Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Движение тела в поле тяжести. Космические скорости
Движение в горизонтальном направлении является равномерным (сохранение поперечной по отношению к полю тяжести составляющей импульса), движение в вертикальном направлении ---- равноускоренным
с ускорением g, направленным вниз. Вектор скорости
в процессе движения все время находится в плоскости,
заданной вертикальной координатной осью и вектором
начальной скорости. В этой же плоскости находится
траектория тела.
Координаты x и y, отсчитываемые от начального положения, изменяются во времени по закону (2.11):
2
x = v0t cosα, y = −
Высшая точка траектории соответствует условию
vy= 0. Тело в этой точке оказывается в момент времени
v0sin α
t1=
Максимальная высота полета равна значению координаты y в момент t
h
max
1
= y(t1) =
При вертикальномдвижении (α = 90o) максимальная
высота подъема определяется формулой Галилея
h
=
max
gt
+ v0t sin α.
2
.
g
2
v
sin2α
v
2g
0
2
0
.
2g
. (5.5)
Если поверхность Земли в области движения тела
горизонтальна, то полное время полета t2(от старта до
падения на поверхность) в силу симметрии траектории
равно удвоенному времени достижения высшей точки
t2= 2t1=
2v0sin α
g
.
Тот же результат получается из условия y(t) = 0. Данное уравнение имеет два корня: t0= 0 (время старта) и
t2= 2v0sin α/g (время падения).
Дальность полета в горизонтальном направлении
определится из условия l = x(t2):
l =
2
2v
sin α cos α
0
g
2
v
sin 2α
0
=
.
g
161
Г л а в а V
Максимальная дальностьдля заданной величины на-
чальной скорости достигается приугле α,определяемом
из условия
∂l
∂α
Этому условию соответствует α = 45o, что дает для максимальной дальности полета
Уравнение траектории тела получается исключением переменной t из уравнений x = x(t) и y = y(t). В данном случае удобно выразить время через координату x:
и подставить в уравнение для координаты y:
y = x tg α −
2v
2
0
Найдем так называемую параболу безопасности ---границу области, в которой возможно поражение цели из орудия, выпускающего баллистический снаряд
с заданной начальной скоростью v0.
Как видно из рис. 5.1, эта кривая является огибающей траекторий снаряда при углах стрельбы α ≥ 45
(угол максимальной дальности). Найти уравнение параболы безопасности можно следующим образом.
Преобразуем уравнение траектории к виду
tg2α −
При фиксированных координатах точки это уравнение является квадратным по отношению к переменной
tg α. Его дискриминант
D =
Для D > 0 уравнение имеет два вещественных корня. Эти корни соответствуют двум способам поражения цели с заданными координатами при двух различных углах стрельбы (точки пересечения траекторий на
рис. 5.1).162
=
l
t =
2
gx
cos2α
2
2v
0
gx
4v
g2x
2
2v
0
max
tg α +
4
0
2
v0cos α
cos 2α
= 0.
g
2
v
0
=
. (5.6)
g
x
2
2v
gx
gx
2
0
2
2
y
0
+ 1 = 0.
2
y
− 4.
gx
(tg2α + 1).
2
2v
0
= x tg α −
8v
−
o
Движение тела в поле тяжести. Космические скорости
x
y
При D < 0 вещественных корней нет. Это означает, что точки с соответствующими координатами находятся вне зоны поражения. Парабола безопасности ---граница зоны поражения, таким образом, будет удовлетворять условию D = 0, откуда находим
2
v
0
y =
2g
Вершина параболы безопасности (x = 0, y = v
совпадает с максимальной высотой подъема (5.5) при
стрельбе вертикально вверх, точки пересечения с осью
x (y = 0, x = v
сти полета (5.6) при угле стрельбы α = 45o.
2
/g) соответствуют максимальной дально-
0
Рис. 5.1
Если учесть возможность поворота орудия вокруг
вертикальной оси, то парабола безопасности преобразуется в параболоид вращения ---- поверхность второго
порядка, получаемая вращением кривой (5.7) вокруг
оси y. Уравнение этой поверхности отличается от (5.7)
заменой x2→ r2= x2+z2:
2
v
0
y =
2g
−
Реальная поверхность безопасности (с учетом сопротивления воздуха) всегда будет находиться внутри
параболоида (5.8).
Первой космической скоростью для шарообразного тела радиуса R и массы M называется минимальная
скорость, которую нужно сообщить материальной точке, находящейся на поверхности тела, для выхода на
круговую орбиту вокруг него. Минимальный радиус
орбиты примем равным радиусу тела R, тогда первая
космическая скорость v1определится из динамического условия равенства центростремительного ускорения
и ускорения свободного падения (5.4):
2
v
1
=
R
gx
−
2v
g(x2+ z2)
2v
GM
= g .
2
R
2
. (5.7)
2
0
. (5.8)
2
0
2
/2g)
0
163
Г л а в а V
Это означает, что сила тяготения материальной точки mg равна произведению ее инертной массы m на
центростремительное ускорение. В соответствии с данным равенством
v1=pgR =
(без учета сопротивления атмосферы и скорости собственного вращения планеты). Для Земли v1составляет
примерно 7, 91 км/с.
С ростом радиуса орбиты R0> R скорость движения
спутника по круговой орбите в соответствиис (5.9) убывает. Это может привести к ошибочному заключению
о том, что для вывода спутника наболее высокуюорбиту
требуется меньшая скорость. На самом деле, для вывода тела на круговую орбиту, находящуюся на высоте
h над поверхностью планеты, необходима радиальная
составляющая скорости vr, определяемая из условияравенства радиальной части кинетической энергии и увеличения потенциальной энергии тела в поле тяготения
(работа против силы гравитации):
2
mv
r
= Eп(R + h) − Eп(R) =
2
= GMm
Касательная (по отношению к расчетной орбите) составляющая скорости vϕпри этом находится из (5.9)
при замене R → R0= R + h:
vϕ=
Полная начальная скорость v
будет равна
s
=
2GMh
R(R + h)
+
0
v
1
1
−
R
r
GM
R + h
r
1
R + h
GM
R + h
0
=qv
1
=
GM
s
R
!
GMmh
=
R(R + h)
.
2
2
+ v
, таким образом,
ϕ
r
GM
R
GMh
+
R(R + h)
(5.9)
.
,
что больше первой космической скорости
p
v1(R) =
GM/R.164
Движение тела в поле тяжести. Космические скорости
Для обеспечения надежной и устойчивой спутниковой связи (спутниковое телевидение, интернет, мобильная телефония)актуальной является задача вывода
спутника Земли на такую орбиту, двигаясь по которой
спутник всевремя находился бы над одной итой же точкой земной поверхности. Это возможно при равенстве
по величине и направлению угловой скорости движения спутника по орбите и угловой скорости вращения
Земли. Орбита спутника, обладающая указанным свойством, называется геостационарной.
Геостационарная орбита должна находиться в плоскости земного экватора, иначе угловые скорости спутника и Земли не будут совпадать по направлению. Радиус орбиты R0определяется из условия равенства центростремительного ускорения (an= v2/R0= ω2R0), где
ω ---- угловая скорость вращения Земли, и ускорения
2
GM/R
за 86 164 секунды, что соответствует угловой скорости
ω ≈ 7, 29 ·10−5рад/с. Это дает значение R0≈42 164 км, вы-
сота орбиты h = R0−R
диус Земли 6 378 км). Орбитальная (линейная) скорость
спутника на геостационарной орбите v0= ωR0составляет около 3, 07 км/с, что примерно в 2, 6 раза меньше
первой космической скорости. Практическое использование геостационарных спутников осуществляется
с 1963 года. Неподвижная антенна, ориентированная на
такой спутник, может обеспечивать стабильную связь
в течение длительного времени. После выработки ресурса спутник должен быть переведен на орбиту захо-
ронения, расположенную на 200---300 км выше геостационарной.
ным, называются геосинхронными. Для земного наблюдателя спутник, движущийсяпо геосинхронной орбите,
в отличие от геостационарного спутника,стоящего
в неподвижной точке небесной сферы, за сутки описы-
вает фигуру, похожую на восьмерку. Высота этой вось- 165
, сообщаемого полем тяготения
0
R0=
r
GM
3
. (5.10)
2
ω
Земля совершает полный оборот вокруг своей оси
≈35 786 км (экваториальный ра-
экв
Эллиптические орбиты, близкие к геостационар-
Г л а в а V
мерки растет с увеличением отличия орбиты от круговой, а ширина пропорциональна отклонению плоскости орбиты от плоскости экватора.
Диапазон орбит в плоскостях, близких к экваториальной, с высотами около 36 000 км называют поясом
Кларка в честь известного писателя-фантаста Артура
Кларка, опубликовавшего в 1945 году научно-популярную статью, в которой были описаны перспективы использования геостационарных спутников связи.
Рассмотрим одномерное радиальное движение тела
в поле тяготения ---- движение вдоль прямой, проходящей черезсиловой центр. Данная задача допускает простой и наглядный графический анализ, основанный на
законе сохранения энергии.
На рисунке 5.2 представлен график зависимости потенциальной энергии тела (материальной точки) в гравитационном поле шарообразной планеты радиуса R
(сплошная линия):
Eп(r) = −G
при r >R (M ---- масса планеты, m ---- масса материальной
точки) и Eп(r) → ∞ при r ≤ R (бесконечно высокий
потенциальный барьер при r = R). Полная механическая
энергия тела массы m при радиальном движении равна
m˙r
E =
Mm
r
2
+ Eп(r), (5.11)
2
причем первое слагаемое в правой части (кинетическая
энергия радиального движения) не может быть отрицательным, поэтому движение возможно только при
условии E ≥ Eп(r). Поскольку полная энергия при движении в потенциальном поле сохраняется, график ее
зависимости от r представляет собой горизонтальную
прямую (штриховые прямые на рис. 5.2), а значение
E определяется начальными условиями. Кинетическая
энергия m˙r2/2 = E − Eп(r) на графике равна длине отрезка вертикальной прямой, от точки пересечения с горизонтальной прямой E = const до точки пересечения
с кривой Eп(r) при E ≥ Eп(r) (отмечено на графике для
E = E1).
166
r
0
E, Eп(r)
R
E
1
R
1
E
2
m˙r2/2
Движение тела в поле тяжести. Космические скорости
Как видно из рисунка, при E < 0 график Eп(r) имеет
две точки пересечения с прямой E = const ---- на поверхности планеты (r = R) и в точке, где Eп(r) = E.
Движение тела возможно только между двумя этими
точками, так как за пределами данной области E < Eп(r).
Такое движение называется финитным (ограниченным в пространстве). Точка, в которой Eп(r) = E, то
есть Eк= 0, называется точкой остановки (точка r = R
при E = E1на рис. 5.2). Формально точкой остановки
можно считать и вторую точку пересечения (r = R),
если взаимодействие тела с поверхностью планеты будет абсолютно упругим, то есть тело на поверхности
изменит направление скорости на противоположное,
сохранив ее величину. В этом случае финитное движение между двумя точками остановки будет иметь
периодический характер.
Для положительной полной
энергии тела прямая E = const
не пересекает кривую Eп(r)
при r > R (прямая E = E
на рис. 5.2). Это означает, что
движение возможно при всех
значениях r, превышающих
радиус планеты (E > Eп(r) при
r > R). Движение в области
пространства, неограниченной по крайней мере с одной стороны, называют ин-
финитным. Тело, стартующее с поверхности планеты
вертикально вверх и имеющее полную энергию E > 0,
покинет пределы поля тяготения и удалится на бесконечность с кинетической энергией Eк= E. Напротив,
небольшое тело, приближающееся из бесконечно удаленной точки, при упругом столкновении с поверхностью планеты изменит направление скорости на противоположное и удалится, неся ту же энергию, которую
имело в начальном состоянии.
Наименьшим значением полной энергии тела при
инфинитном движении будет E = 0, что в соответствии
с (5.11) означает
2
mv
2
= −Eп(R) = G
2
2
Рис. 5.2
Mm
,
R
1
167
Г л а в а V
где v2---- минимальная стартовая скорость тела на поверхности планеты, необходимая для преодоления ее
гравитационного поля (дляудаления на бесконечность):
v2=p2GM/R . (5.12)
Данную скорость называют второй космической
скоростью. Для Земли она равна примерно 11, 19 км/с.
Если телу на поверхности планеты сообщить вторую
космическую скорость в радиальном направлении, то
оно покинет поле тяготения по прямолинейной траектории, если такую же начальную скорость тело получит
в горизонтальном направлении, то оно выйдет на параболическую орбиту, которая является промежуточной
между эллиптической (финитной) и гиперболической
(инфинитной), поэтому вторую космическую иногда
также называют параболической скоростью.
Между первой (5.9) и второй (5.12) космическими
скоростями существует простое соотношение, не зависящее от массы и радиуса планеты:
v2=√2 v1.
В выражениях для космических скоростей мы не
учитывали вращение Земли вокруг своей оси. На минимально необходимые величины скоростей v1и v2относительно центра Земли ее вращение не влияет, однако
оно заметно изменяет скорости, которые нужно сообщить телам относительно земной поверхности, чтобы
в сумме с линейной скоростью осевого вращения полные скорости относительно центра достигли величин
(5.9) или (5.12). Наиболее энергетически выгодным является старт с экватора в горизонтальном направлении
с запада на восток, так как в этом случае к скорости, сообщенной космическому аппарату его двигателем, прибавляется скорость вращения Земли, равная
на экваторе 0, 465 км/с (5, 9 % первой космической скорости). По этой причине космические стартовые площадки предпочтительно располагать как можно ближе
к экватору.
Первая и вторая космические скорости впервые были практически достигнуты в СССР. 4 октября 1957 г.
был запущен первый искусственный спутник Земли
(Спутник---1), 2 января 1959 г. состоялся успешный запуск космической станцииЛуна---1
, которая прошла168
Движение тела в поле тяжести. Космические скорости
на расстоянии 6 000 километров от поверхности Луны
и вышла на гелиоцентрическую орбиту, став первым
в мире искусственным спутником Солнца.
Третьей космической скоростью называют мини-
мальную скорость, необходимую телу для преодоления
гравитационного поля звездной системы из заданной
точки пространства, в частности ---- гравитационного
поля Солнца из точки, находящейся на земной орбите.
Найти третью космическую скорость для неподвижной
точки, удаленной от центра Солнца на расстояние, равное среднему радиусу орбиты Земли R
можно по формуле (5.12), используя в качестве M массу
Солнца (Mc≈1, 99·1030кг), а в качествеR ---- радиус орбиты
s
2GM
v03=
c
R
орб
≈ 42, 2 км/с .
При старте с земной поверхности в направлении орбитального движения часть этой скорости тело уже будет иметь за счет орбитальной скорости Земли
(v
≈ 29, 78 км/с), но при этом часть стартовой энергии
орб
должна быть затрачена на преодоление земного тяготения. С учетом этого третья космическая скорость относительно Земли в наиболее благоприятных условиях
(направление стартовой скорости совпадает с направлением орбитальной скорости) определяется из условия
2
mv
/2 −GMm/R = m(v03− v
3min
Это условие означает, что полная энергия космического аппарата в системе отсчета Земли (сумма кинетической энергии для стартовой скорости v
и потенциальной энергии на поверхности Земли) равна
его кинетической энергии после преодоления земной
гравитации, соответствующейотносительной скорости
движения v
отн
= v03− v
, достаточной для покрытия
орб
разности v03---- третьей космическойскорости для неподвижной (относительно Солнца) точки и орбитальной
скорости. Из данного условия найдем минимальную
третью космическую скорость для старта с поверхности Земли:
)2+ v
2
≈ 16, 7 км/с , (5.13)
2
где v2=
v
=q(v03−v
3min
√
2GM/R ---- вторая космическая скорость (5.12). 169
орб
≈1, 492·1011м,
орб
)2/2.
орб
3min
Г л а в а V
При старте в наименее благоприятных условиях
(стартовая скорость направлена против скорости орбитального движения) вычисление третьей космической скорости проводится аналогичным образом, но
в качестве относительной скорости после преодоления
земного тяготения нужно взять не разность, а сумму
скоростей v03и v
v
=q(v03+v
3max
Учет осевого вращения Земли немного уменьшает
расчетную величину v
не влияет на величину v
Минимальные космические скорости вычислялись
нами без учета сопротивлениявоздуха, тоесть впредположении, что космический аппарат перед сообщением
ему соответствующей скорости выводится за пределы
земной атмосферы.
Существует также понятие четвертой космической
скорости ---- минимально необходимой скорости для выхода тела из заданной точки за пределы галактики.
По имеющимся в настоящее время оценкам в окрестности Солнца четвертая космическая скорость составляет около 550 км/с. Однако данная оценка может оказаться неточной, поскольку основана на недостаточных
данных о распределении гравитационной массы в галактике, прежде всего массы так называемой темной
(не видимой нами) материи.
орб
:
2
орб
3min
)2+ v
3max
≈ 72, 8 км/с . (5.14)
2
(до ≈ 16, 6 км/с) и практически
.
5.3. Задача Кеплера
Иоганн Кеплер в начале XVII в. (1609---1618 гг.) на основе анализа астрономических наблюдений сформулировал три эмпирических закона, которым подчиняется
движение небесных тел (планет и комет вокруг Солнца, а также спутников планет). Эти законы получили
название законов Кеплера. Они гласят:
1. Планеты (кометы) Солнечной системы движутся
по орбитам, имеющим форму эллипса, в одном из
170
фокусов которого находится Солнце.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]