Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Постановка и решение динамической задачи
Согласно второму закону Ньютона динамические
уравнения движения для каждой степени свободы могут быть представленыодним дифференциальным уравнением второго порядка
m ¨x = F
или системой двух дифференциальных уравнений первого порядка
(
m ˙x = px,
где Fxи px---- проекции векторов действующей силы
и импульса на одну из координатных осей. Порядок
дифференциального уравнения равен количеству интегральных операций, необходимых для его решения
и, следовательно, количеству возникающих при этом
постоянных интегрирования. Таким образом, решение
основной задачи механики для системы с n степенями
свободы требует задания 2n начальных условий.
В теоретической механике доказывается, что при
задании полного набора начальных условий (по два на
каждую степень свободы) динамическая задача для системы любой сложности (с любым количеством степеней свободы) становится полностью определенной, то
есть ее решение существует и оно единственно.
Это означает, в частности, что если бы весь мир
подчинялся исключительно законам классической механики, то любое мгновенное механическое состояние
Вселенной (положения и скорости всех частиц и тел
в один момент времени) однозначно определяло бы чередование во времени всех последующих и всех предыдущих состояний. Такое свойство физического мира,
вытекающее из законов классической механики, называется детерминизмом Лапласа. Оно находится в явном
противоречии с нашим повседневным опытом, что уже
является достаточнымоснованием для вывода о том, что
не все явления окружающего мира могут быть объяснены на основе законов классической механики.
В рассмотренной нами задаче можно было ограничиться двумя степенями свободы и четырьмя начальными условиями. Дляэтого с самого началаследовало обратить внимание на то, что движение материальной точки
будет происходить в одной плоскости. Действительно, 51
x
˙px= Fx,
Г л а в а II
если рассмотреть вертикальную плоскость, в которой
находится начальная скорость тела, то сразу можно
сказать, что движение в направлении нормали к этой
плоскости будет невозможным, поскольку проекция
силы и, следовательно, ускорения на данное направление равна нулю, то есть нулевая составляющая скорости в этом направлении будет сохраняться.
2.6. Движение в неинерциальных системах отсчета.
Силы инерции
Пусть система отсчета K0произвольно движется от-
носительно инерциальной системы отсчета K. Связь
ускорений материальной точки в системе отсчета K (a)
и в системе отсчета K0(a0) определяется теоремой Кориолиса (1.52):
a = a0+ a0+ [ωωω [ωωω r0]] + [εεε r0] + 2[ωωω v0],
где r0и v0---- радиус-вектор и скорость точки в системе
отсчета K0, a0, ωωω и εεε ---- линейное ускорение, угловая
скорость и угловое ускорение системы отсчета K0в системе отсчета K. Поскольку K ---- инерциальная система
отсчета, в ней для материальной точки справедлив второй закон Ньютона (2.6)
ma = F,
где m ---- масса материальной точки, F ---- равнодействующая сил ее взаимодействия с другими телами. Подставим в это уравнение выражение для ускорения a из
теоремы Кориолиса и приведем полученное равенство
к виду
ma0= F − ma0+ [ωωω [ωωω r0]] + [εεε r0] + 2[ωωω v0].
В таком виде уравнение формально соответствует
уравнению второго закона Ньютона, если второе слагаемое в правой части рассматривать как некую дополнительную силу, действующую на материальную точку в
неинерциальной системе отсчета K
ma0= F + Fи. (2.12)
Эта дополнительная сила называется силой инерции:
Fи= −ma0+ [ωωω [ωωω r0]] + [εεε r0] + 2[ωωω v0]
0
. (2.13)52
Движение в неинерциальных системах отсчета. Силы инерции
В соответствии с (1.53) ее можно разделить на переносную силу инерции
F
= −ma0+ [ωωω [ωωω r0]] + [εεε r0]
пер
и кориолисову силу инерции
FK= −2m[ωωω v0]. (2.15)
Переносная сила инерции зависит от кинематиче-
ских характеристик движения системы отсчета K0в системе отсчета K (a0, ωωω , εεε), атакже отположения рассмат-
риваемой точки в K0(r0). Она действует одинаково на
покоящуюся идвижущуюся в системе K0материальную
точку.
Кориолисова сила инерции возникает только в случае, если рассматриваемая точка движется в системе
отсчета K0(v0, 0), причем скорость ее движения не
параллельна мгновенной оси вращения системы отсчета ([ωωω v0] , 0). Например, в системе отсчета, связанной
с неподвижной точкой на поверхности Земли, сила Кориолиса действует на движущиеся тела в случае, если
скорость движения не направлена вдоль оси вращения
Земли.
Составляющая переносной силы инерции
Fc= −m [ωωω [ωωω r0]] (2.16)
называется центробежной силой инерции. Она действует во вращающихся системахотсчета инаправлена,
согласно (2.16), перпендикулярно мгновенной оси вращения в сторону от оси. Центробежная сила инерции
численно равна центростремительному ускорению,
умноженному на массу тела со знакомминус, то есть
направления центростремительного ускорения и центробежной силы противоположны, что подчеркивается
их названиями.
В земной системе отсчета действуют: сила инерции
−ma0, связанная с вращением Земли вокруг Солнца,
центробежная и кориолисова силы инерции. Оценим
их значения для тела массы m = 1 кг.
Земля совершает один оборот вокруг своей оси
примерно за 24 часа, что соответствует угловой скорости ω ≈ 7, 29 · 10−5рад/с. Средний радиус Земли
R ≈ 6, 4 · 106м. На широте α = 55o(примерно широ-
та Москвы) центробежная сила инерции при m = 1 кг
равна mRω2cos α ≈ 1, 95 · 10
−2
Н. 53
(2.14)
Если земную орбиту считать приближенно окружностью радиуса R0≈ 1, 5 · 1011м, то, совершая 1 оборот
за год, Земля движется по орбите с линейной скоростью v0= 2πR0/T ≈ 3 · 104м/с или угловой скоростью
ω0= 2π/T ≈ 2 ·10−7рад/с. Орбитальное движение Земли
в этом случае можно рассматривать как равномерное
движение материальнойточки по окружности. Центростремительное ускорение при таком движении равно
a0= v
2
/R0= ω
0
2
R0≈ 6 · 10−3м/с2. Это ускорение в (2.13),
0
(2.14) играет роль поступательного ускорения земной
системы отсчета. Соответствующая ему сила инерции
для тела массы m = 1 кг равна ≈ 6 ·10−3Н.
Данная сила численно равна силе притяжения тела
к Солнцу и направлена в противоположную сторону.
Действительно, для того, чтобы тело под действием силы притяжения двигалось вокруг Солнца по земной орбите (самостоятельно или вместе с Землей), в системе
отсчета теласила гравитационного притяжения должна
компенсироваться силой инерции. При этом скорость
тела v0и соответствующее ускорение a0независимо
от его массы должны быть такими же, как у Земли.
Последнее непосредственно следует из принципа эквивалентности инертной и гравитационной масс: сила
гравитационного притяжения пропорциональнатой же
массе, которойобратно пропорциональноускорение во
втором законе Ньютона (F ∼ m, a = F/m), то есть движение в заданном гравитационном поле не зависит от
массы тела.
Кориолисова сила инерции зависит от величины и
направления скорости тела относительно земной поверхности. Пусть тело на широте α = 55oдвижется вертикально вверх со скоростью v0= 100 м/с (360 км/ч).
Направление скорости в этом случае составляет с осью
Земли угол ϑ = 90o− α = 35o. Сила Кориолиса (2.15),
действующая на тело массы 1 кг, при этом по величине
будет равна FK= 2mv0ω sin ϑ ≈ 8, 3 ·10−3Н.
Три найденные величины по сравнению с силой тяжести mgв процентном отношении составляют: центробежная сила инерции ---- 0, 2%, кориолисова сила инерции ---- 0, 085%, сила инерции, связанная с орбитальным
движением, 0, 06%. Из этих оценок видно, что земную
54
Г л а в а II
Принцип относительности Галилея
систему отсчета можно считать инерциальной с достаточно хорошей точностью. Однако при определенных
обстоятельствах эффекты, обусловленные неинерциальностью, могут проявиться.
Силы инерции иногда называют фиктивными или
мнимыми силами.Их принципиальным отличием от сил
взаимодействия является отсутствие источника ---- тела,
со стороны которого действует сила инерции. Каквидно
из (2.12)---(2.16) силы инерции обусловлены ускоренным
движением системы отсчета.
Другие свойства сил инерциитакие же,как усил взаимодействия: они являютсяполярными векторами,подчиняются правилам векторного сложения (друг с другом и с силами взаимодействия), скалярного и векторного умножения, изменяют состояние движения тела
(вызывают ускорение), совершают работу (см. ниже).
2.7. Принцип относительности Галилея
Величины, имеющие одинаковое значение в различных системах отсчета, называются инвариантными ве-
личинами или инвариантами. Инвариантными называют также соотношения, не меняющие своего вида
при смене систем отсчета.
Силы взаимодействия между телами являются инвариантами по отношению к любым системам отсчета ---- инерциальным и неинерциальным, так как способность тела участвовать во взаимодействиях не зависит
от движения системы отсчета. То же, очевидно, имеет
место для массы тела, поскольку она является количественной характеристикой свойств, присущих телу по
природе ---- мерой инерции и мерой величины гравитационного взаимодействия с другими телами.
Суммарная сила, действующая на данное тело, в общем случае складывается из сил взаимодействия и сил
инерции. Эта величина инвариантна только по отношению к переходу между инерциальными системами
отсчета, так как в этом случае отсутствуют силы инерции, зависящие от ускорения системы отсчета.
55
Как было отмечено выше (см. с. 46), из преобразований Галилея следует равенство (2.5), означающее абсолютность (инвариантность) ускорения тела для инерциальных систем отсчета.
Таким образом, при переходе от инерциальной системы отсчета K к другой инерциальнойсистеме отсчета K0не изменяют своего значения сила, действующая
на тело, его масса и ускорение
F0= F, m0= m, a0= a.
Это означает, что по отношению к переходу между инерциальными системами отсчета инвариантными
являются не только вид уравнения движения
F = ma,
но и входящие в него величины. Данный принцип, называемый принципом относительности Галилея, относится не только к уравнению движения материальной точки в форме второго закона Ньютона, но и ко
всем динамическим уравнениям классической механики. Поскольку при переходе от одной инерциальной
системы отсчета к другой для координат и времени действуют преобразования Галилея (1.38), можно говорить
об инвариантности законов движения по отношению
к преобразованиям Галилея.
На основании обобщения многочисленных опытов
и наблюдений Галилей утверждал, что если в двух замкнутых лабораториях, которые движутся относительно
друг друга поступательно с постоянной по величине
и направлению скоростью, провести один и тот же эксперимент, то для любого эксперимента результат, полученный в двух лабораториях, будет одинаковым. По мере развития классической механики это утверждение
стало восприниматься как очевидное и утратило свою
актуальность.
Однако в начале XX в. в связи с проблемами теории
электромагнетизма данный принцип вновь стал предметом изучения, в результатекоторого было установлено,
что присохранении классических представлений о пространстве и времени он справедлив только для механи-
ческих процессов явлений. Именно тогда сформулированный выше принцип и получил название принципа
56
Г л а в а II
Закон сохранения импульса. Центр масс
относительности Галилея. Если же обобщить условие
инвариантности при переходе между инерциальными
системами отсчета на все физические процессы и за-
коны природы, то потребуется пересмотр представлений о пространстве, времени и движении, приводящий
к обоснованию специальной теории относительности.
Этот обобщенный принцип относительности получил
название принципа относительности Эйнштейна.
Приведем наиболее часто употребляемые формули-
ровки принципа относительности Галилея.
• Любые механические процессы и явления во всех
инерциальных системах отсчета протекают одинаково.
• Никакими механическими опытами,проводимыми
внутри системы, нельзя установить, находится ли
эта система в покое или в состоянии равномерного
прямолинейного движения.
• Законы механики инвариантны по отношению к
преобразованиям Галилея.
2.8. Закон сохранения импульса. Центр масс
Из второго закона Ньютона, представленного в виде
(2.7), следует, что если силы, действующие на материальную точку, отсутствуют или взаимно скомпенсированы (F = 0), то импульс материальной точки p сохраняется:
Это ---- закон сохранения импульса для материальной
точки. Он справедлив не только в инерциальных, но
и в неинерциальных системах отсчета, если под равнодействующей силой F, равной нулю, понимать суммарную силу, складывающуюся из сил взаимодействия
и сил инерции. Для неинерциальной системы отсчета
в этом случае силы инерции должны компенсироваться
силами взаимодействия.
Для материальной точки, таким образом, закон сохранения импульса является очевидным следствием
второго закона Ньютона. Значительно более глубокий
смысл имеет этот закон для системы материальных
точек. 57
dp/dt = 0.
Г л а в а II
Пусть имеется система, состоящая из N частиц
(материальных точек), которые могут взаимодействовать только друг с другом. Такая механическая система
называется замкнутой. Массу i---й частицы обозначим
mi(i = 1, 2 . . . N), действующая на нее сила складыва-
ется из сил взаимодействия с остальными частицами
системы
где индекс k принимает все значения от 1 до N, кроме
значения i.
Производная импульса i---й частицы в соответствии
со вторым законом Ньютона равна
dp
dt
Полный импульс системы равен векторной сумме
импульсов ее частиц, а его производная ---- сумме производных импульсов частиц
N
X
p =
pi,
i=1
Суммируя производные импульсов частиц системы,
с учетом (2.18) получаем
Сумма в правой части этого равенства содержит
слагаемые, в которых индексы i и k принимают все значения от 1 до N, за исключением значений i = k. Это
означает, что для любого слагаемого Fkiв сумме будет
присутствовать слагаемое с обратной последовательностью индексов Fik. Каждая пара таких слагаемых в
сумме дает нуль, поскольку Fkiпо определению ---- сила,
действующая на i--- ю частицу со стороны k--- й, и наоборот: Fik---- сила, действующая на k--- ю частицу со
стороны i---й, а в соответствии с третьим законом Ньютона эти силы равны по величине и противоположны по
направлению, то есть
Fi=
i
dp
dt
Fki+ F
X
k,i
= Fi=
N
X
=
i=1
Fki, (2.17)
X
Fki. (2.18)
k,i
N
X
dp
dt
dp
i=1
i
. (2.19)
dt
=
X
Fki. (2.20)
k,i
= 0.58
ik
Закон сохранения импульса. Центр масс
Таким образом, сумма в правой части (2.20) распадается на пары слагаемых, каждая из которых равна
нулю, и следовательно, вся сумма также равна нулю.
Это означает, что
где p ---- импульс системы (2.19), равный сумме импульсов ее частиц.
Согласно полученному уравнению
суммарный импульс замкнутой системы с течением
времени не изменяется.
Это ---- закон сохранения импульса для системы материальных точек. Он справедлив для любой замкну-
той механической системы, так как тело конечных размеров всегда можно представить в виде совокупности
малых частей, которые можно считать материальными
точками.
Отметим, что приведенное выше доказательство закона сохранения импульса материальной системы опирается не только на второй, но и на третий закон Ньютона. С точки зрения современной физики закон сохранения импульса является фундаментальным законом природы, поэтому более правильным будет утверждение о том, что третий закон Ньютона следует из
закона сохранения импульса, а не наоборот, хотя в рамках классической механики они эквивалентны. В теории электромагнетизма для движущихся заряженных
частиц третий закон Ньютона в виде (2.8) может нарушаться, а закон сохраненияимпульса сучетом импульса
электромагнитного поля остается справедливым.
Уравнения движения (2.18) предполагают инерциальность системы отсчета, следовательно, закон сохранения импульса также имеет место только в инерциальной системе отсчета. Как мы сейчас покажем, с замкнутой механической системой всегда можно естественным образом связать инерциальную систему отсчета.
Для системы, состоящей из N частиц, точка, задаваемая радиус-вектором
N
X
rc=
i=1
mir
dp
= 0 , (2.21)
dt
N
X
.
i
i=1
mi=
N
X
i=1
.
mir
mΣ, (2.22)
i
59
где mi---- массы частиц, ri---- их радиус-векторы,
P
mΣ=
N
mi---- суммарная масса системы, называется
i=1
центром масс системы. Согласно этому определению
скорость центра масс системы равна
где pi= m
N
X
vc=˙rc=
˙
ri---- импульсы частиц системы, а p =
i
1
m
Σ
i=1
˙
m
ri=
i
N
X
1
m
Σ
i=1
pi=
p
,
m
Σ
так же, как в (2.19), полный импульс системы.
На основании полученного равенства можно утверждать, что суммарный импульс механической системы
может быть представлен как произведение ее массы на
скорость движения центра масс
p = mΣvc. (2.23)
Как было показано выше, импульс замкнутой системы в инерциальной системе отсчета сохраняется.
В соответствии с (2.23) это означает, что относительно
инерциальной системы отсчета центр масс замкнутой
системы движется равномерно и прямолинейно
˙
p = 0 ⇒˙vc= 0,
то есть система отсчета, связанная с центром масс
замкнутой механической системы, является инерциальной.
Система отсчета, в которой центр масс механической системы покоится, называется системой отсчета
центра масс или Ц-системой. Подчеркнем, что такая
система отсчета будет инерциальной не всегда, а лишь
в том случае, если рассматриваемая механическая система замкнута. Для механической системы, движущейся как целое с ускорением (ac=˙vc, 0), Ц-система,
очевидно, неинерциальна.
Рассмотрим теперь механическую систему, на которую действуют внешние силы. При этом в выражении
(2.17) для силы Fi, действующей на i--- ю частицу системы, появится дополнительное слагаемое F
e
i
действующая внешних сил, приложенных к данной частице:
60
Fi=
X
k,i
Fki+ F
e
. (2.24)
i
Г л а в а II
P
N
p
i=1
---- равно-
i
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]