Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Измерение скорости света
Радиоволны, отражаясь от противоположных стенок
металлического резонатора, образуют стоячую волну
при условии, что расстояние между стенками равно
целому числу полуволн: l = nλ/2, n = 1, 2, . . . Изменяя
частоту ν или размеры резонатора l, можно с высокой точностью зарегистрировать момент образования
стоячей волны и найти скорость света (скорость распространения электромагнитной волны) по формуле
c = λν.
В радиолокационном методе используется передатчик, излучающий короткие электромагнитные импульсы, и два устройства, принимающие и переизлучающие эти импульсы с усилением (импульсные повторители). Переизлученные импульсы принимаются прибором, совмещенным с передатчиком. Зная расстояния
от передатчика до повторителей, по разности времени
прихода переизлученных сигналов можно определить
скорость света.
Световой луч лазера имеет большую интенсивность
и остается параллельным на больших расстояниях.
Интенсивность луча модулируют электрооптическим
устройством, называемым ячейкойКерра. Световой сигнал проходит расстояние порядка 10 км и, отражаясь
от зеркала, возвращается к источнику, где регистрируется фотоэлементом. Чувствительность фотоэлемента также подвергается модуляции с той же частотой
и тем же прибором, который подает модулирующий
сигнал на ячейку Керра, то есть излучаемый лазером
свет и чувствительность приемника модулируются синхронно. Максимальная величина принимаемого сигнала достигается при условии, что время прохода света
до зеркала и обратно соответствует целому числу периодов модуляции T = 1/ν. Если l ---- расстояние, пройденное светом до зеркала и обратно, то
l
nT
lν
=
, n = 1, 2, . . .
n
c =
Регулируя частоту модуляции можно получить серию
максимумов, соответствующих разным значениям n,
и определить по соответствующим частотам скорость
света. 311
Современные данные о скорости света в вакууме
настолько точны и надежны, что, как уже упоминалось,
эталон метра в настоящее время привязан к величине
скорости света, поэтому значение (9.1) приводится без
указания погрешности.
9.2. Абсолютность скорости света
В классической механике действует принцип относительности Галилея (см. 2.7),согласно которомуво всех
инерциальных системах отсчета механическиепроцессы и явления протекают одинаково, а уравнения движения имеют одинаковый вид. Это означает равноправие
инерциальных системотсчета, то есть отсутствиесреди
них какой-либо выделенной системы отсчета.
Созданная во второй половине XIX в. теория электромагнитных явлений ---- электродинамика Максвелла
рассматривала электромагнитную волну как волну возмущения в гипотетической упругойсреде ---- эфире. Теория Максвелла позволила вычислить скорость электромагнитной волны относительно эфира. Результат вычисления с удивительной точностью совпал с измеренной к тому времени скоростью света. С этого момента
свет стал интерпретироваться как электромагнитная
волна.
По существовавшим тогда представлениям свет
(электромагнитная волна) должен был иметь фиксированную скорость c только относительно эфира. В остальных системах отсчета для скорости света должна действовать классическая теорема сложения скоростей. При этом оказывалось, что уравнения электродинамики, полученные Максвеллом, имеютсвой обычный
вид только в системе отсчета эфира, в остальных системах отсчета они должны преобразовываться таким образом, чтобыполучаемая из них скорость светасоответствовала скорости для данной системы отсчета с учетом
ее движения. Это означало бы, что для электромагнитных явлений, в отличие от механических, существует
выделенная система отсчета,связанная с неподвижным
эфиром.
312
Г л а в а IX
Абсолютность скорости света
O
S
D
L
R
A
R
B
R
1
V
V
c
0
c
Экспериментальное обнаружение отличия скоростей света в разных системах отсчета путем измерения их абсолютных значений в XIX в. было невозможно, так как оценки погрешности измерений в опытах
Физо и Фуко составляли ∼ 500 км/с, а наибольшая
доступная для сравнения в опыте относительная скорость ---- орбитальная скорость Земли ---- около 30 км/с.
Однако точность измерения разности значений скорости света, распространяющегося в двух различных
направлениях, намного выше. Такие измерения в конце XIX в. стали возможны.
На рисунке 9.5 представлена
упрощенная схема интерферометра, использованного Майкель-
соном для измеренияразности величин скорости света приего распространении в двухвзаимно перпендикулярных направлениях.
Свет от источника S через диафрагму D попадает на линзу L,
которая формирует узкий параллельный пучок. На полупрозрачном зеркале R1пучок разделяется на прошедший в направлении зеркала RAи отраженный в направлении
зеркала RB. Отраженный от RAсвет частично отражается зеркалом R1, а отраженный от RB---- частично
проходит через него. В результате пучки, прошедшие
по путям R1RAR1и R1RBR1совмещаются в один пучок
в направлении зрительной трубы O. При их наложении в фокальной плоскости зрительной трубы формируется интерференционная картина: при монохроматическом источнике света ---- чередование максимумов
и минимумов освещенности. Максимумы соответствуют разности хода между пучками, равной целому числу
длин волн (четному числу полуволн). При этом электромагнитные колебания двух совмещенных пучков в фокальной плоскости оказываются в одинаковой фазе.
Для минимумов разность хода равна нечетному числу
полуволн. В этом случае колебания происходят в противофазе и гасят друг друга. Полосой интерференции
называется наблюдаемое расстояние между соседни-
Рис. 9.5
313
ми максимумами или минимумами, соответствующее
разности хода, равной одной длине волны: ∆ = λ или
разности фаз колебаний 2π.
Если считать Солнце неподвижным относительно
эфира, то скорость света относительно Солнца равна
c во всех направлениях. Пусть прибор ориентирован
так, что ось S R1RAпараллельна орбитальной скорости
Земли V, как показано на рис. 9.5. Тогда скорость света
относительно прибора в направлении R1RAравна c − V ,
в противоположном направлении c + V. Время прохождения светом пути 2l от R1до RAи обратно равно
2l
≈
1 +
c
tA=
l
c −V
+
l
c + V
=
2l
c (1 −V2/c2)
Здесь использовано приближение
1
≈ 1 + x
1 − x
при малом x, поскольку V c. В поперечном по отношению к V направлении скорость света относительно
Солнца c и скорость относительно прибора c0должны
подчиняться классическому соотношению c = c0+ V,
что приводит к выражению для модуля относительной
поперечной скорости света
2
c0=√c2− V2= cr1 −
V
2
c
(см. вставку к рис. 9.5), а время прохождения света
по пути от R1до RBи обратно при R1RA= R1RB= l равно
tB=
2l
cp1 −V2/c
2l
≈
2
1 +
c
2c
!
2
V
,
2
где использовано приближение√1−x ≈ 1 − x/2 и предыдущее приближение при |x| 1.
Таким образом, световой пучок, разделенный зеркалом R1и отраженный зеркалом RA, по отношению
к пучку, отраженному зеркалом RB, возвращается с задержкой
tA− tB=
lV
2
3
c
с точностью до величин более высокого порядка по
отношению к малому параметру V/c 1. Эта временн´ая
314
Г л а в а IX
!
2
V
.
2
c
Абсолютность скорости света
задержка дает добавку к геометрической разности хода
между интерферирующими пучками
2
∆ = c (tA− tB) =
При повороте интерферометра на 90oс направлени-
ем вектора орбитальной скорости Земли V совпадет ось
R1RB, в результате чего возникнет таже дополнительная
разность хода, но противоположного знака. Интерференционные картины, наблюдаемые в двух взаимно ортогональных ориентациях интерферометра, в соответствии с этими расчетами должны быть смещены по отношению друг к другу на величину, которую можно
охарактеризовать отношением разности хода к длине
волны, то есть долей интерференционной полосы
2∆
=
λ
В первом опыте Майкельсона (1881 г.) длины плеч
интерферометра l были равны примерно 1, 2 м, использовался монохроматический свет с длиной волны λ = 590 нм (0, 59 ·10−6м). Подставляя V = 30 км/с
и c = 300 000 км/с, получаем из (9.3) относительное смещение 2∆/λ ≈ 0, 04 полосы (1/25 полосы). На опыте смещения обнаружено не было, однако результат не мог
считаться надежным, поскольку, во-первых, ожидаемое
значение измеряемой величины было одного порядка
с погрешностью измерения, во-вторых, из-за вибраций интерференционная картина была неустойчивой,
в-третьих, нельзябыло исключить возможность случайных деформаций при повороте прибора, в результате
которых могла появиться неконтролируемая геометрическая разность хода (для сдвига в 1/25 полосы достаточно деформации, приводящей к изменению длины
одного из плеч интерферометра на λ/25 ≈ 24 нм).
Второй опыт Майкельсон провел совместно с Морли
в 1887 г. В этом опыте детали интерферометра монтировались на массивной квадратной каменной плите,
которая могла плавно поворачиваться вокруг вертикальной оси, опираясь на кольцо полукруглогосечения,
помещенное в наполненный ртутью кольцевой желоб.
Наблюдения проводились в процессе непрерывного 315
lV
.
2
c
2
2lV
. (9.3)
2
λc
медленного вращения интерферометра, что позволяло
контролировать возможные вибрации и отсутствие искажений, вызванных деформацией основания. Длины
плеч интерферометра были увеличены за счет системы
зеркал, установленных по диагоналям основания, многократно отражаясь в которых свет от разделяющего
зеркала R1до повторного попадания на него проходил
путь примерно 22 м (l ≈ 11 м с учетом нескольких отражений). Этопозволило увеличить ожидаемую величину
относительного смещения интерференционной картины (9.3) до 2∆/λ ≈ 0, 37 полосы.
В этих условиях было надежно установлено, что экспериментальное смещение намного меньше величины
(9.3). В пределах максимально возможной погрешности
(∼ 1/20 полосы) смещения обнаружено не было, кроме
того были основания с большой степенью вероятности
утверждать, что смещение не превышает 1/40 полосы.
Это означает, что скорость движения Земли относительно эфира (скорость эфирного ветра) должна быть
вероятно в√40 ≈ 6, 3 раза и точно в√20 ≈ 4, 5 раза меньше ее орбитальной скорости. Иными словами,
модель, в которой Земля движется относительно эфира
и действует классическое правилосложения скоростей,
на основании опыта Майкельсонаи Морлидолжна быть
признана несостоятельной.
В выкладках, приводящих к (9.3), не учитывалась
скорость движения Солнца относительно эфира. При
учете этой скорости, точнее ее составляющей в плоскости земной орбиты, величина смещения должна быть
больше рассчитанной по формуле (9.3) и периодически изменяться с периодом один год (время, за которое
направление орбитальной скорости V меняется на противоположное и возвращается к прежнему). Поскольку
в опытах, проводившихся в течение более половины года, не были зарегистрированы ожидаемые смещения,
не было обнаружено и их изменение.
Опыт Майкельсона и Морли,повторявшийся напротяжении нескольких десятилетий для различных длин
волн, на большой высоте (в горах), под землей, на
разных континентах и в разное время года, для разных источников света (начиная с 50-х годов XX в. ис-
316
Г л а в а IX
Преобразования Лоренца
пользовалось лазерное излучение, обладающее высокой степенью монохроматичности и большой интенсивностью пучка), неизменно давали отрицательный
результат ---- скорость света не зависит от движения
системы отсчета, то есть имеет одинаковую величину
во всех системах отсчета.
Результат опыта Майкельсона и Морли и его мно-
гочисленные подтверждения позволяют сделать вывод
об отсутствии выделенной системыотсчета, связанной
с гипотетическим эфиром. Скорость света одинакова во
всех системах отсчета, то есть является инвариантом
по отношению к переходу между различными системами отсчета. В этом смысле говорят об абсолютности
скорости света.
Следует отметить, что инвариантом является только
величина скорости света, но не ее направление. Поэтому приведенные в 9.1 рассуждения Брэдли о причине
аберрации звезд и ее количественной оценке с точностью до малых величин более высокого порядка остаются в силе. С учетом абсолютности скорости света
треугольник на рис. 9.2,а должен быть равнобедренным, однако при α = 9, 93 · 10−5рад с высокой точностью tg α = sin α = α[рад], то есть указанное уточнение
не приводит к существенному изменению результата
вычисления c по измеренному углу аберрации.
9.3. Преобразования Лоренца
Отсутствие инвариантности уравнений движения
электромагнитного поля (уравнений электродинамики
Максвелла) относительно перехода между инерциальными системами отсчета, приводящее к возможности
существования выделенной системы отсчета для электромагнитных явлений, не устраивало физиков на рубеже XIX и XX вв. Дополнительным основанием постановки проблемы инвариантности электродинамических уравнений послужило прямое экспериментальное
доказательство отсутствия выделенной системы отсчета для света, полученное в опытах Майкельсона и Морли.
317
Г л а в а IX
O
O
0
x, x
0
y
K
z
y
0
K
0
z
0
v
Уже в конце XIX в. стало ясно, что инвариантность
уравнений Максвелла может быть обеспечена, если
при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую провести линейные преобразования координат и времени, зависящие от относительной скорости систем отсчета. Эти преобразования в том виде, в котором они используются до настоящего времени, были получены Лоренцем (1904 г.) и Пуанкаре
(1905 г.). Пуанкаре, давший им название преобразо-
ваний Лоренца, доказал к тому же, что они являются
единственными линейными преобразованиями координат и времени, обеспечивающими инвариантность
уравнений электродинамики.
Пусть инерциальные системы отсчета K и K0движутся относительно друг
друга со скоростью v. Поскольку скорость относительного движения постоянна по
величине и направлению,
удобно одну из координатных осей в каждой из систем
Рис. 9.6
O и O0расположить на этой оси. Традиционно в каче-
стве осей, направленных вдоль скорости относительного движения, выбирают оси x и x0. Тогда картина
относительного движения систем отсчета K и K0соответствует представленной на рис. 9.6. Если в начальный
момент времени t = 0 началакоординат Oи O0совпадают,
то дляданной геометриикоординатных осей и скорости
v преобразования Лоренца имеют вид
где x, y, z, t ---- координаты и время для материальной точки в системе отсчета K, x0, y0, z0, t0---- координаты и время
318
отсчета совместить с линией
скорости, а начала координат
x −vt
x0=
p
1 −β
,
2
y0= y, z0= z,
p
1 −β
2
,
2
t0=
t − vx/c
(9.4)
Преобразования Лоренца
для той же точки в системе отсчета K0, c ---- скорость
света в вакууме, β = v/c ---- скорость относительного
движения в единицах скорости света. При скорости
относительного движения намного меньшей скорости
света (v c, β → 0) преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея (1.38), имеющие место
в нерелятивистской механике.
Обратные преобразования, позволяющие выразить
координаты x, y, z и время t в системе отсчета K через координаты x0, y0, z0и время t0в системе отсчета
K0, получаются из (9.4) заменой v на −v и взаимной
перестановкой x, y, z, t ↔ x0, y0, z0, t0:
0
x0+ vt
x =
p
y = y0, z = z0,
t0+ vx0/c
t =
p
Отметим еще раз, что физический смысл преобразований Лоренца заключается в том, что они являются единственными линейными преобразованиями координат и времени, сохраняющими инвариантность
уравнений электродинамики при переходе между инерциальными системами отсчета. Поэтому любой вы-
вод этих преобразований, основанный исключительно
на кинематическихсоображениях, строго говоря, будет
не вполне корректным. Тем не менее, приведем один
из выводов, отличающийся, на наш взгляд, простотой
и наглядностью1.
Пусть в момент времени t = 0 в общем начале координат систем отсчета K и K0происходит вспышка
света от источника, неподвижного в системе отсчета K.
Волновой фронт световой волны в системе отсчета K
будет иметь форму сферы с радиусом, возрастающим
со скоростью c:
x2+ y2+ z2= c2t2, (9.6)
1
Данный вывод преобразований Лоренца заимствован из учебника: Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Механика: Берклеевский курс
физики. Т. 1. М.: Наука: Главная редакция физико-математической
литературы, 1975. 319
1 −β
1 −β
,
2
(9.5)
2
.
2
Г л а в а IX
но поскольку в штрихованной системе отсчета независимо от ее движения свет распространяется с той же
скоростью по всем направлениям, то уравнение волнового фронта в K0также является уравнением сферы
радиуса ct0:
x02+ y02+ z02= c2t02. (9.7)
Точке волнового фронта с координатами x, y, z в момент времени t в системе отсчета K будет соответствовать точка с координатами x0, y0, z0в момент времени t
в системе отсчета K0, причем преобразования координат и времени должны быть такими, чтобы равенства
(9.6) и (9.7) выполнялись совместно. Найдем эти преобразования для случая относительного движения систем
отсчета, показанного на рис. 9.6.
Вначале предположим, что для координат и времени действуют классические преобразования Галилея
(1.38): x0= x −vt, y0= y, z0= z, t0= t. Подстановка этих
преобразований в (9.7) дает
x2− 2xvt + v2t2+ y2+ z2= c2t2, (9.8)
что явно не соответствует (9.6). Таким образом, преоб-
разования Галилея не удовлетворяют условию инвариантности скорости света.
Попытаемся изменить преобразования Галилея таким образом, чтобы добиться согласования (9.6) с (9.7)
и чтобы измененные преобразования были линейными по отношению к координатам и времени. Заметим,
что расхождения (9.8) и (9.6) затрагивают тольковремя и
координату x, поэтому дляпреобразований поперечных
по отношению к скорости координат y и z изменения
не нужны. Слагаемое, содержащее произведение xt,
можно устранить, используя преобразования x0= x − vt
и t0= t − vx/c2, тогда вместо (9.8) получим
2
x2+ v2t2+ y2+ z2= c2t2+
или
2
x
1 −
!
2
v
+ y2+ z2= c2t
2
c
Теперь для согласования с (9.6) остается избавиться
от множителя (1 −v2/c2), который оказался одинаковым
в слагаемых, содержащих x2и t
v2x
2
c
2
2
. Это можно сделать,320
1 −
!
2
v
. (9.9)
2
c
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]