Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Кинетическая энергия твердого тела. Тензор инерции
центра масс. Под движением системы как целого при
этом понимается движение суммарной массы системы
со скоростью ее центра масс. В применении к твердому
телу это означает, что кинетическая энергия тела равна
сумме энергии поступательного движения со скоростью vcи энергии вращения относительно центра масс:
Eк= Ec+ Eвр, (6.19)
где
Ec=
m ---- масса тела, p ---- его импульс. Энергию вращатель-
ного движения можно представить в виде
Eвр=
где mi---- масса i---й частицы тела, ri---- ее радиус-вектор
относительно центра масс в скрепленной системе отсчета (вместо r
00
здесь для краткости используем обо-
i
значение ri), ωωω ---- мгновенная угловая скорость, вектор-
ное произведение [ωωω ri], очевидно, представляет собой
линейную скорость i---й частицы в Ц-системе.
Преобразуем (6.21), учтя что [ωωω ri]2= ω2r
2
ω2r
[1 −cos2(cωωωri)] = ω2r
i
ω2= ω
2
x
+ ω
2
y
ωωωri= xiωx+ yiωy+ ziωz,
получаем
2
[ωωω ri]2= (y
2
+ z
) ω
i
i
− 2xiyiωxωy− 2xiziωxωz− 2yiziωyωz.
Подстановка данного выражения позволяет приве-
сти (6.21) к виду
Eвр=
1
2
Jxxω
2
+ Jyyω
x
+2Jxyωxωy+ 2Jxzωxωz+ 2Jyzωyω
где
Jxx=Xmi(y
2
+ z
i
Jzz=Xmi(x
2
mv
2
X
1
2
2
− (ωωωri)2, а также
i
2
+ ω
, r
z
2
+ (x
x
2
y
2
), Jyy=Xmi(x
i
2
p
c
=
2m
mi[ωωω ri]2, (6.21)
2
= x
i
2
2
+ z
) ω
i
i
2
+ Jzzω
z
2
2
+ y
)
i
i
, (6.20)
2
sin2(cωωωri) =
i
2
2
2
+ z
,
i
i
2
2
2
+ y
) ω
−
i
x
i
2
y
+ y
i
+ (x
+
,
x
2
2
+ z
),
i
i
(6.22)
(6.23)
211
Г л а в а VI
и
Jxy= −Xmixiyi, Jxz= −Xmixizi,
(6.24)
Jyz= −Xmiyizi.
Выражение (6.22) можно представить в компактном
виде
Eвр=
где индексы α и β последовательно принимают значения, соответствующие координатным осям, а упорядоченная совокупность девяти чисел Jαβпредставляет
собой симметричную матрицу
которая называется тензором инерции твердого тела.
Компоненты тензора инерции, определяемые формулами (6.23), (6.24), являются постоянными величинами,
зависящими от размеров и формы тела, распределения массы в нем, а также от выбора скрепленной
системы координат и начала отсчета. Тензор инерции может быть определен не только относительно
центра масс, но и относительно любой точки, например относительно полюса при сферическом движении
тела. Симметрия тензора Jαβозначает, что он имеет шесть независимых компонент ---- три диагональные
(6.23), называемые осевыми моментами инерции, и три
недиагональные (6.24), называемые центробежными
моментами инерции.
При заданном значении мгновенной угловой скорости ωωω кинетическая энергия вращения, очевидно,
не зависит от ориентации осей скрепленной системы
координат. Это означает, что при повороте координатных осей вокруг начала отсчета компоненты тензора
инерции преобразуются вместе с составляющими угловой скорости таким образом, чтобы результат вычисления в (6.22) и (6.25) остался неизменным. Собственно,
тензорами как раз и называются упорядоченные сово-
купности чисел типа (6.26), значения которых зависят212
1
2
X
αβ
Jαβωαω
Jαβ=
β
JxxJxyJ
JxyJyyJ
JxzJyzJ
(α, β = x, y, z), (6.25)
xz
, (6.26)
yz
zz
Кинетическая энергия твердого тела. Тензор инерции
от задания системы координат, и преобразуются при
поворотах осей вокруг начала отсчета как произведения составляющих векторов.
Поясним сказанное на примере. Пусть A (Ax, Ay, Az),
B (Bx, By, Bz), a (ax, ay, az) и b (bx, by, bz) ---- векторы,
заданные в декартовойсистеме координат. Упорядоченную совокупность чисел, являющихся произведениями компонент векторов A и B: AαBβ(α, β = x, y, z), бу-
дем считать математическим операторомˆP (Pαβ= AαBβ),
который действует на вектор по следующему правилу:
преобразуя его в другой вектор˜a с составляющими,
определяемыми данным равенством. Последовательное
применение оператора Pαβк двум векторам дает число
[ˆPa]b ≡
Обратим внимание, что суммы в (6.27) и (6.28)
X
Bβaβ= Ba,
β
равны скалярным произведениямсоответствующих векторов. Это позволяет представить (6.27) и (6.28) в векторном виде
˜
a = (Ba)A, c = (Ab)(Ba).
При поворотах системы координат изменяются составляющие векторов, но сами векторы и их скалярные
произведения остаются неизменными, то есть резуль-
таты действия оператораˆP на вектор (6.27) и последовательного действия на два вектора (6.28) не будут
зависеть от поворотов системы координат, если компоненты оператора Pαβпреобразуются при поворотах
как произведениясоставляющих векторов. Операторы,
обладающие таким свойством, и называют тензорами.
Если тензор имеет два индекса и его компоненты
преобразуются как произведения составляющих двух
векторов, то он называется тензором второго ранга.
Тензор с тремя индексами ---- тензор третьего ранга
и так далее. Вектор, как нетрудно убедиться, можно
назвать тензором первого ранга, а скаляр ---- тензором
нулевого ранга. 213
ˆ
Pa ≡
X
AαBβaβ= ˜aα, (6.27)
β
X
AαBβaβbα= c. (6.28)
αβ
X
Aαbα= Ab
α
Тензор инерции (6.26) является тензором второго
ранга. Его компоненты в заданной скрепленной системе координат вычисляются по формулам (6.23) и (6.24),
в которых, строго говоря, суммирование должно быть
заменено на интегрирование по объему тела (при этом
массы частиц заменяются на массы, заключенные
в элементарных объемах: mi→ dm = ρdV , координаты
xi, yi, zi---- на координаты x, y, z объема dV). Размер-
ность компонент тензора инерции такая же, какразмерность момента инерции относительно оси (2.42), (2.43)
(см. параграф 2.10). Единицей измерения в системе СИ
является кг ·м2.
A
r
m
r
ki
i
⊥i
r
i
Пусть вектор мгновенной угловой
скорости направлен по оси x (ωx= ω,
ωy= 0, ωz= 0). Тогда в суммах (6.22)
и (6.25) остается одно слагаемое
Eвр= Jxxω2/2,
e
O
Рис. 6.11
что совпадает с выражением (3.27) для
кинетической энергии тела при вращении вокруг фиксированной оси (пара-
граф 3.3), причем в качестве момента
инерции относительно оси вращения выступает диагональный компонент тензора инерции Jxx. Аналогичные
результаты получатся при ωωω k y и ωωω kz. Таким образом,
осевые моменты Jxx, Jyyи Jzzимеют смысл моментов
инерции при вращении вокруг соответствующих осей.
Момент инерции твердого тела относительнопроизвольной оси OA определяется выражением (2.42)
или (2.43). Перепишем данное выражение в виде
J =Xmir
2
, (6.29)
⊥i
где r⊥i---- расстояние частицы тела массы miот оси OA
(см. рис. 6.11). Пусть ri---- радиус-вектор рассматриваемой частицы, отложенный от точки O, лежащей на оси,
rkiи r⊥i---- его продольная и поперечная (по отноше-
нию к оси) составляющие, e ---- единичный безразмерный вектор в направлении оси OA, его составляющие
− y
2
+ e
x
2
2
e
− z
y
i
в скрепленной системе отсчета: ex, ey, ez(e
Выразим r
214
2
следующим образом:
⊥i
2
2
r
= r
⊥i
2
− r
= x
i
ki
− 2xiyiexey− 2xiziexez− 2yizieyez,
2
2
+ y
i
2
+ z
i
i
− x
2
2
e
x
i
Г л а в а VI
2
+ e
y
2
2
e
−
z
i
2
z
= 1).
Кинетическая энергия твердого тела. Тензор инерции
так как продольную составляющую можно представить
в виде скалярного произведения
rki= rie = xiex+ yiey+ ziez.
Продолжая преобразования далее, получим
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r
= x
(e
+ e
) + y
(e
+ e
y
⊥i
i
z
i
) + z
x
z
i
− 2xiyiexey− 2xiziexez− 2yizieyez,
так как1−e
= e
+e
x
y
выражение для r
2
r
= (y
⊥i
2
i
, 1−e
z
2
в виде
⊥i
+ z
2
= e
+e
y
x
z
2
2
x
+ (x
2
+ z
i
)e
i
и 1−e
2
2
)e
y
i
2
z
+ (x
= e
2
2
2
2
2
− 2xiyiexey− 2xiziexez− 2yizieye
и подставим в (6.29). Нетрудно убедиться, что в результате выражение для момента инерции относительно оси
OA примет вид
2
2
+ Jzze
y
Jαβeαe
2
+2Jxyexey+2Jxzexez+2Jyzeye
z
(α, β = x, y, z), (6.30)
β
или
J = Jxxe
+ Jyye
x
J =
X
αβ
где Jαβ---- компоненты тензора инерции (6.23)---(6.24),
определенные относительно точки O.
Зная компоненты тензора инерции в какой-либо системе координат, по формуле (6.30) можно вычислить
момент инерции относительно любой оси, проходящей
через начало координат этой системы.
Для любого твердого тела, даже не имеющего никакой симметрии, существует избранная скрепленная система координат, в которой тензор инерции принимает
диагональный вид,то есть недиагональные компоненты
(6.24) обращаются в нуль и в матрице (6.26) отличными
от нуля остаются только компоненты, стоящие на главной диагонали:
Jαβ=
Jx0 0
0 Jy0
0 0 J
. (6.31)
z
Координатные оси, вкоторых тензор инерции имеет
вид (6.31),называются главными осями инерции, а компоненты тензора Jx, Jy, Jzв (6.31) ---- главными момента-
ми инерции. Они имеют смысл моментов инерции тела
относительно соответствующих главных осей. 215
2
(e
+ e
x
y
2
2
+e
. Перепишем
x
y
2
2
2
+ y
)e
i
z
i
z
)−
−
z
Г л а в а VI
При смещении начала координат изменяются как
главные моменты, так, в общем случае, и направление
главных осей инерции. Если начало координат помещено в центр масс, то соответствующие главныеоси иглавные моменты инерции называются центральными.
Докажем, что для любой точки произвольного твердого тела тензор инерции (6.26) выбором системы координат можно привести к виду (6.31).
Отложим от точки O вдоль оси OA отрезок длины
s = 1/√J, где J ---- момент инерции тела относительно
оси OA, определяемый формулой (6.30)1. Этому отрезку будет соответствовать вектор s = e/√J с началом
в точке O, составляющие которого в некоторой системе
координат равны
e
x
sx=
√
, sy=
J
Выразим из этих равенств составляющие вектора e
через составляющие вектора s и подставим их в (6.30),
в результате чего уравнение примет вид
Полученное уравнение определяет геометрическое
место точек, координаты которых для всевозможных
направлений оси OA (вектора e) задаются равенствами (6.32). При каждом направлении e момент инерции
в (6.32) вычисляется по формуле (6.30), в которую, как
и в (6.33), входят одни и те же компоненты тензора
инерции для данной системы координат. Из аналитической геометрии известно, что уравнениевида (6.33) при
Jαβ= Jβαи конечных значениях sα(что обеспечивается
конечными значениями J в (6.32)) является уравнением
эллипсоида. В нашем случае этот эллипсоид называется
эллипсоидом инерции тела относительно точки O. Ес-
ли в качестве координатных осей выбрать главные оси
эллипсоида инерции, то его уравнение в этой системе
координат будет иметь вид
1
Размерность s, разумеется, не соответствует размерности длины,
поэтому термин4длина
e
y
, sz=
√
J
e
z
. (6.32)
√
J
X
Jαβsαsβ= 1. (6.33)
αβ
2
2
s
x
+
2
a
используется здесь условно.216
5
2
s
s
y
z
+
= 1,
2
2
b
c
Кинетическая энергия твердого тела. Тензор инерции
где a = 1/√Jx, b = 1/pJy, c = 1/√Jz---- полуоси эллипсоида. Это означает, что в системе координат, оси
которой направлены вдоль главных осей эллипсоида
инерции, тензор инерции становится диагональным,
что и требовалось доказать. Главными осями инерции
для данной точки тела являются, таким образом, оси
эллипсоида инерции, определенного для этой точки.
Выражение для кинетической энергии при произвольном движении твердого тела (6.19) мы можем теперь представить в виде
2
Eк=
mv
2
1
c
+
2
Jxω
x
2
+ Jyω
2
y
где Jx, Jy, Jz---- главные центральные моменты инерции тела, ωx, ωy, ωz---- составляющие вектора угловой
скорости на главные центральные оси инерции. Первое слагаемое в (6.34) ---- кинетическая энергия поступательного движения тела со скоростью его центра масс,
второе ---- энергия вращения относительно центра масс.
Напомним, что такое разделение кинетической энергии в соответствии с теоремой К¨енига возможно лишь
в случае, когда в качестве точки, определяющей по-
ступательное движение тела, используется его центр
масс.
При сферическом движении можно использовать
выражение энергии вращательного движения
1
2
Eвр=
Jxω
2
+ Jyω
x
2
+ Jzω
y
в котором главные оси и главные моменты инерции
определены относительно полюса, не обязательно совпадающего с центром масс.
Для симметричных тел направление главных центральных осей инерции определяется направлением
осей симметрии. Например, для однородного шара или
сферы в качестве главных осей инерции можно рассматривать любые три взаимно перпендикулярные оси,
пересекающиеся в центре. Тензор инерции таких тел
вырождается в скаляр (все три главных момента инерции равны друг другу: 2mr2/5 для шара, 2mr2/3 ---- для
тонкостенной сферы, m ---- масса, r ---- радиус, см. таблицу в параграфе 2.10), эллипсоид инерции является
сферой. 217
2
+ Jzω
, (6.34)
z
2
, (6.35)
z
Г л а в а VI
l
C
z
y
x
r
Найдем в качестве примера компоненты тензора
инерции однородного кругового цилиндра массы m,
радиуса r, длины l (рис. 6.12). Одной из главных центральных осей инерции в данном случае является ось
вращения (ось z на рис. 6.12). Две другие оси можно
выбрать произвольно в плоскости, перпендикулярной
оси z. Момент инерции относительно оси z приведен
в параграфе 2.10: Jz= mr2/2. Моменты Jxи Jyв силу
симметрии будут равны друг другу. Вычислить их можно следующим образом. В той же таблице указано
значение момента инерции тонкого однородного диска
относительно оси, проходящей через его центр и лежащей в плоскости диска:
J = mr2/4. Рассмотрим бес-
конечно тонкий диск, заключенный между плоско-
Рис. 6.12
в точках с координатами z и z + dz. По теореме Гюйгенса-Штейнера (2.47) момент инерции такого диска
относительно центральной оси, перпендикулярной z,
равен
dJ =
где dm = mdz/l ---- масса диска. Полный момент инерции
получается интегрированием
l/2
Z
J =
m
4l
−l/2
r2+ 4z
2
Это и будет значение моментов Jxи Jy. Таким образом, тензор инерции однородного кругового цилиндра в скрепленной системе отсчета, представленной
на рис. 6.12, является диагональным, а его компоненты
равны
Jx=
С помощью этого тензора по формуле (6.30) можно вычислить момент инерции цилиндра относительно
mr
2
2
ml
+
4
, Jy=
12
любой оси, проходящей через центр масс и задаваемой
единичным вектором e.218
стями, параллельными осям
x и y, пересекающими ось z
r2dm
+ z2dm,
4
dz =
m
r2l +
4l
2
mr
4
+
ml
12
3
l
3
2
!
mr
=
4
, Jz=
2
2
ml
+
.
12
2
mr
.
2
Собственный момент импульса
6.6. Собственный момент импульса
Момент импульса твердого тела в инерциальной си-
стеме отсчета Lп, так же как кинетическая энергия
в (6.34), может быть разбит на сумму момента L0= [rcp]
(p ---- импульс тела), соответствующего движению суммарной массы, сосредоточенной в центре масс, и собственного момента L ---- момента импульса в системе
отсчета центра масс (см. параграфы 4.1 и 6.4). Найдем
связь собственного момента импульса тела и мгновенной угловой скорости.
По определению собственный момент импульса
твердого тела равен
L =Xmi[rivi] =Xmi[ri[ωωω ri]].
Здесь, как и в предыдущем параграфе, ri---- радиусвектор малой частицы массы miв скрепленной системе отсчета с началом координат в центре масс тела,
vi= [ωωω ri] ---- ее скорость. Преобразуем данное выражение с помощью известного тождества
L = ωωωXmir
2
и, учтя, что r
2
= x
+ y
i
i
+ziωz, получим для составляющих собственного момен-
та импульса
2
Lx=Xmi(y
2
+ z
) ωx−Xmixiyiωy−Xmixiziωz,
i
i
Ly= −Xmixiyiωx+Xmi(x
Lz= −Xmixiziωx−Xmiyiziωy+Xmi(x
Легко заметить, что коэффициенты при составляющих угловой скорости в этих равенствах совпадают
с компонентами тензора инерции (6.23)--- (6.24), то есть
Lx= Jxxωx+ Jxyωy+ Jxzωz,
Ly= Jyxωx+ Jyyωy+ Jyzωz,
2
−Xmiri(ωωωri)
i
2
2
+ z
, а также (ωωωri) = xiωx+ yiωy+
i
i
2
2
+ z
) ωy−Xmiyiziωz,
i
i
2
+ y
i
2
) ωz.
i
или
Lz= Jzxωx+ Jzyωy+ Jzzω
X
Lα=
Jαβωβ(α, β = x, y, z). (6.36)
β
z
219
Г л а в а VI
Тензор инерции, таким образом, при заданном значении мгновенной угловой скорости однозначно определяет не только вращательнуюэнергию (6.25),но исобственный момент импульса. При выборе координатных
осей скрепленной системы отсчета вдоль главных осей
инерции (6.36) примет вид
Lx= Jxωx, Ly= Jyωy, Lz= Jzωz. (6.37)
При сферическом движениивыражения (6.36)---(6.37)
справедливы для момента импульса и тензора инерции,
определенных относительно полюса, однако при этом
L будет иметь смысл полного, а не собственного момента импульса (если полюс не совпадает с центром масс).
В параграфах 2.10 (с. 74) и 2.12 (с. 85) говорилось
о том, чтодинамическое уравнение вращательного движения твердого тела вокругпостоянной осив виде(2.46)
˙
J
ωz= M
z
в общем случае (при произвольном, постоянном или переменном значении вектора ωωω) нельзя рассматривать
как проекцию соответствующего векторного уравнения на ось z, а уравнения движения в виде (2.59)---(2.60)
Lx= M
,˙Ly= M
x
e
˙
можно считать координатными формами векторного
уравнения
˙
L = Me.
Теперь мы можем убедиться, что это действительно так.
Последнее уравнение (уравнение моментов), если
L и Meв нем определены относительно точки инер-
циальной системы отсчета (как в параграфе 2.12), безусловно можно рассматривать в проекциях на координатные оси той же системы отсчета. Это следует непосредственно из векторного характера величин L и Me.
Кроме того, как мы показали в параграфе 6.4, уравнение моментов сохраняет свой вид в Ц-системе, даже
если она не является инерциальной. Под L при этом
нужно понимать собственный момент импульса, а под
Me---- главный вектор внешних моментов относитель-
но центра масс. Векторы˙L и Meможно проектировать
как на оси сопутствующей (движущейся поступательно), так и на оси скрепленной систем отсчета (в послед-
нем случаепри дифференцированиимомента импульса220
z
e
,˙Lz= M
y
e
z
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]