Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория вихрей
.pdf
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И ГИДРОДИНАМИКА 301
С другой стороны, при больших значениях t из (12) получаем асимптотическое представление
2
εx
−
2
4t
e
.
ρ ∼
√
ε
2√πt
Ясно, что при фиксированном ε>0 эта функция стремится к нулю (равномерно по x), когда t →∞.
Дополнение 3.
Уравнение вихря 2D-гидродинамики
как кинетическое уравнение
1◦. Рассмотрим плоскопараллельное течение идеальной однородной
жидкости в потенциальном силовом поле. Пусть x, y — декартовы координаты в плоскости течения, u, v — компоненты скорости частиц жидкости
(они зависят от x, y ивремениt). Уравнения движения можно представить
в виде уравнений Ламба
∂f
∂x
ω|
,
∂v
∂x
u +
t=0
∂v
+ ωu = −
∂t
∂u
−
∂y
∂ω
v =0. (1)
∂y
0,
∂u
− ωv = −
∂t
где
ω =
— вихрь, а f — функция Бернулли.
Из этих уравнений с учетом несжимаемости однородной жидкости
(∂u/∂x + ∂v/∂y =0) легко выводится уравнение, описывающее измене-
ние вихря:
∂ω
∂ω
+
∂t
∂x
Таким образом, вихрь ω является первым интегралом дифференциальных
уравнений
˙x = u(x, y, t), ˙y = v(x, y, t), (2)
описывающих движение частиц жидкости. Отсюда вытекает, в частности, классическая теорема Гельмгольца– Томсона о вмороженности вихрей
в плоскопараллельный поток идеальной жидкости. Как следствие, получаем, что если
то ω 0 при всех значениях t.
∂f
∂x
,
304 ДОПОЛНЕНИЕ 3
Уравнение (1) имеет вид статистического уравнения Лиувилля для
неавтономной системы (2), поток которого сохраняет стандартную меру
dx dy. Ввиду условия несжимаемости уравнение (2) имеет гамильтонову
форму
u = −
∂ψ
∂y
,v=
∂ψ
∂x
,
где ψ(x, y, t) — функция тока. Таким образом, уравнение вихря — это уравнение Лиувилля гамильтоновой системы, вообще говоря неавтономной.
Укажем одно из следствий. Пусть G(·) — суммируемая функция одной
переменной. Тогда интеграл
∞
G(ω(x, y, t)) dx dy
−∞
не зависит от времени (в предположении, что этот интеграл сходится). Другими словами, он будет интегральным инвариантом системы дифференциальных уравнений (2). В частности, моменты всех порядков
∞
1
ωkdx dy (3)
k
−∞
— константы. Это обстоятельство — существенный пункт доказательства
теорем существования и единственности в плоской гидродинамике идеальной жидкости. При k =2инвариант (3) называется энстрофией.
◦
. Покажем, что уравнение вихря (1) можно представить в виде
2
стационарного обобщенного кинетического уравнения типа кинетического
уравнения Власова. Действительно, это уравнение записывается в виде
где
— функция тока,
ψ =
∂ω
∂ω
−
∂t
∂x∂ψ∂y
∞
+
∂ω
∂y∂ψ∂x
K(x, y; x,y)ω(x,y,t) dxdy
−∞
2
1
K =
2π
ln
(x − x)2+(y −y)
=0, (4)
2
УРАВНЕНИЕ ВИХРЯ 2D-ГИДРОДИНАМИКИ 305
— ядро линейного оператора — «парный потенциал взаимодействия». Функция K совпадает с гамильтонианом, описывающим движение частиц жидкости в поле вихря с единичной интенсивностью.
Уравнение (4) (как и классическое уравнение Лиувилля) есть стати-
стическое уравнение. Пусть ω 0 иприt =0выполнено условие норми-
ровки:
ω|
dx dy =1.
t=0
Тогда в каждый момент времени выполнено неравенство ω 0,
∞
ω(x, y, t) dx dy =1
−∞
и
P
t
ВпоследнейформулеD — измеримая подобласть плоскости течения, g
поток системы (2),аP
(D)=
(D) — вероятность нахождения частицы жидкости
t
ω(x, y, t) dx dy =const.
gt(D)
t
—
в области D. Таким образом, мы имеем распределение вероятностей на
плоскости, которое согласовано с течением жидкости.
Уравнение (4) полезно сравнить с кинетическим уравнением Власова,
которое также называется уравнением самсогласованного поля. Это уравнение описывает эволюцию функции распределения ρ(x, v, t) континуума
взаимодействующих частиц в евклидовом пространстве по скорости v ико-
ординате x вмоментвремениt. Оно имеет вид
∂ρ
∂t
F = −
∂ρ
+
,v+
∂x
∂
K(x, y)ρ(x, u, t) du dy.
∂x
∂ρ
∂v
,F=0,
(5)
Здесь K — парный потенциал взаимодействия, который в реальных задачах
зависит от расстояния |x −y|,аF — суммарная сила, с которой все частицы
действуют на одну из них, находящуюся в момент времени t вточкеx.
Подчеркнем, что (как и в уравнении Власова) время в уравнении (4)
входит лишь через зависимость вихря от t. Это обстоятельство позволяет
доказать, что однопараметрическое семейство операторов
t
G
: ω0→ ωt(ωt= ω(x, y, t))
306 ДОПОЛНЕНИЕ 3
образует группу. Трактовка уравнения вихря как бесконечномерной динамической системы предложена в работе [50] и развита в [51].
◦
. Вихрь ω как функция t, как правило, осциллирует и, конечно, не
3
имеет предела (в смысле обычной сходимости) при неограниченном возрастании времени. С точки зрения анализа статистических свойств потока
системы (2) полезно изучить слабую сходимость вихря ω
(x, y) слабо сходится к ω(x, y), если для любой пробной функции ϕ(x, y)
ω
t
lim
t→∞
∞
ωtϕdxdy =
−∞
∞
ωϕ dx dy. (6)
−∞
. Напомним, что
t
Существование слабого предела решений простого кинетического уравнения Лиувилля для квазиоднородных автономных систем доказано в работе [62]. Заметим, что бесконечномерная система (4) также квазиоднородна:
она не меняется при подстановке
t
,x→ λx, y → λy, ω → λ
t →
λ
2
ω,
где λ — произвольный положительный параметр. Не исключено, что слабая
сходимость (6) имеет место для типичных начальных условий ω
.Этот
0
круг вопросов обсуждается в [51].
Если вихрь ω
слабо сходится к интегрируемой функции ω,тонеста-
t
ционарное течение идеальной жидкости стремится «в среднем» к стационарному течению с вихрем
u(x, y)=−
v(x, y)=
ω. Его поле скоростей находится по формулам
2π
1
2π
1
2
(x − x)2+(y −y)
(x − x
2
(x − x)2+(y −y)
(y − y
)ω(x,y)
)ω(x,y)
dxdy,
2
dxdy.
2
На траекториях (линиях тока) стационарной системы
˙x =
u(x, y), ˙y = v(x, y)(7)
постоянна функция тока
Ψ=K(x, y; x,y)ω(x,y) dxdy.
УРАВНЕНИЕ ВИХРЯ 2D-ГИДРОДИНАМИКИ 307
Функция Ψ не может быть произвольной. Дело в том, что ω также является
первым интегралом системы (7). Следовательно, функции
Ψ и ω зависимы:
в гладком случае их якобиан тождественно равен нулю. Локально можно
считать, что
ω = F (Ψ), (8)
где F (·) — функция одного переменного. Важный подкласс составляют стационарные течения, когда соотношение (8) выполнено в целом. Если предельное поле (7) гладкое, то
ω =ΔΨ и уравнение (8) можно записать
в следующем виде:
ΔΨ = F (Ψ).
Здесь Δ — оператор Лапласа на плоскости.
По аналогии с равновесной статистической механикой, в работе [104]
предложено в качестве функции F брать плотность канонического распределения Гиббса:
−βΨ
Ψ) =
e
Z(β)
.
F (
Здесь β — некоторый параметр, а нормировочный множитель Z находится
из соотношения
F (
Ψ(x, y)) dx dy =
ωdxdy=1.
В статистической механике β обычно полагают равным 1/(kT ),гдеk —постоянная Больцмана, а T — абсолютная температура. Для некоторых стационарных течений параметр β может быть отрицательным. Возможность существования равновесных состояний с отрицательной «температурой» была отмечена еще Онзагером в 1949 г., что вызвало оживленную дискуссию.
Вообще, для работ по плоской турбулентности характерно некритическое
использование соотношений и методов классической статистической механики.
Заменяя вихрь ω
в (3) его слабым пределом ω, получим при k =2
t
значение энстрофии в состоянии предельного статистического равновесия.
Как показано в [51],
2
ω
t
dx dy
ω2dx dy. (9)
В типичном случае, конечно, будем иметь строгое неравенство.
308 ДОПОЛНЕНИЕ 3
Неравенство (9) выглядит несколько удивительным, поскольку в иде-
альной жидкости диссипаци энстрофии отсутствует. Напомним, что в случае вязкой жидкости энстрофия пропорциональна скорости диссипации
энергии.
Этот факт имеет существенное значение для понимания развитой двумерной турбулентности. Считается, что некоторая часть «макроскопической» энстрофии переходит в «микроскопическую» энстрофию и что такой
механизм диссипации макроскопической инвариантной величины, при котором она передается очень малым флуктуациям, является довольно общим
(см., например, [123]).
В работе [51] эта идея реализована путем перехода к «крупнозернистому» описанию завихренности с помощью подходящего локального усреднения поля вихря. Как показывают численные эксперименты, «огрубленная» энстрофия, как правило, убывает со временем (см., например, книги [91, 117] и имеющиеся там ссылки).
◦
. Как заметил сам Власов, кинетическое уравнение (5) допускает
4
точное обобщенное решение в виде взвешенной суммы δ-функций Дирака:
N
ρ(x, v, t)=
κjδ(x − x
j=1
(j)
(t))δ(v −v
(j)
(t)).
Сингулярности плотности интерпретируются как положения и скорости N
взаимодействующих частиц, а коэффициенты κ
— как их массы. Из урав-
j
нения Власова (5) вытекают обычные уравнения Ньютона, описывающие
динамику N взаимодействующих частиц с парным потенциалом взаимодействия K (см., например, [24]).
По аналогии с этим результатом будем искать решения уравнения вихря (4) в виде суммы δ-функций Дирака:
n
ω(x, y, t)=
κsδ(x − xs(t))δ(y −ys(t)). (10)
s=1
Слагаемое с номером s можно интерпретировать как точечный вихрь интенсивности κ
в точке с координатами xs, ys. Обобщенная функция (10)
s
есть плотность сингулярной меры.
Покажем, что если (10) удовлетворяет уравнению (4) (в слабом смысле), то функции
(t),t→ ys(t)
t → x
s
УРАВНЕНИЕ ВИХРЯ 2D-ГИДРОДИНАМИКИ 309
удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, описывающей динамику n взаимодействующих точечных вихрей. В самом деле, подставляя
выражение (10) в уравнение (4), используя тождество
d
δ(x − r(t)) = δ
dt
˙z
и стандартные свойства дельта-функции, получим
[δ(x − xs)δ(y −ys)˙xs+ δ(x − xs)δ(y − ys)˙ys] −
κ
−κ
+κ
s
δ(x − xj)δ(y −yj)
j
δ(x −xj)δ(y −yj)
j
∂
∂x
∂
∂y
2π
1
2π
1
ln0(x − xi)2+(y −yi)
κ
i
ln0(x − xi)2+(y −yi)
κ
i
2
+
2
=0.
(11)
Теперь воспользуемся следующим простым фактом: если
λ
(x, y)δ(x − xs)δ(y −ys)+μsδ(x − xs)δ(y − ys) ≡ 0, (12)
s
тогда коэффициенты λ
и μsобнуляются в точке x = xs, y = ys.Чтобыэто
s
доказать, умножим (12) на пробную функцию ϕ(x, y) и проинтегрируем по
2
всей плоскости R
∂x
= {x, y}.Тогда
∂
[λ
(x, ys)ϕ(x, ys)] +
s
∂
∂y
[μ
,y)ϕ(xs,y)] = 0.
s(xs
Подставляя
ϕ =(x − x
) ...(x − xn), (13)
1
получим
∂λ
s
(x − x
∂x
Положим теперь x = x
) ...(x − xn)+λs[(x − x2) ...(x − xn)+...+
1
∂μ
s
+(x − x
) ...(x − x
1
. Отсюда получаем, что
s
3
n−1
)] +
∂y
(x − x
) ...(x − xn)=0.
1
(xs− xi)λs(xs,ys)=0.
s=i
Следовательно, λ
=0.
что μ
s
=0вточке(xs,ys). Аналогично доказывается,
s
310 ДОПОЛНЕНИЕ 3
ЗАМЕЧАНИЕ. С точки зрения общей теории обобщенных функций в качестве пробных функций следует брать бесконечно дифференцируемые функции
2
с компактным носителем. Поэтому ϕ следует поправить, считая ее глад-
в R
кой и совпадающей с функцией (13) в некотором круге, содержащем все n точек
),...,(xn,yn), и равной тождественно нулю вне круга достаточно большо-
(x
1,y1
го радиуса.
Используя это вспомогательное утверждение и отбрасывая бесконечные слагаемые с «самодействием», мы получаем из (11) дифференциальные уравнения
где
κ
s˙xs
H = −
∂H
=
, κs˙ys= −
∂y
s
1
κiκjln0(xi− xj)2+(yi− yj)2.
2π
i=j
∂H
∂x
s
(1 s n),
Это дифференциальные уравнения Кирхгофа, описывающие динамику n
точечных вихрей на плоскости (уравнения (2.6) гл. I).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]