Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Уравнение Бернулли
P
P
0
P
0
массу dm = ρS vdt со скоростью v. Импульс вытекающей
за это время жидкости составляет d p = vdm = ρS v2dt.
По закону сохранения импульса при отсутствии горизонтальных внешних сил такой же импульс противоположного знакадолжен получить сосуд. Отсюда искомая
равнодействующая равна
dp
F =
и направленав сторону, противоположнуюv. Эта малая
сила для сосуда, стоящего на плоскости (рис. 7.8), компенсируется силой трения покоя, но если сосуд поставить на тележку (рис. 7.9), то он покатится со скоростью
v1, величинакоторой определится из условия равенства
F и силы трения качения.
Сила (7.14) называется силой реакции струи. Она яв-
ляется простейшим примером реактивной силы, а вызванное ею движение называется реактивным. Изучению реактивного движения будет посвящена следующая глава.
Отметим, что сила реакции струи не зависит от длины сливной трубки (если не учитывать вязкое трение).
Требуется лишь, чтобы трубка, а с ней и направление
скорости вытекающей струи были горизонтальными.
В качестве трубки можно рассматривать само отверстие, так как стенка сосуда в любом случае имеет конечную толщину.
Картина линий тока для случая,
когда сливное отверстие находится
в боковой стенке, будет несимметричной относительновертикальной
оси, проходящей через центр основания сосуда. Однако ее можно
сделать практически симметричной,
если использовать трубку, имеющую продолжение внутрь сосуда до
центральной оси (рис. 7.10). В этом случае давление
жидкости на стенки в прямом и противоположном по
отношению к v направлениях будет одинаковым. Но
сила реакции все равно будет присутствовать. Ее причиной является разность давлений P и P0по разные
стороны сливной трубки. Оценить эту разность можно 261
= ρS v2= 2ρghS (7.14)
dt
Рис. 7.10
Г л а в а VII
следующим образом. Из симметрии картины линий тока следует, что срединих будетпрямая вертикальная линия, идущая от поверхности жидкости до внутреннего
торца трубки. Скорость течения на данной линии тока
имеет только вертикальную составляющую v0, постоянную вдоль всей линии. С учетом этого из уравнения
Бернулли получаем
P − P0= ρgh,
и поверхностью, а следовательно, между внутренним
и внешним торцами равна гидростатическому давлению жидкости. Эта оценка является приближенной,
поскольку на входе в трубку скорость течения быстро меняется. Сила, обусловленная разностью давлений,
равна
Это сила, действующая со стороны жидкости в сосуде на струю. Она вызывает ускорение течения в сливной трубке. Такую же величину и противоположное
направление имеет сила реакции струи. Сила (7.15)
примерно вдвое меньше силы (7.14) для случая, когда
входное отверстие находится непосредственно в стенке сосуда. Однако уравнение (7.12) и вытекающая из
него формула Торричелли (7.13), как можно заключить
из их обоснования, остаются без изменений, то есть
скорость истечения в обоих случаях будет одинаковой.
Повторяя рассуждения,основанные на вычислении импульса струи и приводящиек (7.14),нетрудно убедиться,
что результат будет соответствовать (7.15) только при
условии, что сечение струи во втором случае будет в два
раза меньше, чем в первом. Таким образом, во втором
случае жидкость заполнит сливную трубку примерно
наполовину.
F1≈ ρghS. (7.15)
7.4. Способы измерения давления в текущей среде
Рассмотрим основные способы измерения давления
в текущей жидкости или газе при условии применимости уравнения Бернулли, а также используемые для
этого приборы.262
Способы измерения давления в текущей среде
h
P
v
P
0
h
P
v
P
0
Пусть идеальная несжимаемая жидкость течет по
горизонтальной трубе с постоянной по сечению скоростью v. Статическое давление P в общем случае
зависит от высоты. Г---образная трубка, открытая с переднего торца (трубка Пито, рис. 7.11), вводится в поток таким образом, чтобы ее открытое отверстие было
направлено навстречупотоку. После установленияравновесия скорость течения в окрестности трубки будет
незначительно отличаться от v, а в самой трубке равна
нулю. Напишем уравнение Бернулли для линии тока,
заканчивающейся на переднем торце трубки Пито:
2
P1= P +
где P ---- статическое давление в потоке на глубине
отверстия трубки, P1---- статическое давление внутри
нижней части трубки. Соединив выход с манометром,
измерим, таким образом, сумму статического и дина-
мического давлений ---- полное давление в потоке на за-
данной глубине.
ρv
, (7.16)
2
Рис. 7.11
Рис. 7.12
Зонд (рис. 7.12) отличается от трубки Пито тем, что
его передний конец закрыт. Для уменьшения возмущений ему придается обтекаемая форма. Измерительные
отверстия в зонде находятся на боковых поверхностях
переднего колена, устанавливаемого параллельно потоку. Скорость течения жидкости и статическое давление
вблизи отверстий мало отличаются от соответствующих величин в потоке на заданной глубине. Поскольку
динамическое давление ρv2/2 (напор) действует только
вдоль линии тока, а статическое давление P в соответствии с законом Паскаля передается по всем направлениям, соединенный с зондом манометр покажет
величину статического давления.
263
Г л а в а VII
Требование постоянства скорости потока, как видно из приведенных рассуждений, относится только
к небольшой окрестности измерительного прибора. Если труба,например, имеетпеременное сечение, то установив несколько трубок Пито или зондов на разных
участках, можно измерить соответственно полное или
статическое давление на каждом из этих участков. Если
скорость изменяется в пределах сечения трубы (как будет показано ниже, вязкость приводит к существенным
радиальным изменениям скорости в трубе), с помощью
трубок Пито или зондов, установленных в разных областях сечения, получим информацию о радиальных
изменениях полного и статического давлений.
В качестве простейшего манометра можно использовать уровень жидкости в наружном колене, которое
должно быть установлено вертикально. Высота столбика жидкости над уровнем трубы h покажет превышение измеряемого давления над внешним атмосферным
давлением P0: для трубки Пито
P1− P0= ρg(h + h0), (7.17)
для зонда
P − P0= ρg(h + h0). (7.18)
(h0---- глубина погружения измерительного колена, которая всегда известна). Линейку для измерения высоты
можно проградуировать непосредственно в единицах
давления (в системе СИ ---- Паскаль: 1 Па = 1 Н/м2).
При постоянной по сечению трубы скорости течения
зависимость измеряемых давлений от h0определяется
формулой (7.3) или (7.11): P1= P
0
где P
---- полное давление, P0---- статическое давление
1
на верхней границе трубы. Учтя это в (7.17) и (7.18),
получим, что показания прибора (высота подъема жидкости h) при постоянной по сечению скорости не будут
зависеть от глубины погружения. Если жидкость течет
не в трубе, а в желобе со свободной поверхностью,
статическое давление на которой равно атмосферному,
то давление на глубине h0будет P = P0+ ρgh0. Жидкость в вертикальном колене зонда при этом окажется
на уровне поверхности потока (h = 0), а для трубки Пито
уровень жидкости будет соответствовать динамическому напору (ρgh= ρv
2
/2).264
0
+ ρgh0и P = P0+ ρgh0,
1
Вязкое трение
P
v
P
0
h
1
h
Конструктивное объединение трубки Пито и зонда в одном приборе называется трубкой Прандтля
(рис. 7.13). Устройство представляет собой трубку Пито, окруженную полым кожухом, в котором имеется несколько боковых отверстий. Кожух, таким образом, является зондом, внутри которого расположена трубка Пито. С помощью дифференциального манометра (манометр с двумя входами, показывающий
разность давлений на входах), подключенного к выходам зонда и трубки Пито, измеряется разность полного
и статического давлений, то есть динамическое давление: P1− P = ρv2/2. В конструкции, представленной
на рис. 7.13, измеряемой величиной является разность
высот h1−h, по которой определяется динамический
напор:
Если проградуировать прибор соответствующим образом, то он будет показывать
значение скорости потока,
поэтому трубку Прандтля
называют также расходоме-
ром скоростного напора.
2
ρv
= ρg(h1− h).
2
Рис. 7.13
7.5. Вязкое трение
Вязким трением называется трение, возникающее
при движении тела в жидкости или газе (вязкой среде),
либо при относительном движении различных слоев
самой среды. В последнем случае используется также
термин внутреннее трение. Механизм вязкого трения
связан с тепловым движением молекул и обменом импульсами при их столкновениях (перенос импульса).
В механике микроскопическая природа трения не рассматривается, а само явление вязкого трения вводится
в рассмотрение как экспериментальный факт.
Рассмотрим следующий опыт.Две параллельные пластинки взаимодействуют друг с другом посредством
находящегося между ними слоя жидкости (рис. 7.14).
Одна из пластин закреплена, другая движется с постоянной скоростью v
, параллельной пластинам. Опыт 265
0
Г л а в а VII
z
d
v
v
0
F
F
тр
F
тр
F
0
F
0
тр
F
0
тр
показывает, что для равномерного движения при взаимодействии с вязкой жидкостью к пластине должна
быть приложена постоянная сила F. Это означает, что
данная сила уравновешивается равной ей по величине
силой вязкоготрения Fтр, направленнойв сторону,противоположную движению. На закрепленную пластину
действует сила в направлении v0. Ее можно измерить,
например, с помощью пружинного динамометра.
Если толщина слоя жидкости d мала по сравнению с линейными размерами пластин,
а площадь движущейся пластины S существенно меньше
площади закрепленной плас-
Рис. 7.14
в течение времени измерения находилось в пределах
закрепленной пластины), то сила, действующая на закрепленную пластину, оказывается равной F, то есть
воздействие движущейся пластины на неподвижную
полностью передается через вязкую жидкость. Измерения при разных значениях d, v0и S дают следующую зависимость F и, следовательно, Fтрот указанных
параметров (формула Ньютона):
Коэффициент η, называемый коэффициентом
внутреннего трения,коэффициентом вязкости или сокращенно вязкостью, не зависит от свойств пластин.
Он определяется исключительно свойствами жидкости и термодинамическим состояниемсистемы, прежде
всего, температурой. Единицей вязкости в системе СИ
является Па·с.
Сила вязкого трения всегда направлена по касательной к поверхности движущегося объекта (пластины,
слоя жидкости). В потоке она передается от одного
слоя текущей среды к другому. Для двух соприкасающихся слоев, параллельных скорости, сила трения,
действующая на более быстрый слой, направлена против его скорости, сила, приложенная к более медлен-
ному слою, направлена вдоль скорости (см. рис. 7.14).266
тины (чтобы возмущениежидкости, вызванное движением,
v
Fтр= η
0
S. (7.19)
d
Вязкое трение
Иными словами, вязкость стремится ускорить медленные слои и затормозить быстрые. Если движение поддерживается внешней силой, в потоке устанавливается
стационарное распределение скоростей (относительно
движущегося тела), если внешние силы отсутствуют,
вязкость приводит к уменьшению скоростей и постепенной остановке потока. В нашем примере распределение скоростей будет стационарным в системе отсчета движущейся пластины, а относительно неподвижной пластины в области, которойдвижущаяся пластина
еще не достигла, жидкость будет покоиться, в области,
которую движущаяся пластина прошла, движение будет затухающим. Необходимое для выполнения (7.19)
условие малости d по сравнению с размерами пластин
нужно как раз для того, чтобы можно было пренебречь
влиянием области затухающего движения.
Поскольку силы трения в рассмотренном нами опыте одинаковы во всех слоях между пластинами, в соответствии с (7.19) отношение v/z, где z ---- расстояние
по нормали от неподвижной пластины, v ---- скорость
течения на этом расстоянии, должно быть постоянным
и равным v0/d. Это означает линейность распределения
скоростей вдоль оси z
Из этого равенства в частности следует, что на поверхности неподвижной пластины (z = 0) скорость потока равна нулю, а на поверхности движущейся пластины (z =d) скорость равна v0. Тонкий слой жидкости,
непосредственно прилегающий к поверхности пластины, имеет одинаковую с ней скорость (вязкая жидкость
как бы прилипает к поверхности обтекаемого ею тела).
Данный эффект имеет прямое экспериментальное подтверждение и теоретическое объяснение, основанное
на представлениях о молекулярном механизме переноса импульса.
В соответствии с (7.20)
Это позволяет переписать (7.19) в виде
Fтр= η
v(z) =
dv
dz
v
0
z. (7.20)
d
v
0
=
.
d
dv
S. (7.21)
dz
267
Г л а в а VII
R
v(r)
x
r
l
P
1
P
2
Данное равенствоозначает, что сила вязкого трения,
действующая между слоями жидкости,пропорциональна площади, к которой она приложена, а также производной скорости по координате, поперечной по отношению к направлению течения (поперечной составляющей градиента скорости). Коэффициентом пропорциональности является вязкость η. Если в какой-либо
области потока градиент скорости мал, действием вязкого трения в этой области можно пренебречь.
Формула Ньютона (7.19) справедлива лишь для линейного распределения скорости течения, в то время
как выражение (7.21) применимо к любой зависимости
v(z).
Применим (7.21) для нахождения радиального распределения скоростей стационарного течения вязкой
жидкости в горизонтальной
Рис. 7.15
направлена вдоль трубы, а ее значение зависит только
от расстояния r от оси: v = v(r). Выделим соосный с трубой цилиндр радиуса r длины l. Площадь его боковой
поверхности S = 2πrl. Сила вязкого трения, тормозящая
движение цилиндра, в соответствии с (7.21) равна
трубе круглого сечения
(рис. 7.15). Скорость течения
Fтр= 2πrlη
dv
dr
.
Производная скорости по поперечной координате
в данном случае dv/dr. Для выполнения условия стационарности течения эта сила должна компенсироваться
равнодействующей сил нормального давления, приложенных к основаниям выделенного цилиндра:
F = πr2(P1− P2),
где P1и P2---- давления соответственно на заднем и переднем по отношению к направлению течения основаниях. Приравнивая −Fтри F, приходим к уравнению
P1− P
268
dv = −
2ηl
2
rdr.
Вязкое трение
R
r
dr
Вычисляя неопределенные интегралы слева по v,
справа по r, получаем
P1− P
v(r) = −
Постоянная интегрирования C определяется из ус-
ловия=прилипания>жидкости к стенкам трубы:
v(R) = 0:
C =
С учетом этого окончательно имеем
P1− P
v(r) =
Если в качестве длины выделенного цилиндра l взять
полную длину трубы, то P1и P2приобретают смысл давлений соответственно на входе и выходе. Наибольшая
скорость течения будет на оси трубы (r= 0):
P1− P
v
max
=
4ηl
2
R2.
Отметим, что в соответствии
с уравнением Бернулли (7.9) течение идеальной жидкости по горизонтальной трубе при равенстве
P1и P2возможно: из P1= P
и h1= h2следует v1= v2---- постоянство скорости течения вдоль
любой линии тока. В реальной
жидкости, согласно (7.22), течение без перепада давлений на входе и выходе невозможно: при P1= P2v(r) = 0.
Формула (7.22) позволяет вычислить расход жидкости Q в трубе заданного радиуса, то есть объем жидкости, протекающий в единицу времени через сечение
трубы: Q = dV/dt. Возьмем симметричное относительно
оси трубы бесконечно тонкое сечение с внутренним
радиусом r и толщиной dr (рис. 7.16). Площадь этого
сечения dS = 2πrdr. В единицу времени через него протекает объем жидкости
dQ = v(r)dS = 2πrv(r)dr = πr
2
r2+ C.
4ηl
P1− P
2
R2.
4ηl
2
(R2− r2). (7.22)
4ηl
2
Рис. 7.16
P1− P
2
(R2− r2)dr.
2ηl
269
Г л а в а VII
Интегрируя по r в пределах от 0 до R, получим
πR4(P1− P2)
Q =
8ηl
или V =
Данное соотношение называется формулой Пуазей-
ля. В соответствии с ней формулируется закон Пуазейля: расход жидкости в горизонтальной цилиндрической
трубе пропорционален разности давлений на входе
и выходе, четвертой степени радиуса, обратно пропорционален вязкости жидкости и длине трубы. На формуле Пуазейля основан один из методов экспериментального определения коэффициента вязкости: по измеряемым величинам расхода Q, разности давлений P1− P2,
длины l и радиуса R трубы с помощью (7.23) вычисляется вязкость η. Используя формулу Пуазейля можно
также вычислить среднюю по сечению скорость потока
в трубе:
<v > =
πR
Z
1
2
R
2πrv(r)dr =
0
Эта величина, как можно видеть, вдвое меньше мак-
симальной скорости течения.
Для трубы произвольного сечения формула Пуазей-
ля имеет вид
αS2(P1− P2)
Q =
ηl
или V =
где S ---- площадь сечения, α ---- безразмерная константа,
однозначно определяемая формой сечения.
πR4(P1− P2)
8ηl
Q
P1− P
=
2
πR
αS2(P1− P2)
8ηl
ηl
t. (7.23)
2
R2.
t,
7.6. Ламинарное и турбулентное течение
До сих пор мы предполагали, что течение жидкости или газа можно описать полем скоростей, которое
является стационарным или регулярно меняющимся
во времени. Такое течение называется ламинарным.
При ламинарном течении линии тока непрерывны, отдельные слои текущей среды скользят друг по другу,
не перемешиваясь.При неизменных внешних условиях
ламинарное течение стационарно. Причиной нестационарности может быть только изменение во времени
внешних условий. В этом случае деформация линий270
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]