Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Механика. Учебное пособие для вузов
.pdf
Механические волны
С другой стороны, механический резонанс может
быть с пользой применен на практике, например при
изготовлении музыкальных инструментов или в акустике. Электромагнитные резонансные явления играют важную роль в радиотехнике, оптике, квантовой
физике.
10.5. Механические волны
Под механическойволной понимают, с одной стороны, процесс распространения механических колебаний
в среде, с другой стороны, функцию координат и време-
ни, описывающую этот процесс. Сама среда как целое
при этом остается неподвижной ---- ее частицы лишь
колеблются в окрестности некоторых положений равновесия.
Основы представлений о волновых процессах распространения возмущений в среде заложил Христиан
Гюйгенс. Он, в частности, рассматривал свет как волну
в гипотетической упругой среде ---- эфире, о чем уже
упоминалось в параграфе 9.1. Собственно, сам термин
K
волнаLбыл введен Гюйгенсом. Для этого он использовал слово, означающее колебания, которые перемещаются на возмущенной поверхности воды.
Теоретические и экспериментальные исследования
волновых явлений существенно стимулировали развитие физики и математики в XVIII---XIX вв. До XX в.
волновые представления связывались смоделью сплош-
ной среды, то есть среды, физические свойства которой
не зависят от пространственных координат либо изменяются в пространстве непрерывным образом. Корпускулярные (атомистические) представления о материи
развивались в этот период обособленно.
В современной физике корпускулярные и волновые
представления объединены, то есть любой микрочастице, находящейся в заданном состоянии движения и взаимодействия с другими частицами, ставится в соответствие волна (волновая функция), позволяющая определенным образом вычислить средние значения измеряемых величин, относящихся к данной частице. Такая
картина мира представлена в квантовой механике. 381
Г л а в а X
В рамках классической механики при рассмотрении волновых явлений можно ограничиться моделью
сплошной среды. Этой модели с хорошей точностью соответствуют и молекулярные макроскопические системы, то есть такие системы, размеры которых на много
порядков больше размеров молекул и средних расстояний между ними.
Особое значение имеет плоская гармоническая вол-
на. Такая волна, распространяющаяся вдоль оси x, опи-
сывается функцией вида
ξ(x, t) = ξ0cos(ωt ± kx + ϕ0). (10.50)
Здесь ξ---- величина,характеризующая возмущениесреды, например, отклонениечастиц среды от равновесных
положений, ξ0---- амплитуда волны, ω ---- частота (циклическая), k ---- волновое число, ϕ0---- начальная фаза.
Функцию ϕ(x, t) = ωt ±kx + ϕ0называют фазой волны.
Поверхность впространстве, на которой фаза волны
имеет постоянное значение, называется волновой по-
верхностью. Дляволны вида(10.50) волновойповерхностью является плоскость, перпендикулярная оси x, поскольку при заданных x, t и произвольных y, z фаза будет постоянной. Этим обусловлено название ---- плоская
волна. При фиксированном значении x уравнение для
ξ как функции времени принимаетвид кинематического уравнения гармонических колебаний, отсюда ---- определениеMгармоническаяNв названии волны.
Отклонения частиц среды от равновесных положений или зависимость от времени каких-либо физических свойств среды, описываемые функцией (10.50),
на любой неподвижной плоскости, ортогональной оси x,
таким образом, являются гармоническими колебаниями с частотой ω и периодом T = 2π/ω: ξ(x, t + T ) =
= ξ(x, t). С другой стороны, если рассмотреть мгно-
венное состояние волны (10.50) в фиксированный момент времени, то это будет синусоидальная функция
координаты x с пространственным периодом λ = 2π/k:
ξ(x+ λ, t) = ξ(x, t), называемым длиной волны.
В зависимости от направления колебаний частиц
среды по отношению к направлению распространения волны различают продольные и поперечные вол-
ны. Продольной называется волна, в которой направле-382
Механические волны
ние колебательного движения совпадает с направлением распространения возмущения, поперечной ---- волна,
у которой направление колебаний перпендикулярно
направлению распространения.
Гармонические волны имеют эквивалентное название ---- монохроматические. Этот термин возник в оптике. Смысл его заключается в том, что световая волна фиксированной частоты из видимого человеческим
глазом диапазона соответствует определенному цветовому ощущению, то есть световые волны разных частот
воспринимаются глазом как излучения разных цветов.
В настоящее время терминOмонохроматическая волнаPчасто используется в обобщенном смысле ---- для
волн заданной частоты независимо от их природы
и значения частоты.
Равенство ϕ(x, t) = ωt ± kx + ϕ0= const является урав-
нением волновой поверхности. Продифференцировав
его по времени, получим
ω
˙x = ∓
Производная ˙x, вычисленная из уравнения волно-
вой поверхности,по смыслу являетсяскоростью ее движения v (скоростью перемещения поверхности постоянной фазы). Эта скорость направлена вдоль оси x.
Она называется фазовой скоростью волны. Верхнему
знаку соответствует движение в отрицательномнаправлении, нижнему ---- в положительном.
Таким образом, волна ξ(x, t) = ξ0cos(ωt + k x + ϕ0) будет иметь фазовую скорость v = −ω/k, то есть распространяться в отрицательном направлении оси x, волне
ξ(x, t) = ξ0cos(ωt − kx + ϕ0) соответствует положительная
фазовая скорость v = ω/k и положительное направление распространения. В дальнейшем мы будем для
описания плоской гармонической волны использовать
выражение
ξ(x, t) = ξ0cos(ωt −k x + ϕ0), (10.52)
= v. (10.51)
k
имея в виду, что волне, движущейся в положительном направлении, соответствует положительное значение волнового числа k, волне обратного направления ---- отрицательное значение k.
383
Г л а в а X
Скорость распространения волны определяется физическими свойствами и состоянием среды, поэтому
в соответствии с (10.51) частота и волновое число (или
длина волны) не являются независимыми параметрами.
Для среды, в которой скорость распространения волны
равна v, волновое число и длина волны связаны с частотой следующими равенствами, вытекающими из (10.51):
ω
k =
, λ =
v
В частности, для световой(электромагнитной) волны
в вакууме
k =
ω
, λ =
c
Плоская гармоническая волна в трехмерном случае
имеет вид
ξξξ
ξξξξ
(x, t) = ξξξξ
ξξξ
cos(ωt − kr + ϕ0), (10.54)
0
где r ---- радиус-вектор точки волновой поверхности,
k ---- волновой вектор. Волновая поверхность задается
уравнением ωt − kr = const, ее положение в данный
момент времени определяется условием постоянства
скалярного произведения kr. Из рисунка 10.10 можно
видеть, что данному условию удовлетворяет плоскость,
перпендикулярная волновому вектору k. Действительно, если r1параллелен k, то скалярное произведение
kr1= kr1, но для любого радиус-вектора r2, имеющего
общее начало с r1и заканчивающегося на плоскости,
проходящей через конец вектора r1перпендикулярно
ему, скалярное произведение kr2будет иметь то же
значение, поскольку kr2cos α = kr1. Таким образом, волновой вектор k перпендикулярен волновой поверхности.
Дифференцируя по времени уравнение волновой
поверхности, получим kv = ω или, домножив скалярно
на k, k2v = ωk, откуда для вектора фазовой скорости
v =˙r имеем
v =
Это означает, что волновые поверхности движутся
в направлении k со скоростью, абсолютная величина
которой связана с модулем волнового вектора первым
из соотношений (10.53).384
2π
v . (10.53)
ω
2π
c .
ω
ω
k. (10.55)
2
k
Механические волны
r
1
k
r
2
α
Вектор смещения ξξξξ
ξξξ
(x, t) для продольной волны па-
раллелен волновому вектору, для поперечной волны ---перпендикулярен k.
В математике строго доказывается, что любая волна
может быть представлена в виде суперпозиции (дискретной линейной комбинации либо непрерывного линейного интегрального разложения) плоских гармонических волн вида (10.54) с различными направлениями
распространения, различными амплитудами, частотами
и начальными фазами. Именно поэтому плоская гармоническая волна имеет фундаментальное значение.
Поскольку скорость распространения и волновой вектор плоской волны
одинаковы во всехточках волновой поверхности и постоянны (при распространении волны в однородной среде), систему координат всегда можно
выбрать так, чтобы одна из осей, на-
Рис. 10.10
пример ось x, была направлена вдоль
k. Тогда (10.54) переходит в (10.52). По этой причине
в дальнейшем не имеет смысла рассматривать векторное представление (10.54), достаточно ограничиться одномерным представлением. Кроме того, начальную фазу ϕ0в (10.52) всегда можно положить равной нулю за
счет соответствующего выбора начала координат или
начала отсчета времени.
Вычислим вторую производную функции ξ(x, t) =
= ξ0cos(ωt −k x) по времени
∂ξ
= −ωξ0sin(ωt − kx),
∂t
∂2ξ
= −ω2ξ0cos(ωt − kx),
2
∂t
а также вторую производную по координате
∂ξ
= kξ0sin(ωt −k x),
∂x
∂2ξ
= −k2ξ0cos(ωt −k x).
2
∂x
Между вторыми производнымипо координате и времени, как можно видеть, имеет место соотношение
∂2ξ
1
∂2ξ
=
2
∂x
где v = ω/k ---- фазовая скорость.
, (10.56)
2
2
v
∂t
385
Г л а в а X
Данное соотношение можно рассматривать как диф-
ференциальное уравнение, решением которого является волна (10.52). Это так называемое волновое уравне-
ние, точнее, его одномерный вариант.
Учитывая то, что частота и волновое число входят
в (10.56) только в виде комбинации v = ω/k, можно
утверждать, что решениями волнового уравнения будут плоские гармонические волны любой частоты, если отношение ω к волновому числу, то есть фазовая
скорость волны, является фиксированной величиной.
Кроме того, поскольку в уравнение входит квадрат скорости, волновое число при заданном модуле фазовой
скорости может быть как положительным, так и отрицательным: k = ±ω/|v|.
Производная по времени функции f = a1ξ1+ a2ξ
(a1и a2---- постоянные) равна
∂(a1ξ1+ a2ξ2)
∂t
вторая производная
∂2(a1ξ1+ a2ξ2)
2
∂t
=
= a
∂ξ
1
∂t
∂ξ
1
+ a
2
,
2
∂t
∂(a1∂ξ1/∂t + a2∂ξ2/∂t)
∂t
=
2
= a
∂2ξ
1
2
∂t
∂2ξ
1
+ a
2
2
2
∂t
и так далее с любым количеством слагаемых. Это означает, что производная любого порядка от линейной
комбинации функций является линейной комбинацией
производных того же порядка этих функций с теми же
коэффициентами. Данное свойство называется свойством линейности операции дифференцирования. Оно
относится, очевидно, и к дифференцированию по координате x.
Линейность в применении к волновому уравнению
позволяет сделать вывод о том, что, если ξ1, ξ2, .. . ---- различные решения (10.56), то решением является и любая
их линейная комбинация. Причем, в соответствии с вышесказанным, гармонические волны, входящие в линейную комбинацию, могут иметь разные частоты
и разные знаки волновых чисел (прямое и обратное
направления распространения вдоль оси x) при условии, что ω
2
2
2
/k
= v
i
---- фиксированная величина.386
i
Механические волны
Это позволяет дать новое определение плоской волны, распространяющейся вдоль оси x: такой волной
можно назвать любую функцию ξ(x, t), удовлетворяющую волновому уравнению (10.56). Плоская волна,
как мы видим, может быть представлена в виде суперпозиции плоских гармонических волн различных частот,
распространяющихся пооси x в прямом и обратном направлениях при фиксированной величине отношений
2
2
ω
/k
= v2.
i
i
Механические упругие волны могут быть продольными (волны сжатия) или поперечными (волны сдви-
га). Для возникновения поперечной волны необходимо,
чтобы при деформации сдвига (относительном смещении областей среды в направлении, параллельном разделяющей их границе) возникали упругие силы. Таким
свойством обладают твердые тела. В жидкостях и газах
силы упругости возникают только при деформациях
сжатия (см. 7.1), поэтому возможны только продольные (акустические) волны. В упругих твердых телах
могут распространяться как продольные, так и поперечные механические волны. Примером упругой волны сжатия является звуковая волна, которая может
распространяться в газообразных, жидких и твердых
средах. Примером волны сдвига может быть распространение поперечных колебаний в длинном упругом
стержне (струне).
В электродинамике доказывается, что электромагнитные волны в вакууме являютсяпоперечными, тоесть
периодически изменяющиеся в пространстве и времени вектор напряженности электрического поля E
и вектор магнитной индукции B направлены перпендикулярно волновому вектору k (и друг другу).
Волны, распространяющиеся от точечных источников возмущения в однородных изотропных средах
являются сферическими. Волновыми поверхностями
сферической волны являются концентрические сферы
с центром в источнике возмущения, поскольку при одинаковой во всех направлениях скорости распространения волны v поверхностями постоянной фазы будут
сферы. При фазе колебаний источника ϕ
на сфере радиуса r
ϕ(r, t) = ωt −kr, (10.57)
= ωt фаза
r=0
387
где k = ω/v. Это можно объяснить следующим образом. Пусть в момент t0фаза в источнике возмущения
ϕ
= ωt0. Такая же фаза колебаний должна быть
r=0
на сфере радиуса r через время 4t = r/v, необходимое для перемещения точек волновой поверхности
на расстояние r во всех направлениях со скоростью v.
) = ωt0и ϕ(r, t0+ 4t) =
0
= ω(t0+ 4t) − kr, получим условие равенства этих значе-
ний фазы: ω4t = ωr/v = kr, откуда и следует, что k = ω/v.
Иначе говоря, фаза на волновой поверхности радиуса r
запаздывает по отношению к фазе источника в тот же
момент времени на величину kr = ω4t, соответствующую изменению фазы за время, в течение которого
точка волновой поверхности проходит расстояние r.
Выражение для фазы сферической волны можно
представить в векторном виде: ϕ(r, t) = ωt − kr, но при
этом для того, чтобывыполнялось равенство(10.57), волновой вектор k в каждой точке волновой поверхности
должен быть направлен вдоль радиус-вектора
k r
k =
Как и для плоской волны волновой вектор сферической волны перпендикулярен волновой поверхности
в каждойее точке, имеет постоянную величину,но, в отличие от плоской волны, вектор k сферической волны
не имеетфиксированного направления.В каждой точке
пространства волновойвектор направлен радиально относительно источника возмущения (начала координат).
Амплитуда сферической волныубывает по мере удаления от источника. Для незатухающей волны (волны,
энергия которой в процессе распространения не изменяется) амплитуда убывает по закону
ξ0(r) =
где a ---- постоянная с размерностью амплитуды, умноженной на размерность длины. Уравнение сферической волны, таким образом, имеет вид
388
ξ(r, t) =
ωr
=
r
a
r
. (10.58)
vr
a
, (10.59)
r
cos(ωt − kr). (10.60)
Г л а в а X
Механические волны
Непосредственной подстановкой можно убедиться,
что волна вида (10.60) удовлетворяет трехмерному волновому уравнению
∂2ξ
∂2ξ
∂y
∂2ξ
+
2
∂x
+
2
которое является обобщением одномерного уравнения
(10.56).
Производные функции ξ(r, t) по декартовым координатам вычисляются следующим образом:
∂ξ
∂ξ∂r∂r
=
∂x
∂x
так как r =px2+ y2+ z2и, следовательно, производная ∂r/∂x равна x/r. Аналогично находятся производные по другим координатам и вторые производные.
В результате подстановки (10.61) сводится к тождеству
k2= ω2/v2. Эти вычисления, однако, не доказывают то-
го, что сферически симметричное решение (10.60) соответствует незатухающей сферической волне. Полное
доказательство дается из энергетических соображений.
Мы сделаем это в параграфе 10.7.
Гюйгенс высказал гипотезу о том, что любая волна
может бытьпредставлена суперпозицией сферических
волн, создаваемых точечными источниками возмущения на передней волновой поверхности (фронте волны). Это утверждение называют принципом Гюйгенса.
Впоследствии этот принцип получил строгое математическое доказательство.
Из него, в частности, следует, что сферическая волна, наряду с плоской, может рассматриваться как фундаментальное решение волновогоуравнения в том смысле, что произвольное решение допускает разложение
(представление в виде суперпозиции) как по сферическим, так и по плоским волнам различных частот,
амплитуд и начальных фаз, при этом в случае разложения по плоским волнам различными могут быть также
направления их волновых векторов, а в случае разложения по сферическим волнам ---- пространственные
положения источников.
∂z
1
∂2ξ
=
2
xr∂ξ
=
, (10.61)
2
2
v
∂t
,
∂r
389
10.6. Упругая волна в среде
S
x
x + 4x
4x
ξ ξ + 4ξ
Рассмотрим распространение волны в упругой среде. В качестве модели возьмем длинный однородный
упругий стержень сечения S и рассмотримвначале продольную волну в этом стержне. Последующие рассуждения могут относиться не только к твердому стержню,
но также к трубке, заполненной жидкостью или газом.
Выделим в недеформированном стержне цилиндр,
заключенный между сечениями, соответствующими
координатам x и x + 4x, отсчитанным вдоль стержня
(на рис. 10.11 выделен сплошными линиями). Пусть частицы среды, которые в равновесии имеют координату
x, в результате упругой деформации получили продоль-
ное смещение ξ. Смещение частиц с равновесными
координатами x+ 4x будет другим: ξ+ 4ξ, так как значения фазы волны для координат x и x + 4x различны.
Величины смещений на рисунке для наглядности значительно увеличеныпо сравнению с реальными. Взависимости от фазы смещения периодически принимают
положительные и отрицательные значения. Их разность 4ξ также может быть положительной (деформация растяжения) или отрицательной (деформация
сжатия).
Высота цилиндра 4x получает
переменное во времени приращение 4ξ. Величину 4ξ/4x, характеризующую относительное удлинение цилиндра, называют его дефор-
мацией. Если рассматриваемый на-
Рис. 10.11
то деформации малых цилиндров будут различными,
и даже могут иметь разные знаки, поскольку зависимость ξ(x) нелинейная. Чтобы охарактеризовать деформацию в сечении x, нужно устремить 4x к нулю
или, по крайней мере, обеспечить выполнение условия
4x λ (λ ---- длина волны). Тогда деформация, соответ-
ствующая сечению x, будет определена как
390
ми цилиндр разбить на более короткие цилиндры с высотами δx < 4x,
ε(x, t) =
∂ξ
. (10.62)
∂x
Г л а в а X
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]