Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Пространство и время. Система координат
Для запоминания взаимной ориентации ортов пра-
вой системы можно использовать одно из следующих
эквивалентных правил.
1. При вращении в плоскости (x, y) в направлении от
орта i к орту j по кратчайшему расстоянию правый
винт будет продвигаться в направлении орта k.
2. Если орт i входит с внутренней стороны в ладонь
правой руки и при этом четыре сомкнутых пальца
(от указательного до мизинца) направлены вдоль j,
то большой палец, направленный перпендикулярно
сомкнутым, укажет ориентацию орта k.
3. При взаимно перпендикулярной ориентации большого, указательного и среднего пальцев правой руки
их направления соответствуют направлениям ортов:
i (большой палец), j (указательный палец) и k (средний палец).
Нетрудно убедиться, что каждое их этих правил со-
ответствует векторным равенствам (1.4).
В физике по умолчанию используется правая система координат. Заметим однако, что левая система получается из правой поворотом на 180oодного из ортов
(или всех трех), что соответствует зеркальномуотражению пространства. При этом в равенствах (1.4) нужно
изменить знаки на противоположные (или поменять
местами сомножители в векторных произведениях), а в
вышеприведенных правилах правый винт и правую руку заменить на левые. Левая система координат наряду
с правой используется при анализе пространственных
симметрий (например, в кристаллических структурах).
Время имеет одно измерение, обладающее принципиальным отличием от пространственного измерения.
Если по любой пространственной линии можно двигаться в прямом и обратном направлениях, то линия
времени имеет вполне определенную направленность:
из прошлого в будущее. Это свойство времени, называемое необратимостью, эквивалентно классическому
принципу причинности, который можно сформулировать следующим образом: если два события находятся
в причинно-следственной связи, тособытие-следствие
не может опережать во времени событие-причину.
11
Формально классическая механика допускает рас-
смотрение обратного хода времени. Например, по известному закону движения ракеты (заданной траектории и заданной зависимости пройденного пути от времени), зная момент попадания в цель и координаты
цели, можно рассчитать моменти точку запуска, то есть
проделать обратный во времени расчет. Но при этом
нужно иметь в виду, что в физической реальности момент поражения цели ни при каких обстоятельствах
не может предшествовать моменту запуска.
В реальном физическом мире пространство и время
неотделимы, однако как математические абстракции
в ньютоновской механике они формально независи-
мы друг от друга. Это означает, во-первых, математическую независимость пространственных координат
и времени, если рассматривать их как аргументы функции, выражающей какую-либо физическую величину,
например силу F = F(x, y, z, t), действующую на частицу.
В этом случае мы можем рассматривать F как функцию времени при фиксированных координатах или как
функцию любой из координат при неизменных остальных координатах и фиксированном моменте времени,
то есть любой из аргументов функции может изменяться независимо от других. Во-вторых, независимость
классических пространства и времени означает еще
и то, что метрика пространства (см. (1.1) и (1.2)) не зависит от времени, а длительность промежутка времени
между двумя событиями не зависит от их пространственной удаленности.
Пространству и времени присущи фундаменталь-
ные свойства симметрии: для пространства ---- одно-
родность и изотропность, для времени ---- однород-
ность. Однородность и изотропность пространства
означают соответственно равноправие всех его точек
и всех направлений,однородность времени ---- равноправие всех моментов времени. Эти краткие определения
в некоторых случаях могутпривести кнедоразумениям.
Например, на поверхности Земли пространственные
направлениявверхивнизявно неравноправны.
Во избежание подобных недоразумений уточним, что
в данных выше определениях имеется в виду равноправие по отношению к замкнутым механическим систе-
12
Г л а в а I
Система отсчета
мам, то есть системам, на которые не действуют внешние тела. С учетом этого уточнения становится ясно,
что в приведенном примере выделенное направление
не является свойством пространства, а определяется
направлением силы тяжести ---- силы взаимодействия
тела с Землей.
1.2. Система отсчета
Механическое движение относительно. Его количественное описание возможно только тогда, когда указано тело,относительно которого рассматривается движение. Так, движение пассажира поезда относительно
вагона существенно отличается от его движения относительно предметов, закрепленных на земной поверхности. Одинаковыми эти два движения будут лишь в
случае, когда поезд стоит на месте. Поэтому для однозначного описания механического движения необходимо задание системы отсчета.
Система отсчета задается указанием тела отсчета,
то есть тела, которое в данной системе отсчета неподвижно, введением жестко связанной с телом отсче-
та системы координат (начало координат при этом
называют началом отсчета) и определением момента,
с которого начинается отсчетвремени (началаотсчета
времени).
Выбор системы отсчета очень часто играет принципиальную роль в успехе решения механической задачи. Наиболее известным примером из истории науки
в этом отношении является полуторавековая дискуссия (XVI ---XVII вв.) о том, Земля или Солнце являются
центрами мироздания. Сторонники гелиоцентричес-
кой системы мира вслед за Николаем Коперником отстаивали представления о том, что Земля, так же как
другие планеты и кометы, обращается вокруг Солнца.
Приверженцы традиционнойна тот момент геоцентри-
ческой системы мира, связываемой с именем античного философа Клавдия Птолемея, считали, что Солнце,
планеты и звезды движутся вокруг покоящейся Земли по сложным траекториям. Конец этой дискуссии
положил проделанный Ньютоном на основании зако-
13
на всемирного тяготения строгий теоретический вывод
полученных эмпирически законов Кеплера ---- законов
движения планет и комет вокруг Солнца.
Механика Ньютона свела противоречия сторонни-
ков Птолемея и Коперника к вопросу выбора системы
отсчета. Для Солнечной системы гелиоцентрическая
система отсчета является безусловно более удобной,
значительно упрощающей не только расчеты орбит,
но и объяснение единой причины и единого механизма
движения. В то же время теория Птолемея приобрела статус одного из возможных вариантов описания
движения небесных тел ---- описания в системе отсчета,
связанной с Землей. С современной точки зрения такое
описание значительно менее удобно, хотя и возможно.
С другой стороны, движение земных тел, например
баллистической ракеты, более просто и естественно
описывается в земной системе отсчета. Использование
гелиоцентрической системы в данном случае привело
бы к неоправданному усложнению задачи.
Пространство и время классической механики аб-
солютны. Это означает, что расстояние между двумя
материальными точками и промежуток времени между
двумя событиями независят от выбора системыотсче-
та, в частности,события, произошедшие одновременно
в данной системе отсчета, будут одновременными и во
всех других системах отсчета.
До появления специальной теории относительно-
сти абсолютность пространства и времени, их независимость друг от друга и от движения системы отсчета
воспринимались на интуитивном уровнекак очевидные
факты, не требующие отдельного обсуждения. Релятивистская механика установила, что эти свойства ньютоновского пространства и времени в общем случае не
имеют места. Пространственные расстояния, размеры
тел и длительность промежутков времени в системахотсчета, движущихся относительнодруг друга с большими
скоростями (близкими к скорости света), оказываются
существенно различными. Преобразования пространственных координат и времени при переходе от одной
системы отсчета к другой в теории относительности
взаимосвязаны, поэтому пространство и время перестают быть независимыми и объединяются в 4-мерное
пространство--- время с единой метрикой.
14
Г л а в а I
Единицы измерения
Понятие системы отсчета в релятивистской механике должно быть расширено. Кроме тела отсчета,
системы координат и начала отсчета времени релятивистская система отсчета подразумевает наличие
собственных (неподвижных в данной системе отсчета)
линейки и часов. Это означает, что измерения расстояний и промежутков времени в данной системе отсчета
должны производиться с помощью покоящихся относительно нее измерительных приборов.
Основы релятивистской механики будут рассмотрены нами в главе 9. В остальных главах пространство,
время и законы движения рассматриваются в нерелятивистском приближении, то есть считаются классическими.
1.3. Единицы измерения
Для придания физическим величинам количественных значений необходимо определить единицы изме-
рения. Основные (базовые) единицы измерения определяются с помощью эталонов ---- предметов, устройств
или способов точного задания стандартного значения
величины, принимаемого при измерении других величин за единицу. Современные эталоны представляют
собой комплексы измерительных средств, обеспечивающие воспроизведение, хранение и передачу размера
единицы по поверочной схеме. Определения базовых
единиц произвольны. Стандартизация при этом достигается путем соглашений, к которым государства присоединяются путем принятия существующих систем
единиц на законодательном уровне.
В большинстве стран мира, в том числе в России,
в настоящее время принята Международная метриче-
ская система единиц СИ. Единицами времени и длины
в системе СИ являются секунда (с) и метр (м). Обе эти
единицы относятся к базовым.
Секунда изначально определялась как 1/60 часть
минуты или 1/3600 часть часа, который, в свою очередь,
составляет 1/24 часть земных суток (периода оборота
Земли вокруг своей оси). Точность этого определения
для целей современных науки и техники недостаточ-
на. Принятое в настоящее время определение секун- 15
ды ---- промежуток времени, равный 9 192 631 770 пери-
одам излучения, соответствующего переходу между
двумя сверхтонкими уровнями основного (квантового)
состояния атома цезия 133 в состоянии покояпри температуре 0 K и при отсутствии возмущения внешними
полями.
В современном определении метра использована
скорость света, являющаяся универсальной мировой
константой. Метром называется длина пути, проходи-
мого светом в вакууме за 1/299 792 458 секунды. При
таком определении метра скорость света в вакууме в
системе СИ равна в точности 299 792 458 м/с.
Интересно отметить, что для задания всех осталь-
ных единиц измерения в механике наряду с метром
и секундой требуется еще всего одна основная единица. В системе СИ этой третьей единицей является
единица массы ---- килограмм (кг). Все остальные единицы измерения являются производными основных,
то есть определяются как их комбинации. Для количественного описания всех электромагнитных явлений
к трем основным механическим единицам нужно добавить только одну. В качестве этой единицы в системе
СИ выбрана единица силы тока ---- ампер (А)1. К основным в системе СИ относятся также единицы температуры ---- кельвин (К),количества вещества ---- моль (моль)
и силы света ---- кандела (кд), однако использование последних трех единиц скорее дань традиции, чем необходимость. Температура может быть задана в энергетических единицах. Количество вещества можно определить непосредственно количеством атомов или молекул. При этом необходимостьв кельвинеи моле отпадет,
однако потребуется переопределение многих традиционно используемых в термодинамике величин. Сила
света характеризует мощность светового излучения,
воспринимаемого человеческим глазом. Эта величина
пересчитывается из величины энергетического потока
с помощью функции, выражающей усредненную спектральную чувствительность глаза. Физический смысл
1
В теории по физическому смыслу первичным является понятие
электрического заряда,однако предпочтение отдано единицесилы тока по причине того, что ее эталон обеспечивает значительно б´ольшую
точность и воспроизводимость.
16
Г л а в а I
Цилиндрическая и сферическая системы координат
x
y
z
O
ϕ
ρ
z
z
ρ
r
P
ϕ
такой величины, в отличие от полного энергетического
потока, весьма условен, а область применения относительно невелика.Таким образом, почти все физические
величины могут быть количественно охарактеризованы в системе СИ с помощью всего четырех основных
единиц: метра, секунды, килограмма и ампера.
1.4. Цилиндрическая и сферическая системы
координат
Рассмотрим еще две системы координат, часто используемые для описания пространственного положения тел в физике.
В цилиндрической системе
координат (см. рис. 1.2) положение точки P задается проекцией ее радиус-вектора r на
выделенное направление (координата z), проекцией r на ортогональную выделенному направлению плоскость (координата ρ) и углом поворота проекции в данной плоскости (координата ϕ ---- полярный угол). Если выделенное направление связать с декартовой осью z, а полярный угол
в плоскости (x, y) отсчитывать от оси x, как показано
на рис. 1.2, то связь цилиндрических координат ρ и ϕ
c декартовыми координатами x и y выражается соотношениями
x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ,
ρ =px2+ y2, ϕ = arctg
ϕ = arctg
ϕ = arctg
при этом координата z будет общей.
Орты eρи eϕлежат в плоскости (x, y): орт eρнаправлен под углом ϕ к оси x, орт eϕперпендикулярен ему
и направлен в сторону увеличения полярного угла. Орт
y
+ π (x < 0, y > 0),
x
y
− π (x < 0, y < 0),
x
y
x
ezперпендикулярен плоскости (x, y) и ориентирован
Рис. 1.2
(x > 0),
(1.5)
17
в положительном направлении оси z. Легко видеть, что
ezсовпадает с ортом k декартовой системы координат.
В последовательности eρ, eϕ, ezорты образуют правую
систему координат:
ez= [eρeϕ], eϕ= [ezeρ], eρ= [eϕez].
Радиус-вектор точки P имеет следующее разложе-
ние по ортам цилиндрической системы координат:
r = ρ eρ+ z ez. (1.6)
Обратим внимание, что, в отличие от декартовой системы координат, при движении точки P фиксированным
остается только орт ez, остальные два орта изменяют
свое направление при изменении направления r.
Координаты ρ и ϕ в плоскости, перпендикулярной
оси z, образуют так называемую полярную систему
координат ---- частный случай цилиндрической системы координат при постоянном значении z = 0. Полярные координаты удобны для описания движения тел
по плоским траекториям, напримерпланет, искусственных спутников Земли, головных частей баллистических
ракет.
x
O
ϕ
z
ϑ
r
Рис. 1.3
r
r
ϕ
P
ϑ
y
Рассмотрим сферическую
систему координат (рис. 1.3).
В ней положение точки P задается расстоянием r от фиксированной точки O ---- начала координат, аксиальным углом ϑ
между выделенным направлением и радиус-вектором r дан-
ной точки, а также полярным углом ϕ в плоскости, перпендикулярной выделенной оси.
При постоянном значении радиальной координаты
все возможные положения точки P находятся на сфере
радиуса r, причем полярный угол изменяетсяв пределах
от −π до π (как и в цилиндрической системе координат), а аксиальный ---- в пределах от 0 до π. При фиксированном ϑ сферическая система координат переходит
в полярную.
При совмещении сферической и декартовой систем
координат за выделенное направление, от которого
отсчитывается угол ϑ, принимается декартова ось z,
а полярный угол в плоскости (x, y) отсчитывается от
18
Г л а в а I
Уравнения движения и траектория
оси x (см. рис. 1.3). С учетом этого соотношения между
сферическими и декартовыми точки задаются выражениями
Формулы во второй колонке определяют углы ϕ при
x > 0 и ϑ при z > 0. Значения ϕ при x < 0 и ϑ при z < 0
доопределяются аналогично формулам (1.5).
Орт erсферической системы координат направлен
вдоль радиус-вектора, поэтому
Орт eϑперпендикулярен er, лежит в плоскости, содержащей ось z и радиус-вектор, ориентирован в направлении увеличения аксиального угла. Третий орт eϕв
точности соответствует одноименному орту цилиндрической системы координат. Правую тройку орты сферической системы образуют в последовательности er,
eϑ, eϕ:
Все три орта сферической системы координат при
перемещении точки P изменяются по направлению.
x = r sin ϑ cos ϕ, r =px2+ y2+ x2,
y = r sin ϑ sin ϕ, ϑ = arctg
z = r cos ϑ, ϕ = arctg
r = r er. (1.8)
eϕ= [ereϑ], eϑ= [eϕer], er= [eϑeϕ].
p
y
.
x
x2+ y
z
2
,
(1.7)
1.5. Уравнения движения и траектория
Движение материальной точки полностью определено, если задано ее пространственное положение в
любой момент времени. Для этого нужно определить
зависимость от времени радиус-вектора рассматриваемой точки
или ее координат
x = x(t), y = y(t), z = z(t). (1.10)
Данные выражения называются уравнениями дви-
жения материальной точки в конечной форме. Два эквивалентных представления уравнений движения называют: векторным (1.9) и координатным (1.10). Коор-
динатное представление может быть задано в разных 19
r = r(t) (1.9)
Г л а в а I
системах координат: в декартовой (1.10), в цилиндрической
в сферической
Кривая в пространстве, задающая положения ма-
териальной точки в различные моменты времени, называется ее траекторией. Уравнение траектории при
плоском движении получается исключением времени
из координатных уравнений движения:
Трехмерная траектория задается парой независи-
мых уравнений, связывающих координаты, например,
для декартовой цилиндрической и сферической систем
координат соответственно
(
Уравнения движения в конечной форме (1.9)---(1.12)
можно рассматривать как параметрическое задание
траектории.
ρ = ρ(t), ϕ = ϕ(t), z = z(t), (1.11)
r = r(t), ϑ = ϑ(t), ϕ = ϕ(t). (1.12)
(
ρ = ρ(ϕ),
z = z(ϕ),
)
⇒ y = y(x);
)
⇒ r = r(ϕ).
(
r = r(ϕ),
ϑ = ϑ(ϕ).
x = x(t)
y = y(t)
r = r(t)
ϕ = ϕ(t)
y = y(x),
z = z(x),
(1.13)
(1.14)
1.6. Перемещение, путь, скорость и ускорение
Перемещением материальной точки называется век-
тор 4r, соединяющий начальное положение точки с конечным. На рисунке 1.4 перемещение 4r = r2− r1.
Пройденным материальной точкой путем называют
скалярную величину s, определяемую как длина дуги
траектории между точками, соответствующими началу и окончанию движения. При движении по одной и
той же траектории в прямом и обратном направлениях
пройденные пути суммируются, а не вычитаются. Например, для маятника за период колебаний перемещение равно нулю, а пройденный путь равен удвоенному
пути между двумя крайними точками движения.20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]