Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Энергия волны
Приравнивая
jS dt = udV = uSvdt,
получим
Таким образом, плотность потока энергии равна
плотности энергии, умноженной на скорость ее переноса. Поскольку u = u(x, t), вектор плотности потока
в плоской волне будет функцией продольной координаты и времени. Для характеристики интенсивности
переноса энергии введем среднюю плотность потока
<j >= ¯uv =
где учтено (10.77).
Векторы j и < j > являются локальными характеристиками интенсивности потока энергии волны в том
смысле, что они количественно определяют скорость
переноса энергии в области, прилегающей к заданной
точке пространства, в пределе ---- в самой точке. Такие
величины в физике называют дифференциальными.
Описание переноса энергии с помощью дифференциальных характеристик потока j и < j > может быть
применено не только для плоской волны, но и для волн
с произвольной геометрией волновой поверхности.
Для этого достаточно в (10.78), (10.79) и последующих
формулах заменить Φ на dΦ, S⊥, S , S⊥и S на соответствующие бесконечно малые величины: dS⊥, dS , dS
и dS. Тогда волну в пределах бесконечно малого участка
волновой поверхности можно считать плоской, и все
рассуждения, приводящие к (10.80) и (10.81), остаются в силе с той лишь разницей, что амплитуда волны
ξ0в выражении для плотности энергии u и в (10.81)
будет функцией координат (и времени, если источник
возмущения не является стационарным).
Поток Φ является интегральной характеристикой
процесса переноса энергии. Для того чтобы вычислить
поток 4Φ через конечную площадь 4S , нужно взять
бесконечно малый поток в окрестности точки с координатами x, y,z: dΦ = j(x, y, z, t)dS и проинтегрировать
его в пределах площади 4S
4Φ =
j = uv. (10.80)
1
2
ρ ξ
ω2v, (10.81)
0
2
Z
4S
j dS =
Z
j cos αdS , (10.82)
4S
⊥
401
Г л а в а X
где α ---- угол между вектором dS и волновым вектором в данной точке. Под интегралом по площади 4S
понимается предел суммы вкладов dΦ, вычисленных
для участков dS . Если в (10.82) вместо j использовать
среднюю плотность потока < j>, то в результате интегрирования получим средний поток через площадь 4S .
Вычислим средний поток энергии в однородной изотропной среде через поверхность сферы радиуса r,
в центре которой находится стационарный источник
возбуждения, создающий колебания частоты ω. Поскольку в каждый момент времени сфера совпадает с одной из волновых поверхностей, вектор < j >
на всей сфере имеет одинаковую величину и радиальное направление. Из этого, в свою очередь, следует, что
d < Φ > = < j > dS = < j > dS = ρ ξ
через сферу найдем интегрированием:
<Φ> =
ρ ξ
2
0
(r) ω2v
2
Z
S
так как площадь сферы радиуса r равна 4πr2.
В соответствии с законом сохранения энергии при
отсутствии потерь, то есть в незатухающей волне, средняя энергия, переносимая в единицу времени, должна
быть одинаковой для сфер любого радиуса: <Φ> = const.
С учетом этого из (10.83) следует, что r2ξ
так как все остальные величины, входящие в соотношение ---- плотность недеформированной среды, частота
и скорость распространения волны ---- постоянные. Отсюда получаем
ξ0(r) =
что соответствуетвведенному ранее выражению (10.59)
для амплитуды незатухающей сферической волны. Таким образом, вид уравнения незатухающей сферической волны (10.60) с амплитудой, обратно пропорциональной расстоянию от источника, является прямым
следствием закона сохранения энергии.
Из энергетических соображений можно получить
также уравнение затухающей волны в однородной среде. Пусть вдоль оси x распространяется плоская волна,
средняя плотность энергии которой убывает в резуль-
тате диссипативных потерь. В линейном приближении402
2
(r) ω2v/2. Средний поток
0
dS = 2πr2ρ ξ
2
(r) ω2v, (10.83)
0
a
, (10.84)
r
2
(r) = const,
0
Энергия волны
уменьшение средней плотности энергии за счет потерь при прохождении расстояния dx должно быть
пропорционально самой величине ¯u и пройденному
расстоянию:
d ¯u = −κ ¯ud x,
где коэффициент пропорциональности κ ---- положительная постоянная, называемая коэффициентом по-
глощения. Размерность κ обратна размерности длины.
Преобразуя данное равенство к виду
d ¯u
= −κd x
¯u
и вычисляя неопределенные интегралы в левой и правой частях, получим
ln ¯u −ln ¯u0= ln
Постоянную интегрирования здесь удобно предста-
вить в левой части равенства в виде −ln ¯u0, где ¯u0---константа с размерностью плотности энергии, чтобы
в дальнейшем получить под знаком логарифма безразмерное отношение ¯u/ ¯u0. После потенцирования находим зависимость ¯u(x) для затухающей плоской волны
¯u(x) = ¯u0e
Постоянная ¯u0, как можно видеть из данного равенства, имеет смысл значения средней плотности энергии
в начале отсчета (x = 0). Учитывая, что в соответствии
с (10.77) величина ¯u пропорциональна квадрату ампли-
туды волны, сама амплитуда должна убывать по закону ξ0exp(−κx/2). Тогда уравнение плоской затухающей
волны будет иметь вид
ξ(x, t) = ξ0e
−κx/2
В случае сферической волнысредние значенияплотности энергии и плотности потока (10.81) убывают
по мере удаления от источника не только за счет потерь, но и за счет увеличения площади волновой поверхности. Сохраняющейся величиной при отсутствии
затухания является средний поток энергии через любую замкнутую поверхность, охватывающуюисточник,
в частности, через сферу с центром в источнике. По-
этому при учете затухания рассуждения, аналогичные 403
¯u
= −κ x.
¯u
0
−κx
. (10.85)
cos(ωt − kx). (10.86)
предыдущим, длясферической волны нужно проводить
в применении к среднему потоку энергии через сферу
радиуса r: убывание −d <Φ> среднего потока пропорционально его текущему значению < Φ > и пройденному волновой поверхностью расстоянию dr
d <Φ > = −κ < Φ > dr,
причем коэффициент поглощения κ в данной среде
тот же, что и для плоской волны. Действительно, бесконечно малыйучасток волновой поверхности, прилегающий к точке с радиус-вектором r, можно считать плоским, а волну в пределах сечения этого участка на расстояниях от r до r + dr от источника ---- плоской волной
с волновым вектором k k r.
Проведя разделениепеременных и интегрирование,
придем к выражению для среднего потока энергии
как функции расстояния от источника, аналогичному
(10.85):
<Φ > = < Φ0> e
Интерпретация константы < Φ0> как предельного
значения <Φ(r)> при r →0 в данном случае не вполне
корректна, поскольку, во-первых, реальный источник
всегда имеет конечные размеры, во-вторых, амплитуда сферической волны (10.84) при r → 0 стремится
к бесконечности, то есть теряет физический смысл.
Тем не менее, формально (10.83) и (10.84) в пределе
r → 0 для < Φ > →< Φ0> дает
<Φ0> = 2πρa2ω2v.
Более правильнос физической точки зрения трактовать эту величину как среднюю плотность потока энергии того же источника в той же среде при отсутствии
затухания (κ → 0).
Используя выражение (10.83) для <Φ > и предыдущее
выражение для < Φ0>, из (10.87) найдем зависимость
от r амплитуды затухающей сферической волны в однородной среде с коэффициентом поглощения κ:
ξ0(r) =
Уравнение затухающей сферической волны, таким
образом, имеет вид
a
404
ξ(r, t) =
r
−κ r/2
e
−κ r
. (10.87)
a
−κ r/2
e
r
.
cos(ωt −kr). (10.88)
Г л а в а X
Стоячие и бегущие волны
Отметим, что скорость переноса энергии в затуха-
ющей волне будет меньше фазовой скорости v = ω/k.
Это можно объяснить из следующих простых соображений. За время 4t волновая поверхность плоской
волны проходит расстояние 4x = v4t. Если взять промежуток времени, равный целому числу периодов колебаний, то за это время через сечение S⊥, пересекающее ось x в точке x1, пройдет энергия 4E = ¯u(x1)S⊥v4t.
Через такое же сечение, пересекающее ось x в точке
x2= x1+4x, пройдет энергия 4E0= ¯u(x2)S⊥v4t. Вследствие
поглощения ¯u(x2) = ¯u(x1) exp(−κ 4x) < ¯u(x1), поэтому порция энергии 4E0будет меньше 4E. Для того чтобы
перенос энергии через сечение в точке x2стал равным
4E, нужно время, превышающее 4t. Это и означает,
что энергия в затухающей волне переносится медленнее, чем движется поверхность постоянной фазы. Аналогичные рассуждения можно провести для сферической волны.
10.8. Стоячие и бегущие волны
Рассмотрим двеплоские незатухающие волны с одинаковыми частотами и амплитудами, распространяющиеся вдоль оси x во встречных направлениях. Их суперпозиция даст волну
ξ = ξ0cos(ωt − kx) + ξ0cos(ωt + kx). (10.89)
Равенство нулю двух начальных фаз волн, составляющих суперпозицию, всегда можно обеспечить выбором начала отсчета координаты x и времени t.
Используя формулы косинуса суммы и косинуса
разности, приведем выражение (10.89) к виду
ξ = 2ξ0cos ωt cos k x. (10.90)
При фиксированном значении x это возмущение
является гармоническим колебанием счастотой ω и амплитудой 2ξ0cos kx. Фаза колебаний одинакова во всех
точках, где cos kx > 0, то же относится к областям, где
cos kx < 0. Между собой эти два множества областей
имеют сдвиг фазы π (половину волны). Поверхность
постоянной фазы, таким образом, не перемещается
в пространстве, а волна не переносит энергию. 405
Г л а в а X
То, что скорость переноса энергии равна нулю, мож-
но пояснить следующим образом. Волна
ξ1= ξ0cos(ωt − kx)
переносит энергию в положительном направлении оси
x со скоростью v = ω/k, равной фазовой скорости,
поскольку затухание отсутствует. Встречная волна
ξ2= ξ0cos(ωt + kx)
со скоростью v = −ω/k перемещает волновые поверхности и переносит такую же энергию в противоположном направлении. В результате в положительном
и отрицательном направлениях оси x распространяются одинаковые потоки энергии, что для суммарного потока дает нуль.
Возмущение вида (10.90) называется стоячей вол-
ной. Стоячая волна удовлетворяет волновому уравнению (10.56), так как это уравнение линейное, а каждое
из слагаемых в (10.89) является его решением. Впрочем,
непосредственная подстановка (10.90) в (10.56) приводит к тождеству при v = ±ω/k. Стоячая волна не переносит энергию возмущения в пространстве.
Волна, переносящая энергию, в отличие от стоячей,
называется бегущей. Примерами бегущих волн могут
быть слагаемые в (10.89) по отдельности:
ξ1= ξ0cos(ωt −k x), ξ2= ξ0cos(ωt + k x).
Скорость переноса энергии для волны ξ1в соответствии с (10.76) равна ω/k, для волны ξ2v= −ω/k.
В качестве еще одного примера бегущей волны рассмотрим суперпозицию двух встречных волн одинаковой частоты, но разной амплитуды:
ξ = ξ01cos(ωt −k x) + ξ02cos(ωt + kx). (10.91)
Эта функция также является решением одномерного волнового уравнения (10.56), поскольку ему удовлетворяют оба слагаемыхпо отдельности. Фазовые скорости двух гармонических составляющих данной волны
соответственно равны v1= ω/k и v2= −ω/k. Найдем на-
правление переноса энергии волной (10.91) и среднюю
плотность потока.
406
Стоячие и бегущие волны
Дифференцирование функции ξ(x, t) (10.91) по ко-
ординате и времени дает
∂ξ
= kξ01sin(ωt −k x) − ξ02sin(ωt + kx),
∂x
∂ξ
= −ωξ01sin(ωt −k x) + ξ02sin(ωt + kx).
∂t
Подставив эти выражения в формулу (10.75) и учтя,
что k2v2= ω2, для плотности энергии получим
u = ρ ω
При сложении квадрата суммы и квадрата разности удвоенные произведения взаимно уничтожаются,
в результате чего выражение для u(x, t) принимает вид
суммы плотностей энергии u1(x, t) и u2(x, t) двух гармонических составляющих волны (10.91). Данные функции приводятся к виду, аналогичному (10.76):
Поверхность, на которой u1имеет постоянное значение, соответствует условию 2ωt−2k x = const. Это плоскость, перпендикулярная оси x, движущаяся со скоростью ω/k в положительном направлении. Аналогично для u2поверхность постоянного значения является
плоскостью, перемещающейся с такой же скоростью
в противоположном направлении.
Далее, рассуждая так же, как в предыдущем параграфе, и учитывая, что u = u1+ u2, придем к выражениям для мгновенного и среднего значений плотности энергетического потока, которые будут представлять собой суммы вкладов гармонических волн
ξ01cos(ωt −kx) и ξ02cos(ωt + kx), выражаемых формулами
(10.80) и (10.81) с противоположными направлениями
скоростей:
j = (u1− u2)v, < j>= ρ (ξ
Иными словами, перенос энергии волной (10.91)
можно охарактеризовать как два независимых встречных потока с плотностями (10.80) и (10.81). При ξ01> ξ
< j > ---- положительная величина, то есть энергия переносится в направлении оси x, при ξ01< ξ
h
2
2
ξ
sin2(ωt −k x) + ξ
01
u1(x, t) = ρ ω2ξ
u2(x, t) = ρ ω2ξ
2
sin2(ωt + k x)i. (10.92)
02
2
[1 −cos(2ωt − 2kx)] /2,
01
2
[1 −cos(2ωt + 2kx)] /2.
02
2
2
− ξ
01
)ω2v/2. (10.93)
02
знак < j> 407
02
02
Г л а в а X
и направление переноса энергии противоположны.
Наконец, при ξ01= ξ02бегущая волна (10.91) переходит в стоячую волну (10.89), а средняя плотность потока
энергии в (10.93) обращается в нуль.
Нетрудно убедиться, что при распространении двух
встречных гармонических волн с разными амплитудами
ξ01и ξ02, частотами ω1и ω2и волновыми числами
k1= ω1/v и k2= ω2/v :
ξ = ξ01cos(ω1t − k1x) + ξ02cos(ω2t + k2x)
плотность энергии, вычисленная по формуле (10.75),
вновь будет иметь вид суммы независимых вкладов отдельных гармонических составляющих: u = u1+ u2, где
2
u1(x, t) = ρ ω
u2(x, t) = ρ ω
то есть вывод о независимости энергетических потоков
в противоположных направлениях и алгебраическом
сложении плотностей потоков остается в силе. Первая
из формул (10.93) в этом случае не изменяется, а вторая
принимает вид
Положительному значению средней плотности потока соответствует перенос энергии в положительном
направлении оси x. Это будет иметь место в случае
2
ξ
ω
01
2
ξ
ω
01
2
2
> ξ
1
2
< ξ
1
2
ω
. При отрицательном < j>, то есть при
02
2
2
2
ω
, энергия будет переноситься в противо-
02
2
положном направлении.
Вернемся к рассмотрению стоячей волны. Представим ее уравнение (10.90) в виде
Здесь использовано выражение длины волны λ = 2π/k.
Данное равенство можно рассматривать как уравнение
1
Периоды колебаний T1= 2π/ω1и T2= 2π/ω2в данном случае
не совпадают, поэтому усреднение должно осуществляться по промежутку времени 4t, значительно превышающему каждый из периодов, чтобыэнергией, прошедшей через площадкуединичного сечения
за часть периода колебаний, можно было пренебречь по сравнению
с энергией, прошедшей через ту же площадку за время 4t.408
2
ξ
1
2
ξ
2
1
< j>= ρ (ξ
ξ = 2ξ0cos
[1 −cos(2ω1t −2k1x)] /2,
01
2
[1 −cos(2ω2t + 2k2x)] /2,
02
2
01
2
2
ω
1
2π
λ
2
− ξ
ω
)v/2.
02
2
x cos ωt. (10.94)
x
ξ
2ξ
0
1
2
3
4
0
λ4λ23λ4λ
Стоячие и бегущие волны
гармонических колебаний с амплитудой, периодически
изменяющейся вдоль оси x:
ξm(x) = 2ξ
и фазой, изменяющейся скачками на ±π в точках, где
ξm(x) = 0, то есть cos 2πx/λ меняет знак.
На рисунке 10.16 представлены зависимости ξ(x) для
четырех состояний колебаний в стоячей волне. Кривая 1 соответствует моментам времени t = nT = 2πn/ω
(n = 0, 1, 2, . . .). В эти моменты смещения достигают максимальных значений. Кривая 2 описывает состояние
колебаний при t = nT ±π/3ω = (n ±1/6)T , кривая 3 ---- при
t = nT ±2π/3ω = (n ± 1/3)T . Смещения в состояниях 2
и 3 составляют половину максимальных значений.
В моменты времени
t = nT ±π/ω = (n ±1/2)T (кривая 4) смещения вновь достигают максимальных значений ξm(x) в направлениях, противоположных направлениям смещений всостоянии 1. Начальные фазы колебаний на участках
−λ/4 + nλ < x < λ/4 + nλ равны нулю, на участках
λ/4 + nλ < x < 3λ/4 + nλ они сдвинуты на π или, как
принято говорить, колебания осуществляются в противофазе по отношению к участкам с нулевой начальной
фазой.
Точки x = λ/4 ±nλ/2, в которых амплитуда колебаний
равна нулю, называются узлами стоячей волны. Точки x = ± nλ/2 называются пучностями стоячей волны.
В этих точках амплитуда колебаний ξmимеет максимальное значение 2ξ0.
Относительная деформация среды как в случае
деформации сжатия (10.62) для продольной волны, так
и в случае деформации сдвига (10.69) для поперечной волны равна производной ∂ξ/∂x. Дифференцируя
(10.94) по x, находим относительнуюдеформацию в стоячей волне:
∂ξ
∂x
= −
4π
λ
0
ξ0sin
cos
2π
x
,
λ
Рис. 10.16
2π
x cos ωt. (10.95)
λ
409
Г л а в а X
x
ξ
∂ξ/∂x
x
0
λ4λ23λ4λ
На рисунке 10.17 представлены зависимости смещения и деформации от координаты x в моменты
времени t = nT , когда эти величины достигают своих
максимальных значений. Узлы деформации находятся
в точках с координатами x = ±nλ/2 , пучности ---- в точках x = λ/4 ±nλ/2. Относительные деформации среды
достигают максимальных значений в точках, которые
не участвуют в колебательном движении ---- в узлах стоячей волны.
Стоячей волне (10.94), таким образом,соответствует
стоячая волна деформации (10.95), узлы которой расположены в пучностях смещения, а пучности, наоборот ---- в узлах смещения.
Распределение скоростей частиц среды в стоячей волне получается дифференцированием (10.94)
по времени:
∂ξ
= −2ξ0ω cos
∂t
На рисунке 10.18 показаны
смещения и скорости колебаний
Рис. 10.17
в зависимости от x в моменты
t = nT + 4t, где 4t < T/4 (cos ωt > 0
и sin ωt > 0). Узлы и пучности распределения скоростей
совпадают соответственно с узлами и пучностями смещений, но в моменты времени, когда смещения максимальны, скорости частиц всюду равны нулю, а в моменты, когда скорости достигают максимальных значений,
равны нулю смещения, то есть среда оказывается недеформированной.
Плотность потенциальной энергии в стоячей волне
можно вычислить с помощью формул (10.73) и (10.95):
!
2
2
ρv
п
=
∂ξ
2
∂x
= 2ρ ξ
2
ω2sin
0
uп=
δE
δV
2π
x sin ωt. (10.96)
λ
2π
2
x cos2ωt, (10.97)
λ
410
где учтено, что 2π/λ = k и k2v2= ω2. Аналогично с помощью (10.74) и (10.96) находим плотность кинетической энергии стоячей волны
uк=
δE
δV
!
2
ρ
к
∂ξ
=
2
∂t
= 2ρ ξ
2
ω2cos
0
2π
2
x sin2ωt. (10.98)
λ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]