Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Абсолютно упругое столкновение
колебаний всамих соударяющихся телах механическая
энергия колебаний переходит в тепло. Этот эффект
можно ощутить непосредственно,например, по нагреву
молотка после многократных ударов по наковальне. Тем
не менее, в некоторых случаях столкновения макроскопических тел оказываются достаточно близки к модели абсолютно упругого удара. Например, при лобовом
столкновении бильярдных шаров из слоновой кости их
относительная скорость после столкновениясоставляет
примерно 90% начальной.
В случае микрочастиц модель абсолютно упругого
столкновения может быть точной. Это связано с дис-
кретностью возможных значений энергии внутреннего состояния частицы (квантованием энергии). Например, для одноатомных газов переход поступательной
энергии во вращательную невозможен, так как отсутствует само вращение (практически вся масса сосредоточена в ядре атома, которое по сравнению с размером
электронной оболочки можно считать материальной
точкой). Ближайшая энергия возбужденного состояния
электронной оболочки атома в сотни раз больше характерных энергий теплового движения при комнатной
температуре, поэтому кинетической энергии сталкивающихся частиц недостаточно для электронного возбуждения. Таким образом, внутренние состояния атомов при столкновениях измениться не могут, то есть
кинетическая энергия поступательного движения сохраняется.
Для молекул, состоящих изнескольких атомов,энергия перехода в возбужденное колебательное состоя-
ние в несколько раз больше средней энергии теплового
движения при нормальных условиях. По этой причине
возникновение колебаний атомов в молекулах газов
в результате их столкновений становится возможным
лишь при очень высоких температурах (для двухатомных газов ∼ 1000 К). Для обычных температур сумма
энергий поступательного и вращательного движения
молекул при столкновениях сохраняется. Единичный
акт столкновения молекул не является абсолютно упругим, поскольку кинетическая энергия поступательного движения может увеличиваться или уменьшаться
за счет энергии вращения, но в среднем по большо-
141
Г л а в а IV
му количеству столкновений положительные и отрицательные изменения компенсируются. Это позволяет
считать абсолютно упругим среднее статистическое
столкновение молекул.
Радиус-вектор общего центра масс и скорость его
движения в лабораторной системе отсчета согласно
(2.22) задаются выражениями
rc=
m1r1+ m2r
m1+ m
2
, vc=
2
где r1, r2, v1=˙r1, v2=˙r2---- радиус-векторы центров масс
и скорости сталкивающихся тел, m1и m2---- их массы.
Кинетическая энергия системы как целого
(m1+m2)v
2
/2 при столкновении сохраняется, так как со-
c
храняется скорость vcи суммарный импульс системы.
В соответствии с теоремой К¨енига кинетическая
энергия двух тел может быть представлена ввиде суммы
энергии поступательногодвижения системы как целого
и кинетической энергии в Ц-системе
2
c
2
Eк=
(m1+ m2)v
Поступательная кинетическая энергия в системе отсчета центра масс выражена здесь через приведенную
массу µ и скорость относительного движения v12(см.
(3.58) и рис.3.13). Поскольку первое слагаемое в(4.4) при
столкновении сохраняется, изменения могут происходить только для энергии движения в Ц-системе. При
неупругих столкновениях второе слагаемое в (4.4) может увеличиваться за счет уменьшения Eврили уменьшаться за счет увеличения Eври необратимых потерь.
Для сферически симметричных тел, как уже отмечалось, любое столкновение является центральным. Для
тел произвольной формы выполнение этого условия
(одного из необходимых условий абсолютно упругого удара) зависит от их формы и взаимного положения в момент столкновения. Рассмотрим частный случай, при котором удар будет центральным и лобовым
в Ц-системе.
Скорости центров масс сталкивающихсятел относительно общего центра масс v10и v20всегда направлены
в противоположные стороны, так как m1v10= −m2v
(v
= 0). При лобовом столкновении они должны быть142
c
µ v
+
m1v1+ m2v
m1+ m
2
12
+ Eвр. (4.4)
2
2
,
2
20
Абсолютно упругое столкновение
v
c
v
1
v
c
v
2
v
10
v
20
C
1
C
2
v
cτ
параллельны линии удара, совпадающей с линией центров (центральный удар). Это возможно лишь в случае,
если векторы v10и v20лежат на одной прямой ---- линии
центров, совмещенной с линией удара (рис. 4.3).
В лабораторной системеотсчета такое столкновение будет центральным (так как условие совпадения линии центров и линии
удара определяется формой и положением тел в момент удара
и не зависит от системы отсчета),
но необязательно лобовым. Как
можно видеть из рис. 4.3, скорости сталкивающихся
тел в лабораторной системе v1= vc+v10и v2= vc+v20при
условии, что v10и v20лежат на линии центров, имеют
одинаковые составляющие, перпендикулярные C1C2,
равные тангенциальной (ортогональной линии центров
и касательной к поверхности соприкосновения) составляющей скорости центра масс: v1τ= v2τ= vcτ. При
vcτ= 0, как видно из рисунка, столкновение будет лобо-
вым и в лабораторной системе отсчета.
При абсолютно гладких поверхностях сталкивающихся тел и отсутствии необратимых потерь механической энергии рассматриваемое столкновение будет
абсолютно упругим.
Поскольку при абсолютно упругом ударе силы взаимодействия тел направлены вдоль линии центров (C1C
на рис. 4.3), в рассматриваемом нами случае скорости
после столкновения в Ц-системе v
и скорости до столкновения v10и v20, лежат на линии
0
10
C1C2. Закон сохранения импульса с учетом этогоможно
представить в скалярном виде. Вместе с законом сохранения энергии поступательного движения он приводит
к системе уравнений
2
20
0
10
= m1v
+ m2v
2
0
+ m2v
10
m1v10+ m2v20= m1v
2
m1v
+ m2v
10
Здесь учтено, что суммарный импульс в Ц-системе
равен нулю. Из закона сохранения импульса получаем
соотношения скоростей тел до и после столкновения
v20= −
m
1
v10, v
m
2
0
= −
20
0
20
m
m
и v
= 0,
2
0
20
1
2
0
20
.
0
v
10
Рис. 4.3
так же, как
(4.5)
.
2
143
Г л а в а IV
Подставив эти соотношения в закон сохранения
энергии, получим
2
0
2
v
= v
10
10
, v
0
= ±v10, v
10
Закон сохранения импульса допускает,чтобы скоро-
сти тел либо оставались постоянными (v
0
v
= v20), либо меняли знаки (v
20
Первое из решений соответствует выполнению законов сохранения (4.5) для двух моментов времени до
столкновения или для двух моментов времени после
столкновения, второе решение дает изменение скоростей тел при столкновении. В системе отсчета центра
масс, таким образом, результатом лобового абсолютно
упругого удара будет смена знака скорости каждого
из тел.
Для перехода к лабораторной системе отсчета ис-
пользуем равенства
v10= v1− vc, v
(аналогично для v2и v
0
v
= 2vc− v1= 2
1
0
v
= 2vc− v2= 2
2
0
). В результате получим
2
Как было отмечено выше, поперечные по отношению к линии центров составляющие скоростей тел в лабораторной системе отсчета равны друг другу и равны
тангенциальной составляющей скорости центра масс:
v1τ= v2τ= vcτ. Представим скорости v1, v2и vcв ви-
де сумм тангенциальных и нормальных (направленных
вдоль линии центров) составляющих
v1= v1n+ vcτ, v2= v2n+ vcτ, vc= vcn+ vcτ.
Подстановка этих равенств в (4.6) дает
0
v
= 2vcn− v1n+ vcτ= v
1
0
v
= 2vcn− v2n+ vcτ= v
2
то есть тангенциальные составляющие скоростей в лабораторной системе отсчета будут равны vcτи после
удара. При vcτ= 0 удар будет лобовым не только в си-
стеме центра масс, но и в лабораторнойсистеме отсчета,
то есть скорости v1, v2, v
0
1
и v
2
0
= v
20
0
10
0
= v
10
m1v1+ m2v
m1+ m
2
m1v1+ m2v
m1+ m
2
0
1n
0
2n
0
направлены вдоль линии144
2
2
20
, v
0
20
= −v10, v
0
− v
c
1
2
− v1,
2
− v2.
+ vcτ,
+ vcτ,
= ±v20.
0
= v10,
10
0
= −v20).
20
(4.6)
Абсолютно упругое столкновение
v
а
v
б
удара, совпадающей с линией центров. Это позволяет
переписать (4.6) в скалярном виде:
0
v
1
0
v
2
= 2
= 2
m1v1+m2v
m1+m
m1v1+m2v
m1+m
2
2
2
−v1=
2
−v2=
Соотношения (4.7) имеют место для лобового абсолютно упругого столкновения, (4.6) ---- дляабсолютно упругого столкновения, являющегося лобовым в Ц-системе и не являющегося лобовым в лабораторной системе
отсчета.
При m1= m2из (4.6) получаем
0
v
= v2, v
1
то есть при абсолютно упругом ударе, который является лобовым в Ц-системе, тела одинаковой массы обмениваются скоростями. Такой же вывод, разумеется,
вытекает из (4.7). В частности, если до столкновения
одно из тел покоится, то после удара оно приобретет
скорость налетающего тела, а налетающее тело остановится. Близкоек описанному явление можно наблюдать
для бильярдных шаров или для тележек на рельсах.
(m1−m2)v1+2m2v
m1+m
2
(m2−m1)v2+2m1v
m1+m
2
0
= v1,
2
2
,
(4.7)
1
.
Рис. 4.4
Рассмотрим известный демонстрационный опыт,
в котором наблюдается обмен скоростями при лобовом
столкновении одинаковых упругих шаров.
Для исключения тренияи вращения шаров их подвешивают на нитях так, чтобы вертикальное положение
каждой нити соответствовало соприкосновению шаров
и при этом их центры были расположены на горизонтальной прямой (рис. 4.4). Крайний шар отводят в сторону и отпускают (рис. 4.4,а). При ударе шар передает
свою скорость соседнему шару, а сам останавливается. 145
Г л а в а IV
Второй шар передает скорость третьему и так далее
до тех пор, пока скорость, которую имел до удара первый шар, не будет передана последнему. В результате
такой серии упругих ударов последний шар отклонится
почти на тот же угол, с которого началось движение
первого шара, а все остальные будут при этом находиться в состоянии покоя (рис. 4.4,б). Затем процесс
повторится в обратном направлении. Уменьшение угла отклонения станет заметным лишь после нескольких циклов, причем их количество будет тем больше,
чем ближе взаимодействие шаров к модели абсолютно
упругого столкновения.
Если в начале опыта отклонить два шара и отпустить
их так, чтобы они соприкасались, то при однократной
передаче энергиислева направона такой же угол отклонятся два последних шара, а остальные окажутся неподвижными. Это можно объяснить следующим образом.
Второй шар передает скорость третьему и останавливается, носразу вслед за этим получает такую же скорость
от первого. Последующие соударения можно рассматривать как две непосредственно следующие друг за
другом серии. В результате первой серии последний
шар получит начальную скорость от предпоследнего,
а в результате второй серии предпоследний шар снова
приобретет ту же скорость.
Полезно рассмотреть другой предельный случай,
при котором массы сталкивающихся тел значитель-
но отличаются. Пренебрегая в (4.7) m1по сравнению
с m2(m2 m1), получим
0
v
≈ −v1+ 2v2, v
1
Скорость тяжелого тела и его кинетическая энергия в этом приближении практически не изменяются,
в то время как скорость легкого тела изменяется существенно. Противоречия с законами сохранения здесь
нет. Импульс и энергия системы сохраняются, следовательно, 4p1= −4p2и 4E1к= −4E2к, но при этом
одни и те же изменения энергии и импульса для более
тяжелого тела соответствуют значительно меньшим изменениям скорости.Иными словами, при сравнимых v
и v2заметное изменение энергии легкого тела в любом
случае будет малым по сравнению с полной энергией
системы.146
0
2
≈ v2.
1
Абсолютно упругое столкновение
Пусть тяжелое тело до столкновения покоится. В на-
шем приближении это означает
0
v
≈ −v1, v
1
то есть легкое тело отскочит в обратном направлении
практически с той же скоростью, а тяжелое тело останется неподвижным. В случае, если удар не лобовой,
направление скорости легкого тела не будет в точности
противоположным, но величина скорости (и, следовательно, кинетической энергии) после абсолютно упругого удара почти не изменится.
Если направления скоростей v1и v2до столкновения
совпадают и при этом легкое тело догоняет тяжелое, то
2
0
2
v
≈ v
+ 4v
1
1
так как v1и v2имеют одинаковые знаки и v1> v2, то есть
энергия легкого тела после удара становится меньше.
Если тела до столкновения движутся навстречу, то
2
0
2
v
≈ v
+ 4v
1
1
то есть энергия легкого тела после удара возрастает.
Этим можно объяснить изменения температуры газа
в адиабатическом процессе. Представим, что газ находится в цилиндре под поршнем. При расширении газа
молекулы, ударяющиеся о поршень, оказываются в роли догоняющих и теряют энергию, вследствие чего температура снижается, при сжатии поршень движется
навстречу налетающим молекулам, их энергия увеличивается, то есть температура растет. Разумеется, поршень также состоит из молекул, которые колеблются
в окрестности равновесных положений со скоростями,
значительно превышающими скорость поршня, поэтому для каждого единичного удара знак энергетического эффекта может быть разным при любом движении
поршня, но в среднем по большому количеству столк-
новений эффект будет соответствовать приведенному
выше описанию.
В случае, если абсолютно упругое столкновение является лобовым тоько в Ц-системе, в лабораторной системе отсчета, как было показано выше, равные друг
другу тангенциальные составляющие скоростей тел до
столкновения сохраняются после столкновения:
v1τ= v2τ= v
0
≈ v2= 0,
2
2
− 4v1v2< v
2
2
+ 4|v1v2| > v
2
0
0
= v
1τ
2τ
2
,
1
2
,
1
= v
. 147
cτ
Г л а в а IV
Кинетическую энергию каждого из тел можно представить в виде суммы энергии, связанной с тангенциальным движением, и энергии движения вдоль линии
центров
v2= v
2
2
+ v
τ
n
⇒
mv
2
Поскольку скорости тангенциальногодвижения и соответствующие вклады в энергию сохраняются, все
приведенные выше примеры могут быть распространены на энергетические соотношения, относящиеся
к нормальному движению.
Модель абсолютно упругого удара может быть применена также к классу задач, в которых рассматривается деление тела на части: разрыв снаряда, деление
микрочастицы, выстрел из орудия и так далее. При
столкновении энергия относительного движения тел
сначала преобразуется в потенциальную энергию их
деформации, а затем вновь в энергию движения. При
разрыве роль начальной энергии движения выполняет
энергия, освобождающаяся в процессе деления, например, химическая энергия порохового заряда при выстреле. Закон сохранения импульса для тела массы m,
движущегося со скоростью v, при делении его на части
с массами mi(Pmi= m) имеет вид
2
2
mv
=
2
2
mv
τ
n
+
.
2
mv =Xmivi, (4.8)
где vi---- скорости осколков. Закон сохранения энергии
при пренебрежении вращением осколков дает
mv
2
2
+ E =
X
2
miv
i
, (4.9)
2
где E ---- энергия деления (разрыва). При заданных m, v,
E, miсистема уравнений (4.8)---(4.9) имеет 3n неизвест-
ных vix, viy, viz(n ---- количество осколков). Такая система
может иметь множество решений. При n = 2 в системе отсчета центра масс решение для модулей скоростей будет единственным, так как скорости осколков
v1и v2в соответствии с законом сохранения импульса
в Ц-системе направлены вдоль одной прямой (линии
центров). Неопределенным в этом случае останется
лишь направление линии центров, которое в конкрет-
ной задаче может быть задано ее условиями.148
Абсолютно упругое столкновение
Рассмотрим в качестве примера задачу о выстреле
из пушки. Направление линии центров здесь определя-
ется направлением ствола. Пусть m1---- масса снаряда,
m2---- масса пушки, скорость системы до выстрела равна
нулю, после выстрела скорость снаряда v1и скорость
пушки v2направлены вдоль ствола. Система уравнений
(4.8) и (4.9) в данном случае примет вид
m1v1= −m2v2,
2E = m1v
2
1
Решив эту систему, получим
s
v1=
2m2E
m1(m1+ m2)
, v2= −
(за положительное направление скорости принимаем
направление движения снаряда). Кинетическая энергия снаряда и энергия отдачи пушки соответственно
равны
2
Eк1=
m1v
2
1
=
m2E
m1+ m
, Eк2=
2
их отношение равно обратному отношению масс
E
к1
=
E
к2
Коэффициент, определяющий эффективность преобразования энергии использованного заряда E в кинетическую энергию выпущенного снаряда
E
к1
=
E
m1+ m
даже в идеальном случае, когда мы пренебрегаем потерями механической энергии на нагревание снаряда
и ствола (в томчисле засчет трения),возбуждение звука
при выстреле, оказывается меньше единицы. Он приближается к единице лишь при m2→ ∞.
Столкновение, не являющееся лобовым вЦ-системе,
для тел произвольной формы может при определенных
обстоятельствах быть центральным иудовлетворять модели абсолютно упругого удара. Однако полученные
выше соотношения (4.5)---(4.7) при этом уже не имеют
места, посколькускорости тел в системе отсчета центра 149
+ m2v
m
2
.
m
1
m
2
2
.
2
s
m2(m1+ m2)
2
m2v
2
2
2
2m1E
=
m1+ m
m1E
,
2
Г л а в а IV
v
1τ
v
1n
v
2τ
v
2n
v
1
v
2
масс не будут направлены вдоль линии центров, а тангенциальные составляющие скоростей в лабораторной
системе отсчета окажутся различными (рис. 4.5).
Рассмотрение столкновений с произвольными направлениями скоростей по отношению к линии удара наиболее актуально для сферически симметричных
тел, поскольку для них столкновение всегда будет центральным. При пренебрежении трением и потерями
механической энергии любой удар в этом случае может
приближаться к моделиабсолютно упругого. Поскольку
силы упругой деформации для тел со сферически симметричным распределением массы направлены вдоль
линии центров, а трение не учитывается, силы взаимодействия не будут иметь тангенциальных (ортогональных линии центров) составляющих: F1τ= F2τ= 0.
Это означает, что сохраняются тангенциальные составляющие
скоростей каждого из тел
0
v
= v1τ, v
1τ
то естьпри столкновении не изме-
Рис. 4.5
няются тангенциальные составляющие импульсов тел и их вклады
в кинетические энергии
0
m1v
= m1v1τ, m2v
1τ
2
0
m1v
m1v
1τ
=
2
2
1τ
,
2
m2v
0
= m2v2τ,
2τ
2
0
2τ
2
Законы сохранения, такимобразом, могут быть представлены в виде уравнений, относящихся только к дви-
жению вдоль линии центров:
m1v1n+ m2v2n= m1v
1
2
m1v
+ m2v
1n
2
2
2n
0
1n
=
+ m2v
1
2
m1v
0
2n
0
1n
,
2
+ m2v
Данные уравнения отличаются от соответствующих
уравнений для лобового удара только тем, что вместо
полных скоростей в них фигурируют нормальные составляющие. В Ц-системе уравнения (4.10) примут вид,
эквивалентный (4.5), и будут иметь те же решения, но
только для нормальных составляющих скоростей.150
0
= v2τ,
2τ
2
m2v
2τ
=
.
2
2
0
.
2n
(4.10)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]