Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансового менеджмента в экономике предприятия. Учебное пособие
.pdf
Здесь использованы, так называемые, «обыкновенные» проценты.
При их применении число дней в году принимается равным не 365, а
360 дней. Количество же дней в периоде начисления процентов здесь
принимается точным.
Пример 2
Заемщику предоставлен кредит в 500 тыс. руб. со сроком погашения в 1,5 года. Наращение производится со сложной годовой учетной
ставкой i
= 20 %.
уч
Какую сумму S необходимо проставить в векселе?
Определить S, если наращение по учетной ставке производится
ежеквартально.
1) S = 500 / (1 – 0,2)
1,5
= 500 / 0,7155 = 698,77 тыс. руб.
2) При ежеквартальном начислении:
m = 4 – число кварталов в году;
m⋅n = 4 1,5 = 6 – число периодов начисления процентов;
Решение
=−= =
⎜⎟
4
⎝⎠
⎛⎞
500 1 500 / 0,7350 680,19
S
тыс. руб.
6
0,2
3.4. Дисконтирование и учет векселей [9]
3.4.1. Определение понятия «дисконтирование»
Дисконтирование – приведение денежной суммы к какому-либо
моменту времени (начальному или конечному).
Чаще всего применяют приведение денежных сумм к начальному
моменту времени. Для выполнения данной операции используются
действия, обратные вычислению наращенной суммы.
Дисконтирование позволяет определить нынешний (текущий)
денежный эквивалент суммы, которая будет получена в будущем.
Оно основано на том, что любая сумма, которая будет получена в будущем, в настоящее время обладает меньшей субъективной полезностью (ценностью).
41
3.4.2. Математическое дисконтирование
по простой и сложной ставке процентов
Математическое дисконтирование по простой ставке процен-
тов – действие, обратное наращению простых процентов, т.е. вычис-
ление начальной суммы S
по конечной S = S0 (1 + n · i).
0
В результате выполнения этого действия имеем
Sni=
0
S
(1 )
+⋅
или в других обозначениях
FV
PVni=
(1 )
,
+⋅
где FV = S – будущая денежная стоимость; PV = S0 – настоящая (начальная, текущая) стоимость; i – ставка процента или норма дохода;
n – число лет, за которое была вычислена наращенная сумма.
Из приведенного соотношения видно, что современная стоимость
денежной суммы тем ниже, чем выше норма доходности и отдаленнее срок получения дохода.
При дисконтировании по сложной ставке используют соотношение
SSFMin
S
==⋅
0
+
(1 )
n
i
2 ( %, ),
лет
где FM 2 (i %, n лет) – дисконтирующий множитель, характеризующий стоимость одной денежной единицы, ожидаемой к получению
через n периодов.
Или в других обозначениях
PV = FV · FM 2 (i %, n лет).
Пример
Через 3 года предприятию потребуется сумма 100 000 руб. С этой
целью собираются приобрести облигации достоинством 100 000 руб.,
подлежащие погашению через 3 года. Ежегодный доход по этим облигациям составляет 9 %.
42
Определить денежную сумму, которую следует заплатить за обли-
гации при их покупке.
Решение
PV S== = =
100 000 100 000
0
(1 0,09)
+
3
1,295
77 220
руб.
3.4.3. Сопоставление результатов дисконтирования
по простой и сложной ставке
Для дисконтирующих множителей справедливы соотношения, обратные соотношениям для множителей наращения процентов:
при n < 1:
при n > 1:
при n = 1:
11
<
ni
1
+⋅
11
1
+
1
+⋅
(1 )
>
ni
(1 )
11
=
ni
(1 )
;
n
i
+
;
n
i
+
.
n
i
+
Пример
Будущая денежная стоимость FV = S = 100 000 руб.; i = 10 % годовых.
Определить настоящую (текущую) стоимость денежной суммы, сопоставив результаты математического дисконтирования по простой и сложной ставке процентов для n = 0,5; 1; 2 и
3 года.
Решение
Дисконтирование
Простая ставка
Сложная ставка
0,5 1 2
95 238
95 346
90 909
90 909
n, лет
83 333
82 645
3
76 923
75 131
Схематически вид рассматриваемой зависимости представлен на
рис. 3.2.
43
Рис. 3.2. Сопоставление результатов математического
дисконтирования по простой (1) и сложной (2) ставкам
при различных временных интервалах n
3.4.4. Другие виды дисконтирования
Из других видов дисконтирования рассмотрим банковское дискон-
тирование с использованием учетных ставок.
При банковском дисконтировании по простой учетной ставке те-
кущее значение денежной суммы определяется по формуле
= S (1 – n · iуч),
S
0
или в других обозначениях:
PV = FV (1 – n · i
).
уч
При банковском дисконтировании по сложной учетной ставке
формула для расчета текущего значения денежной суммы имеет
вид
= S (1 – iуч)n,
S
0
или
PV = FV (1 – i
)n.
уч
Приведенные соотношения используются при так называемой операции учета векселей, суть которой сводится к следующему.
44
Векселедержатель (кредитор) в случае необходимости получения
денег ранее срока, указанного в векселе, может продать его банку или
другому субъекту по пониженной цене, т.е. по цене ниже той, которая
указана в векселе (номинальной стоимости). Это и есть операция учета векселя. В таком случае говорят, что вексель учтен банком.
В приведенные формулы вместо n обычно подставляют срок от
момента учета до момента уплаты, указанного в векселе. Но иногда
за n сохраняют значение периода обращения векселя.
Разница между номинальной стоимостью долгового обязательства
и суммой, полученной векселедержателем в результате учета векселя
(FV – PV), называется дисконтом.
Для субъекта сделки, принявшего вексель к учету, дисконт явля-
ется доходом.
Дисконт рассчитывается на основе учетной ставки, величина которой зависит от срока, остающегося до оплаты обязательства и существующих банковских ставок.
3.4.5. Пример учета векселя
Пример
Владелец векселя, номиналом 100 000 руб. и периодом обращения
105 дней, за 15 дней до наступления срока платежа учитывает его в
банке по учетной ставке i
Какова сумма S
, полученная владельцем векселя, и сумма дис-
0
= 20 %.
уч
конта I, полученная банком (сопоставить банковский учет векселя с
математическим дисконтированием по простой процентной ставке,
равной учетной)?
Решение
1) В результате банковского учета владелец векселя получит сле-
дующую денежную сумму
15
100 000 1 0,2 99,167 .
S
=−⋅=
0
⎛⎞
⎜⎟
360
⎝⎠
руб
При этом доход банка составит:
I = 100 000 – 99 166 = 833 руб.
45
2) Используя при учете векселя операции математического дискон-
тирования, владелец векселя получит следующую сумму:
S ==
100 000
0
90
10,2
+⋅
95 238
руб.
360
При этом доход банка составит:
I = 100 000 – 95 238 = 4 762 руб.
Вывод. При банковском дисконтировании владелец векселя по-
лучит большую сумму, чем при использовании математического дисконтирования.
3.5. Принцип эквивалентности ставок [10]
3.5.1. Эквивалентные ставки
Эквивалентные (эффективные) процентные ставки – это ставки
разного вида, применение которых при различных начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.
Рассмотрим некоторые примеры эквивалентных ставок.
1. Эквивалентность простых и сложных процентных ставок при
начислении процентов один раз в год
S = S
(1 + n · i);
0
S = S0 (1 + i)n;
(1 + n · i) = (1 + i)
n
.
Эквивалентные ставки имеют вид
э
i
= [(1 + i)n – 1] / n;
п
э
i
= (1 + n · i)
сл
1/n
– 1.
2. Эквивалентность простой процентной ставки и сложной ставки
при начислении процентов m раз в году.
Эквивалентные ставки имеют вид
46
i
ном
m
mn
1/
mn
⎡⎤
⎛⎞
э
11/;
in
=+ −
⎢⎥
п
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
э
imni=+⋅ −
ном
[(1 ) 1].
При n = 1:
э
i
=+ −
п
э
imi=+ −
ном
ном
11;
⎜⎟
m
⎝⎠
1/
[(1 ) 1].
m
m
i
⎛⎞
3. Эквивалентность непрерывных и дискретных ставок
n
i
· n
непр
Отсюда iэ = e
i
непр
– 1; i
(1 + i)
э
= ln(1 + i).
непр
= e
.
В принципе можно написать соотношения для эквивалентных про-
центных и учетных ставок и т.д.
3.5.2. Примеры использования эквивалентных ставок
Пример 1
Банк начисляет сложные проценты на вклады по номинальной го-
довой ставке 45 %.
Определить доходность вкладов по эффективной годовой простой
ставке процентов при их начислении: 1) по полугодиям; 2) ежеквартально; 3) ежемесячно.
Решение
Вычисляем эффективные (эквивалентные) ставки:
э
1) i
= (1 + 0,45/2)² – 1 = 0,50 (50 %);
п
э
2)
i
= (1 + 0,45/4)4 – 1 = 0,53 (53 %);
п
э
3)
i
= (1 + 0,45/12)12 – 1 = 0,56 (56 %).
п
47
Пример 2
Финансовая компания принимает вклады от населения по простой
процентной ставке 3 % ежемесячно.
Определить доходность вкладов с учетом налогообложения, если
ставка налогообложения составит 13 %.
Решение
1) Годовая эквивалентная ставка процентов: 3 · 12 = 36 %.
2) С учетом налогообложения: 36 (1 – 0,13) = 31,32 %.
Пример 3
Банк принимает депозиты на 3 месяца по ставке 28 %, на полгода
по ставке 30 % и на год по ставке 45 % годовых.
Определить наилучший вариант размещения средств на год с учетом возможности переоформления вкладов с начисленными процентами.
Решение
1) Эффективная годовая ставка при переоформлении трехмесяч-
ных депозитов с начисленными процентами
4
0,28
⎛⎞
э
1 1 0,31 (31%).
i
=+ −=
п
⎜⎟
4
⎝⎠
2) Эффективная годовая ставка при переоформлении полугодового
депозита с начисленными процентами
2
0,30
⎛⎞
э
1 1 0,32 (32 %).
i
=+ −=
п
⎜⎟
2
⎝⎠
Вывод. Наиболее выгодным способом размещения средств в
банке является годовой депозит.
3.6. Наращивание денежной суммы и инфляция [5, 10]
3.6.1. Уровень и индекс инфляции
При принятии решения о размещении средств в банке немаловажным фактором является соотношение ставки процента и уровня инфляции.
48
Уровень инфляции за некоторый период можно записать как
h (%) = (Δ S/S) 100,
где ΔS – сумма, на которую надо увеличить сумму S для сохранения
ее покупательной способности.
Уровень инфляции показывает, на сколько процентов выросли
цены за рассматриваемый период времени.
В расчетных формулах обычно используют относительное значе-
ние уровня инфляции:
h = Δ S/S.
Индекс инфляции показывает, во сколько раз выросли цены за рас-
сматриваемый период. Расчет ведется по формуле сложных процентов.
Пример
Определить ожидаемые годовой уровень и индекс инфляции при
месячных уровнях инфляции в 6 % и 2 %.
Решение
= 6 %:
1) h
мес
год
I
= (1 + 0,06)12 = 2,01;
и
h
= 2,01 – 1 = 1,01 (101 %).
год
2) h
= 2 %:
мес
год
I
= (1 + 0,02)12 = 1,27;
и
h
= 1,27 – 1 = 0,27 (27 %).
год
3.6.2. Наращивание денежной суммы и инфляция
Имеется сумма S
. Через n лет по покупательной способности она
0
станет равной
S = S
Если бы S
положили на депозит под сложные проценты, то с
0
учетом инфляции получили бы
SS
/ (1 + h)n.
0
=
0
(1 )
(1 )
+
+
n
i
.
n
h
49
Зависимость S от времени при разных соотношениях i и h представлена на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Зависимость наращенной денежной суммы от времени при
различных соотношениях процентной ставки i и уровне инфляции h
Пример
Вклад в сумме 500 тыс. руб. положен в банк на полгода с ежемесячным начислением сложных процентов по номинальной ставке
30 % годовых. Определить реальный доход вкладчика для ожидаемых
месячных уровней инфляции 1 % и 3 %.
Решение
= 1 %:
1) h
мес
I
h
S+==
= (1 + 0,01)6 = 1,06;
и, 0,5 год
= 1,06 – 1 = 0,06 (6 %).
0,5 год
500 000(1 0,3/12)
6
547 025 .
руб
1, 0 6
Реальный полугодовой доход вкладчика:
Дх
50
= 547 025 – 500 000 = 47 025 руб.
0,5 год
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]