Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Механическая энергия системы частиц. Внутренняя энергия
но работа сил поля на перемещениях частиц driза время dt
δA = −
уже не будет полным дифференциалом, так как полный
дифференциал функции (3.77) равен
dEп=
Важно отметить, что такое обобщение возможно
только для внешнего поля (3.70). Потенциальная энергия сил взаимодействия внутри системы (3.68) не может быть явной функцией времени, поскольку при на-
личии явной зависимости от t одна и та же конфи-
гурация замкнутой системы (одни и те же значения
всех ri) в разные моменты времени соответствовала бы
разным физическим состояниям ---- разным значениям
Eп(r1, r2, . . . rN, t), что противоречит однородности време-
ни.
Таким образом, выражениедля потенциальной энергии механическойсистемы (3.71) можно обобщить, учтя
зависимость внешнего поля от времени
Система в переменном внешнем поле вида (3.77),
(3.81) называется адиабатической. Модель адиабатической системы используется в молекулярной статистической физике, физике твердоготела и физике плазмы.
Внутренней энергией системы называют ее полную
механическую энергию в системе отсчета, в которой
полный импульс и полный момент импульса системы
равны нулю. Внутренняя энергия включает энергию
движения частиц, а также энергию их взаимодействия
между собой и с внешним полем
E = Eк+ E
= −
N
X
∇iEпdri+
i=1
Eп=
c
+ E
п
N
X
∇iEпdri=
i=1
N
X
∂E
∂x
i=1
X
k<i
e
= E(r1, r2, . . . rN, v1, v2, . . . vN, t). (3.82)
п
п
dxi+
i
E
ki п(rki
∂E
∂y
∂E
п
dt = −δA +
dt
) +
п
i
X
dyi+
N
i=1
e
E
i п
!
∂E
п
dz
i
∂z
i
∂E
п
dt. (3.80)
dt
(ri, t). (3.81)
(3.79)
131
При динамическом описании внутренняя энергия
является функцией координат и скоростей (импульсов)
всех частиц, а также времени. Такие функцииназывают
функциями микросостояния системы.
При статистическом описании, основанном на математическом аппарате теории вероятностей, под внутренней энергией понимают среднее значение функции
(3.82). В так называемых состояниях равновесия статистическая внутренняя энергия является функцией
температуры и других макроскопических параметров
(параметров, относящихся к системе в целом, а не к отдельным частицам) ---- функцией макросостояния системы. В термодинамических процессах макропараметры
в свою очередь ---- функции времени.
Для систем с большим количеством частиц в состояниях равновесия динамическое значение внутренней
энергии практически не отличается от среднего статистического значения.
3.9. Симметрия пространства ---времени
и механические законы сохранения
Законы сохранения импульса, момента импульса
и механической энергии являются прямыми следствиями динамических уравнений движения и фундаментальных свойств симметрии пространства и времени: од-
нородности пространства, изотропности пространства и однородности времени.
В параграфе 2.8 мы вывели закон сохранения импульса для замкнутой системы материальных точек из
третьего и второго законов Ньютона: векторная сумма
всех внутренних сил (2.20) равна нулю, следовательно,
в замкнутой системе суммарный импульс не изменяется во времени (˙p = 0). Этот результат может быть
получен из второго закона Ньютона и свойства одно-
родности пространства без использования третьего
закона Ньютона.
Рассмотрим два состояния замкнутой механической
системы, в которых радиус-векторы riи r
одинаковым для всех частиц смещением r: r
а скорости соответствующих частиц одинаковы: v
132
0
i
Г л а в а III
отличаются
0
= ri+ r,
i
0
= vi.
i
Симметрия пространства ---времени и механические законы сохранения
Перемещение системы между этими двумя состояниями эквивалентно смещению начала отсчета, поэтому из однородности пространства следует физическая
эквивалентность данных состояний системы. Иными
словами, однородность пространства означает, что работа на перемещении замкнутой системы, при котором
сохраняется ееконфигурация и значения векторов скоростей частиц, равна нулю
N
X
i=1
Для того, чтобы данное равенство было справедливо
при любом смещении r, сумма всех сил взаимодействия
в любой конфигурации системы должна быть равна
нулю, следовательно, в соответствии со вторым законом
Ньютона импульс замкнутой системы сохраняется
dp
=
dt
Таким образом, достаточными условиями выполнения закона сохранения импульса для замкнутой системы являются однородность пространства и динамическое уравнение второго закона Ньютона.
При выводе закона сохранения момента импульса
замкнутой системы (см. параграф 2.11) также можно
обойтись без использования третьего закона Ньютона, заменив его представлением об изотропности про-
странства. Для этого вместо поступательного смещения системы нужно рассмотреть ее поворот на произвольный угол dϕϕϕ с сохранением конфигурации и век-
торов скоростей.
При таком повороте радиус-векторы частиц получат приращения dri= [dϕϕϕ ri], сила, действующая на i---ю
частицу со стороны k---й, совершит работу
dAki= Fkidri= Fki[dϕϕϕ ri] = [riFki]dϕϕϕ = Mkidϕϕϕ,
где Mki= [riFki] ---- момент силы, с которой k---я частица
действует на i---ю. Полная работа всех внутренних сил
будет равна сумме
N
X
dA =
dAki=
i=1Xk,i
X
F
r = 0.
ki
k,i
N
X
X
Fki= 0. (3.83)
i=1
k,i
N
X
i=1Xk,i
M
dϕϕϕ = M dϕϕϕ,
ki
133
Г л а в а III
где M ---- суммарный (главный) момент внутренних сил.
Эта работа для любого угла поворота и любой конфигурации должна быть равна нулю, поскольку рассматриваемый поворот эквивалентен повороту системы координат, что,в силу изотропности пространства,не может
изменить физического состояния системы частиц. Отсюда следует, что главный момент внутренних сил при
любой конфигурации системы равен нулю, а это, согласно динамическому уравнению вращательного движения, для замкнутой системы означает сохранение
момента импульса
Третий закон Ньютона можно рассматривать как
следствие однородности и изотропности пространства.
Действительно, равенство нулю главного вектора внутренних сил (следствие однородности пространства)
и главного момента внутреннихсил (следствиеизотропности пространства) должно иметь место для любой
конфигурации и любого количества частиц в системе.
Удалим из рассматриваемойсистемы любые N−2 части-
цы, оставив пару частиц. Тогда в суммах (3.83) и (3.84)
останется по два слагаемых, которые будут компенсировать друг друга для любой пары частиц в системе
Fik= −Fki, Mik= −Mki.
Первое из этих равенств означает, что силы взаимодействия для любой пары частиц равны по величине
и противоположны по направлению, второе ---- что эти
силы направлены вдоль одной прямой.
В физической картине мира, построенной на основе классической механики, третий закон Ньютона
и принципы симметрии пространства полностью эквивалентны. То и другое в сочетании с вторым законом
Ньютона независимо приводит к законам сохранения
импульса и момента импульса. Однако уже в картине
мира, учитывающей законы электродинамики, данная
эквивалентность нарушается. Однородность и изотропность пространства, а также законы сохранения импульса и момента импульса в инерциальных системах
отсчета остаются фундаментальными законами приро-
ды, а третий закон Ньютона будет справедлив не всегда.134
dL
dt
=
N
X
Mki= M = 0. (3.84)
i=1Xk,i
Симметрия пространства ---времени и механические законы сохранения
Например, для пары движущихся заряженных частиц, скоростикоторых направлены под углом друг другу, действие магнитной силы Лоренца приводит к тому,
что силы взаимодействия между частицами оказываются не параллельны. При этом закон сохранения импульса для замкнутой системы, состоящей из частиц
и создаваемого ими электромагнитного поля, будет выполняться.
Закон сохранения полной механическойэнергии системы следует из однородности времени и динамических уравнений движения при дополнительных условиях ---- отсутствии в системе диссипативных сил и потенциальности внешнего поля.
Действительно, при отсутствии диссипативных сил
суммарная работа на перемещениях driчастиц системы
за время dt согласно (3.80) равна
N
X
δA = −
∇iEпdri= −dEп+
i=1
С другой стороны, в соответствии с динамическими уравнениями движения механическая работа равна
приращению кинетической энергии системы: δA = dEк,
поэтому
dEк= −dEп+
∂E
Как уже упоминалось, однородность времени не допускает явнойзависимости потенциальной энергии сил
внутреннего взаимодействия (3.68) от переменной t.
Все это означает, что полная механическая энергия си-
стемы, в которой нет диссипативныхсил, может зависеть от времени только за счет изменения суммарной
потенциальной энергии частиц во внешнем поле
dE
d(Eк+ Eп)
=
dt
dt
В случае консервативных внешних сил функция E
не будет явно зависеть от времени (внешнее поле потенциально). При этом (3.85) примет вид закона сохранения полной механической энергии консервативной
системы
d(Eк+ Eп)
dt
= 0. (3.86)
∂E
п
dt.
∂t
п
dt.
∂t
e
∂E
п
=
. (3.85)
∂t
e
п
135
Глава IV
Столкновения тел
4.1. Механические законы сохранения
при столкновениях
Столкновением или ударом (соударением) макро-
скопических телназывается такое взаимодействие, при
котором их поверхности оказываются в непосредственном контакте. Столкновение сопровождается деформацией тел, на которую затрачивается кинетическая энергия их относительного движения (в системе
отсчета общего центра масс). Поскольку в процессе
столкновения импульсы тел значительно изменяются
за короткое время, силы взаимодействия (F =˙p) становятся настолько велики, что по сравнению с ними
можно пренебречь взаимодействием с другими телами
и считать пару соударяющихся тел замкнутой системой.
Для микрочастиц (молекул, атомов, элементарных
частиц) понятие поверхности и поверхностного контакта теряет смысл, поэтому под столкновением в данном случае понимают взаимодействие при сближении,
достаточном для того, чтобы рассматривать взаимодействующую пару как замкнутую систему.
Нормаль к поверхности соприкосновения тел в точке касания называется линией удара. Лобовым называется такой удар, при котором скорости центров масс
до столкновения направлены параллельно линии удара
(рис. 4.1,а,б,в).
Прямую, соединяющую центры масс тел в момент
столкновения, называют линией центров. Если линия
центров и линия удара совпадают, столкновение называют центральным (рис. 4.1,а,б).
136
Механические законы сохранения при столкновениях
C
1
C
2
v1v
2
а
C
1
C
2
v1v
2
б
C
1
C
2
v1v
2
N
1
N
2
в
C
1
C
2
v
1
v
2
N
1
N
2
г
На рис. 4.1,а,б представлены примеры столкнове-
ний, которые являются одновременно лобовыми и центральными. Удар на рис. 4.1,в лобовой (v1и v2параллельны линии удара N1N2), но не центральный (линия
центров C1C2не совпадает с линией удара). Столкновение на рис. 4.1,г не лобовое (скорости не параллельны
линии удара) и не центральное (линия центров и линия
удара не совпадают).
Любое столкновение сферическисимметричных тел,
например однородных шаров, является центральным,
так как в этом случае центры масс всегда будут лежать
на линии удара.
Рис. 4.1
Законы сохранения импульса и момента импульса
замкнутой системы непосредственно вытекают из однородности и изотропности пространства и не связаны
с какими-либо дополнительными требованиями, касающимися природы сил взаимодействия и их направления по отношению к центрам масс взаимодействующих тел (см. параграф 3.9). Поэтому при столкновениях
тел суммарный импульс и суммарный момент импульса
системы сохраняются независимо от геометрии удара и свойств соударяющихся тел, по крайней мере,
в течение промежутка времени, когда взаимодействием с другими телами можно пренебречь.
Импульс тела в соответствии с (2.23) равен произведению его массы на скорость движения центра масс.
Обозначим массы сталкивающихся тел m1и m2, скорости их центров масс до столкновения v1и v2, после
столкновения v
означает равенство
0
1
m1v1+ m2v2= m1v
0
и v
. Тогда закон сохранения импульса
2
0
1
+ m2v
0
, (4.1)
2
137
Г л а в а IV
которое справедливо в любой инерциальной системе
отсчета, например, в лабораторной системе или системе
отсчета общего центра масс.
Несколько сложнее обстоит дело с моментами им-
пульса. Пусть r1и r1i---- радиус-векторы центра масс
первого тела и его i---й частицы массы miв некоторой
инерциальной системе отсчета, а r
той же частицы относительно центра масс тела. Очевидно, что r1i= r1+ r
v
=˙r
1ci
ме отсчета равен
. Полный момент импульса тела в данной систе-
1ci
X
L1п=
mi[r1iv1i] = m1[r1v1] +r
i
X
+
i
mir
1ci
1civ1
и v1i= v1+ v
X
+
mi[r
i
Здесь m1---- масса тела, m1[r1v1] ≡ L01---- момент импульса
тела как целого относительно начала отсчета выбранной инерциальной системы,
P
мент импульса тела относительно собственного центра масс (собственный момент импульса),
P
и
miv
= 0 по определению центра масс (2.22).
1ci
i
С учетом этого предыдущее выражение принимает
вид
L1п= L01+ L1.
Полный момент импульса второготела выражаетсяаналогично.
При столкновении сохраняется сумма полных мо-
ментов влюбой инерциальной системе отсчета: L1п+L2п.
Наиболее удобно рассматривать закон сохранения момента импульсаотносительно общего центра масс пары
сталкивающихся тел
L12+ L1+ L2= L
0
где L1, L2и L
0
, L
---- собственные моменты импульса тел
1
2
до и после столкновения, L12и L
0
+ L
12
0
12
ленные относительным поступательным движением тел
(орбитальные моменты)
L12= µ[r12v12], L
0
12
аналогичные полному моменту импульса пары материальных точек с массами m1и m
в задаче двух тел (2.39).138
2
---- радиус-вектор
1ci
, где v1i=˙r1i, v1=˙r1,
1ci
miv
1ci
+
] ≡ L1---- мо-
P
mir
1ci
i
mi[r
i
X
1
i
].
1civ1ci
1civ1ci
0
0
+ L
, (4.2)
1
2
---- моменты, обуслов-
0
= µ[r
0
v
], (4.3)
12
12
= 0
Механические законы сохранения при столкновениях
C
1
C
2
v
1
v
2
F
τ1
F
τ2
Здесь r12---- радиус-вектор центра масс второго тела относительно центра масс первого, v12---- относительная
скорость центров масс, µ = m1m2/(m1+ m2) ---- приведенная масса сталкивающихся тел (r12= r2−r1, v12= v2−v1, r
0
и v
---- то же после столкновения).
12
При центральном лобовом ударе L12= 0, так как от-
носительная скорость направлена по линии центров.
Из (4.2) можно видеть, что закон сохранения полного
момента импульса не означает сохранение собственных моментов даже при центральном лобовом столкновении. Выясним, при каких условиях собственные
моменты импульса L1, L2и связанные с ними энергии
вращения L
2
/2J1и L
1
2
/2J2(J1и J2---- моменты инерции)
2
в результате столкновения сохраняются.
Силы, обусловленные деформацией тел, перпендикулярны поверхности соприкосновения (направлены
вдоль линии удара). При центральном столкновении
моменты этих сил относительно центров масс соударяющихся тел равны нулю, следовательно, деформация
не приводит к изменению вращательного движения.
В общем случае, когда линия центров и линия удара
не совпадают, моменты сил деформации изменяют вращение тел (˙L = M , 0).
Однако состояние вращательного движения каждого из тел может измениться и при центральном
столкновении. Это обусловлено тем, что касательные составляющие скоростей поверхностей телв об-
Рис. 4.2
ласти их соприкосновения в общем случае не равны,
вследствие чего возникают силы трения, направленные
перпендикулярно линии удара (рис. 4.2). Моменты этих
сил относительно центров масс тел отличны от нуля,
поэтому в результате столкновения моменты импульса и угловые скорости тел изменятся. Действием сил
трения и их моментов можно пренебречь, если считать поверхности абсолютно гладкими (коэффициент
трения равен нулю).
0
12
139
Г л а в а IV
Для шаров или тел со сферически симметричным
распределением массы, как видноиз рис.4.1,а ирис. 4.2,
линия удара всегда совпадает с линией центров, поэтому моменты сил деформации относительно центров тел
всегда равны нулю. Вращательное движение таких тел
не изменяется в результате столкновения при выполнении единственного условия ---- поверхности тел должны
быть идеально гладкими. В случае тел произвольной
формы не всякое столкновение является центральным,
поэтому состояние вращательного движения сохранится при двух условиях ---- центральном столкновении
и абсолютно гладких поверхностях.
В применении к столкновению макроскопических
тел все указанные условия являются идеализированны-
ми: в реальности не существует идеально сферических
тел, поверхностей с нулевым коэффициентом трения
и столкновений, при которых линия удара в точности
совпадет с линией центров. Это означает, что в резуль-
тате столкновения всегда будет происходить перераспределение кинетической энергии между поступательным и вращательным движениями тел, то есть энергии
поступательного и вращательного движений системы
по отдельности не сохраняются. Отметим, что энергия
поступательного движения при столкновении может
как уменьшаться, переходя в энергию вращения, так
и увеличиваться за счет вращательной энергии.
4.2. Абсолютно упругое столкновение
Абсолютно упругим называется такое столкновение, при котором энергия поступательного движения
тел сохраняется.Как следует из предшествующих рассуждений, для макроскопических тел абсолютно упругое столкновение невозможно. Помимо изменения
энергии поступательного движения за счет вращательного при столкновениях всегда имеют место необратимые потери механической энергии. Например, в момент столкновения бильярдных шаров мы отчетливо
слышим звук удара. Это означает, что часть механической энергии переходит в энергию звуковой волны,
которая возбуждается упругими колебаниямител ирас-
пространяется в воздухе. Кроме того, при затухании140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]