Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Принцип относительности Эйнштейна
домножив выражения для x0и t0на (1 − v2/c2)
ствительно, такое домножение будет означать замену x
на x(1 −v2/c2)
−1/2
и t на t (1 − v2/c2)
−1/2
, то есть переведет
−1/2
. Дей-
(9.9) в (9.6).
Таким образом, преобразования координат и времени, обеспечивающие совместную выполнимость равенств (9.6) и (9.7), имеют вид
x0=
x −vt
p
1 −v2/c
,
2
y0= y, z0= z,
1 −v2/c
2
,
2
t0=
t − vx/c
p
что совпадает с (9.4). Нетрудно убедиться, что подстановка обратных преобразований (9.5) также переводит
(9.6) в (9.7).
В соответствии с проведенными нами рассуждениями преобразования Лоренца (9.4) обеспечивают инвариантность скорости света при переходе из инерциальной системы отсчета K в инерциальную систему отсчета K0, а обратные преобразования (9.5) обеспечивают
инвариантность скорости света при переходе из инерциальной системы отсчета K0в инерциальную систему
отсчета K.
9.4. Принцип относительности Эйнштейна
По утверждению Галилея (см. 2.7) в двух замкнутых
лабораториях, которые движутся относительно друг
друга с постоянной по величине и направлению скоростью, эксперименты, проведенные при одинаковых
условиях, дадут одинаковый результат.
Это утверждение на протяжении двух столетий,
вплоть до конца XIX в., оставалось незыблемым
и не подвергалось сомнению. Теория электромагнетизма показала, что при сохранении классических пред-
ставлений о пространстве и времени, выражаемых
преобразованиями Галилея (1.38), принцип, заключенный в сформулированномвыше утверждении (принцип
относительности Галилея), справедлив лишь в отноше-
321
Г л а в а IX
нии механических явлений, для которых силы взаимодействия между материальными объектами, так же как
и ускорения тел, инвариантны по отношению к преобразованиям абсолютного пространстваи времени (преобразованиям Галилея).
Инвариантность электромагнитных явлений по отношению к переходам между инерциальными системами отсчета оказалась возможной лишь при использовании преобразований Лоренца, рассмотренных в предыдущем параграфе.
На этом основании Эйнштейн (1905 г.) впервые
предложил распространить принцип относительности
на электромагнитные явления и, в соответствии с этим,
интерпретировать преобразования Лоренца как пространственно---временн´ые преобразования, приводящие
к реальным изменениям пространственных интерва-
лов и промежутков времени в разных системах отсчета в зависимости от относительной скорости их
движения.
Обобщенный принцип относительности или принцип относительности Эйнштейна, таким образом, гла-
сит:
все физические явления во всех инерциальных системах отсчета при одних и тех же условиях происходят
одинаково
иначе
все инерциальные системы отсчета равноправны по
отношению ко всем физическим процессам и явлениям.
Данный принцип соблюдается при условии наличия вполне определенной связи координат и времени
в различных инерциальных системах отсчета, выражаемой преобразованиями Лоренца. Это условие является достаточным, поскольку преобразования Лоренца
обеспечивают инвариантность электромагнитных явлений, в частности одинаковое значение скорости света во всех инерциальных системах отсчета, и необхо-
димым, так как единственные пространственно---временн´ые преобразования, приводящие к принципу относительности ---- преобразования Лоренца.
322
Следствия из преобразований Лоренца
9.5. Следствия из преобразований Лоренца
Теория, построенная на основе принципа относи-
тельности Эйнштейна, получила названиеспециальной
теории относительности (сокращенно СТО). В применении к механическим явлениям СТО называют также релятивистской механикой. В данном параграфе
мы рассмотрим основы релятивистской кинематики,
непосредственно вытекающие из преобразований Лоренца.
Во-первых, обратим внимание на то, что в преобразования для времени входит продольная по отношению
к направлению скорости относительного движения координата:
t0=
t −vx/c
Это означает, что в релятивистской механике координаты и время не только зависят от выбора системы
отсчета, но и связаны друг с другом.
В рамках СТО пространство и время нельзя рассматривать отдельно друг от друга, как в ньютоновской
механике. Вместо этого нужно использовать понятие
четырехмерного пространства--- времени.
Точка в релятивистском пространстве---времени называется событием. Например, событию A в пространстве---времени соответствует точка xA, yA, zA, tA, задающая пространственное положение xA, yA, zAи момент времени tA, соответствующие данному событию.
Подробно геометрические свойства релятивистского
пространства---времени мы рассмотрим в конце данного
параграфа.
Во-вторых, преобразования Лоренца не допускают
относительного движения систем отсчета со скоростью,
превышающей скорость света, так как в этом случае
β > 1 и величинаp1 −β2становится мнимой. Это озна-
чает, что движение материального тела, с которым
можно было бы связать систему отсчета, со скоростью,
б´ольшей скорости света, невозможно.
Скорость тела и связанной с ним системы отсчета может сколь угодно приближаться к скорости света
со стороны меньших значений, но при v = c (β = 1) зна-
менатели в преобразованиях продольной координаты 323
p
1 −β
2
, t =
2
t0+ vx0/c
p
1 −β
2
.
2
Г л а в а IX
и времени обращаются в нуль, то есть преобразования
(9.4), (9.5) теряют смысл. Однако, как мы увидим ниже,
некоторые из следствий преобразований Лоренца сохраняют свой смысл и при движении системы отсчета
со скоростью света.
Далее мы последовательно рассмотрим важнейшие
кинематические следствия из преобразований Лоренца.
Относительность одновременности
В релятивистской механике два события, произошедшие одновременно в заданной системе отсчета,
в общем случае не будут одновременными в других системах отсчета (относительность одновременности).
Рассмотрим два события A и B, происходящие в системе отсчета K в пространственных точках xA, yA, z
и xB, yB, zBв один и тот же момент времени tA= tB= t.
Моменты времени, соответствующие этим событиям
в системе отсчета K0, движущейся относительно K
со скоростью v в положительном направлении оси x,
находятся из преобразований Лоренца
1 −β
2
2
0
A
, t
=
p
B
0
, t
. Промежуток времени,
B
t − vxB/c
0
t − vxA/c
0
t
=
p
A
Отсюда видно, что t
разделяющий события A и B в системе отсчета K
|4t
0
AB
| =
|xA− xB|v
p
2
c
1 −β
=
2
|xA− xB|v
c√c2− v
пропорционален разности продольных координат x
и xBв системе отсчета K и возрастает с увеличением
скорости относительного движения систем отсчета.
В случае, если xA= xB, то есть события A и B в системе отсчета K происходят в точках, принадлежащих
плоскости, перпендикулярной оси x, 4t
события будут одновременными в любой системе отсчета, движущейся относительно K вдоль оси x, но они
не будут одновременными в системах отсчета с другими направлениямискорости относительногодвижения.
Два события будут одновременными во всех инерциальных системах отсчета только в том случае, если они
происходят в одной точке.324
1 −β
2
.
2
,
2
0
= 0. Такие
AB
0
A
A
Следствия из преобразований Лоренца
Релятивистское сокращение длины
Рассмотрим твердый стержень длины l0. Под длиной стержня в данном случае подразумевается собст-
венная длина или длина покоя, то есть длина в той системе отсчета, в которой стержень покоится. Поскольку
координаты концов покоящегося стержня неизменны
во времени, их измерение в любой момент даст один
и тот же результат, по которому определится длина
l0=q(x2− x1)2+ (y2− y1)2+ (z2− z1)2, (9.10)
где x1, y1, z1, x2, y2, z2---- координаты концов,стержня.
Пусть стержень покоится в системе отсчета K и расположен перпендикулярно оси x. Тогда (9.10) примет
вид
l0=q(y2− y1)2+ (z2− z1)2.
В системе отсчета K0, движущейся относительно
K в направлении оси x, преобразования Лоренца для
поперечных координат дадут y
0
и z
= z2, причем эти координаты не будут зависеть
2
от времени. Следовательно, при поперечном по отношению к стержню относительном движении систем
отсчета его длина одинакова во всех системах отсчета:
l0= l0. Тот же результат, очевидно, получим в случае, ес-
ли стержень покоится в системе отсчета K0и движется
вместе с этой системой относительно системы отсчета
K в направлении, перпендикулярном стержню.
Пусть теперь стержень расположен вдоль оси x и неподвижен в системе отсчета K. Его собственная длина
в этом случае равна
l0= x2− x
(для определенности будем считать, что x2> x1). Под
длиной стержня l0в системе отсчета K0, движущейся
относительно стержня в направлении от x1к x2(в положительном направленииоси x) со скоростью v, следует,
очевидно, понимать разность координат x
ренных одновременно в системе отсчета K0, посколь-
ку измерения координат концов движущегося стержня
в разныепо часам наблюдателя моменты времени могут
дать какой угодно результат, в том числе и отрицательное значение длины. Связь между координатами x1, x
0
1
1
= y1, y
0
= y2, z
2
0
и x
2
0
= z
1
0
, изме-
1
1
325
2
Г л а в а IX
0
и x
ется первой из формул (9.5):
или
лении своей оси в системе отсчета K, то с ним можно
связать систему отсчета K0, в которой он будет покоиться. В этом случае собственной длиной является
длина в системе отсчета K0: l0= x
стеме отсчета K будет разность координат концов x
и x1, измеренных одновременно в системе отсчета K.
Для получения соотношения длин в этом случае нужно
использовать первую из формул (9.4):
ется равной
нить. Системы отсчета K и K0в соответствии с принципом относительности равноправны, поэтому два рассмотренных случая отличаются лишь заменой направления относительной скорости движения на противоположное, а результат зависит от скорости относительного движения квадратично (β2= v2/c2), то есть
не зависит от ее знака.
вистского сокращения длины: длина стержня, движущегося в продольном направлении, сокращается про-
порционально множителюp1−β2<1.
лена произвольно по отношению к его оси и пусть
α ---- угол между осью стержня и вектором скорости
v в собственной системе отсчета стержня (на рис. 9.7
это система отсчета K
0
, x
, измеренными в один и тот же момент t0, зада-
1
2
0
0
x
+ vt
2
x2=
p
Произведя вычитание, получим
l0= x2− x1=
1 −β
, x1=
2
0
x
− x
2
p
1 −β
0
0
x
+ vt
1
1 −β
0
l
1 −β
.
2
2
p
0
1
=
p
2
q
l0= l
1 −β2. (9.11)
0
Если стержень движется со скоростью v в направ-
0
0
−x
, а длиной в си-
2
1
x2− vt
0
x
=
p
2
1 −β
, x
2
x1− vt
0
=
p
1
1 −β
.
2
Длина стержня в системе отсчета K l = x2−x1получа-
q
l = l
1 −β2. (9.12)
0
Совпадение результатов (9.11) и (9.12) легко объяс-
Формулы (9.11) и (9.12) описывают эффект реляти-
Пусть теперь скорость движения стержня направ-
0
).326
2
Следствия из преобразований Лоренца
x, x
0
y
K
y
0
K
0
l
0y
l
0x
α
v
Проекция стержня на поперечное направление одинакова в собственной и лабораторной системах отсчета: ly= l0y, а продольная проекция в лабораторной
системе отсчета сокращена в соответствии с (9.12):
lx= l
и его скоростью в лабораторной системе отсчета отличается от угла α в собственной системе отсчета:
чается для случая, когда стержень покоится в системе отсчета K и направлен под углом
α к оси x, а угол α0измеряется
в системе отсчета, движущейся вдоль оси x со скоростью v.
движущейся в системе отсчета
K со скоростью v, направление которой лежит в плос-
кости фигуры, сокращается по сравнению с площадью
S0покоящейся фигуры по закону
малые прямоугольные элементы с площадями
dS = d x dy таким образом, чтобы одна из сторон пря-
моугольников была направлена вдоль скорости движения, то длина продольной стороны в системе отсчета K сократится по сравнению с собственной длиной:
dx = dx
нится: dy = dy0. Элемент площади dS в системе отсчета
K, таким образом, будет находитьсяс соответствующим
собственным элементом площади dS0в соотношении
dS = dS
сто и для интегральных площадей.
го объематела V0и объема V того жетела, движущегося
со скоростью v в произвольном направлении. Разобьем
тело на прямоугольные элементы объема dV = dx dy dz
так, чтобы одна из координат измерялась в направле-
нии движения. Продольный размер рассматриваемого 327
p
1 −β2. Поэтому угол α0между осью стержня
0x
tg α =
l
0y
, tg α0=
l
0x
l
y
l
x
l
=
0y
p
l
1 −β
0x
tg α
=
p
2
1 −β
.
2
Такой же результат полу-
Площадь плоской фигуры,
Рис. 9.7
q
S = S
0
1 −β2.
Действительно, если разбить фигуру на бесконечно
p
1 −β2, а длина поперечной стороны не изме-
0
p
1 −β2. Такое же соотношение будет иметь ме-
0
Аналогичным образом находится связь собственно-
Г л а в а IX
элементарного объема движущегося тела сократится
по отношениюк собственному размеру: dx = dx
а поперечные размеры dy и dz не изменятся. Для элемента объема движущегося тела в результате получаем
dV = dx0dy0dz
объемов
p
1 −β2= dV
0
V = V
p
1 −β2, а для интегральных
0
q
1 −β2.
0
Релятивистское замедление времени
В соответствии с преобразованиями Лоренца время
в системе отсчета K0, движущейся относительно системы отсчета K, с точки зрения наблюдателя, находящегося в системе отсчета K, течет медленнее, чем время
наблюдателя.
Для того,чтобы разобраться в смысле этого довольно
запутанного утверждения и получить количественное
соотношение междуинтервалами времени в разных системах отсчета, введем понятие собственного времени.
Собственным временем называют время, измеряемое
неподвижными часами, или, иначе, собственным интервалом времени τ называется промежуток времени
между двумя событиями, измеренный в той системе
отсчета, в которой эти события происходят в одной точке. Эти два определения эквивалентны. Действительно,
если в системе отсчета K0события A и B происходят
в одной точке, то промежуток времени между ними
в этой системе отсчета τ = t
0
0
− t
измеряется по часам,
B
A
неподвижным в K0, и наоборот, если часы неподвижны
по отношению к событиям A и B, то относительно часов
события должны происходить в одной и той же точке.
Пусть два события происходят в точке с координатами x0, y0, z0системы отсчета K0в моменты времени t
0
и t
ними τ = t
0
> t
. Тогда собственный интервал времени между
2
1
0
0
− t
. Если система отсчета K0движется от-
2
1
носительно системы отсчета K со скоростью v вдоль
оси x, то для моментов времени, соответствующих рассматриваемым событиям в системе отсчета K, можно
использовать преобразования (9.5):
328
t1=
0
t
1
p
+ vx0/c
1 −β
2
, t2=
2
0
t
+ vx0/c
2
p
1 −β
2
2
p
1 −β2,
0
0
1
,
Следствия из преобразований Лоренца
0
где учтено, что x
событиями в системе отсчета K 4t = t2− t1в соответствии с этими выражениями получается равным
Интервал времени 4t, измеренныйпо часамсистемы
отсчета K , больше, чем собственный интервал времени τ. Это и означает, что с точки зрения наблюдателя,
находящегося в системе отсчета K, время в системе отсчета K0течет медленнее: между фиксированной парой
событий по часам системы отсчета K0прошло меньше
времени, чем по часам системы отсчета K.
Теперь рассмотрим противоположную ситуацию:
два события происходят в фиксированной точке x, y,
z системы отсчета K в моменты времени t1и t2> t1.
Собственным временем, разделяющим эти события,
в данном случае является интервал τ = t2−t1. Если,
как и ранее, система отсчета K0движется относительно системы отсчета K со скоростью v вдоль оси x, то
для моментов времени t
же событиям в системе отсчета K0, с учетом того, что
x1= x2= x, можно применить преобразования (9.4):
0
t
=
1
откуда для интервала времени 4t0= t
отсчета K0получаем
Промежуток времени 4t0> τ, то есть с точки зрения
наблюдателя, находящегося в системеотсчета K0, время
замедляется в системе отсчета K.
Данное обстоятельство наглядно интерпретируется
в известном парадоксе близнецов. Пусть один из братьев---близнецов находится на Земле (система отсчета K ),
а другой летит на космическом корабле с большой скоростью (система отсчета K0). При скорости v = 0, 9c
(β = 0, 9;p1 −β2≈ 0, 436) с точки зрения земного на-
блюдателя за τ = 10 лет, прошедших на космическом
корабле, на Земле в соответствии с (9.13) пройдет время 329
= x
1
4t =
t1− vx/c
p
1 −β
4t0=
0
= x0. Интервал времени между
2
τ
. (9.13)
2
1 −β
0
, соответствующих тем
2
1 −β
2
2
0
− t
2
,
0
в системе
1
t2− vx/c
0
=
p
2
τ
. (9.14)
2
1 −β
2
2
p
0
и t
1
, t
p
4t ≈ 23 года, то есть космонавт окажется почти на 13 лет
моложе земного брата. Но с точки зрения космонавта
за 10 лет, прошедших на Земле, в его собственной системе отсчета согласно (9.14) пройдет 23 года, то есть
землянин окажется моложе космонавта на 13 лет. Кто
же из братьев будет моложе на самом деле? Для ответа на этот вопрос братьев нужно переместить в одну
систему отсчета: либо землянин должен догнать космонавта и пересесть в его корабль, либо космонавтдолжен
вернуться на Землю. Но в этом случае по крайней мере
один из братьев будет двигаться с ускорением, то есть
некоторое время будет находиться в неинерциальной
системе отсчета. В рамках СТО, рассматривающей
только инерциальные системы отсчета, данная задача
не решается1.
Парадокс близнецов находится в полном соответствии с релятивистскимпринципом относительности ---инерциальные системы отсчета K и K0равноправны,
поэтому эффект замедления времени в системе отсчета
K0с точки зрения наблюдателя, находящегося в системе
отсчета K, должен быть таким же, как эффект замедления времени в системе отсчета K с точки зрения
наблюдателя, находящегося в системе отсчета K0.
Наглядным примером проявления на практике релятивистского сокращениявремени является регистрация наповерхности Земли мюонов, образующихся в результате взаимодействия космических лучей с земной
атмосферой на значительных высотах (∼ 10 км). Мюон
принадлежит к тому же семейству элементарных частиц, что и электрон, однако имеет массу в 207 раз больше массы электрона и является нестабильным ---- его
время жизни составляет примерно 2, 2 · 10−6с. Двигаясь со скоростью, близкой к скорости света, мюон
должен пролететь от своего появления до распада расстояние, примерно равное 660 м. Каким же образом
мюоны достигают земной поверхности? Дело в том, что
приведенное выше значение времени жизни является
1
В общей теории относительности, учитывающей искривления
пространства--- времени в неинерциальных системах отсчета, доказывается, что космонавт, вернувшийся на Землю после длительного
полета с околосветовыми скоростями, окажется моложе земного ровесника.
330
Г л а в а IX
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]