Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Затухающие колебания
аб
в
v
0
0
−β2x
0
−β1x
0
знак, медленно затухающее слагаемое в (10.32) должно преобладать над быстро затухающим в начале процесса. При x0> 0 это означает A2> 0 и к тому же
A2> |A1|. Однако при A2> 0 второе слагаемоев выраже-
нии начальной скорости (10.34) отрицательно. Условие
v0> 0, таким образом, может выполняться при A1< 0
и β1|A1| > β2A2, откуда |A1| > (β2/β1)A2. Итак, условия
x0> 0 и v0> 0, реализующие процесс, графически
представленный на рис. 10.4,в, следующие: A1< 0,
A2> 0 и (β2/β1)A2< |A1| < A2.
На рисунке 10.5 показаны области значений начальной скорости, соответствующие разным типам апериодических функций x(t) при x0> 0. Буквы а, б и в,
которыми обозначены области, соответствуют буквам,
которыми помечены графики на рис. 10.4.
На границах области а
(v0= −β1x0и v0= −β2x0) одно
из слагаемых в (10.32) обращается внуль. Характерперехода
к равновесию в этих случаях
будет таким же, как на рис. 10.4,а. Можно показать, что
в области значений −β2x0< v0≤ 0 функция x(t) будет
монотонно убывающей, но скорость ˙x(t), оставаясь все
время отрицательной, вначале будет возрастать по абсолютной величине, а затем уменьшаться.
Вернемся к рассмотрению свободных затухающих
колебаний, описываемых функцией (10.29).
Период колебаний при 0 < γ < ω0в соответствии
c (10.28) равен
T =
2π
ω
2π
=
q
2
ω
− γ
0
Величина, равная отношению амплитуды колебаний
в момент времени t к амплитуде в последующий момент, отличающийся на период, не зависит от времени.
Действительно, в соответствии с (10.27)
=
−γ (t + T )
e
e
−γ t
A(t)
A(t + T )
Данное отношение, характеризующее быстроту затухания колебаний, называется декрементом затуха-
ния. 371
Рис. 10.5
. (10.36)
2
γ T
= e
. (10.37)
Г л а в а X
t
x(t)
A
0
T
A(t)
A(t + T )
Обычно в качестве характеристики скорости затухания используется не само отношение (10.37), а его
натуральный логарифм
λ = ln
называемый логарифмическим декрементом затухания.
Рис. 10.6
плитуд через n периодов и воспользоваться соотношением
ln
A(t+nT )
A(t)
= ln
A(t+T )
так как все отношения амплитуд соседних максимумов
равны между собой.
Зависимость амплитуды колебаний от времени
(10.27), используя (10.38), можно представить в виде
Это выражение позволяет дать наглядную количественную интерпретацию логарифмического декремента затухания. Если τ ---- время, в течение которого
амплитуда колебаний уменьшается в e раз, то в соответствии с предыдущим выражением оно определяется
из условия λτ/T = 1. Отношение τ/T равно количеству
колебаний за время τ1. Обозначив τ/T = Nτ, получим
1
Под количеством колебаний здесь понимается не дискретная целочисленная величина, а отношение набега фазы колебаний за время
τ (∆ϕ = ωτ) к набегу фазы 2π за один период.372
A(t)
A(t + T )
A(t)
A(t+T )
·
A(t+2T )
"
= ln
A(t) = A0e
= γ T , (10.38)
Для определения декремента затухания по графику, описывающему колебательный процесс, в качестве A(t) и A(t + T ) удобно выбирать высоты двух соседних максимумов (рис. 10.6).
При малом затухании для
увеличения точности можно измеритьотношение ам-
=
A(t)
A(t+T )
λ
−
T
At+(n −1)T
. . .
A(t+nT )
#
n
= nλ, (10.39)
t
.
Затухающие колебания
λ = 1/Nτ. Таким образом, логарифмический декремент
затухания является величиной, обратной количеству
колебаний системы за время, в течение которого амплитуда уменьшается в e раз.
Еще одной характеристикой затухания свободных
колебаний является добротность осциллятора
π
Q =
= πNτ. (10.40)
λ
Добротность Q обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания и прямо пропорциональна числу колебаний за время убывания амплитуды
в e раз.
Энергия затухающих колебаний монотонно убывает с течением временем, так как работа диссипативной
силы на любом перемещении отрицательна. Рассмотрим изменение во времени энергии свободных затухающих колебаний на примере пружинного маятника
(ω0=√k/m).
Для простоты выберем начальную фазу равной нулю. Тогда зависимость координаты (10.29) и скорости
от времени примут вид
x = A0e
−γ t
cos ωt, ˙x = −A0e
Механическая энергия осциллятора E складывается
из потенциальной kx2/2 и кинетической m ˙x2/2:
−2γ t
e
2
"
k
cos2ωt + (γ cos ωt + ω sin ωt)
m
E =
mA
2
0
−γ t
(γ cos ωt + ω sin ωt).
#
2
.
Преобразуя данное выражение с учетом того, что
k/m = ω
E =
2
и ω2= ω
0
2
mA
0
−2γ t
e
2
2
− γ2, получим
0
2
ω
+ γ2cos 2ωt + ωγ sin 2ωt. (10.41)
0
Поскольку энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, ее убывание пропорционально мно-
жителю e
−2γ t
. На плавное уменьшение по указанно-
му закону накладываются осцилляции с частотой 2ω.
Несмотря на эти осцилляции уменьшение энергии происходит монотонно, но с колебаниями производной,
имеющими удвоенную частоту. 373
Г л а в а X
t
x(t)
t
E(t)
˙
E(t)
На рисунке 10.7 представлены зависимости от времени энергии E и ее производной˙E для затухающих
колебаний x(t), показанных в верхней части рисунка.
Штриховая кривая соответствует слагаемому
2
2
mA
в (10.41).
Рис. 10.7
ла трения, пропорциональная скорости, и ее мощность
˙xFтробращаются в нуль, а˙E(t) как раз и есть мощность
силы трения (убывание механической энергии происходит только за счет работыдиссипативной силы). Наиболее быстрое уменьшение энергии происходит при
максимальных по модулю значениях скорости (вблизи положения равновесия), когда и сила трения также
достигает наибольшей абсолютной величины.
−2γ t
ω
e
0
0
2
Производная энергии˙E(t)
всюду отрицательна за исключением изолированных точек, где
она достигает нулевого значения. Это означает, что монотонность функции E(t) не нарушается. Точки, в которых˙E(t)= 0,
являются точками поворота,
то есть максимумами и минимумами x(t), в которыхскорость колебаний меняет знак.
Это можно объяснить следующим образом. В экстремумах
функции x(t) ˙x = 0, поэтому си-
10.4. Вынужденные колебания. Резонанс
Колебания, которые происходят в системе при наличии внешней силы, называются вынужденными. Наиболее интересен случай, когда внешняя сила изменяется по периодическому закону. Как мы увидим далее,
в этом случае возможны незатухающие вынужденные
колебания с частотой внешнего воздействия. В связи
с этим периодическую внешнюю силу называют также
вынуждающей.
374
Вынужденные колебания. Резонанс
Рассмотрим пружинный маятник, движущийся под
действием силы упругости F = −kx, силы вязкого трения Fтр= −α˙x = −2mγ˙x (γ = α/2m) и вынуждающей силы,
которая изменяется во времени в соответствии с гармонической функцией
Fвн= F0cos ωft (10.42)
(фазу вынуждающей силы всегда можно положить равной нулю за счет соответствующего выбора начала отсчета времени).
Уравнение движения такой системы имеет вид
m ¨x = −kx − 2mγ ˙x + F0cos ωft,
который легкоприводится к канонической форме уравнения вынужденных колебаний
¨x + 2γ ˙x + ω
где ω0=√k/m ---- собственная частота, f0= F0/m.
Левая часть полученного уравнения совпадает с левой частью уравнения затухающих колебаний (10.22),
а правая представляет собой заданную функцию времени.
Уравнения, в которыенеизвестная функция и еепроизводные входят в виде линейной комбинации, называются линейными дифференциальными уравнениями.
Обычно слагаемые, содержащие неизвестную функцию и ее производные, помещают влевой части уравнения. Если правая часть при этом равна нулю, уравнение
называется однородным, в противном случае ---- неодно-
родным. Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок входящей в него производной.
Уравнение гармонических колебаний (10.6) и уравнение затухающих колебаний (10.22) являются, таким
образом, линейнымиоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка. Уравнение вынужденных колебаний (10.43) ---- линейное неоднородное
дифференциальное уравнение второго порядка.
В теории дифференциальных уравнений доказывается, что общее решение линейного неоднородного
уравнения представляет собой сумму общего решения
соответствующего однородного уравнения и частного
решения неоднородного уравнения. 375
2
x = f0cos ωft, (10.43)
0
В применении к уравнениям (10.22) и (10.43)это означает, что общим решением x(t) уравнения вынужденных колебаний (10.43) будет сумма его частного решения x1(t) и общего решения x2(t) уравнения свободных
затухающих колебаний (10.22): x(t) = x1(t) + x2(t).
Действительно, при подстановке x(t) = x1(t) + x2(t)
в (10.43) для левой части в силу линейности имеем
¨x + 2γ ˙x + ω
2
x = ¨x1+ 2γ ˙x1+ ω
0
2
x1+ ¨x2+ 2γ ˙x2+ ω
0
Поскольку x2(t) удовлетворяет однородному уравнению (10.22)
¨x2+ 2γ ˙x2+ ω
2
x2= 0,
0
уравнение (10.43) примет вид
¨x + 2γ ˙x + ω
2
x = ¨x1+ 2γ ˙x1+ ω
0
2
x1= f0cos ωft,
0
то есть x(t) будет решением неоднородного уравнения
в том случае, если x1(t) также является его решением.
Но так как x2(t) ---- общее решение однородного уравнения, оно уже содержит две постоянные, определяемые
из начальных условий. Поэтому x(t) будет общим решением неоднородного уравнения, а x1(t) его частным
решением.
Общее решение однородного уравнения мы получили и исследовали в предыдущем параграфе. Оно имеет
вид (10.29) при γ < ω0или (10.32) при γ > ω0.
Естественно предположить, что частное решение
неоднородного уравнения представляет собой гармоническое колебание с частотой вынуждающей силы,
то есть
x1= B cos(ωft + ϕ), (10.44)
где амплитуда B и начальная фаза ϕ не зависят от начальных условий, а являются функциями частоты ωf.
Задача, таким образом, сводится к нахождению функций B(ωf) и ϕ(ωf), при которых (10.44) удовлетворяет
уравнению (10.43).
Производные функции x1(t)
˙x1= −ωfB sin(ωft + ϕ), ¨x1= −ω
2
B cos(ωft + ϕ)
f
и саму функцию подставим в уравнение (10.43). В результате получим равенство
2
376
B(ω
2
− ω
) cos(ωft + ϕ) −2γωfB sin(ωft + ϕ) = f0cos ωft.
f
0
Г л а в а X
2
x2.
0
Вынужденные колебания. Резонанс
Используя тригонометрические формулы косинуса
и синуса суммы, приведем данное равенство к виду
при всех значениях t, если коэффициенты при cos ωft
и sin ωft равны нулю, то есть
лебания (10.44)
Для облегчения преобразований удобно ввести вспомогательное обозначение
и пользуясь тригонометрическими соотношениями выразить
В результате получим
ний (10.43), таким образом, имеет вид
оно дает общее решение (10.43). Однако вклад функции, описывающей затухающие колебания или апериодический возврат к равновесию, существенен только в
начале процесса вынужденных колебаний (при t
При t 1/γ затухающее слагаемое стремится к нулю,
а общее решение стремится к виду (10.47). 377
h
2
B(ω
0
−Bh(ω
2
− ω
) cos ϕ − 2γωfB sin ϕ − f
f
2
2
− ω
) sin ϕ + 2γωfcos ϕisin ωft = 0.
f
0
i
cos ωft−
0
Как мы уже знаем, такое равенство выполняется
h
2
B(ω
h
(ω
2
− ω
) cos ϕ − 2γωfB sin ϕ − f
f
0
2
2
− ω
) sin ϕ + 2γωfcos ϕi= 0.
f
0
i
= 0,
0
Из второго уравнения находим начальную фазу ко-
tg ϕ = −
ω
2γω
f
, ϕ = −arctg
2
2
− ω
f
0
ω
2γω
2
− ω
0
f
. (10.45)
2
f
Из первого уравнения определяется функция B(ωf).
2γω
a = −tg ϕ =
f
2
2
ω
− ω
f
0
sin ϕ = −a/√1 + a2, cos ϕ = 1/√1 + a2.
f
B =
q
(ω
2
0
− ω
2)2
f
0
+ 4γ2ω
. (10.46)
2
f
Частное решение уравнения вынужденных колеба-
x1=
q
(ω
2
0
− ω
f
2)2
f
0
+ 4γ2ω
cos
2
f
ωft − arctg
ω
2γω
2
− ω
0
f
. (10.47)
2
f
В сумме с (10.29) при γ < ω0или (10.32) при γ > ω
<
1/γ).
∼
0
Г л а в а X
Вынужденные колебания, таким образом, в установившемся режиме являются незатухающими. Частота
колебаний равна частоте вынуждающей силы, амплитуда и фаза определяются амплитудой, фазой и частотой вынуждающей силы, а также собственной частотой
осциллятора икоэффициентом затухания. Диссипативные потери компенсируются притоком энергии от источника внешней силы.
Проанализируем зависимость амплитудыи фазы вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.
Из (10.46) следует, что при ωf→ 0 B → B0= f0/ω
= F0/k. Это означает, что при малых частотах макси-
мальное смещение определяется амплитудой внешней
силы по закону Гука. Колебания происходят синфазно
изменениям Fвн(t), так как согласно (10.45) при ωf→ 0
ϕ → 0.
При ωf→ ∞ B → 0 ---- система не успевает реаги-
ровать на быстрые изменения внешнего воздействия.
С ростом частоты tg ϕ меняет знак, переходя при
ωf= ω0на другую ветвь, а при ωf→ ∞ tg ϕ вновь стре-
мится к нулю, то есть ϕ → −π ---- система колеблется
в противофазе по отношению к вынуждающей силе
(колебания отстают по фазе от вынуждающей силы
на половину периода).
Оба рассмотренных предельных случая имеют место независимо от коэффициента затухания. Отличие
при разных значениях γ заключается лишь в скорости
стремления к предельным значениям.
При малом затухании B(ωf) имеет максимум, соответствующий минимуму функции, стоящей под корнем
в знаменателе выражения (10.46). Производная этого
выражения по переменной ω
2
0
− ω
2)2
f
+ 4γ2ω
[(ω
обращается в нуль при ωf= 0 и −(ω
2
2
ω
= ω
−2γ2. Вычисляя вторую производную можно по-
f
0
2]0
= −4ωf(ω
f
f
2
2
− ω
) + 8γ2ω
f
0
2
2
−ω
)+ 2γ2= 0 или
f
0
казать, что при γ < ω0/√2 корень ωf= 0 соответствует
минимуму B(ωf), а корни ωf= ±qω
Однако корень ωf= −qω
так как частота не может принимать отрицательные378
2
−2γ2должен быть отброшен,
0
2
−2γ2максимумам.
0
2
0
f
=
Вынужденные колебания. Резонанс
ω
f
B(ωf)
1
2
3
4
5
γ1= 0, 04ω
0
γ2= 0, 1ω
0
γ3= 0, 2ω
0
γ4= 0, 3ω
0
γ5= 1, 5ω
0
ω
резω0
B
0
значения, следовательно, амплитуда вынужденных колебаний при малом затухании (γ < ω0/√2) имеет макси-
мум на частоте
ωf= ω
рез
Возрастание амплитуды вынужденных колебаний при частотах вынуждающей силы, приближающихся к (10.48), называется резонансом, а частота ω
---- резонансной ча-
рез
стотой. При γ ω0резонансная частота, так же
как и частота свободных
затухающих колебаний
(10.28), практически совпадает с частотой собственных колебаний осциллятора. С увеличением затухания резонансная частота
смещается в область значений, меньших ω0, будучи
при этом всегда меньше частоты свободных колебаний
ω(γ) =qω
2
0
− γ2.
Амплитуда вынужденных колебаний на резонансной частоте в соответствии с (10.46) и (10.48) принимает
значение
B(ω
) =
рез
На рисунке 10.8 представлены так называемые резонансные кривые ---- графики зависимости амплитуды
вынужденных колебаний от частоты при разных коэффициентах затухания (значения приведены на рисунке). С уменьшением затухания высота резонансного
пика значительно возрастает, то есть система при частотах вынуждающей силы, близких к резонансной,
становится более чувствительной к внешнему воздействию, а компенсация диссипативных потерь энергии
более эффективной. При γ → 0 амплитуда в резонансе
согласно (10.49) стремится к бесконечности, что соответствует бесконечному накоплению энергии, поступающей от внешнего источника, при полном (в идеале)
отсутствии потерь. 379
=qω
2γqω
2
− 2γ2. (10.48)
0
Рис. 10.8
f
0
. (10.49)
2
2
− γ
0
Г л а в а X
−π
0
ω
f
ϕ(ωf)
−
π
2
0
ω
0
2ω
0
1
2
3
4
5
Увеличение затухания приводит к сглаживанию ре-
зонансного пика и его смещению в область низких частот. При γ → ω0/√2 резонансная частота (10.48) стре-
мится к нулю. Кривые B(ωf) при γ ≥ ω0/√2 становятся монотонными, то есть явление резонанса исчезает.
Одна из таких кривых (при γ = 1, 5ω0) представлена
на рис. 10.8. Отметим, что несмотря на отсутствие резонанса при больших значениях затухания вынужденные
колебания остаются незатухающими.
На рисунке 10.9
приведены расчетные
кривые зависимости
фазы вынужденных колебаний от частоты при
тех же значениях коэффициента затухания.
Фаза колебаний отстает от фазы вынуждающей силы (ϕ < 0), так
Рис. 10.9
ношению к внешнему воздействию. При малых частотах запаздывание минимально (ϕ → 0), особенно для
малых γ. При ωf= ω0для любых γ отставание по фазе
достигает π/2, что соответствует отставанию по времени на четверть периода. При ωf→ ∞ ϕ → −π, то есть
отставание колебаний от внешней силы приближается
к половине периода.
Явление резонанса необходимо учитывать при проектировании машин, летательных аппаратов, инженерных сооружений, например мостов. Если частоты возможных внешних воздействий (работа двигателя и периодические смещения подвижныхдеталей машин, вибрации, обусловленные изменением скорости течения
жидкости в трубопроводе, проездом машин и даже проходом людей по мосту, например, марширующих солдат) окажутся близкими к собственным резонансным
частотам, износ соответствующего агрегата или сооружения за счет возникновения резонанса значительно
увеличивается, а в некоторых случаях даже при незначительных воздействиях может произойти катастрофа.
380
как отклик системывсегда запаздывает по от-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]