Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Угловая скорость и угловое ускорение
O
z
y
x, x
0
z
0
y
0
k
i
j
k
0
i
0
j
0
O
0
P
v
0
классические преобразования Галилея, представлены
на рисунке 1.9.
При постоянной скорости относительного движения
v0удобно связать с ее направлением одну из коорди-
натных осей. Обычно для этого выбирают ось x. Начала
отсчета систем K и K0совмещают в начальный момент
времени t = 0. При этом, как видно из рис. 1.9, координаты материальной точки P и время в системах отсчета
K и K0связаны соотношениями
x0= x −v0t, y0= y, z0= z, t0= t. (1.38)
Это и есть преобразования Галилея. Первые три
из них выражают абсолютность пространства, последнее ---- абсолютность времени.
С точки зрения классических представлений о пространстве и времени преобразования Галилея являются
очевидными, не нуждающимися в отдельном обсуждении. Необходимость в них
возникает в релятивистской
физике при анализе пространственно---временных соотношений, основанных на
более общем принципе относительности. Релятивистские преобразования координат и времени (преобразования Лоренца), которые мы рассмотрим в главе 9,
представляются в виде,аналогичном (1.38), и рассматриваются в сравнении с преобразованиями Галилея. При
скоростях относительного движения намного меньших
скорости света преобразования Лоренца переходят
в преобразования Галилея.
Рис. 1.9
1.10. Угловая скорость и угловое ускорение
Разделение механического движения на поступательное и вращательное приобретает смысл в случае,
если движущеесятело имеет конечные размеры. Тем не
менее, основные кинематические величины, используемые в описании вращательного движения, могут быть
определены при рассмотрениидвижения материальной
точки по окружности. Это упростит в дальнейшем изу-
чение кинематики абсолютно твердого тела и позволит 31
Г л а в а I
O
x
z
y
r
ds
r
ϕ
dϕ
v
dϕϕϕ
ωωω
обобщить теоремы о сложении скоростей и ускорений
на случай относительного вращения систем отсчета.
Пусть материальная точка движется по окружности
радиуса r. Плоскость, в которой движется точка, совместим с плоскостью (x, y) декартовой системы координат, причем направление оси z выберем так, чтобы оно
составляло с направлением движения точки правовинтовую систему (при повороте в направлении движения
точки правый винт продвигается в направлении оси z,
см. рис. 1.10). За малый промежуток времени dt материальная точка проходит участок траектории протяженностью ds = rdϕ, где dϕ ---- угол поворота радиус-вектора
за время dt (врадианах). Сучетом этого модуль скорости
точки можно представить в виде
ds
v =
Рис. 1.10
тации по отношению к направлению вращения. При
нашем выборе геометрии (см. рис. 1.10) вектор ωωω будет
направлен по оси z. Использование векторной величины для скорости изменения угла ϕ при вышеуказанном
выборе направления позволяет представить (1.39)в векторном виде
v = [ωωωr]. (1.41)
Определенный таким образом вектор ωωω называется
вектором угловой скорости. В системе СИ угловая скорость измеряется в радианах в секунду (рад/с). Вектор
v в случаях, когда необходимо подчеркнуть отличие от
скорости угловой, называют линейной скоростью.
Угловая скорость относится к так называемым акси-
альным (осевым) векторам или псевдовекторам.
В отличие от обычных векторов, указывающих направ-
ление перемещения или воздействия и называемых32
dϕ
= r
dt
. (1.39)
dt
Введем вектор ωωω, равный
скорости изменения полярного угла
|ωωω| =
dϕ
dt
(1.40)
и направленный перпендикулярно плоскости движения
точки вправовинтовой ориен-
Угловая скорость и угловое ускорение
O
O
0
x
z
y
r sin ϑ
r
ϑ
P
1
P
ϕ
dϕ
v
ωωω
полярными, аксиальные векторы связаны с направлением вращения или действия вращающего момента.
Аксиальные векторы подчиняются правилам векторного сложения, скалярного и векторного умножения.
При векторном умножении двух полярных или двух
аксиальных векторов получается аксиальный вектор,
при векторном умножении полярного и аксиального
векторов получается полярный вектор.
Заметим, что векторная интерпретация угла поворо-
та по аналогии с угловой скоростью возможна только
для бесконечно малых углов: dϕϕϕ = ωωω dt. Для поворотов
на конечные углы, если им приписать векторные значения, не будет действовать правило векторного сложения. В частности, результат двух поворотов на 90
вокруг двух взаимно ортогональных осей, как нетрудно
убедиться, зависит от последовательности поворотов.
Для равномерного вращения вводятся понятия пе-
риода и частоты вращения. Периодом называют промежуток времени T , в течение которого происходит
один полный оборот. Частотой n называют величину,
обратную периоду, показывающую количество полных
оборотов в единицу времени. При постоянной угловой
скорости ϕ = ωt, полному обороту соответствует угол
ϕ = 2π, поэтому
T =
2π
ω
, n =
1
ω
=
T
, ω = 2πn. (1.42)
2π
Ось, проходящая черезцентр круговой траектории перпендикулярно
плоскости траектории, называется
осью вращения. Точки, находящиеся на этой оси, при вращательном
движении будут неподвижны. Сместим начало отсчета радиус-вектора
вдоль оси вращения (рис. 1.11). Если под углом dϕ в (1.40) понимать
угол поворота плоскости OO0PP1,
в которой содержатся ось вращения
OO0и рассматриваемая материаль-
ная точка P, а направление вектора угловой скорости
связывать с осью вращения, то формула (1.41) остается справедливой. Действительно, направление вектора
[ωωωr] перпендикулярно векторам ωωω и r, то есть плоско- 33
Рис. 1.11
o
Г л а в а I
сти OO0PP1, значит оно перпендикулярно отрезку O0P,
лежащему в этой плоскости, и, следовательно, направлено по касательной к траектории точки. Модуль вектора [ωωω r] равен ω r sin ϑ, то есть, в соответствии с (1.39)
и (1.40), модулю линейной скорости точки, поскольку
радиус траектории в данном случае (см. рис. 1.11) равен
r sin ϑ. Таким образом, векторное произведение [ωωωr] по
величине и направлению соответствует скорости материальной точки v при произвольном выборе начала
отсчета радиус-вектора на оси вращения.
Как было отмечено выше, любой бесконечно малый
участок гладкой траектории (как плоской, так
и 3-мерной) приближаетсяк участку окружности сопределенным радиусом и центром кривизны. Это позволяет обобщить формулы (1.39)---(1.41) на случай произвольной траектории, если радиус-вектор r отсчитывать от центра кривизны для данной точки траектории.
Направление ωωω при этом будет перпендикулярно плос-
кости, содержащей центр кривизны и вектор линейной
скорости v. Ось, проходящая через центр кривизны
вдоль вектора ωωω, называется мгновенной осью враще-
ния. Произвольное криволинейное движение материальной точкиможно, такимобразом, рассматриватькак
вращательное движение с переменной угловой скоростью и переменной мгновенной осью вращения.
Изменение вовремени угловойскорости характеризуется угловым ускорением εεε ---- аксиальным вектором,
определяемым как производная угловой скорости по
времени:
dωωω
εεε =
, ωωω(t) = ωωω(t0) +
dt
Величина εεε измеряется в СИ в единицах рад/с2.
Векторы εεε и ωωω связаны между собой так же, как ли-
нейное ускорение a с линейной скоростью v. В общем
случае, когда угловая скорость изменяется не только по
величине, но и по направлению, εεε не лежит на одной
прямой с вектором ωωω (так же, как a и v при движении
по криволинейной траектории). При вращении вокруг
фиксированной оси вдоль нее направлены как вектор
угловой скорости, так и вектор углового ускорения:
при увеличении величины ω векторы εεε и ωωω имеют оди-
наковое направление, при уменьшении ---- направлены34
t
Z
εεε(t0) dt0. (1.43)
t
0
Угловая скорость и угловое ускорение
в противоположные стороны. В этом проявляется аналогия вращения вокруг заданной оси (векторы εεε и ωωω
всегда направлены по оси, их направление может изменяться только на противоположное) и прямолинейного
поступательного движения (аналогичные свойства векторов a и v). Угол поворота вокруг фиксированной оси
вращения может быть выраженчерез угловуюскорость
следующим образом:
ϕ(t) = ϕ(t0) +
Угловая скорость ω(t0) в подынтегральном выраже-
нии может принимать положительныеи отрицательные
значения в зависимости от направления вращения по
отношению к направлению, принятому за положительное.
При движении по окружности линейная и угловая
скорости связаны соотношением (1.41): v = [ωωω r]. Диф-
ференцирование по времени в этом равенстве дает
dv
a =
= [˙ωωωr] + [ωωω˙r] = [εεε r] + [ωωω v]. (1.45)
dt
Два слагаемых в данном равенстве соответствуют
тангенциальному и нормальному ускорениям материальной точки. Докажем это.
Для круговой траектории вектор εεε направлен по
оси вращения либо вдоль вектора ωωω (εεε ↑↑ ωωω), либо
противоположно (εεε ↑↓ ωωω). Соответственно, в первом
случае направления векторных произведений [ωωω r] = v
и [εεε r] совпадают, во втором ---- противоположны. Тан-
генциальную составляющую ускорения при движении
по окружности можно представить в виде
dv
aτ=
dt
= ρ
где ρ = r sin ϑ ---- радиус траектории, ϑ ---- угол между
радиус-вектором r и осью вращения (см. рис. 1.11), при
выборе начала отсчета радиус-вектора в центре траектории (рис. 1.10) ϑ = π/2 и ρ = r. Таким образом, вектор
[εεε r] по величине и направлению совпадает с тангенци-
альным ускорением
t
Z
ω(t0) dt0. (1.44)
t
0
dω
dt
= ρ ε =
[εεε r]
,
[εεε r] = aτ= aτeτ. (1.46)
35
Г л а в а I
Тангенциальное ускорение будет направлено в сто-
рону скорости при εεε ↑↑ ωωω и в противоположную сто-
рону при εεε ↑↓ ωωω. С учетом того, что положительное на-
правление орта eτобычно выбирают вдоль направления
скорости v, в первом случае составляющая ускорения
aτв (1.46) будет положительной, во втором ---- отрица-
тельной.
Если доказано, что [εεε r] ---- тангенциальное ускоре-
ние, а сумма a = [εεε r] + [ωωω v] ---- полное ускорение, то на
этом основанииуже можно утверждать, что [ωωωv] ---- нор-
мальное (центростремительное) ускорение. Тем не менее, приведем в подтверждение дополнительные соображения. Вектор [ωωω v] направлен к центру траектории
(см. рис. 1.10 и рис. 1.11), то есть так, как должно быть
направлено нормальное ускорение. Его модульс учетом
того, что v = ωρ и v⊥ωωω, равен
[ωωω v]
= ω2ρ =
что соответствует величине нормальной составляющей
ускорения. Таким образом
[ωωω v] = [ωωω [ωωω r]] = an= anen. (1.47)
Для всех точеквращающегося твердого тела векторы
ωωω и εεε являются общими. Это означает, что относительно
оси вращения скорости точек твердого тела vi= ωρi,
тангенциальные составляющие (aτ)i= ερi, нормальные
составляющие (an)i= ω2ρiи модули полных ускорений
√
ai= ρ
ε2+ ω4пропорциональны ρ ---- расстоянию точки
i
от оси вращения.
2
v
,
ρ
1.11. Теоремы о сложении скоростей и ускорений
Обобщим теоремы о сложении скоростей и ускорений на случай произвольногоотносительного движения
систем отсчета. Пусть начало отсчета системы K0движется относительно начала отсчета системы K со скоростью v0=˙r0и ускорением a0=˙v0=¨r0и, кроме того,
система K0относительно системы K вращается вокруг
мгновенной оси, проходящей через начало координат
O0с угловой скоростью ωωω. Угловую скорость будем счи-
тать переменной по величине и направлению, поэтому36
Теоремы о сложении скоростей и ускорений
O
x
z
y
r
0
r
r
0
P
εεε
ωωω
i
j
k
i
0
j
0
k
0
O
0
угловое ускорение εεε отлично от нуля и в общем слу-
чае не совпадает по направлению с угловой скоростью
(рис. 1.12).
Для нахождения связи скорости v точки P в системе
отсчета K со скоростью v0этой же точки в системе K
и кинематическими характеристиками относительного
движения нужно, как и ранее, продифференцировать
по времени векторную сумму r = r0+ r0, однако теперь,
в отличие от (1.35), при дифференцировании радиусвектора
r0= x0i0+ y0j0+ z0k
0
нужно учитывать зависимость
от временине только координат
x0, y0, z0, но иортов i0, j0, k0. Для про-
изводной по времени вектора
r постоянной длины ранее было получено выражение (1.41):
˙
r = v = [ωωω r], справедливое при
Рис. 1.12
любом угле между векторами ωωω
и r. Орты i0, j0, k0являются векторами фиксированной
длины (единичными), поэтому их производные по времени выражаются аналогично (1.41):
di
0
dt
= [ωωω i0],
dj
0
dt
= [ωωω j0],
0
dk
= [ωωω k0]. (1.48)
dt
С учетомэтого для первой производной радиус-вектора
r0вместо (1.35) получаем
˙
r0= ˙x0i0+ ˙y0j0+ ˙z0k0+ x
0
di
0
dt
+ y
0
dj
0
+ z
dt
0
dk
0
=
dt
= v0+ [ωωω (x0i0+ y0j0+ z0k0)] = v0+ [ωωω r0].
Скорость точки P в системе отсчета K , таким обра-
зом, равна
v =˙r =˙r0+˙r0= v0+ v0+ [ωωω r0].
Полученное равенство:
v = v0+ v0+ [ωωω r0] = v
называется теоремой о сложении скоростей для произвольного относительного движения систем. Вектор
называют переносной скоростью. Это скорость, кото-
рую имела бы точка P в системе отсчета K, если бы 37
v
= v0+ [ωωω r0]
пер
пер
+ v
0
0
(1.49)
(1.50)
Г л а в а I
в системе отсчета K0она покоилась. При поступательном движении системы K0относительно K ωωω = 0, v
v0и (1.50) переходит в (1.36).
Двойное дифференцирование векторной суммы
r = r0+ r0дает
¨
r =¨r0+¨r0, (1.51)
где¨r = a ---- ускорение материальной точки P в системе
отсчета K,¨r0= a0---- ускорение начала отсчета системы
K0в системе K.
Вторая производная радиус-вектора r0в соответствии с (1.49) будет иметь вид
0
d˙r
¨
r0=
=˙v0+ [˙ωωω r0] + [ωωω˙r0].
dt
Производная скорости v0находится аналогично (1.49) с
использованием (1.48):
˙
v0= a0+ [ωωω ( ˙x0i0+ ˙y0j0+ ˙z0k0)] = a0+ [ωωω v0].
Производная˙ωωω по определению равна угловому ускорению εεε. Подстановка˙r0из (1.49) в векторное произведение [ωωω˙r0] позволяет получить
[ωωω˙r0] = [ωωω v0] + [ωωω [ωωω r0]].
С учетомвсех этих равенств (1.51) приводится к виду
пер
=
a = a0+ a0+ [ωωω [ωωω r0]] + [εεε r0] + 2[ωωω v0]. (1.52)
Полученный результат носит название теоремы о
сложении ускорений или теоремы Кориолиса. По аналогии с переносной скоростью вводится понятие пе-
реносного ускорения ---- ускорения в системе K точ-
ки, жестко связанной с системой K0(покоящейся в K0:
a0= 0, v0= 0):
a
= a0+ [ωωω [ωωω r0]] + [εεε r0].
пер
Последнее слагаемое в правой части (1.52) называется кориолисовым ускорением
aK= 2[ωωω v0].
Теорема Кориолиса с использованием определений
переносного и кориолисова ускорений может быть
представлена в виде
a = a
пер
+ aK+ a
0
. (1.53)38
Теоремы о сложении скоростей и ускорений
Слагаемое [ωωω [ωωω r0]] в (1.52) иногда называют центро-
стремительным ускорением (сравните с (1.47)). Оно направлено от текущего положения материальной точки
по нормали к мгновенной оси вращения системы отсчета K0и имеет смысл центростремительного ускорения в
системе отсчета K для точки,неподвижной в системе K0,
например, для точки твердого тела, покоящегося в K0.
При поступательном движении системы отсчета K
относительно системы K (ωωω = 0, εεε = 0) теорема о сложе-
нии ускорений (1.52), (1.53) примет вид (1.37), полученный в параграфе 1.8.
0
39
Глава II
Динамика
2.1. Динамические величины
Дадим определения основным физическим величинам, фигурирующим в законах динамики.
Массой тела m называют двефизические величины,
характеризующие два различных свойства материального тела:
• меру инертности тела, то есть количественную ме-
ру его свойства откликаться изменением состояния
своего движения на воздействия со стороны других
тел ---- эта величина называется инертной массой;
• количественную меру способности тела участво-
вать в гравитационном взаимодействии с другими
телами ---- эта величина называется гравитационной
массой.
Инертная масса входит в динамические законы
движения, например, во второй закон Ньютона. Гравитационная масса определяет силу гравитационного
притяжения. В частности, в известном выражении для
силы тяжести на поверхности Земли: mg (g ---- ускорение свободного падения) m ---- гравитационная масса.
Из определений видно, что инертная и гравитационная массы ---- совершенно разные физические величины, однакосовременные физические теории, имеющие
многочисленные экспериментальные подтверждения,
основываются на представлении о строгой прямой пропорциональности этих двух величин. Данный принцип,
называемый принципом эквивалентности инертной и
гравитационной масс, является законом природы.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]