Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Следствия из преобразований Лоренца
собственным временем, то есть временем жизни в системе отсчета, движущейся вместе с мюоном. В земной
системе отсчета согласно (9.13) время жизни мюона 4t
может быть значительно больше. За это время мюон
со скоростью v проходит расстояние v4t, равное
v4t =
vτ
p
1 −β
При cβτ ≈ 0, 66 км и β = 0, 99 мюон относительно
Земли может пройти путь v4t ≈ 4, 7 км, а при β = 0, 999
путь v4t ≈ 14, 8 км.
Если расстояние, пройденное мюоном относитель-
но Земли, мысленно совместить со стержнем длины
l0= v4t, то длина l0этого стержня в системе отсчета
мюона определяется по формуле (9.11):
l0= l
q
1 −β2= v4tq1 −β2.
0
Сравнивая данную формулус предыдущей, получим
l0= cβτ, то есть расстояние 660 м не что иное, как путь,
пройденный Землей навстречу мюону, в его системе
отсчета.
Таким образом, два объяснения увеличения расстояния, проходимого мюоном относительно Земли: на основе эффекта замедления времении наоснове эффекта
сокращения длины, дают одинаковый результат.
Релятивистское сложение скоростей
Рассмотрим частицу, движущуюся всистеме отсчета
K со скоростью v. Составляющие скорости определя-
ются как производные координат по времени системы
отсчета K
vx=
dx
dt
, vy=
Скорость этой же частицы v0в системе отсчета K
имеет составляющие
0
dx
0
v
=
x
dt
0
, v
0
=
y
равные производным координат x0, y0и z0по времени
системы отсчета K0. Относительную скорость, с ко-
торой система отсчета K0, как и ранее, движется в положительном направлении оси x системы отсчета K ,
обозначим v0(β = v
/c). 331
0
2
dy
dy
dt
=
dt
0
0
cβτ
p
1 −β
, vz=
0
, v
z
.
2
dz
. (9.15)
dt
0
dz
=
, (9.16)
0
dt
0
В соответствии с (9.4)
dx −v0dt
dx0=
dt0=
p
dt − v0dx/c
p
, dy0= dy, dz0= dz,
2
1 −β
2
.
2
1 −β
Производные x0, y0и z0по t0равны
0
dx
dt
dy
dt
0
0
0
= v
= v
0
=
x
0
=
y
dx/dt − v
p
1 −β
dydtdt
= v
0
dt
dt
dt
dt
dt
vx− v
=
p
0
dz
,
0
dt
0
2
y
1 −β
0
= v
0
dt
0
,
0
2
dt
dzdtdt
0
=
z
dt
Производную dt/dt0найдем из последнего преобразования (9.17):
0
dt
dt
1 −v0vx/c
=
p
1 −β
2
, или
2
dt
dt
=
0
p
1 −β
1 −v0vx/c
В результате для составляющих скорости в системе отсчета K0получаем
0
v
=
x
0
v
=
y
0
v
=
z
vx− v
0
1 −v0vx/c
p
v
1 −β
y
1 −v0vx/c
p
v
1 −β
z
1 −v0vx/c
,
2
2
,
2
2
.
2
Обратные преобразования выводятся аналогично
из (9.5) либо, в соответствии с принципом относительности, получаются из (9.18) взаимной перестановкой
vx, vy, vz↔ v
0
x
, v
0
0
, v
и заменой v0на −v0, поскольку
y
z
если K0относительно K движется со скоростью v0в положительном направлении оси x, то K относительно
K0с такой же скоростью движется в отрицательном
направлении оси x. Эти преобразования имеют вид
0
v
+ v
0
x
1 + v0v
p
0
v
1 −β
y
1 + v0v
p
0
v
1 −β
z
1 + v0v
,
0
2
/c
x
2
,
0
2
/c
x
2
.
0
2
/c
x
332
vx=
vy=
vz=
Г л а в а IX
= v
0
2
z
2
dt
dt
0
.
(9.17)
.
(9.18)
(9.19)
Следствия из преобразований Лоренца
Преобразования (9.18)---(9.19) представляют собой
релятивистские правила сложения скоростей. Рассмотрим их применение на примерах.
Пусть свет движется вдоль оси x системы отсчета K.
Найдем его скорость в системе отсчета K0, движущейся
вдоль оси x со скоростью v0или −v0. Согласно условию
в данном случае vx= c, vy= vz= 0. Применив преоб-
разования (9.18), получим v
составляющих скорости в системе отсчета K0получаем
0
v
=
x
то есть свет в системе отсчета K0в обоих случаях имеет
скорость c, направленную вдоль оси x0.
Рассмотрим противоположную задачу: свет движется вдоль оси x0системы отсчета K0, которая в свою
очередь движется со скоростью v0или −v0вдоль оси
x системы отсчета K. В этом случае v
Из преобразований (9.19) получаем
vx=
c ±v
1 ±v0c/c
В системе отсчета K свет будет распространяться
с той же скоростью c вдоль оси x.
Рассмотренная задача соответствует прямому и обратному движению света в продольном по отношению
к орбитальной скорости Земли плече интерферометра
Майкельсона. В первом случае скорость света полагается равной c в неподвижной системе отсчета K и оказывается такой же при прямом и обратном распространении вдоль оси x0системы отсчета K0, движущейся
в продольном направлении со скоростью ±v0. Во втором случае принимается, что скорость света равна c
в земной системе отсчета, тогда в неподвижной системе отсчета при продольном движении она будет такой
же по величине и направлению.
Пусть теперь свет распространяется вдоль оси y
системы отсчета K (vy= c, vx= vz= 0), а система от-
счета K0движется со скоростью v0или −v0вдоль оси
x. Составляющие скорости света в системе отсчета K0,
получаемые из (9.18), при этом равны
0
0
= v
= 0, В результате для
y
z
c ∓v
0
= c ,
1 ∓v0c/c
0
2
2
= c , vy= vz= 0.
0
= c, v
x
0
0
= v
= 0.
y
z
0
v
= ∓v0, v
x
0
= cq1 −β2, v
y
0
z
= 0.
333
Г л а в а IX
При распространении света вдоль оси y0системы
отсчета K0и при том же относительном движении систем отсчета из (9.19) аналогичным образом получаем
vx= ±v0, vy= cq1 −β2, vz= 0.
Скорость света в том и другом случае равна
02
v0=qv
02
+ v
x
= v =qv
y
Данная геометрия распространения света соответствует условиям измерений Брэдли для максимального угла аберрации звезд при v0⊥c, а также прямому
и обратному прохождению света в поперечном плече
интерферометра Майкельсона. В первом случае предполагается, что свет движется в направлении поперечной оси неподвижной системы отсчета, во втором ---направление света соответствует поперечной оси системы отсчета K0. В обоих случаях скорость света одинакова в двух системах отсчета при любой скорости
относительного движения.
В случае β 1, что соответствует условиям опытов
Брэдли и Майкельсона, угол аберрации приближенно
определяется из полученных выражений для составляющих скорости следующим образом:
v
v
0
sin α =
0
=
v
≈ tg α ≈ α [рад].
c
Это практически совпадает с расчетами Брэдли
и Майкельсона, проведенными в предположении выполнения классического правила сложения скоростей
(см. рис. 9.2 и рис. 9.5).
В соответствии с (9.18)---(9.19), как нетрудно убедиться, если при произвольном направлении скорость в одной из систем отсчета равна c, то она будет такой же
по величине и в другой системе отсчета. Иными словами, равенства v
2
2
+ v
x
2
+ v
y
z
выполняются совместно при любой величине и направлении скорости относительного движения (разумеется
при условии, что v0< c).
В отличие от преобразований Лоренца (9.4)---(9.5) релятивистские правиласложения скоростей (9.18)---(9.19)
не теряют смысла при скорости относительного движения, равной скорости света (β = 1), потому что не содержат в знаменателе величин, обращающихся в нуль при
β = 1.334
2
+ v
x
= c2и v
2
y
= c.
02
x
+ v
02
02
+ v
y
= c
z
2
Следствия из преобразований Лоренца
Рассмотрим два фотона (световых кванта), движущихся навстречу друг другу со скоростью c. Выберем
систему координат таким образом, чтобы фотоны двигались вдоль оси x. Тогда в системе отсчета K составляющие скорости первого фотона равны v1x= c, v1y= 0,
v1z= 0, для второго фотона v2x= −c, v2y= 0, v2z= 0.
Введем систему отсчета K0, движущуюся в положительном направлении оси x со скоростью v0= c. Скорость
второго фотона в этой системе отсчета определится
из (9.18):
v
С учетом этого можно говорить, что относительная
скорость фотонов равна c. Однако это не означает, что
первый фотон в системе отсчета K0покоится! Действительно, из (9.18) для него получим v
0
v
получается неопределенность: числитель и знаме-
1x
натель формулы преобразования равны нулю. Если v
меньше скорости света, то согласно (9.18) для v
чим
причем результат не зависит от v0, так что его можно
считать справедливым в пределе v0→ c.
Найдем относительную скорость фотонов, движущихся в произвольных направлениях. Ось x, как и ранее, свяжем с направлением движения первого фотона, тогда v1x= c, v1y= 0, v1z= 0. Пусть скорость второго фотона составляет с осью x произвольный угол
α. Направление оси y выберем таким образом, чтобы
скорость второго фотона лежала в плоскости (x, y), тогда v2x= c cos α, v2y= c sin α, v2z= 0. Под относительной
скоростью фотонов следует, очевидно, понимать скорость второго фотона в системе отсчета K0, движущейся со скоростью v0= c вдоль оси x. Из преобразований
(9.18) в данном случае получим
0
v
=
2x
Составляющая v
β = 1. И вновь мы видим, что относительная скорость
фотонов по модулю равна c. 335
−c −c
0
=
2x
1 + c2/c
c cos α−c
1−cosα
= −c, v
2
0
v
=
1x
1 −v0/c
= −c, v
0
2y
0
обращается в нуль потому, что
2y
0
2y
c −v
0
= c,
c sin αp1−β
=
1−cos α
= 0, v
0
1y
= 0, v
2
= 0, v
0
2z
= 0.
0
= 0, а для
1z
0
1x
0
= 0.
2z
0
полу-
Приведенные примеры показывают, что величина
скорости света во всех системах отсчета одинакова
и равна c. Это и неудивительно, поскольку релятивистские правила сложения скоростей выводятся из преобразований Лоренца, а преобразования Лоренца, в свою
очередь, являются необходимым и достаточным условием выполнения релятивистского принципа относительности, предполагающего инвариантность скорости
света.
Наряду с этим в рассмотренных примерах мы отметили то, что инвариантность c распространяется
и на системы отсчета, которые сами движутся со скоростью света, а также то, что не существует системы
отсчета в которой фотон был бы неподвижен.
Пространство Минковского.
Релятивистский интервал
В начале параграфа мы отметили, что в СТО пространство и время взаимосвязаны и должны рассматриваться как единое пространство---время. Рассмотрим
подробнее геометрические свойства релятивистского
пространства---времени.
Введем формально четырехмерное пространство,
в котором три координаты соответствуют пространственным координатам x, y, z, а четвертая ---- времени t.
Для того, чтобы отрезок, отложенный вдоль четвертой
оси, имел размерность длины и был пропорционален
времени, в качестве координаты для этой оси используется произведение ct, поскольку скорость света c
не зависит от выбора системы отсчета, а значит переход от измеренияс размерностью времени кизмерению
с размерностью длины во всех системах отсчета будет
производиться одинаково.
Точка с координатами x, y, z, ct в рассматриваемом
нами пространстве будет соответствовать событию.
Иначе событие в релятивистском пространстве---времени называют также мировой точкой. Материальной
точке соответствует мировая линия. В случае, если материальная точка в данной системе отсчета покоится,
ее мировая линия параллельна оси времени. Если частица движется вдоль оси x со скоростью v, ее мировая
336
Г л а в а IX
Следствия из преобразований Лоренца
линия имеет вид прямой в плоскости (x,ct): x = x0+ βct
или ct = (x − x0)/β (x0---- значение координаты в момент
t = 0; β, как и ранее, отношение v/c). В общем случае,
при движении с переменной скоростью мировая линия
частицы является кривой в четырехмерном пространстве.
Рассмотрим мировую точку с координатами x, y, z,
ct в системе отсчета K. Если система отсчета K0дви-
жется относительно K со скоростью v вдоль оси x, та
же мировая точка имеет в ней координаты x0, y0, z0,
ct0, связанные с координатами системы отсчета K пре-
образованиями Лоренца (9.4), (9.5). Найдем расстояние
от общего начала координат до мировой точки в системах отсчета K и K0, используя обычное определение
расстояния в геометрии Евклида:
rK=qx2+ y2+ z2+ (ct)2,
(9.20)
0
r
=qx02+ y02+ z02+ (ct0)2,
K
Перейдя от x0, y0, z0, ct0к x, y, z, ct с помощью (9.4), для
0
r
получим
K
v
t
h
x2+(ct)
0
r
=
K
i
2
(1+ β2)−4βxct
2
1−β
+y2+z2, rK.
Нетрудно убедиться, что евклидоворасстояние между любыми двумяне совпадающими событиями в системах отсчета K и K0будет различным. Это означает, что
расстояние между мировыми точками релятивистского пространства---времени, определенное в соответствии с геометрией Евклида, не инвариантно относительно преобразований Лоренца.
Метрика (способ определения расстояния между
точками), задаваемая соотношением (9.20), называется
евклидовой, а пространство с такой метрикой ---- евкли-
довым пространством. Трехмерное координатное про-
странство являетсяевклидовым какв классической, так
и в релятивистской физике. Расстояние между точками с координатами x1, y1, z1и x2, y2, z2определяется
соотношением
l =q(x2− x1)2+ (y2− y1)2+ (z2− z1)2. (9.21)
337
Г л а в а IX
Для релятивистского пространства---времени евклидова метрика не подходит, поскольку, как мыубедились,
расстояние, определяемое соотношениями вида (9.20),
не является релятивистски инвариантным, тоесть имеет различные значения в разных системах отсчета.
Рассмотрим величину
s =q(c4t)2− (4x)2− (4y)2− (4z)2, (9.22)
называемую релятивистским интервалом или просто
интервалом между мировыми точками x1, y1, z1, ct
и x2, y2, z2, ct2:
4x = x2− x1, 4y = y2− y1, 4z = z2− z1, 4t = t2− t1.
Перейдя к координатам и времени системы отсчета
K0, связанным с x, y, z, t преобразованиями Лоренца
(9.5), получим
4x0+ βc4t
4x =
p
4y = 4y0, 4z = 4z0,
c4t0+ β4x
c4t =
Подстановка этих преобразований в (9.22) дает
s
(c4t0)2(1−β2)−(4x0)2(1−β2)
s=
1−β
p
2
1 −β
1 −β
0
,
2
0
.
2
−(4y0)2−(4z0)2=
(9.23)
1
=q(c4t0)2− (4x0)2− (4y0)2− (4z0)2= s0,
где s0---- интервал, определенный выражением (9.22) для
системы отсчета K0. Интервал, таким образом, инвариантен относительно преобразований Лоренца. Такие
величины называют релятивистскими инвариантами.
Отметим, что преобразования Лоренца в 9.3 были
выведены нами из требования совместной выполнимости равенств (9.6) и (9.7), выражающих зависимость
от времени координат точки фронта сферической световой волны, излученной в общем начале координат
систем отсчета K и K0в начальный момент времени.
Теперь мы можем интерпретировать это требование
как условие равенства интервалов между общей нулевой мировой точкой и произвольной мировой точкой
338
Следствия из преобразований Лоренца
x
ct
O
x
0
12
3
3
0
волнового фронта в двух системах отсчета ---- оба интервала в соответствии с (9.6), (9.7) должны быть равны
нулю.
Выражение (9.22) является определением метрики
релятивистского пространства--- времени, а интервал ---аналогом расстояния в евклидовой метрике. Интервал
s в соответствии с (9.22) будет вещественным при s2>0,
то есть при c2(4t)2> l2, где l ---- пространственное расстояние между мировыми точками, определяемое формулой (9.21), или чисто мнимым при c2(4t)2< l2(s2< 0).
Знаки в подкоренном выражении для интервала могут
быть заменены на противоположные, так как величина −s2также, очевидно, является релятивистским инвариантом. Выбор знака в (9.22) является предметом
договоренности.
Метрику (9.22) называют
псевдоевклидовой, а четырехмерное пространство--время с псевдоевклидовой
метрикой получило название
пространства Минковского.
На рисунке 9.8 показана
плоскость (x, ct) в пространстве Минковского. Прямая 1
представляет собой мировую
линию частицы, котораяв данной системе отсчета покоится в точке x = x0, y = 0, z = 0,
прямая 2 является мировой линией частицы, начинающей движение в момент времени t = 0 из начала координат с постоянной скоростью в положительном направлении оси x, прямые 3 и 30---- мировые линии точек
фронта световой волны, испущенной в момент времени t = 0 из начала координат: прямая 3 соответствует
точке, движущейся в положительном направлении оси
x, прямая 30---- точке, движущейся в отрицательном на-
правлении.
Множество точек фронта световой волны, излученной в момент времени t = 0 из точки O, а также достигших точки O при t = 0, образуют так называемый
световой конус. На рисунке 9.8 пересечение светового
Рис. 9.8
339
конуса с плоскостью (x, ct) отмечено штриховыми линиями. Участки этих линий, лежащие в области ct > 0,
соответствуют излученной при t = 0 волне, участки
в области ct < 0 ---- волнам, достигшим начала координат в момент t = 0 при движении по всем пространственным направлениям.
В классической физике действует принцип причин-
ности, который заключается в том, что два события могут находиться в причинно---следственной связи только
при условии, что причина во времени предшествует
следствию. СТО вносит дополнительное ограничение
в принцип причинности. Поскольку никакое материальное тело не может двигаться быстрее света, скорость света c является предельной скоростью передачи
взаимодействия. Это означает, что предшествующее во
времени событие A может быть причиной события B
при дополнительном условии: пространственное расстояние между событиями 4l не должно превышать
величины c4t ---- расстояния, преодолеваемого светом
за время 4t, разделяющее события.
Это ---- релятивистский принцип причинности. Его
можно сформулировать иначе, используя определение
интервала (9.22) ---- причинно-следственная связь меж-
ду двумя событиями может существовать лишь при
условии, что квадрат интервала между ними положителен: s2>0. Такие интервалы называют времениподоб-
ными. При s2< 0 интервал называется пространствен-
ноподобным, а при s2= 0 ---- светоподобным. Причинная
связь, таким образом, может иметь место только между
событиями, разделенными времениподобным интервалом.
Область внутри светового конуса с вершиной в мировой точке O, соответствующая значениям времени
t > tO(если O является началом отсчета, как на рис. 9.8,
то при t > 0), называется областью абсолютного будущего для события O. В этой области пространства---вре-
мени находятся все события, которые могут быть следствиями события O. Противоположная внутренняя
часть светового конуса при t < tO(на рис. 9.8 при t < 0)
является для мировой точки O областью абсолютного
прошлого. Все возможные причины события O могут
находиться только в этой области.
340
Г л а в а IX
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]