Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Кинематика течения
Приведем пример. Пустьв равномерно движущемся
вагоне поезда находится воздушный шарик, наполненный легким газом. Сила Архимеда будет превышать
силу тяжести, поэтому шарик, закрепленный на нити,
поднимется вверх,а нить примет вертикальноеположение. Если поезд начнет ускоряться или тормозить, возникнет сила инерции Fин= −ma, направленная против
ускорения a (рис. 7.3). Вместе с ней появится горизонтальная составляющая силы Архимеда, действующая
в направлении ускорения: F
вытесненного воздуха. Для тяжелых тел m > mв, поэтому они сместятся в направлении силы инерции, а для
шарика m < mв, следовательно, он отклонится в противоположном направлении. С динамической точки зрения данный эффект объясняется возникновением под
действием сил инерции горизонтального перепада давления воздуха ---- давление будет возрастать в направлении, противоположном ускорению, разность давлений
с двух сторон шарика приведет к его смещению в направлении ускорения.
= mвa, где mв---- масса
A гор
7.2. Кинематика течения
Для описания движения можно выделить малую частицу жидкости, задать положение этой частицы радиус-вектором ri, который при движении будет функцией
времени: ri= ri(t), ввести понятие скорости частицы:
vi=˙ri, ее траектории и так далее. Определив таким
образом кинематические характеристики движения
множества частиц, получим представление о движении среды и ее отдельных частей. Данный способ
описания движения жидкостей и газов использовался
Лагранжем (метод Лагранжа). В настоящее время он
представляет только исторический интерес и на практике не используется.
Общепринятым в кинематике течения является
другой метод (метод Эйлера), в котором под r понимается радиус-вектор фиксированной точки системы
отсчета, а под скоростью v ---- скорость частицы сре-
ды, проходящей в данный момент времени через данную точку (скорость течения). Скорость, таким об-
разом, оказывается функцией координат и времени:
v = v(r, t), которые являются независимыми перемен- 251
ными. Зафиксировав время, мы получим мгновенное
v
v
v
распределение скоростей в объеме среды, зафиксировав r ---- зависимость скорости течения в данной точке
пространства от времени.
С математической точки зрения векторнаяфункция
v = v(r, t) определяет зависящее от времени векторное
поле, аналогичноесиловому полю (сравните с (2.1))и на-
зываемое полемскоростей. Линии, касательныек которым в каждой точке совпадают по направлению со скоростью среды в этой точке в данный момент времени,
называются линиями тока (рис. 7.4). Они аналогичны
силовым линиям силового поля. Как будет показано
ниже, линии тока дают представление не только о направлениях скоростей в различных точках, но и о их
величинах, поскольку густота линий (количество линий
тока, пересекающих перпендикулярную им единичную
площадку) пропорциональна значению скорости в данной области пространства.
Если распределение скоростей
неизменно во времени (v = v(r),
∂v/∂t = 0), то течение называется
стационарным. При стационарном
течении линии тока соответствуют
траекториям частиц среды. Область
Рис. 7.4
некоторой площадки, называют трубкой тока (рис. 7.5).
Поскольку скорости вблизи поверхности трубки тока
направлены по касательной к ней, жидкость, находящаяся в трубке, не выходит за ее пределы.
При нестационарном течении картина линий и трубок тока постоянно меняется, траектория частицы уже
не совпадает с линией тока, на которой частица оказывается в данный момент времени, но жидкость, заключенная внутри изменяющейся во времени трубки тока,
все равно не пересекает ее границ.
Рассмотрим трубку тока, достаточно тонкую, чтобы скорость v в пределах ее сечения, ортогонального
линиям тока, можно было считать постоянной. За время dt через сечение S проходит жидкость из объема,
равного S vdt. Действительно, как видно из рис. 7.5, если построить тело с площадью основания S (цилиндр,
призму ---- в зависимости от формы сечения) и высотой
252
жидкости, ограниченную линиями
тока, проведенными через границы
Г л а в а VII
Кинематика течения
vdt
v
S
0
v
0
S
параллельной течению боковой поверхности v dt, то за
время dt заднее основание, двигаясь вместе с потоком,
пройдет расстояние vdt и совместится с начальным
положением переднего основания. За тот же промежуток времени через любое другое сечение S0пройдет
объем жидкости S0v0dt, (v0---- скорость в пределах
сечения S0). Для несжимаемой жидкости плотность
постоянна во всем ее объеме и не зависит от времени, поэтому масса жидкости, прошедшая через любое
сечение трубки тока в заданный промежуток времени
должна быть одинаковой. В противном случае масса,
заключенная междусечениями S и S0, будет изменяться, а это с учетом того, что жидкость не может пересекать боковыеповерхности трубки, означало бы изменение плотности. Из постоянства плотности и равенства
масс жидкости, проходящих через произвольные нормальные сечения S и S0в один и тот же промежуток
времени, следует равенство объемов: S vdt = S0v0dt или
S v = S0v0= const, (7.6)
то есть произведение пло-
щади нормального сечения
на скоростьжидкости вего
пределах постоянно вдоль
всей трубки тока.
Полученный результат называетсятеоремой о нераз-
рывности струи. Как можно заключить из проведенно-
го нами доказательства, онаявляется следствиемнесжимаемости жидкости и закона сохранения массы. В слу-
чае, если скорость нельзя считать постоянной по сечению трубки тока, ее следует разбить на бесконечно
тонкие трубки, для которых (7.6) примет вид vdS = const,
тогда для всей трубки получим
Z
vdS =Zv0dS0= const, (7.7)
Рис. 7.5
где интегрирование проводится по площади каждого
из сечений.
Высказанное нами ранее утверждение о том, что густота линий тока пропорциональна скорости течения
в данной области, следует непосредственно из теоремы
о неразрывности. Проведем через сечение S0произвольное количество N линий тока. Такое же количе-
ство линий, очевидно, будет проходить через сечение S 253
Г л а в а VII
(линии тока не пересекают боковые поверхности трубки). Густота линий N/S , таким образом, будет обратно
пропорциональна площади сечения, то есть, в соответствии с (7.6), прямо пропорциональна скорости. Нужно
лишь условиться, что в пределах сечения с постоянным
значением скорости линии должны быть распределены
равномерно.
Теорема о неразрывности с достаточно хорошей точностью справедливаи для газов, если в пределах объема
газа можно пренебречь различием давлений (плотностей), а также при условии, что изменения внешнего давления отсутствуют либо происходят достаточно
медленно и при этом скорость течения струи намного
меньше скорости звука. Последнее условие означает,
что в газе не распространяется волна деформации, либо, по крайней мере, длина этой волны значительно
больше размеровобласти среды, рассматриваемой в задаче.
7.3. Уравнение Бернулли
Если сечение вдоль трубки тока будет переменным,
то в соответствии с (7.6) должна изменяться и скорость
течения. Ускорение частицам жидкости могут сообщать
либо сила тяжести, либо внутреннее (вязкое) трение,
либо сила, обусловленная разностью давлений в смещенных относительно друг друга сечениях трубки. Выясним связь течения жидкости и давления в ней при
пренебрежимо малых силах вязкого трения. Модель
среды, в которой внутреннее трение не учитывается,
называется идеальной жидкостью.
Течение будемсчитать стационарным. Выделим тонкую трубку тока и рассмотрим объем, заключенный
между нормальными сечениями S1и S2(рис. 7.6).
За промежуток времени dt сечение S1сместится на расстояние dl1= v1dt и займет положение S
стится на dl2= v2dt в положение S
выбранной части жидкости отличается от предыдущего изъятием объема dV1= S1dl1и добавлением объема
dV2= S2dl2. Эти выделенные на рисунке объемы в со-
ответствии с теоремой о неразрывности будут равны
по величине: dV1= dV
≡dV .254
2
0
, сечениеS2сме-
1
0
. Новое состояние
2
Уравнение Бернулли
S
1
S
0
1
P
1
dl
1
h
1
dl
2
S
2
S
0
2
h
2
P
2
Трубка должна быть настолько тонкой, чтобы объемы dV1и dV2можно было считать материальными
точками, тогда в пределах каждого из этих объемов
давление P, а также координаты и скорости частиц
жидкости будут одинаковыми.
Давление в объеме dV1обозначим P1, скорость течения v1, высоту относительно некоторого начала отсчета
h1, для объема dV2соответственно P2, v2и h2. Механическая энергия жидкости в объеме dV1равна
dE1=
в объеме dV
dE2=
Первые слагаемые в данных
равенствах ---- кинетические
энергии движущихся объемов
dV1и dV2, вторые ---- их потен-
циальные энергии в поле тяжести (ρ ---- плотность жидкости,
ρdV ---- массы в объемах dV
и dV2). Состояние жидкости
между сечениямиS
как на место сместившейся вдоль течения частицы приходит другая, имеющая в данной точке пространства
такую же скорость и такую же высоту. Следовательно, энергия всей выбранной части жидкости в момент
t + dt отличается от энергии в момент t добавлением dE
и вычитанием dE1:
dE =
Поскольку трения мы не учитываем, а работа силы
тяжести уже учтена в изменении потенциальной энергии, полученное приращение должно быть равно работе
сил, создаваемых давлением жидкости. При ее вычислении нужно учесть, что силы, действующие на боковые
поверхности трубки, работы не производят, поскольку
направлены перпендикулярно скорости течения, сила,
действующая на сечение S1, направлена вдоль тече-
ния, поэтому ее работа положительна, сила давления 255
ρdVv
2
2
ρdVv
2
2
1
+ ρdVgh1,
2
2
+ ρdVgh2.
1
0
и S2за время dt не изменяется,так
1
ρdVv
2
2
2
+ ρdVgh2−
2
ρdVv
1
− ρdVgh1. (7.8)
2
Рис. 7.6
2
Г л а в а VII
в сечении S2направлена против течения, ее работа отрицательна:
dA = P1S1dl1− P2S2dl2= (P1− P2)dV.
Приравнивая работу к приращению энергии (7.8)
и сокращая на dV, получим
2
ρv
2
+ ρgh2−
2
или
2
ρv
2
+ ρgh2+ P2=
2
В левуючасть полученного равенства входят величины, относящиеся к сечению S2, в правую ---- те же величины длясечения S1. Посколькусечения были выбраны
нами произвольно, из (7.9) следует, что для давления P,
высоты h и скорости течения v в произвольной точке
трубки тока существует соотношение
2
ρv
2
Рассматриваемую трубкутока мы считали бесконечно тонкой, поэтому скорости, высоты и давления в (7.9),
(7.10) имеют смысл величин, относящихся к произвольным точкам, лежащим на одной и той же линии тока.
Равенство (7.10) или его представление для двух произвольных точеклинии тока (7.9) называется уравнени-
ем Бернулли. Из вывода этого уравнения следует, что
оно справедливо для стационарного течения идеаль-
ной несжимаемой жидкости. Однако оно выполняется
с хорошей точностью и для реальных жидкостей при
небольших силах вязкого трения. Применение уравнения Бернулли к течению газов возможно при тех же
условиях, которые были указаны для закона Паскаля
и теоремы о неразрывности струи: перепады давления
в объеме малы по сравнению с его величиной, давление стационарно или медленно изменяется во времени,
скорость течения намного меньше скорости звука.
В покоящейся жидкости (7.9) и (7.10) принимают вид
ρgh2+ P2= ρgh1+ P1, ρgh + P = const.
Переписав первое из этих равенств в виде
P2= P1+ ρg(h1− h
2
ρv
1
− ρgh1= P1− P
2
2
ρv
1
+ ρgh1+ P1. (7.9)
2
2
+ ρgh + P = const. (7.10)
) (7.11)256
2
Уравнение Бернулли
и применив его к ситуации, представленной на рис. 7.2,
приходим к уравнению (7.3), которое, таким образом,
является частным случаем уравнения Бернулли для покоящейся жидкости.
Отметим, что в неподвижной жидкости линию тока
формально можно выбрать любой, тоесть соотношение
(7.11), как и (7.3), справедливо для давлений в любой
паре точек с заданными вертикальными координатами.
В случае, если скорость течения одинакова во всем
потоке (v1= v2= v), (7.9) вновь переходит в (7.11). Это
означает, что распределение давлений в равномерно те-
кущей жидкости такое же, как в покоящейся при тех
же внешних условиях.
К тому же выводу можно прийти непосредственно
из принципа относительности Галилея, выбрав систему
отсчета, которая движется вместе с потоком. В данной
системе отсчета жидкость будет неподвижна, распределение давлений будет таким же, как в покоящейся
среде, а в качестве линий тока можно выбрать произвольные прямые или кривые линии.
Уравнение Бернуллисправедливо для точек, находящихся на одной линии тока. Для различных линий тока
константа в правой части (7.10) будет, вообще говоря,
иметь разные значения.
Однако в случае, когда жидкость покоится или течет
равномерно, в силу произвольности выбора линии тока
(по крайней мере, в одной из инерциальных систем
отсчета) равенство (7.9) будет выполняться для любой
пары точек, а постоянная в (7.10) будет одинаковой для
всего объема.
Это позволяет выделить класс задач гидродинамики, в которых уравнение Бернулли применимо к точкам, лежащим на разных линиях тока. Пусть все линии
тока пересекают область, где жидкость покоится либо движется с постоянной скоростью. Тогда, двигаясь
мысленно вдоль некой линии тока и достигнув области
v = const, мы можем воспользоваться вышеупомянутым
произволом и:перескочить;на другуюлинию тока. Таким образом мы построим путь, соединяющий любую
пару интересующих нас точек, и на всем протяжении
этого пути уравнение Бернулли будет справедливо.
257
Величины P и ρv2/2 в уравнении Бернулли имеют
вполне определенные значения, которые, как мы покажем в следующем параграфе, допускают прямые измерения. Величина ρgh зависит от выбора начала отсчета
высоты, то есть определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Давление P называется статическим. Оно имеет смысл полного давления в
покоящейся области жидкости при заданных внешних
условиях на заданной высоте. При v , 0 в соответствии с (7.9) и (7.10) для тех же внешних условий и той
же высоты давление будет отличаться от статического.
Дополнительное давление ρv2/2, обусловленное тече-
нием, называется динамическим. Если за начало отсчета высоты принять свободную поверхность жидкости, на которой статическое давление равно внешнему,
то величина ρg|h| будет равна так называемому гидро-
статическому давлению, которое представляет собой
вклад в статическое давление, обусловленный весом
столба жидкости, расположенного выше рассматриваемой точки.
При заданных внешних условиях динамическое
и статическое давления взаимосвязаны: при увеличении скорости вдоль линии тока на фиксированной высоте динамическое давление возрастает, а статическое
снижается. Именно с перепадом статического давления
в струе и связано ускорение течения.
На принципе уменьшения давления с ростом скорости течения основано действие водоструйного насоса,
представленного схематически на рис. 7.7. Вода подается в трубу под давлением P1. Другой конец трубы выходит в атмосферу при давлении P0(атмосферное давление). В трубе имеется сужение, в котором скорость
струи значительно увеличивается, а давление падает.
Через разрывтрубы в области сужения струяконтактирует с окружающим воздухом, часть которого увлекает
за собой благодаря разности давлений. Если сужение
окружить камерой, то в ней постепенно установится
давление P < P0, близкое к давлению в узкой части
струи. Соединив камеру с закрытым сосудом, можно
откачать газ из его объема до давления P, в несколько
раз меньше атмосферного.
258
Г л а в а VII
Уравнение Бернулли
P
1
P
0
P
v
S
h
<
0
S
0
Применим уравнение Бернулли к задаче о вытека-
нии жидкости через отверстие в сосуде.
Рис. 7.7
Рис. 7.8
На рисунке 7.8 изображен широкий сосуд, заполненный жидкостью. В боковой стенке сосуда вблизи
дна имеется небольшое отверстие, в которое плотно
вставлена горизонтальная трубка. Площадь внутреннего сечения трубки S намного меньше площади горизонтального сечения сосуда S0. В этом случае поверхность жидкости в сосуде, оставаясь горизонтальной,
будет опускаться с малой скоростью v0. Внешнее давление на свободной поверхности жидкости и на выходе
из трубки одинаково и равно атмосферному давлению
P0. Во всех точках свободной поверхности, таким обра-
зом, одинаковое статическое давление P0, одинаковая
скорость течения v0и одинаковая высота h. Это означает, что константа в уравнении Бернулли (7.10) будет
одинаковой длявсех линий тока в пределахтрубки тока,
верхним сечением которой является свободная поверхность, нижним сечением ---- сечение трубки на выходе
(эта трубка тока схематически выделена на рис. 7.8
штриховыми линиями), а уравнение (7.9) будет иметь
место для любой пары точек внутри выделенной трубки
тока, необязательно лежащих на одной линии тока.
В соответствии с (7.9)
ρv
2
0
=
+ ρgh, (7.12)
2
2
2
ρv
где h ---- высота свободной поверхности над уровнем
отверстия (изменениями высоты в пределах отверстия
пренебрегаем). Теорема о неразрывности (7.6) дает
v
S
0
=
v
1
S
0
259
Г л а в а VII
v
v
1
и тем более v
2
ρv
/2, получаем для скорости вытекающей жидкости
0
Полученное выражение называется формулой Торричелли. В соответствии с этой формулой скорость истечения будет такой же, как скорость свободного падения с высоты h. Последнее является следствием того,
что работа сил внешнего давления равна нулю:
dA = P0(S0v0− S v)dt = 0, так как S0v0= S v,
а вязкое трение в уравнении Бернулли не учитывается. Полученный результат можно проверить экспериментально. Для этого нужно надеть на сливную трубку гибкий шланг и направить его подвижный конец
под небольшим углом к вертикали. Тогда вытекающая
струя поднимется практически до уровня воды в сосуде1. В реальном опыте высота подъема струи всегда
будет несколько ниже уровня свободной поверхности
в сосуде, что объясняется действием вязкого трения.
Рис. 7.9
больше, чем у противоположной стенки, особенно вблизи отверстия. Следовательно, у прилегающей стенки
скорость течения будет больше, а давление меньше, то
есть равнодействующаясил давления будет направлена
противоположно вытекающей струе.
Вычисление этой силы с помощью уравнения Бернулли довольно сложно, однако она может бытьнайдена
из более простых соображений. За время dt из отверстия вытекает объем жидкости dV = S vdt, он уносит
1
Если направить струю строго вертикально, то падающие после
подъема частицы жидкости будут тормозить поднимающиеся, в ре-
зультате чего высота подъема станет заметно меньше.260
2
v2. Пренебрегая в (7.12) слагаемым
0
v =p2gh. (7.13)
Согласно нашим рассуждениям вертикальная составляющая
скорости течения во всей трубке
тока будет пренебрежимо малой,
а горизонтальная составляющая
будет увеличиваться от 0 до v
по мере приближения к сливному отверстию. Это означает, что
густота линий тока у стенки, в которой находится отверстие, будет
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]