозможно установить юлу без поддержки так, чтобы ее геометрическая ось Oz00совпадала с вертикалью. Такое положение будет неустойчивым, поскольку
при малейшем отклонении от
вертикали (которое нельзя вточ-
Рис. 6.13
ности устранить) появится момент силы тяжести m g, увеличи-
вающий отклонение от равновесия.
Если же раскрутить юлу,то унее появитсясобствен-
ный момент импульса L= J0ωωω0(J0---- момент инерции от-
носительно оси вращения, ωωω0---- угловая скорость собственного вращения, равная по величине производной
эйлерова угла ψ: ω0=˙ψ). При малом угле отклонения оси Oz00от вертикали (угол нутации θ) и большом
собственном моменте импульса, как будет видно ниже,
полный момент импульса Lпотносительно неподвижной точки опоры O незначительно отличается от L, поэтому в уравнении моментов относительно O (полюса
сферического движения) можно в первом приближении заменить Lпна собственный момент импульса
˙
L = m[rcg] (6.41)
где rc---- радиус-вектор центра масс (точки приложения
силы тяжести mg), отложенный от точки опоры.
Момент силы тяжести Me= m[rcg] относительно
точки O ---- вектор, направленный перпендикулярно
плоскости zOz00(в положении, представленном на
рис. 6.13---- от читателя), поэтому приращениесобственного момента dL за малый промежуток времени dt будет направлено по касательнойк окружностив горизон-
226
Г л а в а VI
Гироскопы
тальной плоскости с центром на оси Oz. Это означает,
что ось Oz00будет двигаться по боковой поверхности
конуса с вершиной в точке O (рис. 6.13), то есть угол
нутации θ будет оставаться постоянным. Вращательное движение геометрической оси гироскопа вокруг
фиксированной оси Oz лабораторной системы отсчета
называется прецессией. При постоянном угле θ и постоянных величинах угловых скоростей ω0=˙ψ и Ω =˙ϕ
прецессия называется регулярной.
Из (6.41) видно, что производная момента импульса
и, следовательно, угловая скорость прецессии Ω =˙ϕϕϕ
будут тем меньше, чем меньше момент силы тяжести, который, в свою очередь, монотонно убывает с
уменьшением угла θ. При малом θ и большой угловой
скорости собственного вращения, таким образом, угловая скорость прецессии будет намного меньше, чем ω0,
то естьполная угловая скорость волчка ωωω = ωωω0+Ω будет
приблизительно равна ωωω0, а полный момент импульса
будет близок к моменту, связанному с собственным
вращением, что оправдывает принятое в (6.41) упрощение (Lп≈ L).
Ниже мы более подробнорассмотрим динамикупрецессии симметричного гироскопа, но здесь на основании приведенных соображений можно сделать важный
с практической точки зрения вывод: близкое к верти-
кальному положение быстровращающегося волчка будет устойчивым в отличие от аналогичного положения
при отсутствии вращения. Прецессия реального гироскопа (с учетом сил трения в опоре) при определенных
условиях может обеспечить не только сохранение угла
нутации, но и возврат волчка в вертикальное положение, если отклонение возникло в результате кратковременного действия внешних сил.
Данный гироскопический эффект лежит в основе
применения гироскопов вкачестве стабилизаторов движения. Для этой цели ось вращения гироскопа жестко
скрепляется с корпусом движущегося аппарата. Ротор
гироскопа должен обладать значительным моментом
инерции, сравнимым с моментом инерции всего снаряда. Собственное вращение поддерживается электродвигателем с регулируемой скоростью вращения. Сигнал на увеличение скорости собственного вращения
227
Г л а в а VI
D
0
D
1
A
A
0
B
B
0
2
3
подается автоматически как реакция на появление прецессии в результате изменения ориентациив пространстве. Впервые в этом качестве гироскоп был применен
в 80-х годах XIX в. для стабилизации курса торпеды.
В дальнейшем данное направление практического применения гироскопов получило широкое распространение в технике, в частности, для стабилизации курса
ракеты, обеспечения устойчивости вагона на монорельсовой железной дороге.
Рис. 6.14
Гироскоп называется свободным, еслидействующий
на него момент внешних сил относительно неподвижной точки (точки опоры или подвеса) равеннулю. Точка
опоры свободного гироскопа должна, очевидно, совпадать с его центром масс, иначе отличным от нуля будет момент силы тяжести. Наиболее распространенной
конструкцией свободного гироскопа является гироскоп
в кардановом подвесе (рис. 6.14). Он состоит из внеш-
неподвижной в лабораторной системе отсчета (скреп-
ней рамы (1 ), которая может вращаться вокруг оси AA0,
ленной с массивным корпусом прибора), внутренней
рамы (2 ) с осью вращения DD0, закрепленной на внешней раме перпендикулярно AA0, а также ротора (3 ),
ось вращения которого BB0закреплена на внутренней
раме перпендикулярно оси DD0.
228
Гироскопы
При произвольном вращательном движении данное
устройство будет иметь неподвижную точку в случае,
если в этой точке пересекаются все три оси: AA0, DD
и BB0. Гироскоп, у которого точка пересечения осей
совпадает с центром масс, называется уравновешенным
или астатическим. Такой гироскоп будет свободным.
Разумеется, астатический гироскоп является идеализацией реального прибора, в которомневозможно добиться абсолютно точного пересечения осей вращения
в одной точке и совмещения этой точки с центром масс.
Кроме того, в реальных условиях всегда будут присутствовать силы тренияв подшипниках осей,тормозящие
моменты которыхприводят к отклонениюот идеальной
модели свободного гироскопа.
Ось ротора BB0(ось фигуры) соответствует оси z
на рис. 6.8, а угол поворота вокруг нее ---- эйлерову углу собственного вращения ψ. Будем называть BB0осью
собственного вращения. Ось DD0соответствует линии
узлов, угол поворота вокруг нее ---- угол нутации θ. Поворот внешней рамы вокруг фиксированной в лабораторной системе отсчета оси AA0(z на рис. 6.8) соответствует
углу прецессии ϕ.
Гироскоп с тремя осями вращения и, следовательно,
тремя степенями свободы называется трехстепенным.
Гироскоп с одной рамой и двумя взаимно перпендикулярными осямивращения называют двухстепенным.
Если внешнюю раму трехстепенного гироскопа жестко
скрепить с корпусом или с внутренней рамой (заблокировать вращение либо вокруг оси AA0, либо вокруг оси
DD0), то он станет двухстепенным.
Момент инерции ротора относительно оси собственного вращения по отношению к моментам инерции
внутренней и внешней рам обычно делается наибольшим в пределах возможностей, допустимых конструкцией прибора, кроме того, угловая скорость собственного вращения ω0=˙ψ в актуальных для изучения случаях значительно превышает˙θ и˙ϕ , поэтому вкладами
рам в кинетическую энергию и момент импульса обычно пренебрегают. Энергию вращения и момент количества движения гироскопа считают равными соответственно кинетической энергии и моменту импульса ротора. Тем не менее, полная угловая скорость гироскопа
0
00
229
Г л а в а VI
A
0
A
z
D
0
D
N
B
0
B
z
00
ωωω
0
ωωω
1
ωωω
2
ωωω
O (C )
а
z
00
ω
k
ω
⊥
J0ω
k
J1ω
⊥
ωωω
0
ωωω
L
O (C )
б
ωωω при отличных от нуля ωωω1=˙ϕϕϕ и ωωω2=˙θθθ-(угловые скоро-
сти внешней рамы 1 и внутренней рамы 2) не совпадает
с угловой скоростью собственного вращения ωωω0=˙ψψ.
Она выражается векторной суммой (6.7), которая в данном случае принимает вид
ωωω =˙ψψ +˙ϕϕϕ +˙θθθ-= ωωω0+ ωωω1+ ωωω2. (6.42)
Мгновенная ось вращения гироскопа (линия векто-
ра ωωω), таким образом, не является осью собственного
вращения (рис. 6.15,а).
Рис. 6.15
Разложим вектор ωωω на продольную (вдоль оси соб-
ственного вращения Oz00) и поперечную (перпендикулярную этой оси) составляющие: ωωω = ωωωk+ ωωω⊥. Основной
вклад в продольную составляющую дает собственное
вращение. Угловая скорость ωωω2имеет только поперечную составляющую, так как ее направление (линия узлов ON) перпендикулярно оси Oz00. Вектор ωωω1направлен поотношению к векторуωωω0под угломθ, поэтому его
продольной и поперечной составляющими будут соответственно ω1k= ω1cos θ и ω1⊥= ω1sin θ. Составляющие
полной угловой скорости, таким образом, равны
ωk= ω0+ ω1cos θ, ω⊥= ω2+ ω1sin θ. (6.43)
Поскольку мгновенная ось вращения не является
главной осью инерции (вектор ωωω не лежит на оси соб-
ственного вращения и не перпендикулярен ей)1, линии
1
Данное обстоятельствоне противоречит выводу,сделанному в параграфе 6.6 (с. 221), о том, что при свободном движении тело может
вращаться лишь вокруг одной из главных центральных осей инерции. Дело в том, что для свободного гироскопа моменты внешних
сил уравновешены, но сами внешние силы, а именно, силы реакции
в подшипниках, периодически меняются во времени, что и приводит
к различию направлений ωωω и ωωω0, а также к изменению этих направ-
лений с течением времени.230
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]