Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Упругая волна в среде
Поскольку смещение ξ является функцией x и t, вопределении деформации ε(x, t) используется обозначение
частной производной.
Опыт показывает, что для однородного стержня при
малых деформациях (когда можно использовать модель
упругой деформации) величина ε(x, t) пропорциональна силе упругости F(x), действующей на данное сечение, и обратно пропорциональна площади сечения S :
ε(x, t) =
Коэффициент пропорциональности, представленный в виде 1/E, определяется свойствами материала,
из которого изготовлен стержень. Величина E, характеризующая упругие свойства материала, называется
модулем Юнга. Силу, отнесенную к единичному сечению: σ = F/S , называют напряжением стержня (упругим
напряжением).
Если упругая сила (как в рассматриваемом нами
случае продольной волны) направлена перпендикулярно сечению, упругое напряжение называется нормаль-
ным. При касательном направлении силы ее отношение
к площади поверхности, на которуюона действует, дает
тангенциальное напряжение. В отличие от нормального напряжения σ тангенциальное напряжение принято
обозначать τ.
Пусть на один конец однородного упругого стержня
длины l действует постоянная сила F в продольном направлении, а другой конецзафиксирован. Силаупругой
деформации в каждом сечении стержня в этом случае
будет одинаковой и равной по величине F. В соответствии с (10.63) эта сила связана с деформацией стержня
равенством F = ES ε.
Деформация ε при этом должна быть одинаковой
для любого сечения и равной 4l/l. Удлинение стержня
4l положительно при деформации растяжения и от-
рицательно при деформации сжатия. Сила упругости
направлена в сторону, противоположную 4l, так как
стремится вернуть стержень в недеформированное состояние. С учетом этого выражение для силы упругости
можно представить в виде
F = −
1EF
ES
4l = −k4l , (10.64)
l
σ
=
S
. (10.63)
E
391
Г л а в а X
соответствующем закону Гука(3.51). Коэффициент упругости стержня, таким образом, пропорционален площади его сечения и обратно пропорционален длине:
S
k = E
Коэффициентом пропорциональности является модуль Юнга, характеризующий свойства материала
стержня. В отличие от модуля Юнга, зависящего только
от свойств среды, коэффициент упругости определяется также геометрическими характеристиками стержня ---- площадью сечения и длиной. В частности, для двух
одинаковых стержней, соединенных параллельно, коэффициент упругости будет вдвое больше, чем для одного стержня. При последовательном соединении суммируются обратные величины коэффициентов упругости. Действительно,удлинения стержней, соединенных
последовательно, суммируются: 4l = 4l1+ 4l2, а силы
упругости в каждом из стержней одинаковы:
k14l1= k24l2= k(4l1+ 4l2).
Отсюда 4l2/4l1= k1/k2и k14l1= k4l1(1 + k1/k2).
Сократив 4l1, получим
. (10.65)
l
1
1
=
k
В частности, для одинаковых стержней при последовательном соединении коэффициент упругости в два
раза меньше, чем для каждого в отдельности.
Определив основные величины, относящиеся к продольной упругой деформации, вернемся к рассмотрению упругой волны в длинном однородном стержне.
Рассмотрим цилиндр, прилегающий к сечению x
(рис. 10.12).Высота цилиндра в недеформированном состоянии δx настолько мала, что при распространении
упругой волны мгновенныевеличины ускорения частиц
в пределах от x до x + δx можно считать одинаковыми:
a(x, t) = ∂2ξ/∂t2. Объем цилиндра в отсутствии деформа-
ции δV = S δx, его масса δm = ρS δx, где ρ ---- плотность
недеформированной среды.
392
1
+
k
.
k
1
2
Упругая волна в среде
S
x
x + δx
δx
ξ ξ + δξ
σ σ + δσ
Напряжение σ, действующее на сечение x + ξ
со стороны левой части стержня, будет направлено
в сторону, противоположную смещению (возвращающая сила). При положительном смещении направление
этой силы ---- справа налево. Так же будет направлено
напряжение, приложенное к сечению x + δx + ξ + δξ
со стороны левой по отношению
к этому сечению части стержня,
то есть со стороны рассматриваемого цилиндра. Напряжение σ+ δσ,
приложенное к тому же сечению
x + δx + ξ + δξ со стороны правой
части стержня, то есть действую-
щее на цилиндр справа, имеет противоположное направление.
Суммарная сила, действующая на выделенный ци-
линдр, таким образом, равна F = S (σ + δσ) − S σ = S δσ.
Ввиду того, что смещения частиц крайне малы, деформацию в области, заключенной между сечениями
x и x + ξ, можно считать одинаковой и равной ε(x, t).
Точно так же одинаковой можно считать деформацию
между сечениями x + δx и x +δx + ξ + δξ. Она будет равна
ε(x + δx, t). С учетом этого и с помощью формул (10.62),
(10.63) находим
С точностью до малых величин более высокого по-
рядка по отношению к δx
где производные вправой части равенства вычисляются
для сечения x. Сила, действующаяна рассматриваемый
нами цилиндр, таким образом, равна
Динамическое уравнение движения цилиндра
F(x, t) = a(x, t)δm после подстановки силы, массы и уско-
рения принимает вид
δσ = E[ε(x + δx, t) − ε(x, t)] = E
!
∂ξ
∂x
x+δx
∂ξ
=
+
∂x
F = S δσ = ES
∂2ξ
ES
∂x
δx = ρS
2
∂2ξ
∂x
∂2ξ
∂x
∂2ξ
∂t
Рис. 10.12
"
!
∂ξ
∂x
δx,
2
δx.
2
δx
2
x+δx
!x#
∂ξ
−
∂x
.
393
Г л а в а X
или
где значения производных берутся для сечения x в момент времени t, ρ ---- плотность недеформированной
среды (при распространении упругой волны мгновенное значение плотности отличается от ρ на величину
4ρ, которая является функцией координат и времени
волнового типа с фазой, соответствующей фазе волны).
Уравнение (10.66) совпадает с волновым уравнением
плоской волны (10.56), причем фазовая скорость про-
дольной волны оказывается однозначно определенной
свойствами среды ---- плотностью и модулем Юнга:
Обратим внимание на то, что фазовая скорость незатухающей продольной волны не зависит от геометрии
стержня ---- площади сечения и длины. Она может рассматриваться как характеристика упругих свойств однородной изотропной среды в том смысле, что скорость (10.67) будут иметь продольные волны всех частот
и всех направлений в данной среде, следовательно, волны с любой формой волнового фронта.
Теперь обратимся крассмотрению поперечной упругой волны, которая, как мы уже знаем, в отличие от продольной волны, может распространяться только в твердых упругих средах. Для этого вначале нам нужно
дать определения величинам, описывающим упругую
деформацию сдвига.
Пусть к противоположным граням прямоугольного
параллелепипеда приложены касательные силы
F1= −F2(рис. 10.13). Если параллелепипед изготовлен из
однородного упругого материала, а силы равномерно
распределены по плоскостям граней, в любом сечении,
параллельном плоскостям приложения сил, возникнут
силы упругой деформации, равные по величине силам
F1и F2: F = F1= F2.
При направлениях, показанных на рисунке, силы
упругой деформации, действующие со стороны левой
части тела на правую, в каждом сечениибудут направлены вверх, силы действующие со стороны правой части
на левую ---- вниз.
394
∂2ξ
∂x
ρE∂2ξ
2
v =
=
p
, (10.66)
2
∂t
E/ρ. (10.67)
Упругая волна в среде
y
x
F
1
F
2
4y
ϕ
δx
δy
Тангенциальное напряжение
τ = F/S (10.68)
(S ---- площади сечений, к которым приложены упругие
силы F) при равномерном распределении сил по площадям и однородном материалебудет одинаковым в любой
точке параллелепипеда.
Под действием внешних сил F
и F2грани сместятся относительно друг друга на 4y. Равномерность распределения упругих напряжений приводит к тому, что
отношение поперечного смещения
4y к продольному размеру тела x
будет таким же, как отношение
смещения δy противоположных
границ любого слоя, параллельного упругим силам,
к толщине этого слоя δx. Это означает, что грань, перпендикулярная силам, повернется по отношению к своему положению в недеформированном теле на угол ϕ,
определяемый из соотношения tg ϕ = 4y/x = δy/δx.
В реальности смещения малы (4y x, δy δx),
поэтому с высокой точностью tg ϕ ≈ ϕ [рад]. Деформацию сдвига можно количественно охарактеризовать
величиной
γ = 4y/x = δy/δx = tg ϕ ≈ ϕ, (10.69)
называемой относительным сдвигом или деформацией
сдвига. Отметим, что, как и деформация растяжения
(10.62), деформация сдвига является безразмерной величиной.
При малых смещениях, когда можно использовать
модель упругой деформации (при прекращении воздействия тело принимает начальную форму), деформация сдвига пропорциональна тангенциальному напряжению
Величина G, входящая в коэффициент пропорциональности, называется модулем сдвига. Она характеризует упругие свойства материала по отношению к деформации сдвига.Модуль Юнга в соответствии с (10.63)
γ =
τ
G
1
Рис. 10.13
F
=
. (10.70)
GS
395
Г л а в а X
x
y
S
x
ξ(x, t)
и модульсдвига в соответствии с (10.70)имеют одинаковую размерность ---- размерность напряжения (размерность силы, деленная на размерность площади)1.
Рассмотрим плоскую поперечную упругую волну,
распространяющуюся в однородной среде вдоль оси x.
Мысленно выделим в среде протяженный прямоугольный параллелепипед, ориентированный вдоль направления распространения волны.
Смещение δy сечения x параллелепипеда, к которому приложено тангенциальное напряжение τ(x, t), будем обозначать ξ(x, t). На рисунке 10.14 представлен
участок параллелепипеда с продольным размером, равным длине волны, и площадью сечения S . Недеформированное положение отмечено штриховыми линиями,
положение при распространении волны ---- сплошными
линиями. Смещения для наглядности значительно увеличены по сравнению с реальными.
Дальнейшие рассуждения аналогичны проводившимся при рассмотрении продольной волны. Выделим слой толщины δx, прилегаю-
Рис. 10.14
ше длины волны, чтобы ускорения частиц в его пределах можно было считать одинаковыми: a(x, t) = ∂2ξ/∂t2.
Объем слоя δV = S δx, масса δm = ρS δx (ρ ---- плотность
недеформированной среды). Деформациисдвига (10.69)
в сечениях x и x + δx
γ(x, t) =
∂ξ(x, t)
с точностью до малых величин более высокого порядка
отличаются на
что в соответствии с (10.70) дает для разности тангенциальных напряжений и разности упругих сил на противоположных границах слоя
δτ = G
1
Такую же размерность имеет давление.396
щий справа к сечению x. Толщина
слоя должна быть намного мень-
∂x
и γ(x + δx, t) =
δγ(x, t) =
∂2ξ
δx и δF = GS
2
∂x
∂2ξ
∂x
δx,
2
∂ξ(x + δx, t)
∂2ξ
δx.
2
∂x
∂x
Энергия волны
Динамическое уравнение движенияслоя массы ρS δx,
на который действует сила δF, имеет вид
∂2ξ
ρG∂2ξ
∂x
=
2
, (10.71)
2
∂t
который не зависит от продольных и поперечных размеров выделенного параллелепипеда, а также от частоты поперечных колебаний и длины волны. Полученное
уравнение, так же как (10.66) для продольной волны,
соответствует виду (10.56). Оно является уравнением
плоской волны сдвига, распространяющейся со скоростью
v =
r
G
. (10.72)
ρ
Скорость поперечной волны и скорость продольной
волны (10.67) в одной и той же среде могут заметно
отличаться. Они находятся в соотношении vk/v⊥=
√
E/G.
10.7. Энергия волны
Пусть в среде в направлении оси x распространяет-
ся упругая продольная волна. Выделим элемент объема
δV, имеющий форму цилиндра с основанием площа-
ди S , перпендикулярным оси x, и высотой δx: δV = S δx.
Этот цилиндр можно рассматривать как стержень
с коэффициентом упругости, определяемым в соответствии с (10.65):
Удлинение цилиндра равно разности смещений на
его противоположных сечениях: δξ = ξ(x + δx, t) − ξ(x, t)
(см. рис. 10.12). При малой величине δx можно положить
где значение деформации ε(x, t) = ∂ξ/∂x берется для сечения цилиндра, соответствующего координате x в момент времени t.
Выражению потенциальной энергии упругой деформации (3.52) рассматриваемого элементарного цилиндра можно придать вид
δEп=
δξ =
k(δξ)
2
k = ES /δx.
∂ξ
δx = ε(x, t)δx,
∂x
2
ES
=
2δx
(εδx)2=
Eε
2
δV.
2
397
Г л а в а X
Аналогично выражается потенциальнаяэнергия эле-
мента объема в поперечной волне
2
Gγ
δEп=
Если в качестве характеристики упругих свойств
среды использовать скорость распространения волны
деформации, то, в соответствии с (10.67) и(10.72), можно
заменить E и G на ρv2. Представляя также относительные деформациирастяжения и сдвига как производные
смещения: ε = ∂ξ/∂x, γ = ∂ξ/∂x, получим универсальное
выражение потенциальной энергии элемента объема
δEп=
Отличие между продольной и поперечной волнами
здесь сводится к различным величинам скоростей распространения.
Масса рассматриваемого элемента объема δm = ρδV,
его скорость равна производной ∂ξ/∂t, кинетическая
энергия, таким образом,
δEк=
Полная механическая энергия элемента объема δV
получается суммированием (10.73) и (10.74):
ρ
2
δE =
v
2
ρv
ρ
2
2
∂ξ
∂x
δV.
2
!
2
2
∂ξ
δV. (10.73)
∂x
!
2
∂ξ
δV. (10.74)
∂t
!
2
+
!
2
∂ξ
δV.
∂t
Плотность энергии (механическая энергия, приходящаяся на единицу объема) получается делением δE
на δV:
u =
δE
δV
!
ρ
=
2
2
∂ξ
2
v
∂x
+
!
2
∂ξ
. (10.75)
∂t
Вычислим плотность энергии плоской гармонической волны вида ξ = ξ0cos(ωt − kx). Производные ξ
по времени и координате равны
398
∂ξ
= −ωξ0sin(ωt − kx),
∂t
∂ξ
= kξ0sin(ωt −k x).
∂x
Энергия волны
Подстановка этих выражений в (10.75) дает
u = ξ
2
0
ρ
2
v2k2+ ω
2
sin2(ωt −k x) = ρ ξ
2
ω2sin2(ωt −k x),
0
где учтено, что kv = ω. Плотность энергии, таким образом, является периодической функцией x и t, которую,
используя тождество sin2α = (1 − cos 2α)/2, можно привести к виду
1
u =
2
ρ ξ
ω2[1 −cos(2ωt − 2kx)] . (10.76)
0
2
Из полученноговыражения видно, что в точке с фиксированной координатой плотность энергии как функция времени совершает гармонические колебания с частотой 2ω между минимальным значением, равным ну-
лю, и максимальным значением, равным ρ ξ
2
ω2. В за-
0
данный момент времени зависимость u от x представляет периодическую функцию с теми же минимальным
и максимальным значениями и пространственным периодом, равным половине длины волны.
Среднее значение функции cos(2ωt − 2kx), вычисленное по времени в пределах целого числа периодов
колебаний Tu= π/ω = T/2 или по координате в преде-
лах отрезка, равного целому числу пространственных
периодов λu= π/k = λ/2, равно нулю, поэтому среднее
значение плотности энергии
1
¯u =
2
ρ ξ
ω2. (10.77)
0
2
Поверхность постоянного значения u(x, t) в соответствии с (10.76) является плоскостью, перпендикулярной оси x. Эта плоскость с течением времени движется
со скоростью ˙x = ω/k, равной фазовой скорости вол-
ны. Иными словами, значение u(x, t) для данной волновой поверхности при ее перемещении не изменяется.
Незатухающая гармоническая волна, таким образом,
переносит механическую энергию с той же скоростью,
с которой перемещаются волновые поверхности.
В выражения для плотности энергии (10.76) и ее
среднего значения (10.77) входят плотность среды ρ, частота колебаний ω и амплитуда волны ξ0. Для плоской
незатухающей волны амплитуда постоянна. Для волн
с другой геометрией волновой поверхности и заданной частотой выражения (10.76), (10.77) остаются в си-
ле, но амплитуда при этом будет функцией координат. 399
Это следует из того, что в бесконечно малой окрестно-
S⊥S
⊥
S
S
α
j
сти фиксированной точки любую волну можно считать
плоской, однако амплитуда при этом в разных точках
будет различной.
Потоком энергии Φ через заданную площадь S на-
зывают количество энергии,переносимое волной через
эту площадь в единицу времени. Размерность потока
энергии совпадает с размерностью мощности.
В плоской волне энергия,
переносимая через площадку S⊥,
перпендикулярную направлению
распространения, одинакова для
всех площадок данной величины
Рис. 10.15
независимо от их положения.
Плотностью потока энергии на-
зывается отношение потока к величине площади, перпендикулярной направлению переноса энергии
Φ
j =
4E
=
S
⊥
. (10.78)
S⊥4t
Если нормаль к площадке S составляет угол α с на-
правлением волны, а S⊥---- проекция этой площадки
на волновую поверхность, то, как видно из рис. 10.15,
S⊥= S cos α. Введем векторы S и S⊥, направленныевдоль
нормалей к соответствующим площадкам так, чтобы
проекции этих нормалей на направление потока энергии были положительными. Длины векторов S и S
возьмем численно равными соответственно площадям
S и S⊥. Тогда в соответствии с (10.78) и рис. 10.15 для
потока энергии получим
Φ = jS⊥= jS cos α = j S⊥= j S, (10.79)
где j ---- вектор плотности потока энергии, имеющий величину j и направленный вдоль потока. Понятия плот-
ности энергии и плотности потока энергии для упругих волн впервые были введены Н.А. Умовым.
За время dt через площадки S и S⊥пройдет количе-
ство энергии
dE = Φdt = j Sdt.
С другой стороны, это будет энергия, заключенная
в объеме
400
dV = S⊥vdt = S vdt cos α = Svdt.
Г л а в а X
⊥
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]