Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Движение тел в жидкостях и газах
ограничивается тонким слоем, прилегающим к поверхности (рис. 7.19,б). Теоретическая оценка толщины δ
этого слоя дает
где R ---- поперечный размер тела, для шара и цилиндра ---- радиус. В пограничном слое скорость течения
по мере приближения к телу уменьшается настолько
быстро, что движущиеся частицы жидкости не успевают обогнуть тело полностью, в результате чего поток
срывается с поверхности и образуется область турбулентности. В этой области уравнение Бернулли не выполняется, а давление оказывается намного меньше
давления на передней поверхности тела. Давление P
в точке A равно сумме статического и динамического давлений в невозмущенном потоке: P1= P0+ ρv
давление P2в точке B порядка P0, их разность, таким
образом, пропорциональна квадрату скорости потока.
Такую же зависимость от скорости будет иметь сила,
обусловленная разностью давлений на передней и задней поверхностях
Fс= CxS
где S ---- площадь поперечного сечения тела, ρ ---- плотность жидкости, Cx---- безразмерный коэффициент ло-
бового сопротивления, зависящий от формы тела. Эта
сила называется силой гидравлического сопротивления
или сопротивлением формы.
Лобовое сопротивление в общем случае складывается из силы (7.27), называемой также сопротивлением
трения, и сопротивления формы (7.29)1. При Re
преобладает сопротивление трения, сила сопротивления увеличивается пропорционально скорости. При
Re Reкросновной вклад дает гидравлическое сопро-
тивление. Зависимость силы от скорости становится
в этом случае квадратичной.
Для тел каплевидной формы (рис. 7.22) при заданных поперечных размерах и кинематической вязкости
среды ламинарный характер обтекания сохраняется
1
При рассмотрении движения тела относительно среды в форму-
лах (7.27)---(7.29) нужно поставить знак минус в правой части, так как
лобовое сопротивление направлено против движения тела. 281
δ ∼
R
,
√
Re
2
ρv
0
, (7.29)
2
1
2
/2,
0
<
Re
кр
∼
до наибольших по сравнению с телами другой формы скоростей. Критическое значение числа Рейнольдса для каплевидных тел особенно велико, а коэффициент Cxв (7.29) почти в 10 раз меньше, чем у шара.
Это объясняется тем, что формабоковых поверхностей
в областях, где скорость течения и силы трения достигают максимальных значений, способствует плавному
изменению направления линий тока, в результате чего
вихри не образуются вплоть до значительных скоростей. Дажепри очень больших скоростях(Re Reкр), когда за телом появляется область турбулентности, ее относительные размеры и, следовательно, вклад в гидродинамическое сопротивление намного меньше, чем
у цилиндра и шара.
Рассмотрим силы, действующие на крыло самолета при
его обтекании встречным потоком воздуха (рис. 7.23). Для
уменьшения лобового сопро-
Рис. 7.22
Нарушение симметрии относительно плоскости, проходящей через переднюю и заднюю точки вертикального
разреза крыла, обеспечивает создание подъемной силы: расстояние между этими точками вдоль верхней поверхности больше, чем вдоль нижней, в результате чего
сверху скорость обтекания больше, а давление меньше.
Соотношение подъемной силы и лобового сопротивления зависит также от угла атаки α ---- угла между плоскостью симметрии задней части крыла и горизонтом.
Если бы воздух не имел вязкости, картина обтекания
была бы такой, как на рис. 7.23,а, подъемная сила при
этом возрастала бы монотонно с увеличением угла атаки. На практике ламинарное обтекание имеет место
при не слишком больших скоростях и малых α. При
подъемной силе, превосходящей собственный вес, самолет имеет вертикальную составляющую ускорения,
направленную вверх, его импульс в этом направлении
увеличивается, а воздушный поток получает составляющую импульса в противоположном направлении, то
есть отклоняется вниз, как показано на рисунке. Если
282
тивления форма крыла должна быть близка к каплевидной.
Г л а в а VII
Движение тел в жидкостях и газах
α
F
п
F
F
л
а
б
подъемная сила скомпенсирована весом самолета, он
летит горизонтально, и воздушный поток после обтекания также движется горизонтально.
Опыт показывает, что при углах атаки в пределах
от 12oдо 18o(в зависимости от формы крыла) подъемная сила с дальнейшим ростом α заметно снижается.
Это обусловлено образованием вихря сверху от крыла
в задней его части, в результате чего средняя скорость
обтекания в этой области уменьшается, а давление растет. Оптимальный угол атаки, при котором подъемная
сила максимальна для заданной скорости, называется
критическим или посадочным. При взлете и посадке,
когда скорость невелика, угол атаки поддерживается
близким к критическому, кроме того, дополнительное
увеличение подъемной силы ипредотвращение возникновения вихрей обеспечиваетсяизменением геометрии
крыла ---- выдвижением закрылков и подкрылков.
Рис. 7.23
На больших скоростях возникновение вихрей неизбежно даже при малых углах атаки. Теорию обтекания
крыла, учитывающую образование вихрей, разработал
в начале XX в. Н.Е. Жуковский. Основная идея теории заключается в представлении потока как суперпозиции двух течений: плавного и циркулярного. Плавное течение, ограниченное прилегающим к поверхности крыла слоем в несколько сантиметров, имеет ламинарный характер. Вихри, возникающие на задней
кромке, постоянно срываются и уносятся потоком. Это
приводит к появлению момента импульса в системе
?
воздух---самолет@. В соответствии с законом сохранения возникший момент импульса должен быть скомпенсирован вращением противоположного направления.
При постоянном угле атаки, поддерживаемом рулевыми устройствами самолета, необходимое вращение
может быть обеспечено только циркулярным потоком,
283
Г л а в а VII
находящимся за пределами пограничного слоя и вращающимся в направлении, противоположном вращению
срываемых вихрей (рис. 7.23,б). Над крылом скорость
циркулярного потока имеет положительную проекцию
на направление скорости плавного течения, под крылом ---- отрицательную. В результате скорость течения
над крылом увеличивается, а давление уменьшается,
под крылом, наоборот, скорость уменьшается, а давление растет. Таким образом, образование вихрей при
условии ихсрыва приводит не к уменьшению,а к увеличению подъемной силы крыла. Расчеты и эксперименты
подтвердили справедливость теории Жуковского,которая задолго до появления авиации больших скоростей
обосновала принципиальную возможность полета аппаратов тяжелее воздуха на скоростях, при которых
число Рейнольдса значительно превосходит критическое значение.
7.8. Особенности движения со сверхзвуковыми
скоростями
Возмущение в среде передается со скоростью звука.
Сферическая волна возмущения, возникающая в данный момент в данной точке, за время t охватывает
область шара с радиусом R(t) = vзвt (vзв---- скорость звука
в данной среде) и оказывает влияние на распределение скоростей и давлений в пределах этой области. При
vvзвточка движущегосятела не успевает заметно сме-
ститься из центра области вызванного ею возмущения.
В данной ситуации распространение взаимодействия
му среду несжимаемой, как мы и делали до сих пор.
Иначе обстоит дело при v > vзв.
Рассмотрим обтекание сверхзвуковым воздушным
потоком тела, сильно вытянутого вдоль направления
течения (рис. 7.24,а). В передней точке O возникает
возмущение в виде положительного скачка плотности,
поскольку при таких величинах скорости воздух уже
нельзя считать несжимаемым. Центр сферической волны возмущения неподвижен относительно потока, а относительно тела за время t он смещается в точку O
0
,284
Особенности движения со сверхзвуковыми скоростями
M > 1
M < 1
β
б
M > 1
vзвt
O
0
M < 1
β
vt
O
а
находящуюся от точки O на расстоянии l = vt > R = vзвt.
Центры новых возмущений, возникающих в этот промежуток времени, смещаются относительно O на меньшие расстояния, а их фронты имеют меньшие радиусы, однако отношение l/R = v/vзвостается постоянным. Огибающая сферических фронтов возмущений
образует область уплотнения воздуха, расположенную
на поверхности конуса с углом полураствора β, определяемым из условия sin β = vзв/v. Этот конус называется
конусом возмущений или конусом Маха.
Снаружи от конуса Маха движется невозмущенный
сверхзвуковой поток. Давление в этом потоке обозначим P0, плотность ρ0. На поверхности конуса P > P
и ρ > ρ0, кроме того, в области уплотнения будет иметь
место скачок температуры воздуха, поскольку часть
кинетической энергии при взаимодействии с телом переходит в тепло.
0
Рис. 7.24
Чтобы выяснить, каково состояние воздуха внутри
конуса возмущений, удобнее перейти в систему отсчета, в которой тело движется относительно неподвижной среды. В этой системе отсчета воздух за пределами
конуса Маха покоится вплоть до самой его границы,
поскольку конус движется вместе с телом со скоростью
v > vзв, значит возмущение неуспевает достигнутьточек
внешней области, даже близких к области уплотнения.
В результате движения области уплотнения за ней возникает зона разрежения, в которую устремляется воздух из внутренней области конуса. Это означает, что
внутри конуса Маха воздух движется в направлении
его поверхности, то есть скорость течения имеет положительную проекцию на направление скорости тела v, а давление и плотность меньше невозмущенных
значений. Возвращаясь в систему отсчета тела, прихо- 285
Г л а в а VII
дим к выводу, что воздух обтекает поверхность тела
со скоростью v0< v. Линии тока преломляются на поверхности конуса Маха, как показано на рис. 7.24,б.
Вблизи поверхности они расходятся, что соответствует
уменьшению скорости.
Для характеристики течения вводится число Маха
M = v/vзв. За пределами конуса возмущений M > 1,
так как v > vзв. Расчеты показывают, что внутри конуса, по крайней мере вблизи его вершины, M < 1,
то есть обтекание поверхности тела происходит дозвуковой скоростью.
Для тел, поперечные размеры которых в передней
части нельзясчитать малыми, область уплотнениявблизи вершины повторяет форму тела, а при удалении
от тела, стремится к поверхности конуса Маха с углом
β = arcsin(vзв/v) = arcsin M−1, зависящим только от соот-
ношения скоростипотока и скорости звука (рис.7.24,б).
Взаимодействие области высокой плотности с областью невозмущенного воздуха имеет характер удара,
поэтому движущуюся вместе с телом область уплотнения называют ударной волной. При пролете сверхзвукового самолета мы вначале не слышим шум его
двигателей, поскольку звук отстает от самолета, затем
мы слышим хлопок, соответствующий проходу ударной волны, и только после этого становится слышен
шум двигателей.
На образование ударной волны расходуется часть
энергии движения, поэтомулобовое сопротивление при
сверхзвуковой скорости значительно больше, чем при
дозвуковой. Его зависимость от скорости при M
отличается от (7.29) и имеет вид
3
ρv
Fс= CxS
0
. (7.30)
2
Дальнейшее увеличение скорости сопровождается
ростом скачка давления и температуры в ударнойволне.
Когда скачок 4P становится сравнимым с невозмущенным давлением P0, а повышение температуры приводит к изменению физико-химических свойств воздуха, скорость распространения возмущения (скорость
звука) начинает зависеть от величины возмущения.
В этих условиях возмущение среды становится нели-286
>
∼
1
Особенности движения со сверхзвуковыми скоростями
нейным ---- отклик на внешнее воздействие перестает
быть пропорциональным воздействию, так как коэффициенты, зависящие от физических свойств среды,
сами оказываются функциями величины воздействия.
Теория нелинейных процессов очень сложна, поэтому
ограничимся лишь качественным соображением в отношении того, что резкое уменьшение давления и плотности на заднем фронте ударной волны по сравнению
с давлением и плотностью на переднем фронте должно
приводить к замедлению росталобового сопротивления
по сравнению с зависимостью (7.30).
Теория и экспериментальные измерения показыва-
ют, что данный эффект становится заметным начиная
>
с M
висимость лобового сопротивления от скорости вновь
принимает квадратичный вид (7.29), однако коэффициент Cxоказывается несколько больше дозвукового
значения.
противления пропорциональна плотности воздуха, для
самолета, ракеты, спускаемого космического аппарата
она будет меньше, если движение происходит вверхних
слоях атмосферы.
до сверхзвуковойсопровождается так называемымвол-
новым кризисом, который выражается впоявлении вибраций и резком снижении управляемости. Волновой
кризис связан с возникновением ударной волны, которая появляется сначала в областях ускорения обтекающего потока ---- в верхней части крыла, на обводах
фюзеляжа и других выпуклых участках корпуса. Когда
в областях ускорения число Маха достигает единицы,
а на остальной поверхности остается меньше единицы,
картина обтекания резко меняется, возникает сразу
несколько источников ударных волн, что и приводит
к волновому кризису. Преодоление звукового барьера
относится к наиболее сложным техническим задачам
в истории развития авиации.
чения устойчивости обтекающего потока необходимо
исключить контакт ударной волны с корпусом, поэтому сверхзвуковой самолет в полете должен полностью
1, 5, а при M
∼
Отметим также, что поскольку сила лобового со-
Повышение скорости самолета от дозвуковой
Для уменьшения лобового сопротивления и обеспе-
>
4 (гиперзвуковые скорости) за-
∼
287
Г л а в а VII
v
v
зв
v
зв
находиться внутри конуса Маха (рис. 7.25). Дляэтого носовая часть делается вытянутой и заостренной, крыльям
придают стреловидную треугольную или ромбическую
форму, на переднейкромке фюзеляжапомещают выдающийся вперед штырь, рассекающийвоздушный поток
и отодвигающий поверхность конуса Маха от корпуса. Частично эти технические решения используются
и в дозвуковых самолетах, крейсерская скорость которых приближается к звуковой.Это позволяетувеличить
предельную скорость, соответствующую началу волнового кризиса для данной конструкции самолета.
Работы по совершенствованию сверхзвуковых самолетов
продолжаются до сих пор, так
как улучшение летных характеристик при M > 1 зачастую
входит в противоречие с каче-
Рис. 7.25
ством летных данных на малых
скоростях, при взлете и посадке.
288
Глава VIII
Реактивное движение
8.1. Движение тела с переменной массой.
Реактивная сила
В природе и технике часто приходится иметь дело
с движением тел переменной массы. Например, масса
дрейфующей льдины убывает при ее таянии и возрастает принамерзании. Изменяется масса вращающегося
веретена, на которое накручивается нить, масса рулона
бумаги, разматывающегося на валу печатной машины.
Важнейшим примером движения тела с изменяющейся массой является движение ракеты или реактивного
самолета.
Рассмотрим движениереактивного летательногоаппарата при следующем упрощающем предположении.
Будем считать, что линия действия всех внешних сил,
составляющих в сумме F, а также линия вектора скорости выбрасываемой газовой струи vгпроходят через
центр масс тела. В этом случае при отсутствии начального вращения движение будет поступательным, так
как равны нулю вращающие моменты. Такое движение
можно описывать как движение материальной точки,
помещенной в центр масс.
Применим уравнение второго закона Ньютона в виде (2.7):
За время dt тело теряет массу dm, равную массе образовавшегося газа. Газовая струя в неподвижной системе отсчета движется со скоростью vг. Приращение
dp
dt
= F.
289
Г л а в а VIII
импульса системы за это время складывается из приращения импульса тела
dp1= (m − dm)(v + dv) − mv (8.1)
и приращения импульса струи
dp2= dmvг. (8.2)
Раскрывая скобки в (8.1), пренебрегая бесконечно
малой величиной второго порядка dmdv и суммируя
(8.1) и (8.2), получаем
dp = dp1+ dp2= mdv + dm(vг− v) = mdv + u dm,
где u = vг− v ---- скорость газа относительно тела. Под-
ставив dp в (2.7), получим уравнение движения тела
с переменной массой ---- уравнение Мещерского:
dv
m
= ma = −u
dt
В соответствии с нашими рассуждениями здесь
m = m(t) ---- изменяющаяся во времени масса летатель-
ного аппарата, v и a =˙v ---- его скорость и ускорение,
dm/dt ---- масса газовой струи, выпускаемой в единицу
времени, или, согласно закону сохранения массы, се-
кундный расход топлива в реактивных двигателях.
Вектор
Fр= −u
с размерностью силы называется реактивной силой.
Поскольку dm/dt > 0, реактивная сила направленав сторону, противоположнуювектору относительной скорости газовой струи.
Если в (8.3) положить F = 0, то уравнение движения
примет вид
ma = Fр= −u
Это уравнение показывает, что ускоренное движение тела с переменной массой возможно при отсутствии внешних сил, что обосновывает возможность
управляемого движения реактивных аппаратов в пустоте и на значительном удалении от других тел. Управляемое за счет реактивной силы (8.4) движение тел
называется реактивным движением.290
dm
+ F. (8.3)
dt
dm
dt
dm
. (8.5)
dt
(8.4)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]