Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Гироскопы
векторов момента импульса L и угловой скорости ωωω
не совпадают. На рисунке 6.15,б показано, каким образом соотносятся направления векторов L, ωωω и ωωω0(поперечные составляющие векторов, как и на рис. 6.15,а,
для наглядности увеличены по сравнению с реальной
ситуацией). Ротор гироскопа является телом вращения
(симметричный гироскоп), поэтому его момент инерции относительно любой оси, перпендикулярной оси
собственного вращения, имеет одно и то же значение
(обозначим его J1). Момент инерции относительно геометрической оси обозначим J0. Продольная и поперечная составляющие момента импульса соответственно
равны
Lk= J0ωk, L⊥= J1ω⊥, (6.44)
а так как J0, J1, направления векторов L и ωωω отлича-
ются. Наличие поперечной составляющей момента импульса означает, что ориентация векторов L и ωωω0также
не совпадает. Однако симметрия гироскопа приводит
к тому, что поперечные составляющие L, ωωω направлены
одинаково: L⊥= J1ωωω⊥(момент инерции J1одинаков для
любой оси, перпендикулярной оси собственного вращения). Иными словами, тройка векторов L, ωωω и ωωω
всегда находится в одной плоскости, как показано
на рис. 6.15,б.
В соответствии с динамическим уравнением˙L = M
момент импульса свободного гироскопа сохраняется
(поскольку Me= 0):
L = J0ωωωk+ J1ωωω⊥= const. (6.45)
Сохраняется также кинетическая энергия гироскопа
2
Eвр= (J0ω
Возведем (6.45) в квадрат, имея в виду, что ωωωkωωω⊥= 0:
2
L2= J
ω
0
и рассмотрим полученное уравнение совместно с (6.46)
как систему двух линейных уравнений относительно
неизвестных ω
решение, то есть продольная и поперечная составля-
2
2
и ω
. Эта система имеет единственное
⊥
k
ющие угловой скорости однозначно определяются через моменты инерции J0и J1(постоянные величины),
а также через Eври L
2
. С учетом сохранения враща- 231
+ J1ω
k
2
+ J
k
2
)/2 = const. (6.46)
⊥
2
2
ω
= const
⊥
1
0
e
Г л а в а VI
тельной энергии и момента импульса величины ωkи ω
будут постоянными, следовательно, постоянным будет
модуль полной угловой скорости ω.
Неизменность модулей продольной и поперечной
составляющих угловой скорости (6.43) приводит также
к тому, что, во-первых, постоянными будут составляющие вектора момента импульса (6.44), во-вторых, как
следует из рис. 6.15,б, при фиксированных величинах
составляющих векторов L и ωωω постоянным будет угол
между этими векторами, а также углы между каждым
из них и геометрической осью гироскопа (вектором ωωω0).
z
θ
O (C)
0
00
O
z
ωωω
ωωω
L
ωωω
Ω
а
O (C)
Рис. 6.16
Ω
0
00
O
z
ωωω
θ
б
Исходя из приведенных соображений, а также того, что направление вектора момента импульса будет
фиксированным (˙L = 0), движение свободного гироско-
па можно описать следующим образом (рис. 6.16,а).
Плоскость, в которой лежат геометрическая ось ротора (ось Oz00в направлении вектора ωωω0), мгновенная ось
вращения (OO0---- линия вектора ωωω) и вектор момента
импульса, вращается вокруг вектора L с постоянной
угловой скоростью Ω (скорость прецесии), при этом
оси OO0и Oz00описывают в пространстве конусы вокруг вектора L. Ротор (скрепленная система отсчета)
с учетом собственного вращения в каждый момент времени поворачивается вокруг мгновенной оси с угловой
скоростью ωωω. В скрепленной системе отсчета векторы
L и ωωω, оставаясь постоянными по величине, равно-
мерно вращаются по коническим поверхностям вокруг
геометрической оси гироскопа с угловой скоростью,
равной по величине ωωω0, но направленной в противоположную сторону. Такое движение называют свободной
регулярной прецессией гироскопа.
232
⊥
z
L
Гироскопы
Из законов сохранения энергии и момента импульса,
а также из линейной связи вектора ωωω0с векторами L и ωωω
следует, что величина угловой скорости собственного вращения ω0должна оставаться постоянной. Непосредственно убедиться в этом можно, совместив ось Oz
лабораторной системыотсчета не с осью внешнейрамы
гироскопа (как на рис. 6.15,а, 6.16,а), а с неизменным во
времени направлением момента импульса (рис. 6.16,б).
В отличие от ориентации системы отсчета, соответ-
ствующей рис. 6.16,а, в этом случае угол нутации θ (угол
между векторами L и ωωω0), как следует из предшествующих рассуждений, будет постоянным (˙θ = 0 ---- регуляр-
ная прецессия), вектор Ω становится равным˙ϕϕϕ, и равенства (6.42), (6.43) принимают вид
ωωω =˙ψψ +˙ϕϕϕ = ωωω0+ Ω,
ωk= ω0+ Ω cos θ, ω⊥= Ω sin θ.
(6.47)
В соответствии с этим квадрат модуля угловой ско-
рости равен
2
2
ω2= ω
k
+ ω
2
= ω
+ Ω2+ 2ω0Ω cos θ,
⊥
0
откуда с учетом того, что ωk, ω⊥, Ω, θ постоянны, и следует неизменность величины ω0.
Количественное описание движения свободного гироскопа можно также провести с помощью динамических уравнений Эйлера (6.40). При этом выяснится также связь между угловыми скоростями ω, ω0, Ω
и моментом импульса.
Напомним, что уравнения (6.40) справедливы для
скрепленной системы отсчета, поэтому составляющие
угловой скорости и главные моменты инерции в них
00
снабжены индексами с двумя штрихами: ω
00
00
J
, J
x
00
ω
и ω
x
сти: ω
00
и J
y
. В нашем случае J
z
00
---- поперечные составляющие угловой скоро-
y
2
2
+ ω
00
x
2
= ω
, момент сил равен нулю. Уравнения,
00
⊥
y
00
00
= J
= J1, J
x
y
00
z
, ω
x
= J0, ω
00
, ω
y
z
00
= ωk,
z
таким образом, принимают вид
˙
J
ω
1
˙
J
ω
1
˙
J
ωk= 0.
0
00
+ (J0− J1)ω
x
00
− (J0− J1)ω
y
00
ωk= 0,
y
00
ωk= 0,
x
(6.48)
00
,
233
Из третьего уравнения сразу получаем˙ωk= 0,
ωk= const. Домножим первое уравнение на ω
рое ---- на ω
венств даст
00
. Сложение полученных в результате ра-
y
2
J1(ω
d(ω
J
00
00
˙
ω
x
00
˙
+ ω
x
ω
y
1
00
) =
y
2
dω
J
1
=
2
dt
00
x
2
⊥
+ω
dt
= J1ω
2
)
00
y
⊥
=
˙
ω⊥= 0,
откуда˙ω⊥= 0, ω⊥= const. Таким образом, как и ранее
получаем неизменность продольной и поперечной проекций угловой скорости, модуля ωωω, а также составляю-
щих момента импульса (6.44), которые при выборе направления оси Oz лабораторной системы отсчета вдоль
вектора L, как на рис. 6.16,б, можно также представить
в виде
Lk= J0ωk= L cos θ, L⊥= J1ω⊥= L sin θ. (6.49)
Сохранение величины и направления момента импульса вытекает непосредственно из уравнения моментов, а сохранение продольной и поперечной составляющих L в соответствии с (6.49) означает неизменность
угла нутации: tg θ= L⊥/Lk.
Выразим из первого уравнения (6.48) ω
J
00
ω
= −
y
1
(J0− J1)ω
˙
ω
x
k
00
y
00
и подставимво второе. В результатеполучим уравнение
00
для ω
где
Аналогично, исключая ω
:
x
00
¨
ω
x
˜
ω = ±
00
¨
ω
y
+˜ω2ω
+˜ω2ω
00
= 0, (6.50)
x
(J0− J1)
00
, придем к уравнению
x
ωk. (6.51)
J
1
00
= 0. (6.52)
y
Решениями уравнений типа (6.50), (6.52) в частности являются функции cos˜ωt и sin˜ωt. Действительно,
дифференцирование этих функций по времени дает
234
d cos˜ωt
dt
d sin˜ωt
dt
= −˜ω sin˜ωt,
=˜ω cos˜ωt,
d2cos˜ωt
2
dt
d2sin˜ωt
2
dt
= −˜ω2cos˜ωt,
= −˜ω2sin˜ωt,
Г л а в а VI
x
:
00
, вто-
Гироскопы
y
00
x
00
N
ωωω
⊥
ω
y
00
ω
x
00
ψ
α
O
откуда видно, что при двукратном дифференцировании
обе функции переходят сами в себя с множителем −˜ω2,
то есть рассматриваемые уравнения удовлетворены1.
Поперечные составляющие угло-
вой скорости можно выразить в ви-
00
де ω
= ω⊥cos α и ω
x
(рис. 6.17). Вектор ωωω⊥всегда перпендикулярен линии узлов ON, так
как лежит в одной плоскости с векторами ωωω0, ωωω и L, а ось ON направ-
лена по нормали к этой плоскости.
Отсюда в соответствии с рис. 6.17
следует α + ψ = π/2,˙α = −˙ψ. Если
угловая скорость собственного вращения составляет с осями Ox00и Oy
правовинтовую систему (как на рис. 6.15, 6.16), то координатные оси на рис. 6.17 вращаются относительно
ON против часовой стрелки с угловой скоростью˙ψ= ω0.
Это дает˙α = −ω0, α = −ω0t+ α0---- в скрепленной системе
отсчета вектор ωωω⊥и линия узлов ON, а с ними векторы ωωω и L вращаются в направлении, противоположном
собственному вращению, с той же по величине угловой скоростью ω0. К такому выводу мы уже приходили
выше, но теперь, подставляя α(t) в выражения для поперечных составляющих угловой скорости:
00
ω
= ω⊥cos(−ω0t + α0) = ω⊥cos(ω0t − α0),
x
00
ω
= ω⊥sin(−ω0t + α0) = −ω⊥sin(ω0t − α0),
y
мы можем видеть, что функции ω
ряют уравнениям (6.50), (6.52) при ω0=˜ω, то есть величина угловой скорости собственного вращения связана
с продольной составляющей полной угловой скорости
равенством (6.51):
1
Уравнение вида (6.50), (6.52) (см. также (3.53)) называется уравнением гармонических колебаний.Его решением является такжелинейная комбинация двух указанных частных решений: a cos˜ωt + b sin˜ωt =
= p cos(˜ωt + α0) = q sin(˜ωt + β0) (a, b, p и q ---- постоянные с размерностью
искомой функции, α0и β0---- постоянные сразмерностью угла). Данное
решение в каждом из представлений содержит по две неизвестные
постоянные (постоянные интегрирования), подлежащие определению из начальных условий, что соответствует порядку уравнения.
Поэтому такое решение является общим. 235
ω0=
00
= ω⊥sin α
y
(J0− J1)
J
1
00
Рис. 6.17
(6.53)
00
x
и ω
00
удовлетво-
y
ωk. (6.54)
Отсюда мы вновь видим,что величина ω0постоянна,
причем ее значение однозначно определяется составляющей ωkполной угловой скорости и главными центральными моментами инерции гироскопа. Наконец,
из равенств (6.47) и постоянства величин ωk, ω⊥, θ, ω
следует неизменность угловой скорости прецессии Ω.
Движение системы с тремя степенями свободы, как
нам известно, полностью определено, если заданы три
независимые сохраняющиеся скалярные величины.
В качестве двух таких величин можно выбрать, например, модуль угловой скорости собственного вращения
ω0и угол нутации θ. Третьей величиной пусть будет начальное значение угла собственного вращения ψ0или
α0= π/2−ψ0, однако, как видно из (6.53), задание этой ве-
личины эквивалентно выбору начала отсчета времени,
который осуществляется произвольно (однородность
времени). В частности, за счет выбора начала отсчета t в (6.53) можно положить α0= 0. Все постоянные
величины: ω, ωk, ω⊥, Ω, L, Lk, L⊥, Eвр, таким образом,
однозначно определятся через ω0и θ, а также главные моменты инерции. Соответствующие выражения
нетрудно получить из (6.54)с учетом(6.46), (6.47)и (6.49).
Пару независимых параметров можно выбрать из вышеперечисленных сохраняющихсявеличин произвольно, например, выразить все величины через L и Eврили
через ωkи θ.
Рассмотрим частный случай, при котором вращение
гироскопа происходит только вокруг его геометрической оси. Этого можно добиться, раскрутив гироскоп
при закрепленных рамах, а затем освободив их. Векторы L и ωωω в данном случае будут совпадать по направле-
нию, то есть геометрическая ось будет сохранять свою
ориентацию в пространстве.
Однако не следует забывать о том, что это справед-
ливо лишь для инерциальной системы отсчета, а лабораторная система, связанная с Землей, строго говоря
не является инерциальной. В результате вращения Земли ось гироскопа с течением времени будет медленно
поворачиваться относительно лаборатории, что приведет к возникновению прецессии. Именно этот эффект
был использован Фуко в известном опыте 1852 г., упоминавшемся в начале данного параграфа.
236
Г л а в а VI
0
Гироскопы
L
ωωω
ωωω
З
C
M
K
m
i
v
i
r
i
F
Ki
m
i
0
v
i
0
r
i
0
F
Ki
0
S
N
Отметим, что в рассмотренном выше общем случае,
когда векторы L и ωωω не параллельны, также проявит-
ся неинерциальность лабораторной системы отсчета,
а именно ---- прецессия гироскопа не будет строго регулярной (даже в идеализированной модели ---- при отсутствии трения), то есть направление момента импульса
относительно лаборатории будет медленно меняться,
что приведет к незначительным изменениям величин,
которые до сих пор мы считали постоянными.
Динамическое объяснение
изменяющейся во времениориентации момента импульса гироскопа в лабораторной системе отсчета заключается в учете действия сил инерции, основной вклад в которое дают
силы Кориолиса (2.15). Пусть
в некоторый момент времени
гироскоп вращается вокруг своей геометрической оси.
Векторы L и ωωω при этом параллельны (рис. 6.18). По-
скольку ротор симметричного гироскопа является телом вращения, для каждой частицы массы miсуществует симметричная ей относительно геометрической
оси частица той же массы m
0
. Рассмотрим пару таких
i
частиц, находящихся в данный момент времени в плоскости, образованной векторами ωωω (L) и ωωωЗ---- угловой
скоростью вращения Земли вокруг собственной оси.
Линейные скорости этих частиц в геометрии, представленной на рис. 6.18, равны по величине и направлены
перпендикулярно плоскости рисунка соответственно
vi---- от читателя, v
0
---- в сторону читателя. Кориолисовы
i
силы инерции, действующие на указанные частицы в
лабораторной системе отсчета, вращающейся вместе с
Землей с угловой скоростью ωωωЗ, согласно (2.15) равны
FKi= −2mi[ωωωЗvi] и F
0
Ki
Их направление показано на рисунке. Эти силы
по отношению к направлению вектора ωωω имеют ком-
пенсирующие друг друга поперечные составляющие
и продольные составляющие, направленные в противоположные стороны. Нетрудно убедиться, что для всех
частиц ротора, которые расположены на круговой тра- 237
= −2m
Рис. 6.18
0
[ωωωЗv
i
0
].
i
Г л а в а VI
ектории, показанной на рис. 6.18 пунктиром, продольные составляющие кориолисовых сил справа и слева
от линии вектора ωωω направлены так же, как состав-
ляющие FKiи F
риолисовых сил создают относительно центра масс C
вращающий момент
направление которого, как видно из рис. 6.18, таково,
что, во-первых, он стремится повернуть ось гироскопа
к оси вращения Земли (S N), причем так, чтобы угол между ωωω и ωωωЗбыл острым (то есть, чтобы ротор вращался
в ту же сторону, что и Земля), во-вторых, согласно уравнению моментов за время dt действие MKбудет давать
приращение момента импульса dL = MKdt, параллельное моменту сил, то есть направленное по нормали
к плоскости векторов L и ωωωЗ, что приведет к прецессии момента импульса вокруг оси, параллельной оси
вращения Земли. Прецессия, в свою очередь, приведет
к появлению дополнительных скоростей частиц ротора
и связанных с ними дополнительных кориолисовых сил,
результирующий момент которых будет направлен так
же, как MK, то есть описанный гироскопический эффект будет усиливаться.
Если свободный гироскоп при отсутствии сил трения (в реальности ---- при компенсации трения работой двигателя, поддерживающей собственное вращение ротора) длительное время предоставлен сам себе,
то в процессе его движения угол между вектором момента импульса и ωωωЗбудет постепенно сокращаться.
В конце концов вектор L и геометрическая ось гироскопа примут ориентацию вдоль прямой, параллельной
земной оси, причем данная ориентация вращающегося
гироскопа будет устойчивой.
На этом свойстве свободного уравновешенного гироскопа основано его наиболее значимое практическое
применение в качестве навигационного прибора. Вращающийся гироскоп с геометрической осью, изначально ориентированной вдоль оси вращения Земли, будет
сохранять свою ориентацию и указывать направление
земного меридиана (гирокомпас). Навигационный ги-
роскоп может также выполнять рассмотренную выше238
0
. В сумме по всему объему пары ко-
Ki
MK=X[riFKi],
Гироскопы
mg
N
F
тр
M
тр
O
C
L
ωωω
0
Ω
θ
функцию стабилизатора курса движущегося объекта.
Действительно, вместо большогогироскопа, сопоставимого по массе с массой самого объекта (силовая стабилизация), можно использовать миниатюрный прибор
в сочетании с вспомогательными двигателями (двигатели разгрузки), автоматически корректирующими заданный курс по сигналам, поступающим с датчиков
гироскопа, реагирующих на изменение состояния его
прецессии (индикаторная стабилизация).
В начале данного параграфа мы кратко рассмотрели движение симметричного гироскопа под действием
внешних сил (см. рис. 6.13). Вернемся к этой задаче
и рассмотрим ее более подробно.
Ранее мы считали точку опоры волчка O неподвижной. Это
будет иметь место, если конец
опорной ножки поместить
в небольшое гладкое углубление на плоскости. Если же волчок расположен на идеально
гладкой плоскости, то при сферическом движении неподвижным будет центр масс C, поскольку внешние силы: сила тяжести mg и сила реакции опоры N, действующие на волчок, скомпенсированы (см.
рис. 6.19). Момент указанной пары сил направлен горизонтально за плоскость рисунка. Он вызовет прецессию момента импульса L вокруг вертикальной оси
(dL = M dt). Точка опоры O при этом будет скользить
по плоскости, описывая окружность с центром на перпендикуляре, опущенном из точки C.
Прецессию, обусловленную действиемвнешних сил,
в отличие от прецессии свободного гироскопа, называют вынужденной. Под гироскопическим эффектом в узком смысле часто подразумевают именно вынужденную прецессию, проявление которой кажется на первый взгляд неожиданным: вместо того, чтобы падать,
поворачиваясь вокруг горизонтальной оси, проходящей
через точкуO по линии вектора момента сил (как вел бы
себя волчок без вращения) быстровращающееся тело
поворачивается вокруг вертикальной оси.
Рис. 6.19
239
Угловая скорость прецессии Ω может быть определена следующим образом. Производная момента импульса представляет собой линейную скорость движения конца вектора L при его вращении с угловой скоростью Ω, поэтому˙L = [Ω L]. С другой стороны, в со-
ответствии с уравнением моментов˙L = M = [r0N], где
r0---- радиус-вектор, проведенный из центра масс в точ-
ку O ---- точку приложения силы реакции опоры. Отсюда получаем [Ω L] = [r0N]. Введем единичный вектор e,
направленный вдоль вектора момента импульса, тогда
L = Le и, если приближенно считать момент импульса
направленным вдоль оси симметрии волчка, r0= −r0e.
С учетом этого [LΩ e] = −[e r0N]= [r0N e], откуда
r
0
Ω =
L
Угловая скорость вынужденной прецессии, таким
образом, прямо пропорциональна расстоянию от центра масс до точки опоры, внешней силе, создающей
момент относительно центра масс, в данном случае силе реакции, численно равной весу волчка, и обрат-
но пропорциональна моменту импульса. Последнее обстоятельство особенно существенно для применения
приближения, в котором при определении L пренебрегают прецессией, то есть считают момент импульса
направленным вдоль геометрической оси волчка. Действительно, с увеличением угловой скорости собственного вращения ω0растет момент импульса и уменьшается скорость прецессии, что делает рассматриваемое приближение более точным. В гироскопах, используемых в технике и лабораторных демонстрациях, Ω
на несколько порядков меньше ω0. Заметим также, что
в соответствии с (6.55) Ω не зависит от угла нутации
θ, поэтому условие малости угла отклонения оси волчка от вертикали, примененное в начале параграфа для
обоснования приближения L = J0ωωω0≈Lп, при более детальном рассмотрении оказывается несущественным.
Точка опоры волчка скользит по плоскости в направлении, совпадающем с направлением собственного
вращения, точнее, проекции векторов Ω и ωωω0на вертикальную ось, как видно из (6.55) и рис. 6.19, имеют
240
N = −
mr
0
g . (6.55)
L
Г л а в а VI
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]