Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Классификация сил
Твердое тело конечных размеров можно представить как совокупность материальных точек. Силы вза-
имодействия частиц тела не совершают работу, поскольку расстояния между частицами не изменяются.
При движении во внешнем потенциальном поле над
i---й частицей тела совершается работа
dAi= dEкi= −dEпi.
Работа dA, совершаемая над телом за время dt, равна
сумме работ над всеми его частицами за этот промежуток времени. То же, очевидно, относится к работе 4A
за конечный промежуток времени 4t. На основании
этого можно утверждать, что закон сохранения полной механической энергии во внешнем потенциальном
поле справедлив как для отдельных частей абсолютно
твердого тела (бесконечно малых или конечных), так
и для тела в целом. Под кинетической, потенциальной
и полной энергией в (3.49) и (3.50) в случае тела конечных размеров следует понимать сумму вкладов соответствующих типов механической энергии частиц тела
в данный момент времени.
3.6. Классификация сил
Силы, действующие на материальную точку, в общем случае могут быть функциями ее координат, скорости, а также времени
F = F(r,˙r, t).
По тому, от каких переменных зависит сила и какими свойствами обладает совершаемая ею работа, силы
делятся на консервативные, диссипативные и гироско-
пические.
Уже рассмотренные нами консервативные силы
имеют следующие свойства.
1. Зависят только от координат:
F = F(r).
2. Работа силы по любому замкнутому контуру равна
нулю:
I
Fdr = 0.
111
Г л а в а III
3. Сила равна градиенту потенциальной энергии с обратным знаком:
то есть направлена перпендикулярно эквипотенциальной поверхности, проходящей через точку приложения, в сторону убывания потенциальной энергии.
4. Обеспечивают выполнение закона сохранения полной механической энергии:
Иными словами, консервативные силыконсервируютэнергию в механической форме.
Кроме рассмотренных вышегравитационных и элек-
тростатических сил к консервативнымотносится также
сила упругости. Рассмотрим ее на примере пружинного
маятника.
Пружинным маятником называется груз, закрепленный на пружине и способный совершать колебания под действием силы упругости. Для того чтобы не
учитывать силу тяжести, рассмотрим горизонтальный
пружинный маятник. Он представляет собой тело, соединенное пружиной с вертикальной стенкой (рис. 3.7).
Трение при движении тела по горизонтальной поверхности должно быть малым. Это можно реализовать,
например, используя нагруженную тележку.
F
x
0
Рис. 3.7
Здесь x ---- величина отклонения от равновесия; k ---- коэффициент пропорциональности, называемый коэф-
фициентом жесткости пружины или просто жесткостью, в общем случае k называют также коэффициентом упругости или коэффициентом упругой силы.
Знак минус указывает на то, что сила всегда направлена против смещения: на рис. 3.7 показано положение,
в котором пружина растянута, что соответствует положительному смещению центра масс тележки по оси x,
сила приэтом направлена противоположно ---- в сторону
уменьшения x.112
Fdr = −∇Eп(r),
Eк+ Eп= E = const.
При отклонении тела от положения равновесия (0 на оси x)
возникает сила упругости, пропорциональная отклонению (за-
кон Гука):
F = −kx. (3.51)
Классификация сил
Работа силы упругости (3.51) при смещении центра
масс на расстояние x от положения равновесия равна
A(x) = −k
Потенциальная энергия,таким образом, может быть
представлена в виде
Eп(x) = −A(x) =
За начало отсчета принято значение потенциальной
энергии в положении равновесия. Сила (3.51), как и
должно быть, равна производной потенциальной энергии с обратным знаком
Поскольку потенциальная энергия(3.52) ---- функция одной переменной x, ее производные по переменным y
и z равны нулю, что соответствует физическим условиям задачи (Fy= 0, Fz= 0).
Использование понятия потенциального силового
поля в случае сил упругости является излишним (хотя и возможным с формальной точки зрения), так как
в данном случае два тела (пружина и груз) взаимодействуют непосредственно.
При пренебрежении силами трения уравнение движения тела массы m под действием силы упругости
(3.51) имеет вид
Нетрудно убедиться, что решением этого уравнения
является функция
1
где x0---- амплитуда колебаний, ω =√k/m ---- частота колебаний. Скорость движения тела и его кинетическая
энергия при такой зависимости x(t) будут равны
v = ˙x = ωx0cos ωt, Eк=
1
В зависимостиот начальныхусловий возможнырешения: x0sin ωt,
x0cos ωt или их линейная комбинация: x01sin ωt + x02cos ωt. Последу-
ющие преобразования приводят к одинаковому результату для всех
возможных решений. 113
x
Z
0
F(x) = −
x0dx0= −
dEп(x)
dx
2
kx
.
2
2
kx
. (3.52)
2
.
m ¨x = −kx. (3.53)
x(t) = x0sin ωt,
mω2x
2
2
0
cos2ωt,
mv
2
=
2
Г л а в а III
потенциальная энергия ----
2
2
kx
kx
Eп=
2
Сложение кинетической и потенциальной энергий
с учетом того, что mω2= k и cos2ωt + sin2ωt = 1, дает
0
=
sin2ωt.
2
E = Eк+ Eп=
kx
2
0
=
2
mω2x
2
2
0
= const ,
то есть полная энергия пружинного маятника при пренебрежимо малом трении сохраняется. Она равна потенциальной энергии при максимальном отклонении
x = x0или кинетической энергии при максимальной
скорости v = ωx0.
Диссипативными называются силы, которые пере-
водят часть механической энергии в другие формы
(тепловую, электромагнитную). Это силы трения, силы сопротивления среды, тормозящие силы, действующие на заряженные частицы в электромагнитном поле.
Диссипативные силы обладают следующими общими
свойствами.
1. Зависят от скорости тела.
2. Направлены в сторону, противоположную скорости.
3. Совершают работу отрицательного знака (в том числе и при движении по замкнутой траектории).
Сила трения скольжения, действующая на скользящее по поверхности тело, слабо зависит от величины
его скорости, но определяющим образом зависит от ее
направления (направлена всегда против скорости движения тела). Ее величина пропорциональна величине
силы реакции опоры N и зависит от свойств трущихся
поверхностей
Fтр= µN. (3.54)
Коэффициент µв этом выражении называется коэф-
фициентом трения скольжения или кратко ---- коэффи-
циентом трения. Он зависит от материала соприкаса-
ющихся поверхностей и степени их обработки. На рисунке 3.8 представлена иллюстрация скольжения тела
по горизонтальной плоскости под действием внешней
силы F и силы трения.114
Классификация сил
N
mg
P = mg
F
F
тр
F
тр
v
α
mg
P
N
F
τ
F
тр
Сила реакции опоры N всегда равна по величине
и противоположна по направлению силе нормального давления тела на поверхность P, которая в случае
горизонтальной опоры совпадает с силой тяжести mg.
Поскольку в данном случае F > Fтр, тело будет двигаться равноускоренно в направлении F, при этом сила
трения будет направлена в противоположную сторону.
Вектор Fтрчасто изображают в плоскости скольжения,
что соответствует линии действиясилы, однакопри рассмотрении поступательного движения точку приложения вектора силы трения можно выбрать произвольно,
например, поместить ее в центр масс тела (на рис. 3.8
показаны оба варианта).
Рис. 3.8
Рис. 3.9
На тело, находящееся на наклонной плоскости
(рис. 3.9), при отсутствии дополнительного внешнего
воздействия действуют три силы: сила тяжести mg,
сила нормальной реакции опоры N и сила трения
Fтр. Векторы Fτи P = −N играют вспомогательную
роль (поэтому изображены более тонкими стрелками),
они представляют собой соответственно касательную
и нормальную проекции силы тяжести: Fτ= mg sin α,
P = mg cos α = N , α ---- угол наклона плоскости к горизон-
ту. Вектор P на рис. 3.9 отличается от силы нормального
давления на плоскость только точкой приложения.
Если Fτ< µN = µmg cos α, то тело будет покоиться.
В этомслучае сила трения повеличине в точности равна
Fτ. Она компенсирует действие касательной составля-
ющей силы тяжести и называется силой трения покоя1.
1
при малой внешней силе (F < µmg).
Для горизонтальной плоскости трение покоя будет иметь место
115
F
−F
тр
µN
µ0N
0
При Fτ= µN (tg α = µ) тело может покоиться или
двигаться равномерно вниз по плоскости. В этом случае
сила трения скольжения, равная максимальной силе
трения покоя, компенсирует Fτ. При Fτ> µN тело будет
двигаться внизпо плоскости с постоянным ускорением.
Модель, в которой предполагается, что максимальная сила трения покоя равна силе трения скольжения,
является идеализированной. Тем не менее она используется в подавляющем большинстве задач, решаемых
при изучении механики. Остановимся кратко на отклонениях от этой модели, учитываемых при решении
прикладных технических задач.
Максимальная сила тренияпокоя всегда больше силы трения
скольжения (иногда существенно). Иными словами, для того, чтобы стронуть с места тело, взаимодействующее с опорой через
Рис. 3.10
шероховатую поверхность, нужно применить б´ольшую силу, чем
для обеспечения равномерного скольжения тела по той
же поверхности. В этом можно убедиться на следующем простом опыте. Поместим тело массы m на плоскость с регулируемым углом наклона. Плавно увеличивая угол, зафиксируем его значение α0, при котором тело начнет двигаться. Величина касательной силы
при данном угле наклона Fτ(α0) = mg sin α0будет равна
максимальной силе трения покоя F
0
= µ0N(α0) (µ0на-
тр
зывают коэффициентом трения покоя). Учитывая, что
N(α0) = mg cos α0, находим µ0= tg α0. Изменяя наклон
плоскости, определим угол α1, при котором тело, получив начальную скорость, движется по плоскости вниз
равномерно. Опыт показывает, что α1< α0. Касательная
сила Fτ(α1) компенсируется силой трения скольжения
Fтр= µN(α1), откуда µ = tg α1. Таким образом, из опыта
получаем, что максимальное трение покоя превосходит
трение скольжения: F
0
> Fтр, то есть µ0> µ.
тр
На рисунке 3.10 представлен качественный вид зависимости силы трения от F ---- силы внешнего воздействия. Сплошная линия соответствует модели, в которой максимальное трение покоя равно трению сколь-
116
Г л а в а III
Классификация сил
жения, штриховая линия ---- реальной ситуации, при которой трениепокоя достигает значения µ0N > µN, затем,
при начале движения, сила трения резко спадает до µN.
Знак минусуказывает, что сила трения направленапротивоположно силе F.
Трение скольжения слабо зависит от скорости дви-
жения тела: при малых скоростях сила трения немного
меньше µN, с увеличением скорости она возрастает
и может превосходить величину µN.
В случае, если тело (шар,
цилиндр, колесо) катится по
поверхности, возникает сила
трения качения. Она всегда
значительно меньше силы трения скольжения при тех же
условиях. Например, при качении стальных колеспо стальным рельсам трение примерно в 100 раз меньше, чем
трение скольжения. Трение качения обусловлено
деформациями катящегося тела и участка поверхности в области соприкосновения (рис. 3.11). В результате
деформаций область касания из точки превращается
в площадку ab конечного размера, нескольковдавленнуюв поверхность, по которой катится тело. Основная часть нагрузки приходится на переднюю (по отношению к направлению движения) часть площадки
ab. Это означает, что точка приложения силы реакции
опоры R смещается в направлении движения, а сама
реакция опоры приобретает горизонтальную составляющую, котораяи является силой трения качения (Fтрна
рис. 3.11).
Вместо силы трения качения иногда вводят в рассмотрение тормозящий момент силы нормальной реакции опоры (N на рис. 3.11). Этот момент отличен от нуля
из-за смещения точки приложения силы нормальной
реакции. Нетрудно убедиться, что вычисления работы
силы трения качения и работы момента силы N дают
одинаковый результат. Две возможные интерпретации
тормозящего действия при качении эквивалентны благодаря тому, что, как видно из рис. 3.11, в рассмотренной модели сила трения качения пропорциональна
F
тр
R
N
a
b
Рис. 3.11
v
117
силе нормальной реакции опоры N . Данное свойство,
выраженное формулой (3.54), является, таким образом,
общим для трения качения и трения скольжения.
Для колеса транспортного средства помимо описанного выше деформационного механизма торможения
необходимо также учитывать вклад трения в осях. Иногда этот вклад включаютнепосредственно всилу трения
качения, иногда суммарную силу трения называют си-
лой сопротивления движению колеса.
Отметим, что втеоретической механике сила трения
рассматривается как касательная составляющая силы
реакции опоры (реакции связи). Полной силой реакции
R при этом называют векторную сумму силы нормальной реакции N и силы трения, как показано на рис. 3.11.
Силы аэро- и гидродинамического сопротивления
среды оказывают тормозящее действие при движении
тела соответственно в газовой и жидкой средах. Как и
все диссипативные силы они направлены против скорости движения тела, следовательно, совершают отрицательную работу.
При малых скоростях сила сопротивления пропорциональна скорости тела
Fтр= −α v. (3.55)
Эта сила называется силой вязкого трения. Ее действие обусловлено поверхностным трением тела и среды ---- молекулы среды при столкновении с поверхностью приобретают дополнительный импульс в направлении движения тела (в среднем по большому количеству столкновений), а тело в соответствии с законом
сохранения импульсаполучает импульс отдачи, направленный противскорости. Коэффициент вязкого трения
α пропорционален вязкости среды и зависит от разме-
ров и формы движущихся тел. При одинаковых размерах вязкое трение будет меньше у тел обтекаемой
формы.
При больших скоростях основной вклад в торможение тела в среде дает сила гидравлического сопротивле-
ния, пропорциональная квадрату скорости
118
Fс= −β v2. (3.56)
Г л а в а III
Классификация сил
Эта сила обусловлена разностью динамических дав-
лений (pд= ρv2/2, ρ ---- плотность среды, см. главу 7,
параграф 7.7) на переднем и заднем фронтах движущегося тела. Коэффициент гидравлического сопротивления β пропорционален плотности среды, при заданной
плотности он зависит также от размера и формы тела.
Приравняв (3.55) и (3.56), найдем скорость
α
v0=
при которой вклады вязкого трения и гидравлического сопротивления в полное сопротивление среды будут
равны. При обычных значениях α и β скорость v0оказывается довольно большой. Для скоростей v v0можно пренебречь гидравлическим сопротивлением и рассматривать полное сопротивление среды как вязкое
трение (3.55), при v v0наоборот ---- преобладающим
механизмом торможения будет гидравлическое сопротивление (3.56), при v ∼ v0необходимо учитывать оба
вклада.
Наряду с консервативными силами, которые производят работу, но при этом не изменяют полную механическую энергию, и диссипативными силами, которые,
совершая отрицательную работу, переводят механическую энергию в другие формы (в конечном итоге ---в энергию теплового движения), выделяют гироскопи-
ческие силы, которые вообще не производят работы.
Гироскопические силы всегда направлены перпендикулярно скорости тела, и поэтому развиваемая ими мощность N = Fv равна нулю. К гироскопическимотносятся
силы, действующие на частицы твердого тела при равномерном вращении вокруг оси, а при неравномерном
вращении ---- составляющие этих сил в направлении к
оси, кориолисова сила инерции (2.15). Еще одним примером гироскопической силы является магнитная сила
Лоренца, действующая на точечную частицу с зарядом
q, которая движется со скоростью v в поле с магнитной
индукцией B:
Fm= q[v B].
,
β
119
3.7. Динамические величины в системе отсчета
центра масс
Понятие центра масс механической системы было
введено в параграфе 2.8. По определению (2.22) положение центра масс системы из N частиц задается
радиус-вектором
(mi---- массы частиц, ri---- их радиус-векторы, mΣ---- суммарная масса системы). Отсюда непосредственно следует связь (2.23) между скоростью движения центра
масс vc=˙rcи суммарным импульсом системы
0
0
O
r
i
i
0
(Ц-системе) vc= 0 и, соответственно,
i
суммарный импульс механической системы равен нулю. Из этого свойства
O
Рис. 3.12
суммарного импульса вытекают два
важных следствия для момента импульса и кинетической энергиив Ц-системе.
Момент импульса материальной точки зависит от
выбора начала отсчета. Для i---й частицы системы моменты импульса Liотносительно точки O и L
тельно точки O0(см. рис. 3.12) соответственно равны
Li= [ripi], L
Если точка O0неподвижна относительно точки O
(r0---- постоянный вектор), то импульс частицы piв этих
равенствах будет одинаковым. Учитывая, что ri= r
получим
Li= [(r
Сложение по i для всех частиц системы даст
N
X
i=1
или
120
N
X
rc=
i=1
mir
p =
i
X
.
N
i=1
mΣ,
m
˙
ri= mΣvc.
i
В системе отсчета центра масс
0
0
= [r
pi].
i
i
0
+ r0) pi] = L
i
N
X
Li=
i=1
0
+ [r0pi].
i
N
X
i=1
i
p
i
0
L
+hr
0
i
L = L0+ [r0p],
Г л а в а III
0
относи-
i
0
+ r0,
i
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]